专题3.2 导数之函数的单调性讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数单调性核心考点，涵盖求单调区间、已知单调性求参数范围、导数与函数图像关系三大模块，按“定义梳理-方法提炼-应用拓展”逻辑架构知识体系，通过知识点梳理明确原理，典型例题示范解题思路，随堂演练强化应用，助力学生系统构建导数单调性的认知框架与解题方法。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如用列表法分析复杂函数单调区间，分类讨论含参函数单调性，引导学生通过逻辑推理与符号表达解决问题。设置基础到综合的分层练习，配合即时反馈机制，能在有限时间内提升学生解题效率，为教师把控复习节奏、落实核心素养提供实用教学资源。

专题3.2 导数的单调性 3.2.1 求函数的单调区间 知识点梳理 1.函数的单调性与导函数的关系 设函数在某个区间(a，b)内有导数，则： （1）在区间(a，b)上，如果，那么函数在区间(a，b)上单调递增； （2）在区间(a，b)上，如果，那么函数在区间(a，b)上单调递减； （3）在区间(a，b)上，如果，那么函数在区间(a，b)上为常函数. 2.函数的单调性与导函数的关系的几何意义 （1）当时，切线的斜率为正，切线的倾斜角小于90°，切线是“左下右上”的上升式，函数的图像也是上升的； （2）当时，切线的斜率为负，切线的倾斜角大于90°，切线是“左上右下”的下降式，函数的图像也是下降的； （3）若在某个区间内恒有，则函数的图像是与x轴平行的线段. 3.求可导函数的单调区间的方法 （1）解不等式法（求较简单的函数的单调区间） ①求定义域：确定函数的定义域. ②求导：求. ③解不等式：令，可解得函数的单调递增区间；令，可解得函数的单调递减区间. （2）列表法（求较复杂的函数的单调区间） ①求定义域：确定函数的定义域. ②求导：求. ③求零点：令，求定义域范围内的的零点. ④列表：把各零点按由小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个区间，列表判断在各区间上的符号. ⑤确定单调区间：通过符号确定单调区间. 典型例题 例1.已知函数f（x）＝kxcosx﹣sinx，若k＝1，求f（x）在（0，+∞）上的单调性. 解：k＝1时，f（x）＝xcosx﹣sinx，f′（x）＝﹣xsinx， x∈（2kπ，2kπ+π），k∈N，f′（x）＜0，f（x）单调递减； x∈（2kπ+π，2kπ+2π），k∈N，f′（x）＞0，f（x）单调递增． 综上所述，f（x）在x∈（2kπ，2kπ+π），k∈N上单调递减；在x∈（2kπ+π，2kπ+2π），k∈N上单调递增． 例2.已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx+1，求f（x）的单调区间. 解：f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx+1， 则，x＞0， 若a≤0，f′（x）＜0，f（x）的减区间为（0，+∞），无增区间； 若a＞0时，当时，f'（x）＜0， 当时，f'（x）＞0， 所以f（x）的减区间为，增区间为； 例3.已知函数f（x）＝x2﹣alnx，求函数f（x）的单调区间． 解：f（x）＝x2﹣alnx（x＞0），得， 当a≤0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当a＞0时，令f′（x）＝0，得， ∴当时，f′（x）＜0，f（x）为减函数； 当时，f′（x）>0，f（x）为增函数． 随堂演练 1.已知函数，求f（x）的单调区间. 解：对求导，得f′（x）＝3x2﹣3x﹣6， 因式分解f′（x），有f′（x）＝3（x﹣2）（x+1）， 令f′（x）＞0，即3（x﹣2）（x+1）＞0， 因为3＞0，所以（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2或x＜﹣1， 则f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递增， 令f′（x）＜0，即3（x﹣2）（x+1）＜0， 因为3＞0，所以（x﹣2）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜2， 则f（x）在（﹣1，2）上单调递减． 所以单调递增区间是（﹣∞，﹣1）和（2，+∞），单调递减区间是（﹣1，2）； 2.已知，判断函数f（x）的单调性； 解：函数f（x）的定义域为（a，+∞）， f′（x）＝x﹣1， 当a＝0时，f（x）x2﹣x，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 当a＞0时，f（x）在（a，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增， 当﹣1＜a＜0时，f（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a，0）和（a+1，+∞）上单调递增， 当a＝﹣1时，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增， 当a＜﹣1时，f（x）在（a+1，0）上单调递减，在（a，a+1）和（0，+∞）上单调递增． 3.已知函数，讨论函数f（x）的单调性. 解：（1）由， ①若a≥0，则f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递增； ②若 a＜0，令f'（x）＞0，则 ， 令f'（x）＜0，则， ∴f（x）在上单调递增，在上单调递减． 4.已知函数f（x）＝a（ex+a）﹣x，讨论f（x）的单调性. 解：（1）f（x）＝a（ex+a）﹣x， 则f'（x）＝aex﹣1， ①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在R上单调递减， ②当a＞0时，令f'（x）＝0得，x， 当x∈（﹣∞，ln）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减，在（ln，+∞）上单调递增． 5.已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx，讨论f（x）的单调性. 解：函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx，（a∈R）； ∴f′（x）＝2ax+（a﹣2）（x＞0）， 当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）内单调递减； 当a＞0时，则f（x）在（0，）内单调递减，在（，+∞）内单调递增. 6.已知函数f（x）＝alnx﹣（a+1）xx2，讨论f（x）的单调性. 解：因为，可得其定义域为x∈（0，+∞）， 所以， 当a≤0时，令f'（x）＞0，解得x＞1；令f'（x）＜0，解得0＜x＜1， 所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； 当0＜a＜1时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜a或x＞1； 令f′（x）＜0，解得a＜x＜1， 所以f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； 当a＝1时，f'（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当a＞1时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或x＞a；令f'（x）＜0，解得1＜x＜a， 所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增， 综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； 当0＜a＜1时，f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； 当a＝1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当a＞1时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增； 7.已知函数，讨论f（x）的单调性. 解：（1）由于， 故f'（x）＝2ae2x﹣（ax+2）ex+x＝（aex﹣1）（2ex﹣x）， ∵ex≥x+1，∴2ex﹣x≥ex+1＞0． ①当a≤0时，aex﹣1＜0，从而f'（x）＜0恒成立，f（x）在R上单调递减； ②当a＞0时，令：f'（x）＝0，从而aex﹣1＝0，得x＝﹣lna． x （﹣∞，﹣lna） ﹣lna （﹣lna，+∞） f'（x） 一 0 + f（x） 单调递减 极小值 单调递增 综上，当a≤0时，f（x）在R上单调递减； 当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递减，在（﹣lna，+∞）上单调递增. 8.已知函数，a∈R，若0≤a≤2，试判断函数f（x）的单调性. 解：根据题意，x＞0，且函数f（x）＝x2﹣axlnx﹣1，所以导函数f′（x）＝2x﹣a（lnx+1）． ①当a＝0时，导函数f′（x）＝2x＞0，因此函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增； ②当0＜a≤2时，令函数g（x）＝f′（x），那么导函数，易知导函数g′（x）单调递增， 根据g'（x）＝0，得， 所以时，函数g（x）单调递增，时，函数g（x）单调递减， 所以函数，即f′（x）≥0， 所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增． 3.2.2 已知单调性求参数的取值范围 知识点梳理 在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件，有如下结论： 单调递增；单调递增. 单调递减；单调递减. 典型例题 例1.已知函数是增函数，则a不可以取的一个值是（　　） A． B． C． D． 解：函数，定义域（0，+∞），是增函数， 所以恒成立， 当lna＜0时，即0＜a＜1，f′（x）≥0， 当lna＞0，由恒成立， 所以，即，即，解得， 所以a的取值范围是，所以a不可以取的一个值是．故选：B． 例2.若函数f（x）＝x3+2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）内单调递增，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m D．m 解：∵函数f（x）＝x3+2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）内单调递增， ∴f′（x）＝3x2+4x+m≥0恒成立，即Δ＝16﹣4×3m≤0， 解得m；∴m的取值范围是m．故选：A． 例3.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 解：因为函数 在区间 上单调递增, 所以. 在区间 上恒成立, 即 在区间 上恒成立, 令 , 则.所以 在 上单调递增, 又 , 所以 . 所以 的取值范围是 .故答案选：B. 随堂演练 1.若函数在区间上单调递增, 则的可能取值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解：因为在区间上单调递增, 所以在上恒成立, 所以在上恒成立, 即 在上恒成立, 又在上递增, 则, 故A正确.故选: A. 2.已知函数在[0，+∞）单调递减，则a的取值范围为　 　． 解：函数， 求导得， 依题意，，x∈[0，+∞）， 而当x＝0时，， 当x＞0时，，且x→+∞时，， 所以a的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）． 3.已知函数f（x）＝（x﹣a）lnx﹣x，a∈R，若函数f（x）在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围　 　． 解：函数f（x）＝（x﹣a）lnx﹣x的定义域为， 若函数f（x）在定义域上单调递增，则f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即a≤xlnx， 令g（x）＝xlnx，则g′（x）＝1+lnx， 当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减； 当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， ∴，故， 即a的取值范围是（﹣∞，]． 4.已知函数(为常数) .若在区间上是增函数，则的取值范围是　 　． 解：， 当时, 单调递增，当 时, 单调递减， 又在 上是增函数，所以.故答案为: . 5.若函数在上单调递增，则的取值范围是　 　． 解：函数 的导数为，， 由题意可得恒成立,即为, 即有,设, 即有 , 当时, 不等式显然成立；当时, , 由 在递增, 可得 时, 取得最大值, 可得, 即；当 时, ， 由 在 递增, 可 时, 取得最小值 , 可得, 即,综上可得的范围是.故答案为: . 6.设，若函数在上单调递增，则的取值范围是　 　． 解：∵函数在 上单调递增， ∴在上恒成立， 即 化简可得 在上恒成立， 而在上， 故有 由 化简可得， 即，解得：，故的取值范围是.故答案为: . 7.已知函数的减区间为, 则 . 解：已知, 函数定义域为, 可得, 因为函数的减区间为，所以的两根分别为和， 由韦达定理得，解得.故答案为: . 8.若函数在区间内是减函数, 则实数的取值范围是 . 解：因为. 而 时, 函数单调递减, 所以在 恒成立, 即恒成立. 因为, 所以, 即在 恒成立. 因为在上单调递增, 则, 所以.故选A. 3.2.3 导数图像与函数图像 知识点梳理 函数的单调性与导函数的关系的几何意义 （1）当时，切线的斜率为正，切线的倾斜角小于90°，切线是“左下右上”的上升式，函数的图像也是上升的； （2）当时，切线的斜率为负，切线的倾斜角大于90°，切线是“左上右下”的下降式，函数的图像也是下降的； （3）若在某个区间内恒有，则函数的图像是与x轴平行的线段. 典型例题 例1.函数y＝f(x)的导数的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是（ ） 解：由导函数图像可知，在（-∞，0）上先正后负，所以原图像先增后减； 导函数在（0，+∞）上先负后正再负，所以原图像先减后增再减， 所以原函数图像为先增后减再增再减．故选：C． 例2.已知函数的图像如图所示, 则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 解：结合导数与单调性的关系及已知函数图象可知, 当 和 时, 函数单调递增,, 当 , 函数单调递减, , 由 可得, 或 , 解可得, 或 . 故选: A. 随堂演练 1.已知的图像的顶点在第四象限, 则函数的图像可能是（ ） A．B．C．D． 解：由题意可知：b<0，又因为. 故选：C. 2.函数的定义域为, 导函数在内的图像如图所示,则函数在内极小值点的个数是( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解：函数左减右增，有极小值，故有图像可知，函数在内极小值点的个数只有一个. 故选：A. 3.已知函数的图像如图所示(其中是函数的导函数),则下面四个图像中,的图像大致是 ( ) A． B． C． D． 解：由题给函数 的图像，可得当 时，. 则 ，则 单调递增；当 时，，则 ，则 单调递减；当 时，，则 ，则 单调递减；当 时，，则 ，则 单调递增.则 单调递增区间为 ；单调递减区间为 . 故选：C. 4.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是（    ） A． B． C． D． 解: 由 的图像知, 在 上单调递减, 说明函数 的切线的斜率在 上也单调递减, 故可排除 A, C. 又由图像知 与 的图像在 处相交, 说明 与 的图像在 处的切线的斜率相同, 故可排除 B. 故选 D. 5.函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是（    ） A． B． C． D． 解：观察导函数 的图像可知， 的函数值从左到右依次小于 0、大于 0、小于 0、大于 0，所以对应函数 的增减性从左到右依次为减、增、减、增. 观察选项可知，排除 A, C. 有 3 个零点，从左到右依次设为 ，且 是极小值点， 是极大值点，且 ，故选项 D 正确. 故选 D. 6.已知函数f（x）的导函数为，函数g（x）＝（x﹣1）的图像如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）的极大值为f（﹣2），极小值为f（2） B．f（x）在（﹣2，1），（2，+∞）上单调递增 C．f（x）的极小值为f（﹣2），极大值为f（2） D．f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，2）上单调递减 解：当x∈（﹣∞，﹣2）时，x﹣1＜0，由图象可得g（x）＝（x﹣1）f'（x）＜0， 则f′（x）＞0，f（x）为增函数，D选项错误； 当x∈（﹣2，1）时，x﹣1＜0，由图象可得g（x）＝（x﹣1）f'（x）＞0 则f′（x）＜0，f（x）为减函数，B选项错误； 当x∈（1，2）时，x﹣1＞0由图象可得g（x）＝（x﹣1）f'（x）＜0， 则f′（x）＜0，f（x）为减函数； 当x∈（2，+∞）时，x﹣1＞0， 由图象可得g（x）＝（x﹣1）f'（x）＞0 则f′（x）＞0，f（x）为增函数， 所以f（x）的极大值为f（﹣2），极小值为f（2），选项A正确，C选项错误． 故选：A． 7.如果函数y=f(x)的图象如下图，那么导函数的图象可能是（  ） A． B． C． D． 解：由 的图像先后经历 ，可知 的图像必同步经历正、负、正、负。 故选A. 8.设函数f(x)在R上可导，其导函数为，且函数f(x)在x=-2处取得极大值，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 解：因为为极大值点, 所以在的左侧 附近, 的右侧附近, 所以当且在的右侧附近时, , 排除 B, C; 当 且在的左侧附近时, , 排除A, 故选D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 导数的单调性 3.2.1 求函数的单调区间 知识点梳理 1.函数的单调性与导函数的关系 设函数在某个区间(a，b)内有导数，则： （1）在区间(a，b)上，如果，那么函数在区间(a，b)上单调递增； （2）在区间(a，b)上，如果，那么函数在区间(a，b)上单调递减； （3）在区间(a，b)上，如果，那么函数在区间(a，b)上为常函数. 2.函数的单调性与导函数的关系的几何意义 （1）当时，切线的斜率为正，切线的倾斜角小于90°，切线是“左下右上”的上升式，函数的图像也是上升的； （2）当时，切线的斜率为负，切线的倾斜角大于90°，切线是“左上右下”的下降式，函数的图像也是下降的； （3）若在某个区间内恒有，则函数的图像是与x轴平行的线段. 3.求可导函数的单调区间的方法 （1）解不等式法（求较简单的函数的单调区间） ①求定义域：确定函数的定义域. ②求导：求. ③解不等式：令，可解得函数的单调递增区间；令，可解得函数的单调递减区间. （2）列表法（求较复杂的函数的单调区间） ①求定义域：确定函数的定义域. ②求导：求. ③求零点：令，求定义域范围内的的零点. ④列表：把各零点按由小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个区间，列表判断在各区间上的符号. ⑤确定单调区间：通过符号确定单调区间. 典型例题 例1.已知函数f（x）＝kxcosx﹣sinx，若k＝1，求f（x）在（0，+∞）上的单调性. 例2.已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx+1，求f（x）的单调区间. 例3.已知函数f（x）＝x2﹣alnx，求函数f（x）的单调区间． 随堂演练 1.已知函数，求f（x）的单调区间. 2.已知，判断函数f（x）的单调性； 3.已知函数，讨论函数f（x）的单调性. 4.已知函数f（x）＝a（ex+a）﹣x，讨论f（x）的单调性. 5.已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx，讨论f（x）的单调性. 6.已知函数f（x）＝alnx﹣（a+1）xx2，讨论f（x）的单调性. 7.已知函数，讨论f（x）的单调性. 8.已知函数，a∈R，若0≤a≤2，试判断函数f（x）的单调性. 3.2.2 已知单调性求参数的取值范围 知识点梳理 在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件，有如下结论： 单调递增；单调递增. 单调递减；单调递减. 典型例题 例1.已知函数是增函数，则a不可以取的一个值是（　　） A． B． C． D． 例2.若函数f（x）＝x3+2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）内单调递增，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m D．m 例3.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 随堂演练 1.若函数在区间上单调递增, 则的可能取值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2.已知函数在[0，+∞）单调递减，则a的取值范围为　 　． 3.已知函数f（x）＝（x﹣a）lnx﹣x，a∈R，若函数f（x）在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围　 　． 4.已知函数(为常数) .若在区间上是增函数，则的取值范围是　 　． 5.若函数在上单调递增，则的取值范围是　 　． 6.设，若函数在上单调递增，则的取值范围是　 　． 7.已知函数的减区间为, 则 . 8.若函数在区间内是减函数, 则实数的取值范围是 . 3.2.3 导数图像与函数图像 知识点梳理 函数的单调性与导函数的关系的几何意义 （1）当时，切线的斜率为正，切线的倾斜角小于90°，切线是“左下右上”的上升式，函数的图像也是上升的； （2）当时，切线的斜率为负，切线的倾斜角大于90°，切线是“左上右下”的下降式，函数的图像也是下降的； （3）若在某个区间内恒有，则函数的图像是与x轴平行的线段. 典型例题 例1.函数y＝f(x)的导数的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是（ ） 例2.已知函数的图像如图所示, 则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 随堂演练 1.已知的图像的顶点在第四象限, 则函数的图像可能是（ ） A．B．C．D． 2.函数的定义域为, 导函数在内的图像如图所示,则函数在内极小值点的个数是 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 3.已知函数的图像如图所示(其中是函数的导函数),则下面四个图像中,的图像大致是 ( ) A． B． C． D． 4.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5.函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6.已知函数f（x）的导函数为，函数g（x）＝（x﹣1）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）的极大值为f（﹣2），极小值为f（2） B．f（x）在（﹣2，1），（2，+∞）上单调递增 C．f（x）的极小值为f（﹣2），极大值为f（2） D．f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，2）上单调递减 7.如果函数y=f(x)的图象如下图，那么导函数的图象可能是（  ） A． B． C． D． 8.设函数f(x)在R上可导，其导函数为，且函数f(x)在x=-2处取得极大值，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $