精品解析：吉林省长春汽车经济技术开发区2025—2026学年上学期期末考试九年级数学试卷

汽开区2025－2026学年度第一学期九年级核心素养调研（二） 数学试卷 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的开口方向为（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的解析式即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线，， ∴抛物线的开口方向为向上， 故选：A． 2. 已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆中弦长的定义，解题的关键是理解弦的定义．根据弦的定义：圆上任意两点之间的距离为弦长，最长的弦为直径，即可求解． 【详解】解：∵的半径为， ∴的直径为， ∵是的弦， ∴， ∴弦的长不可能为． 故选：D． 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况，当时，一元二次方程有两个相等实数根，据此求出的取值范围即可． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：C． 4. 把二次函数化成的形式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，关键是掌握配方法的步骤．利用配方法把二次函数的一般式化成顶点式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5. 人行天桥的示意图如图所示，若斜道长为30米，，则高的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形中正弦函数的定义，正弦函数的定义为对边与斜边的比值． 在直角三角形中，根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意，在直角三角形中， 根据正弦函数的定义， 米． 故选：． 6. 如图，在中，，点在上，，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半,即可得出结论． 【详解】解：∵在⊙O中,，点D在⊙O上，∠CDB=25°， ∴∠AOB=2∠CDB=50°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知圆周角定理是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的判断，二次函数的图象形状由二次项系数和顶点坐标决定． 先根据解析式确定抛物线的开口方向，再计算顶点坐标，即可确定函数图象的大致位置． 【详解】解：二次函数中，， 二次项系数， 该二次函数的图象开口向下， ，， 该二次函数的顶点坐标为， 选项符合题意． 故选：． 8. 如图，在中，，为的高，，，点是上一动点，连结，取的中点，连结．若的半径为2，则长的最大值为（ ） A. B. C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】连结，根据等腰三角形的三线合一得到，由勾股定理求出，根据三角形中位线定理得到，当取最大值时，长度最大，求出的最大值，即可求解． 【详解】解：如图，连结， ， 为等腰三角形， 为的高， 为的中点， ， 在中，， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， 当取最大值时，长度最大， 点是上一动点， 当过圆心时，最大， 此时， 长的最大值为． 故选：． 【点睛】本题考查点和圆的位置关系、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形中位线定理，明确当取最大值时，长度最大是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 关于x的一元二次方程的一个根是，则c的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义把代入中得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意把代入一元二次方程得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 10. 铁路道口的栏杆如图所示，为栏杆的支点，米，米．若栏杆左端下降的垂直距离为米，则栏杆右端上升的垂直距离为______米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，体现了几何知识在生活中的实际运用，解题的核心是将实际问题转化为几何图形，再利用相似三角形的性质计算． 根据题意由两角对应相等可得，利用相似三角形对应边成比例的性质即可求解． 【详解】解：栏杆在转动过程中，和是对顶角， ， ， ， 和中， ， ， ， ， ， ， 栏杆右端上升的垂直距离为米． 故答案为：． 11. 如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需_____个五边形． 【答案】7 【解析】 【分析】延长正五边形的相邻两边交于圆心，求得该圆心角的度数后，用360°除以该圆心角的度数即可得到正五边形的个数，减去3后即可得到本题答案． 【详解】延长正五边形的相邻两边，交于圆心， ∵正五边形的外角等于360°÷5=72°， ∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°-72°-72°=36°， ∴360°÷36°=10， ∴排成圆环需要10个正五边形， 故排成圆环还需 7个五边形． 故答案为7． 【点睛】本题考查了正五边形与圆的有关运算，属于层次较低的题目，解题的关键是正确地构造圆心角． 12. 正方形的边长为5，若边长增加x，则面积增加y，y与x的关系式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形面积计算公式可得：增加的面积=新正方形的面积-边长为5的正方形的面积，即可得出结果． 【详解】增加的面积=新正方形的面积-边长为5的正方形的面积 可得出关系式： 故答案为 【点睛】此题考查函数关系式，解题关键在于掌握函数关系式的化简. 13. 已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根的积是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先根据抛物线与轴交点求出参数，再利用根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：将点代入二次函数解析式，得， 解得， 一元二次方程为， 根据根与系数的关系，两根之积为． 故答案为：3． 14. 如图，在正方形中，是边上的动点，在的外接圆上，且位于正方形的内部，，分别连接、、、，过点作于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④当点是的中点时，若，则． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题综合考查了正方形的性质、圆的基本性质、在同圆或等圆中，等弧对等弦，等腰直角三角形的判定和性质，根据证得为的外接圆的直径是解题的关键．正方形中，故为的外接圆的直径，由得，①正确；由①知是外接圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到，进而推得②正确；过点E作，得到四边形是矩形，为等腰直角三角形，得出，进而判断③错误；在中，由，求得，再根据矩形的性质，中点的定义推得④正确． 【详解】解：在正方形中，，是边上的动点， 点B在以为直径的圆上， 在的外接圆上，， ，故①正确； 由为直径， ， ，故②正确； 连接， 在正方形中，， ， ， ， ，， ， 过点E作，则， 四边形是矩形， ， 在中，， ，故③错误； 在中，， ，， 若，则， ，， ， 是的中点， ．故④正确． 综上，正确结论的序号为：①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 求值：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查特殊的三角函数值的混合运算，熟练记忆所有特殊三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 16. 今年寒假，老师布置了两个实践任务：A．制作“冰雪＋体育”手抄报；B．制作“冰雪+非遗”手抄报，并让学生们随机抽取两个任务中的一个进行组队．用画树状图（或列表）的方法，求小冰和小雪这两位同学都抽到任务B的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，解题的关键是通过树状图列出所有可能的结果，再找到符合要求的结果，最后根据概率公式计算即可． 根据题意通过树状图列出所有可能的结果有种，符合要求的结果有种，根据概率公式计算即可． 【详解】解：树状图如下： 从树状图可得所有可能结果为，共种， 小冰和小雪这两位同学都抽到任务B的结果只有种，即， 所以小冰和小雪这两位同学都抽到任务B的概率为． 17. 通过广州国际汽车展览会调研，某汽车公司计划加大“油电混”汽车的生产量．该公司计划这种“油电混”汽车的月生产量由明年一月份的4000辆增加到三月份的4840辆．求该“油电混”汽车这两个月生产量的平均月增长率． 【答案】该“油电混”汽车这两个月生产量的平均月增长率为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该“油电混”汽车这两个月生产量的平均月增长率为，根据平均月增长率的计算公式列式求解即可． 【详解】解：设该“油电混”汽车这两个月生产量的平均月增长率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 该“油电混”汽车这两个月生产量平均月增长率为． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，抛物线的对称轴为直线． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）该抛物线的顶点坐标为______； （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点坐标的特征、二次函数的性质，解决本题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据函数的对称轴和与轴交点可直接得到结论； （2）把解析式化为顶点式即可求解； （3）求出抛物线与轴的交点，然后利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的交点坐标为， ， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：， 抛物线的顶点坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：时，即， 解得，， 抛物线与轴的交点为， 抛物线开口向上， 当时，． 19. 作图并填空： （1）在下图中，利用尺规作图，作出已知的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） （2）若已知的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正六边形边长等于圆的半径的性质，通过等分圆周完成作图； （2）将正六边形分解成六个等边三角形计算总面积即可求解． 【小问1详解】 解：如图，正六边形即为所求： 作法：在圆上任取一点作为起点，以这点为圆心，圆的半径为半径画弧交圆于一点， 重复上述操作依次得到另外的四个点，顺次连接各点形成正六边形； 【小问2详解】 如图，连接，过点作于点， ，， 为边长为的等边三角形， ， ， ， 内接正六边形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查尺规作图及正六边形面积的计算，将复杂的正多边形面积计算转化为简单的等边三角形面积求和，体现了割补法在几何面积计算中的应用． 20. 如图，在中，，是边上一点，以点为圆心、长为半径作，与相切于点，连接． （1）求证：； （2）若，，则的长为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用切线的性质和平行线的判定可得，由此可知，然后根据等腰三角形进行角的等量代换； （2）利用三角函数的定义，在和中建立边长的关系，即可求解线段的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：在中，，， ， ， 在中， ，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的切线性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角函数的应用，证明角相等时，连接切点与圆心是圆的切线问题中常用的辅助线的作法；边长的计算中，利用三角函数将角的关系转化为边的比例关系，体现了几何问题中“数”与“形”的相互转化． 21. 某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化关系的图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分．结合图象信息，解答下列问题． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求值； （3）当______A时，取得最大值为______W． 【答案】（1） （2） （3）2，220 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可设与之间的函数关系式为，然后把点、代入解析式进行求解即可； （2）把代入（1）中解析式进行求解即可； （3）根据二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：图象是经过原点的一条抛物线， 设与之间的函数关系式为． 将点、代入，得， 解得， 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，； 当时，的值为． 【小问3详解】 解：由（1）可知：与之间的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 故答案为2，220． 22. 如图，在中，，，．点是边的中点，动点在边上且与点不重合，作射线，使，交边或边于点． （1）______，的长为______； （2）当时，求的面积； （3）连结．若，直接写出的长． 【答案】（1），5 （2）14 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，用勾股定理解三角形，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）利用正切的定义式直接求得，利用勾股定理求得，再利用直角三角形斜边上的中线的性质求得； （2）先作出图形，再利用正切求出，设，则，结合，求得，从而可求得与，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分点P在线段上、点P在线段上两种情况，分别画出图形求出的长． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， 故答案为：，5； 【小问2详解】 解：过点Q作于点G， 中，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴，， v∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 当点P在线段上时，如图， 在中，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵D为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在线段上时，如图， 同理可得：， ∴， 综上所述，的长为或． 23. 数学活动：探究相似扇形． 提示：在本活动中涉及的扇形都用三个大写字母表示，第一个和第三个字母为弧的两个端点，第二个字母为圆心．例如圆心为，弧的端点为、的扇形，记作扇形． 【定义】圆心角相等的两个扇形称为相似扇形，其半径的比叫做相似比． 【性质探索】可以类比相似三角形性质，得到相似扇形的性质如下： 关于弧长：两个相似扇形的相似比为，则弧长之比为______； 关于面积：两个相似扇形的相似比为，则面积之比为______． 【判定探索】根据定义，探索相似扇形的判定，得到如下结论： 半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形． 为说明这一结论正确，分析如下：如图①，已知扇形与扇形，，设，，只要说明，即可判断扇形与扇形是相似扇形． 请你结合以上思路，写出完整的推理过程． 【拓展应用】如图②，已知扇形，点是半径上的一点，扇形与扇形相似，且点在半径的垂直平分线上．若的长为，则的长为______（用含的代数式表示）． 【答案】[性质探索]，；[判定探索]见解析；[拓展应用] 【解析】 【分析】[性质探索]根据两个相似扇形的性质可得答案； [判定探索]由，代入弧长公式即可得到结论； [拓展应用]先证明，，可得，设，，可得，再进一步解答即可． 【详解】[性质探索] 解：类比相似三角形的性质，得到相似扇形的性质，如下： 关于弧长：两个相似扇形的相似比为，则弧长之比为； 关于面积：两个相似扇形的相似比为，则面积之比为； [判定探索] ， ， ， 扇形与扇形是相似扇形； [拓展应用] 扇形与扇形相似， ， ，， ， 点在半径的垂直平分线上， ， ， ，， ， ， 设，， ， 即， 解得：，（舍去）， ， 的长为， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，弧长，扇形面积的计算，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在该抛物线上，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式和顶点坐标； （2）当点在抛物线上时，求的坐标； （3）作点关于坐标原点的对称点，连接、． ①点的坐标为______（用含的代数式表示）； ②当点在轴右侧时，若此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，则的取值范围为______； ③当抛物线的顶点落在边上时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2） （3）①；②；③或 【解析】 【分析】（1）将点代入，即可求解解析式，写出顶点式即可得顶点坐标； （2）由已知可得，根据轴可得点的坐标，将坐标代入，即可求解； （3）①根据关于原点对称的点的坐标互为相反数即可求解； ②根据已知结合图象可知需满足在抛物线上或抛物线的内部，列出不等式，求解的取值范围，结合可得； ③当抛物线的顶点落在边、、上时，结合图象，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线（是常数）经过点， ， ， 抛物线对应的函数表达式为； ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：点在该抛物线上，其横坐标为， ， 轴，点的横坐标为， ， 点在抛物线上， ， 解得或（舍）， ，， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：①，关于原点对称的点的坐标互为相反数， ； 故答案为：； ②点在轴右侧， ，且在轴左侧， 抛物线的对称轴为直线， 在的左侧随的增大而减小， 要使抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小， 需满足内部的抛物线部分在对称轴的左侧， 即满足在抛物线上或抛物线的内部，如图： 将代入，得， ， ， 移项整理得， 对应方程的根为，， 函数的图象开口向上， 不等式的解为， 又， 的取值范围为； ③抛物线的顶点坐标为， 当抛物线的顶点落在边上时，即， 解得，此时顶点即点，顶点也落在边上； 当抛物线的顶点落在边上时， ，， 过两点的直线的解析式为， 将代入得， 解得或， 当时，，， 顶点不落在边上， 当时，，， 顶点落在边上， 或． 【点睛】本题是二次函数几何综合题，将几何问题转化为坐标运算，如通过点的坐标求直线解析式；分析顶点落在三角形三边的不同情况，主要验证顶点是否在线段上，而非直线的延长线上，这也是本题的易错点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汽开区2025－2026学年度第一学期九年级核心素养调研（二） 数学试卷 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的开口方向为（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 2. 已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是( ) A. B. C. D. 4. 把二次函数化成的形式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 人行天桥的示意图如图所示，若斜道长为30米，，则高的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，在中，，点在上，，则( ) A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，为的高，，，点是上一动点，连结，取的中点，连结．若的半径为2，则长的最大值为（ ） A. B. C. 7 D. 8 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 关于x的一元二次方程的一个根是，则c的值为_______． 10. 铁路道口的栏杆如图所示，为栏杆的支点，米，米．若栏杆左端下降的垂直距离为米，则栏杆右端上升的垂直距离为______米． 11. 如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需_____个五边形． 12. 正方形的边长为5，若边长增加x，则面积增加y，y与x的关系式为__________. 13. 已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根的积是______． 14. 如图，在正方形中，是边上的动点，在的外接圆上，且位于正方形的内部，，分别连接、、、，过点作于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④当点是中点时，若，则． 上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 求值：． 16. 今年寒假，老师布置了两个实践任务：A．制作“冰雪＋体育”手抄报；B．制作“冰雪+非遗”手抄报，并让学生们随机抽取两个任务中一个进行组队．用画树状图（或列表）的方法，求小冰和小雪这两位同学都抽到任务B的概率． 17. 通过广州国际汽车展览会调研，某汽车公司计划加大“油电混”汽车的生产量．该公司计划这种“油电混”汽车的月生产量由明年一月份的4000辆增加到三月份的4840辆．求该“油电混”汽车这两个月生产量的平均月增长率． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，抛物线的对称轴为直线． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）该抛物线的顶点坐标为______； （3）当时，直接写出的取值范围． 19. 作图并填空： （1）在下图中，利用尺规作图，作出已知的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） （2）若已知的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______． 20. 如图，在中，，是边上一点，以点为圆心、长为半径作，与相切于点，连接． （1）求证：； （2）若，，则的长为______． 21. 某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化关系的图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分．结合图象信息，解答下列问题． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值； （3）当______A时，取得最大值为______W． 22. 如图，在中，，，．点是边的中点，动点在边上且与点不重合，作射线，使，交边或边于点． （1）______，的长为______； （2）当时，求面积； （3）连结．若，直接写出的长． 23. 数学活动：探究相似扇形． 提示：在本活动中涉及的扇形都用三个大写字母表示，第一个和第三个字母为弧的两个端点，第二个字母为圆心．例如圆心为，弧的端点为、的扇形，记作扇形． 【定义】圆心角相等的两个扇形称为相似扇形，其半径的比叫做相似比． 【性质探索】可以类比相似三角形的性质，得到相似扇形的性质如下： 关于弧长：两个相似扇形的相似比为，则弧长之比为______； 关于面积：两个相似扇形的相似比为，则面积之比为______． 【判定探索】根据定义，探索相似扇形的判定，得到如下结论： 半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形． 为说明这一结论正确，分析如下：如图①，已知扇形与扇形，，设，，只要说明，即可判断扇形与扇形相似扇形． 请你结合以上思路，写出完整的推理过程． 【拓展应用】如图②，已知扇形，点是半径上的一点，扇形与扇形相似，且点在半径的垂直平分线上．若的长为，则的长为______（用含的代数式表示）． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在该抛物线上，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式和顶点坐标； （2）当点在抛物线上时，求坐标； （3）作点关于坐标原点的对称点，连接、． ①点的坐标为______（用含的代数式表示）； ②当点在轴右侧时，若此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，则的取值范围为______； ③当抛物线的顶点落在边上时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $