专题3.2 导数与函数的单调性辅导讲义-2026届高三数学一轮复习

专题3.2 导数与函数的单调性 高中数学辅导资料 专题3.2 导数与函数的单调性 一、核心知识： 1. 利用导数研究函数的单调性 （1）导数与函数的单调性的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减． 在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； 可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2.含参函数单调性讨论依据 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 3.已知函数的单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 4.构造函数法解决函数问题中的常见类型 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造 二、考点聚焦： 考点一：单调区间的判断与求解 经典例题： 1．（2024·北京大兴·三模）下列函数中，是偶函数，且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ）    A． B． C． D． 4．在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2020·四川内江·三模）函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·陕西咸阳·三模）已知函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 变式训练： 1．（2023·吉林长春·模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京丰台·二模）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·北京昌平·期末）下列函数中，在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 5．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 6．函数的单调递减区间是 ． 7．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数的一个零点为3，则的单调减区间是 ． 8．函数的图象如图所示，则的图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   9．（2020·湖南长沙·模拟预测）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·天津和平·一模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 考点二：构造函数比较大小 经典例题： 1．（2020·全国·三模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东潍坊·模拟预测）函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广西·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·广西·一模）已知、、，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·广西梧州·一模）已知，，，其中，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（2022·广西·模拟预测）已知是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数，都有.记，则（    ） A． B． C． D． 7．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数，且 ，则（    ） A． B． C． D． 变式训练： 1．（2021·广西玉林·模拟预测），则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 2．（2022年新高考全国I卷）设，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川成都·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则有（    ） A． B． C． D． 6．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c（    ） A． B． C． D． 7．（2022·陕西西安·一模）已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东济南·二模）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 9．（2023·四川·模拟预测）已知函数为上的奇函数，且在上单调递减，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2022·江苏南通·模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点三：利用函数单调性解不等式 经典例题： 1．（24-25高三上·湖北武汉·期中）设函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2022·四川绵阳·二模）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式训练： 1．定义在(－1,1)上的函数f(x)＝-3x＋sinx，如果f(1－a)＋f(1－a2)>0，则实数的取值范围为 ． 2．（2022·吉林·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 . 3．（21-22高三上·山东济宁·期末）已知定义域为R的函数，满足，则实数a的取值范围是 ． 4．（24-25高三下·云南·期中）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中e是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·福建福州·期中）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山东临沂·期中）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山西吕梁·一模）设函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·福建南平·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式解集为（    ） A． B． C． D． 11．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，对任意的，都有，当时，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点四：由函数的单调性求参数范围 经典例题： 1．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·四川内江·模拟预测）若对任意的、，且，，则的最小值是 ． 5．（24-25高三上·江西抚州·阶段）函数在R上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练： 1．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南大理·模拟预测）若函数在为增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·山东济宁·一模）已知函数，则使得成立的x的取值范围是 . 4．（2024·江西上饶·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ． 5．已知函数在区间上是严格减函数，则的取值范围是 ． 6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）设函数，若在上是减函数，则a的取值范围为 ． 7．（2021·江西·模拟预测）已知函数，且当时，，则实数的取值范围为 . 8．（2023·陕西榆林·模拟预测）若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·湖北·一模）已知函数是减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（2020·全国·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、达标检测： 《导数与函数的单调性》小题检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①-2是函数的极值点；②1是函数的极值点；③的图象在处切线的斜率小于零；④函数在区间上单调递增.则正确命题的序号是( ) A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 3．（2017·江西南昌·三模）函数的图象的大致形状是 A． B． C． D． 4．（2021·全国·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·四川凉山·二模）已知，则a，b，c大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（2023·广西·一模）已知、、，，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的偶函数，对，都有，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（    ） A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数 C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点 10．（2023·安徽阜阳·三模）已知函数，为的导函数，则（    ） A．的最小值为2 B．在单调递增 C．直线与曲线相切 D．直线与曲线相切 11．已知函数，以下四个命题中真命题是（    ） A．，有 B．，且，有 C．，，有 D．， 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数的一个零点为3，则的单调减区间是 ． 13．（2023·辽宁鞍山·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 14．（20-21高三上·河南·期末）已知函数的定义域为R，导函数为，若，且，则满足的x的取值范围为 . 答题卡 班级： 姓名： 总分： 题号: 1 2 3 4 5 6 7 8 答案: 题号: 9 10 11 题号: 12 13 14 答案: 答案: 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$专题3.2 导数与函数的单调性 高中数学辅导资料 专题3.2 导数与函数的单调性 一、核心知识： 1. 利用导数研究函数的单调性 （1）导数与函数的单调性的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减． 在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； 可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2.含参函数单调性讨论依据 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 3.已知函数的单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 4.构造函数法解决函数问题中的常见类型 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造 二、考点聚焦： 考点一：单调区间的判断与求解 经典例题： 1．（2024·北京大兴·三模）下列函数中，是偶函数，且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，函数是奇函数，A错误；对于B，函数，所以函数为偶函数，，令，得，当时，在上单调递减，B正确；对于C，函数为偶函数，在上单调性有增也有减，C错误；对于D，函数，所以函数为偶函数，，，，函数在上一定不是减函数，D错误； 故选：B. 2．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为，，令，解得， 故的单调递减区间为，故选：B 3．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的图象可知，在上为单调递减函数，故时，，故排除A，C；当时，函数的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，故选：D. 4．在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意的解集为，，的解集为，或，所以或．故选：A． 5．（2020·四川内江·三模）函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，当时，，当时，，所以函数在 上单调递增，在上单调递减.故选：C 6．（2023·陕西咸阳·三模）已知函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图象可知，函数f（x）的定义域为R. A：，函数的定义域为，所以A不符题意； B：，函数的定义域为，所以B不符题意； C：当时，，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以是函数的极大值，结合图形，不是极大值，故C不符题意； D：当时，，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，结合图形，D符合题意； 故选：D． 变式训练： 1．（2023·吉林长春·模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项：当时，的导函数为，所以在时单调递减，故A选项不符合题意；对于B选项：当时，的导函数为，所以在时单调递减，故B选项不符合题意；对于C选项：当时，的导函数为，所以在时单调递减，故C选项不符合题意；对于D选项：当时，的导函数为，所以在时单调递增，又函数的定义域为，且，故D选项符合题意.故选：D. 2．（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，因为，在上单调递增，故A正确；对于B，， 当时，，所以在上单调递减，故B错误；对于C，的定义域为，，所以为偶函数，因为，所以由幂函数的性质知在上单调递增，由偶函数的性质可得：在上单调递减，故C错误；对于D，当时，,由的单调性知，在不具备严格的单调性，所以在上不具备严格的单调性，故D错误.故选：A. 3．（2024·北京丰台·二模）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以是偶函数，当时，，是反比例函数，在上单调递减，故A错误；对于B，因为，所以是偶函数，当时，，，，在上单调递增，故B正确；对于C，因为，所以是奇函数，当时，不单调，故C错误；对于D，因为，所以是奇函数，当时，不是单调递增函数，故D错误；故选：B. 4．（23-24高三上·北京昌平·期末）下列函数中，在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，在上单调递增，不合要求，错误；B选项，在上单调递增，在上单调递减，故B错误；C选项，在上恒成立，故在上单调递增，C错误；D选项，令得，，在上单调递增，而在上单调递减，由复合函数单调性可知，在上单调递减，D正确.故选：D 5．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由求导得，，则当时，，即函数在上单调递增；当时，，即函数在上单调递减，故函数的单调递增区间为.故选：D. 6．函数的单调递减区间是 ． 【答案】， 【详解】由，且，则，令，即，解得或. 所以函数的单调递减区间是，.故答案为：，. 7．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数的一个零点为3，则的单调减区间是 ． 【答案】 【详解】已知函数的一个零点为3，所以将代入函数得，即，解得．所以，所以，令，即，解得， 所以的单调减区间是.故答案为：. 8．函数的图象如图所示，则的图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】当时，曲线的切线斜率大于0且越来越大，当时，曲线的切线斜率小于0且越来越大. 故选：D 9．（2020·湖南长沙·模拟预测）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知：函数的定义域为，，令，得到.故函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.可排除，令，，可知不符合，符合.故选：D. 10．（2024·天津和平·一模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】定义域为，，为定义在上的奇函数，图象关于坐标原点对称，C错误；当时，，，在上单调递增，AD错误，B正确.故选：B. 考点二：构造函数比较大小 经典例题： 1．（2020·全国·三模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为,设，,所以单调递增,当时,,所以在上单调递增,又,即为偶函数, 且,故,故选:A 2．（2023·山东潍坊·模拟预测）函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，因为，所以，因为， 所以，因此有，，所以函数是实数集上的增函数， 因为，所以，故选：A 2．（2023·广西·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，，设，则，当时，，函数单调递增，故，即.故选A 3．（2023·广西·一模）已知、、，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为、、，由可得，由可得，由可得，构造函数，其中，则，当时，；当时，.所以，函数的增区间为，减区间为，因为，所以，，即，即，因为、、，则、、，所以，，因此，.故选：A. 4．（2023·广西梧州·一模）已知，，，其中，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，设，，因为，所以，即在上单调递增，所以，即，，所以，而，所以．设，则，当，，当，，所以，即（当且仅当）等号成立，所以，，综上，，所以．故选：A 6．（2022·广西·模拟预测）已知是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数，都有.记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对任意两个不相等的正数，，则有函数在上单调递减，令，，即在上单调递减，于是得，即有，从而有，因此，，则有，所以.故选：A 7．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 是增函数，又 ， ，即 是的中心对称点， ，条件 ，即 ，并且， ； 对于A，若 ，则 ，A错误； 对于B，因为函数 是增函数， ，B正确；对于C，若 ，则 ，C错误； 对于D，若 ，则有 ，错误；故选：B. 变式训练： 1．（2021·广西玉林·模拟预测），则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则，，，而且，即时单调增，时单调减，又，∴，.若有两个解，则，，即，，令，则，即在上递增，∴，即在上，，若即，故，有.∴当时，，故，综上：.故选：A 2．（2022年新高考全国I卷）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以.故选：C. 3．（2023·四川成都·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，；，，设，则，在上单调递减，，即，；综上所述：.故选：A. 4．（2024·陕西·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先变形，令，下面比较当时，与的大小. ①令，则，令，得， 当时，单调递增，所以，所以，即， 所以. ②，所以，，所以， 则，所以.综上，，故选：D. 5．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】把a，b，c变形得，，，所以构造函数，则.，令，则在上恒成立，所以在区间上单调递增，因为， 所以在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以，即.故选：C. 6．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，求导得，当时，，则在上单调递减，则，即，而，于是，所以.故选：D 7．（2022·陕西西安·一模）已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】．令，则，．当时，，则在上单调递增，所以，即．因为，所以．故．故选：D 8．（2025·山东济南·二模）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，构造函数，，则，当时，；当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减，由于，，且，则，即，又，所以.故选：A. 9．（2023·四川·模拟预测）已知函数为上的奇函数，且在上单调递减，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，，令，则，当时，，此时在上单调递减，又，所以，即，又为奇函数且在上单调递减，所以在上单调递减， 所以，即.故选：C. 10．（2022·江苏南通·模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 令,令，故在单调递增；令，故在单调递减；由于，故即；由于，故即；又，又 故.故选：A 考点三：利用函数单调性解不等式 经典例题： 1．（24-25高三上·湖北武汉·期中）设函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，定义域为R，， 故为奇函数，即，，故在R上单调递增，，故，即，所以，，解得或.故选：B 2．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，，当时，，得，在上单调递减，当时，，得，在上单调递增，又，故为上的偶函数， 故等价于，即，两边平方解得或.故选：B. 3．（2022·四川绵阳·二模）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以的图像关于直线对称，所以， 设，则 ，因为，所以,所以在上为减函数，又 ，因为，所以 ，所以.故选：. 4．（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故，故， 因为是定义在上的奇函数，故，故，故，故，此时，故为上的减函数，而等价于，即即，故或 故选：A . 变式训练： 1．定义在(－1,1)上的函数f(x)＝-3x＋sinx，如果f(1－a)＋f(1－a2)>0，则实数的取值范围为 ． 【答案】（1，） 【详解】：由题意得：函数为奇函数，且，所以为减函数，因此不等式等价为，解得 2．（2022·吉林·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由题设且定义域为，故为奇函数， 又，在定义域上递增，∴， 可得，∴，解得， ∴原不等式解集为.故答案为：. 3．（21-22高三上·山东济宁·期末）已知定义域为R的函数，满足，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由函数定义域为R，且， 可知函数为奇函数.，令则，令，则即在定义域R上单调递增，又，由此可知，当时，即，函数即为减函数； 当时，即，函数即为增函数，故函数在R上的最小值为，可知函数在定义域为R上为增函数.根据以上两个性质，不等式，可化为，不等式等价于即，解之得或，故答案为 4．（24-25高三下·云南·期中）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以为偶函数．由于，当时，，则，所以在上单调递增；当时，，则，所以在上单调递减；由于，即，所以，即，解不等式得，所以不等式的解集为.故选：． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中e是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数，则， 则函数在上为奇函数．，函数在上单调递增．，，，解得．则实数的取值范围是.故选：D． 6．（24-25高三上·福建福州·期中）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记，则，所求解不等式为， ，是奇函数，在上是增函数，由得，，化简得，所以的取值范围是，故选：B. 7．（24-25高三上·山东临沂·期中）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数定义域为R，求导得，时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，又，且，，由不等式，得或，所以不等式的解集是.故选：B 8．（2025·山西吕梁·一模）设函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令函数，其定义域为R，，函数是奇函数， 求导得，当且仅当时取等号，因此函数在R上单调递增， 不等式， 则，解得，所以所求取值范围是.故选：A 9．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 的定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数，，所以在上单调递减， 由得， 即，， 因为在上单调递减，所以，解得，故选：C. 10．（24-25高三上·福建南平·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式等价于，可得，即可得；令函数，可得，又可得恒成立，因此在上单调递减，又，所以等价于，即；解得，所以不等式解集为.故选：C 11．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，对任意的，都有，当时，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，可得， 即，所以为上的奇函数，因为时，，得，所以在为单调递减函数，且，所以函数在上为单调递减函数，由不等式，可得，整理得到，即，可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：B. 考点四：由函数的单调性求参数范围 经典例题： 1．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得在上恒成立，则，因为，则.故选：C. 2．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，因为在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为二次函数的图象的对称轴为，且开口向上，所以的最小值为1，所以.故选：B. 3．已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， ，对，且，恒有，即，在上单调递增，故恒成立，即，设，，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减；故，即，即.故选：A 4．（2022·四川内江·模拟预测）若对任意的、，且，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】对任意的、，且，，易知，则，所以，，即，令，则函数在上为减函数，因为，由，可得，所以函数的单调递减区间为，所以，，所以，，因此，实数的最小值为.故答案为. 5．（24-25高三上·江西抚州·阶段）函数在R上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，函数在上单调递增，当时，，依题需使恒成立，则；当时，由在上递增，需使在上恒成立，则，即；又由在上递增，可得，解得.综上可得，的取值范围是.故选：C. 6．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得：.因为函数在区间内存在单调递增区间，所以在上有解，即在上有解.设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以.所以.故选：D 变式训练： 1．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵函数在上单调递增，∴，即，故，而，则实数，故选：C. 2．（2024·云南大理·模拟预测）若函数在为增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由题意对恒成立，其中，令， 则需，其中，故，当时，，故在上递增，∴成立.当时，取，易知在上单调递增，若，则，所以在上递减，故，与题意不符，舍去；若时，，，所以存在，使得， 当时，，所以在上递减，故，与题意不符，舍去；综上得.故选：A. 3．（2022·山东济宁·一模）已知函数，则使得成立的x的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，将其向右平移1个单位长度，得，所以是函数向右平移1个单位得到的.而易知是偶函数，当时，，，时，显然，当，，，所以，所以在上单调递增，在上单调递减.从而可知在上单调递增，在上单调递减.所以时，有，解得.故答案为： 4．（2024·江西上饶·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即时，恒成立，因为，当且仅当时等号成立，即，所以， 故答案为：. 5．已知函数在区间上是严格减函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为函数在区间上是严格减函数，所以在上恒成立，且不恒为0，所以在恒成立，设，，则， 令，解得或（舍去），因为时，，时，， 所以在单调递减，在单调递增，又因为，，所以当时，，所以，故答案为：． 6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）设函数，若在上是减函数，则a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由，因为在上是减函数，所以在上恒成立，即，设，当时，，当时，，因为，所以， 因此当时，，当时，，因为，所以，因此当时，，因此有，于是有，故答案为： 7．（2021·江西·模拟预测）已知函数，且当时，，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】依题意，，令，则函数在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立，令，则在上显然恒成立，所以在上单调递增，则；因此只需，解得，即实数的取值范围为.故答案为：. 8．（2023·陕西榆林·模拟预测）若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为，，因为函数在其定义域内单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以.故选：B 9．（2024·湖北·一模）已知函数是减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得，因为函数是减函数，所以对恒成立，即对恒成立，所以对恒成立，所以，又，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以的取值范围为.故选：D. 10．（2020·全国·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知函数在定义域内单调递增，∴，得；函数在定义域内单调递增，则在上恒成立， ∴当时，恒成立，而当时，，∴，即．又因为，解得．综上，实数的取值范围是．故选：C 三、达标检测： 《导数与函数的单调性》小题检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误.对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误.对于C，，满足在上单调递增，故C正确.对于D，在上单调递减，在上单调递增，不满足在上单调递增，故D错误. 故选：C. 2．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①-2是函数的极值点；②1是函数的极值点；③的图象在处切线的斜率小于零；④函数在区间上单调递增.则正确命题的序号是( ) A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【详解】根据导函数图像可知，-2是导函数得零点且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号不一致，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，所以选D 3．（2017·江西南昌·三模）函数的图象的大致形状是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令x=0可得，则排除C、D；,当时，， 当时，，故排除B，本题选择A选项. 4．（2021·全国·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，，在上递增，， 所以.所以的取值范围是.故选：B 5．（2023·四川凉山·二模）已知，则a，b，c大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，，则，即当时，，∴在上单调递增，∴，∴，∴，即； 令，，∴，∴在上单调递增，∴，∴，∴，即，综上可知：. 故选：D 6．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】故为奇函数，， 故函数单调递增，故故解集为.故选：B. 7．（2023·广西·一模）已知、、，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为、、，由可得，由可得， 由可得，构造函数，其中，则，当时，；当时，.所以，函数的增区间为，减区间为，因为，所以，，即，即，因为、、，则、、，所以，，因此，.故选：A. 8．（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的偶函数，对，都有，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知对，都有，即当，，所以函数在上单调递减，又函数为偶函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因为，所以只需比较，，三者的大小关系， 又，，，且，所以，所以，即，故选：D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（    ） A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数 C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点 【答案】AC 【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间上，有极大值为，C选项正确.在区间上，是的极小值点，D选项错误.故选：AC 10．（2023·安徽阜阳·三模）已知函数，为的导函数，则（    ） A．的最小值为2 B．在单调递增 C．直线与曲线相切 D．直线与曲线相切 【答案】ABD 【详解】对于A，，当且仅当即时，等号成立，故A正确；对于B，，令，，故在单调递增，即在单调递增，故B正确；对于C，设，，在R上单调递增，，，又，所以，所以存在，使得，即，当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，，，所以，使得，所以方程有两个实数根和，所以与函数有两个交点，又， ，，所以函数在与交点处的切线斜率都不为.故C错误. 对于D，设切点为，由，，故，所以，解得，则切点为，曲线的切线方程为，故D正确；故选：ABD. 11．已知函数，以下四个命题中真命题是（    ） A．，有 B．，且，有 C．，，有 D．， 【答案】ABCD 【详解】，且其定义域为，，，有，故A是真命题；，由，可知在区间上单调递增，即，且，有，故B是真命题；在单调递增，，，有，故C是真命题；设，则当时，，所以在单调递增，所以当时，，即；由奇函数性质可知，，，故D是真命题．故选：ABCD． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数的一个零点为3，则的单调减区间是 ． 【答案】 【详解】已知函数的一个零点为3，所以将代入函数得，即，解得．所以，所以，令，即，解得， 所以的单调减区间是.故答案为：. 13．（2023·辽宁鞍山·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由函数，可得，因为函数在上单调递减，则在上恒成立，即在恒成立，因为，所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 14．（20-21高三上·河南·期末）已知函数的定义域为R，导函数为，若，且，则满足的x的取值范围为 . 【答案】 【详解】依题意，，令，则，故函数为奇函数，故函数在上单调递减，则，即，故，则x的取值范围为.故答案为： 答题卡 班级： 姓名： 总分： 题号: 1 2 3 4 5 6 7 8 答案: 题号: 9 10 11 题号: 12 13 14 答案: 答案: 8 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$