精品解析：江苏省苏州市张家港市常青藤实验学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

张家港常青藤高中2024～2025学年第一学期期末卷 高一数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，总有”的否定是（ ） A. ，总有 B. ，总有 C. ，使得 D. ，使得 3. 将函数图象沿轴向右平移一个单位后，所得图象对应的解析式为，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在自然界，大气压强（单位：mmHg）和海拔高度（单位：m）的关系可用指数模型来描述，根据统计计算得到，．现已知海拔500 m时的大气压强约为700 mmHg，则当大气压强约为350 mmHg时，海拔高度约为（ ）（参考数据：） A. 3500 m B. 4200 m C. 4700 m D. 5200 m 5. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则不等式解集为（ ） A B. C. D. 8. 已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则为第一象限角 B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是 C. 终边经过点的角的集合是 D. 在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为 10. 已知，且，若对任意的恒成立，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 2 11. 已知函数，若方程有六个不同的解，，，，，且，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知奇函数的定义域为，当时，，则________． 13. 已知，且，则___________. 14. 用表示､两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 16. 已知是第四象限角． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 17. 已知，二次函数的图象经过点，且的解集为. （1）求实数a，b的值； （2）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围. 18. 如图，已知四边形为直角梯形，，，，点从点出发，沿着边运动到点，过点作直线垂直于边，设，则的左侧部分的多边形的面积为，周长为． （1）求和的解析式； （2）记，求的最大值． 19. 已知函数，. （1）设在上的最小值为，将表示为的函数； （2）若函数存在零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 张家港常青藤高中2024～2025学年第一学期期末卷 高一数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据任意角的三角函数的定义及特殊角的三角函数值计算可得. 【详解】解： 故选： 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题. 2. 命题“，总有”的否定是（ ） A. ，总有 B. ，总有 C. ，使得 D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】 全称命题否定为特称命题即可，改量词否结论 【详解】解：因为命题“，总有”， 所以其否定为“，使得” 故选：C 3. 将函数的图象沿轴向右平移一个单位后，所得图象对应的解析式为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出的解析式，再解方程后可求的值. 【详解】由题设可得，令，故， 故选：B. 4. 在自然界，大气压强（单位：mmHg）和海拔高度（单位：m）的关系可用指数模型来描述，根据统计计算得到，．现已知海拔500 m时的大气压强约为700 mmHg，则当大气压强约为350 mmHg时，海拔高度约为（ ）（参考数据：） A. 3500 m B. 4200 m C. 4700 m D. 5200 m 【答案】C 【解析】 【分析】由，，，可得，若设大气压强约为350 mmHg时，海拔高度为m，则有，从而有，进可求出的值 【详解】解：由题意得，若设大气压强约为350 mmHg时，海拔高度为m，则有， 所以， ， 两边取对数，得， 解得， 故选：C 5. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的性质，由题意，可得内函数的值域，分类讨论，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由题意，令，则为其值域的一个子集， 当时，，令，解得，故当时，； 当时，，该函数为开口向下的二次函数，则必定存在最大值，故不符合题意； 当时，，该函数为开口向上的二次函数，令，则，整理可得，即，解得或，此时符合题意. 综上，可得. 故选：D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数，三角函数单调性，分别计算三个式子的取值范围，比较大小. 【详解】， 因为，所以， ，所以. 故选：D. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求函数的定义域，再判断函数为偶函数，可得，再判断当时，的单调性，即可根据单调性脱掉，解不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为，且 ， ∴为偶函数， 当时，，由和在上单调递增． 所以在上单调递增． 由可得， 即，所以，解得：或 又因为，解得 不等式的解集为： 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是判断函数是偶函数可得 ，又由在上单调递增，即可得 ，两边平方即可求解. 8. 已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由含绝对值的函数和对数函数的单调性，可求得的值域记为A，若存在实数，使，即,结合二次不等式的解法可解得的取值范围 【详解】, 当时，的值域为 当时，的值域为 所以的值域记为 若存在实数，使，即，即, 解得的取值范围为 故答案为：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则为第一象限角 B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是 C. 终边经过点的角的集合是 D. 在一个半径为圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据同号，确定角所在象限； B选项，顺时针转动了30°，故B正确； C选项，根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合； D选项，由扇形面积公式进行求解. 【详解】A选项，若，则为第一象限角或第三象限角，故A错误； B选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动30°，故分针转过的角度是，故B正确； C选项，终边经过点的角的终边在直线上，故角的集合是，C正确； D选项，扇形面积为，故D错误． 故选：BC． 10. 已知，且，若对任意的恒成立，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】ACD 【解析】 【分析】 不等式变形为，转化为，利用基本不等式求的最小值，再求的取值范围. 【详解】，， 即， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即， 解得：或，选项中满足条件的有ACD. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是不等式变形，转化为最值问题，第二个关键是“1”的妙用，求最值. 11. 已知函数，若方程有六个不同的解，，，，，且，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的解析式，作出函数图象，根据图象逐项进行判断即可求解. 【详解】如图为的函数图象： 由图可知当时，的图象与直线存在6个交点，即方程有六个不同的解，故A正确； 由图及函数解析式可知，，且，可得， 所以，故B错误； 由图可知，， 当且仅当，即时等号成立， 令，易知函数在上递减，在上递增，， 故，故C错误； 由解析式可知，即， 所以，其中， 令，在上单调递减， 所以，， 所以，故D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知奇函数的定义域为，当时，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】 由于为奇函数，所以，然后代入解析式中可得结果 【详解】解：因为奇函数的定义域为，当时，， 所以， 故答案为： 13. 已知，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由可知，，再根据，即可求出的值． 【详解】因为，所以，而， 所以． 故答案为：． 14. 用表示､两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是___________. 【答案】2 【解析】 【分析】恒成立，即，利用分段函数单调性，求函数最小值. 【详解】，当时，；当时，；当时，. 由，，∴，图像如图所示， 可得在上单调递减，在上单调递增，所以，则，即，的最大值是2. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】(1) (2)-7 【解析】 【分析】（1）利用指数的运算法则，求出表达式的值即可． （2）利用对数的运算法则求解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式. 【点睛】本题考查有理指数幂的运算法则，对数的运算法则，考查计算能力． 16. 已知是第四象限角． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先由余弦值求出正切值，再结合诱导公式，化弦为切，代入求值即可； （2）变形得到，求出的值. 【小问1详解】 ∵是第四象限角，，所以， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴或． 17. 已知，二次函数的图象经过点，且的解集为. （1）求实数a，b的值； （2）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围. 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】 （1）根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的关系计算可得. （2）由（1）知，得方程等价于方程，令，即的两个零点满足分析可得. 【详解】解：（1）因为的图象经过点，所以， 所以， 的解集为， 所以，且， 且，得， 故， （2）由， 得方程等价于方程， 令，即的两个零点满足， 所以必有， 即，解得， 所以实数k的取值范围是 【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数以及一元二次不等式的关系，二次函数的零点问题，属于中档题. 18. 如图，已知四边形为直角梯形，，，，点从点出发，沿着边运动到点，过点作直线垂直于边，设，则的左侧部分的多边形的面积为，周长为． （1）求和的解析式； （2）记，求的最大值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）过作于点，分、两种情况讨论，利用矩形、梯形以及三角形面积公式可求得的表达式，利用矩形、梯形以及三角形的周长公式可求得的表达式； （2）求得函数的表达式，分别利用函数的单调性以及基本不等式求得函数在、时的最大值，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 解：过作于点， 在直角梯形中，，， 因为，，则，又因为，则四边形为正方形， 所以，，，， 当时，，； 当时，因为，位于直线右侧的直角三角形的两直角边长分别为、，斜边长为， 此时， . 所以，. 【小问2详解】 解：由（1）得 当时，在上单调递增，则 ； 当时，， 令，则，所以， 因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为． 因，所以． 19. 已知函数，. （1）设在上的最小值为，将表示为的函数； （2）若函数存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)令，，问题转化为求函数在上的最小值，对分、、三类讨论，分别求得对应的，综合可得答案； (2)依题意，可得，令，再令，可转化为在上有解，显然，分离参数，利用基本不等式可得答案. 【小问1详解】 依题意，，， 令，则，故问题转化为求函数在上的最小值； 当，即时，在上单调递增，此时； 当，即时，在上单调递减，此时； 当，即时，在上单调递减， 在上单调递增，此时； 综上所述，. 【小问2详解】 依题意， ，令， 可得， 令，则， 故在上有解，显然， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$