江苏省苏州市2025-2026学年高一上学期期末模拟测试数学试题

江苏省苏州市2025-2026学年高一上学期期末模拟测试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 1、 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 2. 命题“”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 平面向量，，若与共线，那么的值为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数满足，则实数的值为（ ） A B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 用总长为的篱笆围成一块矩形菜地，其中一边空出的缺口作为进出通道.若要使菜地的面积最大，则有缺口的一边的篱笆长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则该函数的（ ） A. 值域为 B. 减区间是 C. 图象的对称中心为 D. 图象的对称轴方程为 10. 已知函数（且，），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的图象过定点 B. 若，则的最小值为4 C. 若，则 D. 若， 11. 定义在上的函数，对任意，当时，都有.若当时，，则（ ） A. 函数是周期函数 B. 当时， C. 不等式的解为 D. 若，恒有，则最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为2，半径为，则这个扇形的面积为______. 13. 若命题：“”为假命题，则实数的取值范围为________． 14. 已知是偶函数，则______，若存在，使得，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知中是直角，，点是的中点，为上一点． （1）设，，当，请用，来表示，； （2）当时，试求． 17. （1）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图； （2）若函数在区间上的最大值为1，最小值为，求，的值. 18. 已知函数的图象过点． （1）求实数值； （2）证明：函数为偶函数； （3）求关于的不等式的解集． 19. 已知为偶函数，为奇函数，且. （1）求与的解析式； （2）令. （i）解不等式； （ii）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州市2025-2026学年高一上学期期末模拟测试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 1、 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 2. 命题“”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解； 【详解】的否定为：，. 故选：D 3. 平面向量，，若与共线，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用向量共线的坐标形式的充要条件求解. 【详解】由题意，，共线，则，解得. 故选：A 4. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：因为 解得或， 所以“”是“”成立的必要不充分条件， 故选：B 5. 已知函数满足，则实数的值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】代入即可求解. 【详解】， 故， 故选：B 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则 . 故选：A. 7. 用总长为的篱笆围成一块矩形菜地，其中一边空出的缺口作为进出通道.若要使菜地的面积最大，则有缺口的一边的篱笆长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设有缺口的一边的篱笆长为米，则矩形的另一边长为米，列出面积的关系式，再利用基本不等式求解得出结论. 【详解】设有缺口的一边的篱笆长为米，则矩形的另一边长为米，菜地的面积为平方米， 则，即，则，， 由基本不等式得， 当且仅当即时，取得最大面积， 所以当有缺口的一边的篱笆长为米时，菜地的面积最大. 故选：C 8. 已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将函数解析式化成分段函数形式，对分四种情况讨论，数形结合判断是否恰有三个零点，从而可得结果. 【详解】. ①当时，在上递减，在上递减，在上递增， 因为在处连续，所以在上递减，在上递增， 且,所以在，分别有一个零点，即不可能有三个零点，不合题意； ②当时，在上递减，在上递增，在上递减，在上递增， 且,作出两段抛物线的图象如图 此时只有两个零点不满足题意； ③当时，， 作出两段抛物线的图象如图： 此时恰有三个零点满足题意； ④当时，，在有两个零点， 且当时两段抛物线的函数值相等， 若要有三个零点，则，在有一个零点，两段抛物线的图象如图： 此时，满足题意， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则该函数的（ ） A. 值域为 B. 减区间是 C. 图象的对称中心为 D. 图象的对称轴方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】将看成一整体，利用的图象与性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，易知值域为，所以选项A正确， 对于选项B，由，得到， 所以的减区间为，故选项B正确， 对于选项C，由，得到， 所以的对称中心为，故选项C正确， 对于选项D，由，得到，所以选项D错误， 故选：ABC. 10. 已知函数（且，），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的图象过定点 B. 若，则的最小值为4 C. 若，则 D. 若， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A由可得的图象所过定点；B由题可得，然后由基本不等式可得答案；CD由指数函数单调性，结合作差法，正切函数单调性可判断选项正误； 【详解】对于A，令，，则的图象过定点，故A正确； 对于B，，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，因，则在R上单调递增，又， 则，故C错误； 对于D，因，则在R上单调递减， 又注意到时，函数单调递增， 则，故D正确. 故选：ABD 11. 定义在上的函数，对任意，当时，都有.若当时，，则（ ） A. 函数是周期函数 B. 当时， C. 不等式的解为 D. 若，恒有，则最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由周期性的定义可判断A；先求，再利用即可判断B，分类讨论解不等式可判断C；利用C选项的结论可判断D. 【详解】对于A，因为对任意，当时，都有， 所以，即， 所以不可能是周期函数，故A错误； 对于B，当，，所以，又因为，所以，故B正确； 对于C，当时，不等式，即，解得， 且； 当时，不等式，即，解得， 且， 当，， 又，所以当时，不等式无解， 由，所以当时，不等式无解， 综上：不等式的解为，故C正确； 对于D，由C选项可知，要想满足，恒有， 只需且，解得，所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为2，半径为，则这个扇形的面积为______. 【答案】4 【解析】 【分析】由扇形面积公式即可求解； 【详解】由面积公式：， 故答案为：4 13. 若命题：“”为假命题，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，列不等式求取值范围. 【详解】因为“”为假命题， 所以“”为真命题， 即方程没有实数根， 所以，故， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知是偶函数，则______，若存在，使得，则的最大值为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合对数的运算性质可得，分离参数，将问题转化为，根据对勾函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】由于是偶函数， 故， 根据可得， ，解得， 由可得， 故， 因此， 由于，故，令， 则在单调递减，在单调递增，且当和时，，， 故， 因此， 故的最大值为， 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，当时，求出集合，利用并集的定义可求得集合； （2）求出集合，由题意可得，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为或， 当时，， 此时，或. 【小问2详解】 由（1）可得， 因为“”是“”的充分条件，则， 所以，且，则， 因此，实数的取值范围是. 16. 已知中是直角，，点是的中点，为上一点． （1）设，，当，请用，来表示，； （2）当时，试求． 【答案】（1），；（2）0. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算求解； （2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算． 【详解】（1），，点是的中点， ， ， ． （2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系， 设，点坐标为，另设点坐标为，点是的中点， 点坐标为， 又，，，， 所以，， 所以． 【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积．掌握数量积的定义是解题关键．在有垂直的平面图形中，可以建立平面直角坐标系，得出各点坐标后，求得向量的坐标，用向量数量积的坐标运算求解． 17. （1）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图； （2）若函数在区间上的最大值为1，最小值为，求，的值. 【答案】（1）答案见解析；（2）或． 【解析】 【分析】（1）根据五点法作图，先列表，再描点，连线即可； （2）求出，再对分讨论即可. 【详解】（1）列表如下： 作图如下： （2）. 当时，不符合题意， 当时，， ，符合题意； 当时，， ．符合题意． 综上，或． 18. 已知函数的图象过点． （1）求实数值； （2）证明：函数为偶函数； （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）a， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知点的坐标代入即可求解； （2）结合偶函数的定义即可证明； （3）结合指数函数的单调性即可求解． 【小问1详解】 函数的图象过点， 所以，即，， 则，则，所以； 【小问2详解】 证明：函数， 故为偶函数； 【小问3详解】 不等式可化为， 即， 解得， 所以， 故不等式的解集为． 19. 已知为偶函数，为奇函数，且. （1）求与的解析式； （2）令. （i）解不等式； （ii）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）求出，，联立即可求解和； （2）（i）证明为上的奇函数，证明是上的增函数，根据增函数列出不等式即可求解； （ii）求出，证明原题可转化为对任意的恒成立，令，根据单调性即可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为①， 所以， 又因为为偶函数，为奇函数， 所以②， 由①②得：； 【小问2详解】 （i）， 又，故为上的奇函数， 将变形可得， ，且， 有， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 又因为，所以， 所以是上的增函数， 因此不等式等价转化为， 即， 所以，即， 所以不等式的解集为 （ii）由（i）知为上奇函数， 所以，故对任意的恒成立， 又因为为上增函数， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，故， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 函数上单调递增， 故，所以，即. 【点睛】关键点睛：本题（2）（ii）关键在于证明原题可转化为对任意的恒成立. 1 学科网（北京）股份有限公司 $