精品解析：天津市新华中学2025-2026学年高一上学期第二次质量监测数学试卷

2025-2026学年度第一学期高一级部第二次质量监 数学学科 2025-12 第I卷 一、选择题：每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点所在的象限，判断，的符号，再结合各象限三角函数的符号，确定角终边所在的位置. 【详解】因为点是第四象限的点， 所以且. 所以角的终边位于第二象限. 故选：B 2. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先解对数不等式和指数不等式，即可得到答案. 【详解】，， 能推出，反之不能； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】 利用幂函数的定义和性质列出方程和不等式，可得的值． 【详解】幂函数在上单调递减，则，解得 故选：B 4. 已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过函数的单调性及零点存在性定理可得函数有唯一零点，进而再用二分法及精确度可判断零点所在区间及零点的近似值. 【详解】因为函数和均为R上单调递增函数， 所以函数是R上单调递增函数， 且，所以函数在上有唯一零点. 取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度为. 再取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度. 对照选项只有在区间内，故可以是. 故选：C. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数、对数函数的单调性，借助中间量即可比较大小. 【详解】，，， ∴. 故选：C. 6. 如图，这是函数的部分图象，则它的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察函数的图象可得函数是奇函数，由此排除AB；再由函数单调性定义推理并排除C作答. 【详解】观察函数的图象知，函数的定义域为，是奇函数， 而函数是偶函数，函数是奇函数， 则与是非奇非偶函数，AB不可能； 对于C，是奇函数，且当时，函数与都是增函数， 任取，， 因此，即函数在上单调递增，C不可能； 对于D，是奇函数，当且无限增大时，的值无限趋近于，且趋近于无穷大， 的值无限趋近于无穷大，但增大的速度远大于增大的速度，则无限趋近于0， 当时，，选项D符合. 故选：D 7. 已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】因为点为其终边上一点，且， 由三角函数的定义，可得，解得或或， 又因为是第二象限角，所以，所以. 故选：D. 8. 已知为第三象限角，那么不可能是（ ） A. 第四象限角 B. 第三象限角 C. 第二象限角 D. 第一象限角 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，可得，讨论的取值，即可确定答案. 【详解】由题意是第三象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第三象限角； 当时，，是第四象限角； 故不可能是第二象限角. 故选：C 9. 若函数在上是单调增函数，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，转化为单调递增，且恒成立，所以根据二次函数的单调性及最小值列式求解即可. 【详解】设，根据对数函数及复合函数单调性可知： 在上是单调增函数，且，所以，所以， 即实数的取值范围为. 故选：D 10. 设均为正数，且，，．则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，， 的图象， 与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出． 考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用． 【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解． 【详解】 11. 已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，则，由图象分析可知在上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决. 【详解】令，则，如图 与顶多只有3个不同交点，要使关于的方程有 六个不相等的实数根，则有两个不同的根， 设由根的分布可知， ，解得. 故选：B. 【点睛】本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题. 12. 若函数恰有3个零点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对时，由得，再结合函数的单调性可判断对任意a函数有唯一零点；再对时，将函数的零点转化为方程的根，进而转化为与有2个交点问题，用数形结合可得. 【详解】①当时，，令，得， 因为是上单调递增函数，所以，即， 设，显然在上单调递减，且. 所以对任意的a，方程在上有且仅有一个解. ②当时，，令，得， 即，， 令，函数是一个开口向上的二次函数的一部分，要使有三个零点， 则方程就有2个非正根，即函数与有两个交点，如图： 由图可知. 综合①②可知，要使有三个零点，a的取值范围为. 故选：A. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 13. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数和二次根式的性质，得出对数函数的真数大于0，根式内表达式大于等于0，两者的交集即为函数的定义域． 【详解】， ，解得． 故答案为：． 14 计算： （1）________． （2）________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质、根式与指数幂的互化计算即得； （2）利用对数运算性质、换底公式计算即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 ． 15. 已知扇形OAB的圆心角为，其面积是则该扇形的周长是______cm 【答案】6 【解析】 【分析】设扇形的半径为,弧长为,然后根据圆心角和面积列方程组成方程组可解得. 【详解】设扇形的半径为,弧长为, 依题意可得,,解得, 所以扇形的周长为. 故答案为:6 【点睛】本题考查了扇形中圆心角的弧度数公式和扇形的面积公式,属于基础题. 16. 函数（，且）的图象恒过定点，则________，函数的值域是R，则实数a的取值范围是________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】①由指数的性质求函数图象恒过的定点，通过令指数部分即可求解； ②由对数函数的值域为R，等价于真数能取到所有正实数，结合基本不等式分析真数的取值范围，进而确定参数的条件. 【详解】①对于指数函数，其图象恒过点（当时）. 对于函数，令指数，解得，此时. 因此定点，即，. ②函数的值域是R， 由，，故真数部分为， 令，则， 对数函数的值域为R，当且仅当能取到所有大于0的实数，即的最小值. 由基本不等式，（当且仅当时取等）， 故的最小值为， 令，解得. 故答案为：；. 17. 已知函数，若任意的正数，均满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出的单调性和奇偶性，再由得出与满足的等式，再由基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】∵恒成立，∴函数的定义域为． ，有成立， ， ， ∴，∴为定义在上的奇函数． 由复合函数的单调性易知，当时，与均单调递减， ∴在区间上单调递减， 又∵为定义在上的奇函数，∴在上单调递减. ∴由得， ∴正数，满足，即， ∴由基本不等式， ， 当且仅当，即，时等号成立， ∴的最小值为． 故答案为：． 18. 已知的值域为，则________，函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】令，则，根据二次函数性质可得函数的值域；进而可得函数，由函数单调性结合二次函数性质及对数函数性质计算可得实数的取值范围. 【详解】因为 令，则， 由二次函数性质可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为，， 所以，， 所以函数的值域为，即函数的值域为，故， 所以函数 由题意可知函数在区间上是减函数， 当时，，二次函数的对称轴为，在对称轴左侧单调递减， ，解得； 当时，，在时单调递减； 又，即； 综上，实数的取值范围是． 故答案为：；. 三、解答题：本大题共2小题，共22分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）解不等式：． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据定义域在上奇函数可得即可求解实数的值；(2)直接利用定义法证明单调性；（3）利用函数的单调性和奇偶性即求解不等式. 试题解析：（1）由题意可知，解得 （2）由（1） 函数在上为增函数， 证明：在上任取，且， ∵，∴，∴，， ∴，即， 函数在上为增函数． （3）原不等式， ∵是定义在上的奇函数，∴ 由对数的性质 又∵是上的增函数， ∴， 解得，∴. 【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不等掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组. 20. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0或1； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得； （2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解； （3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，换元得到，参变分离，结合函数的单调性，计算可得. 【小问1详解】 当时，由可得，， 令，则，解得或， 即或，解得或， 的“准不动点”为0或1； 【小问2详解】 由得，， 即在上有解， 令，由可得，则在上有解， 故，当时，在上单调递增，，则，解得， 的取值范围； 小问3详解】 由得，， 即，则， 又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则， 即， 令，则，从而，则， 又在上均为增函数，则，， ，即，所以实数取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高一级部第二次质量监 数学学科 2025-12 第I卷 一、选择题：每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. “”“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 1或 4. 已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，这是函数的部分图象，则它的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（ ）． A. B. C. D. 8. 已知为第三象限角，那么不可能是（ ） A. 第四象限角 B. 第三象限角 C. 第二象限角 D. 第一象限角 9. 若函数在上是单调增函数，则实数的取值范围为 A B. C. D. 10. 设均为正数，且，，．则（　　） A B. C. D. 11. 已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 若函数恰有3个零点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 13. 函数的定义域为__________． 14. 计算： （1）________． （2）________． 15. 已知扇形OAB的圆心角为，其面积是则该扇形的周长是______cm 16. 函数（，且）的图象恒过定点，则________，函数的值域是R，则实数a的取值范围是________． 17. 已知函数，若任意的正数，均满足，则的最小值为________． 18. 已知的值域为，则________，函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围为________． 三、解答题：本大题共2小题，共22分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）解不等式：． 20. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $