3.2　导数与函数的单调性（1大考点+8大题型）（讲义+精练）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

3.2　导数与函数的单调性 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、导数研究单调性 3 常用二级结论 3 03 探究核心题型 5 题型一：不含参函数的单调性 5 题型二：含参数的函数的单调性—— 一次型 5 题型三：含参数的函数的单调性—— 含指对一次型 6 题型四：含参数的函数的单调性—— 可因式分解二次型 8 题型五：含参数的函数的单调性—— 不可因式分解二次型 9 题型六：含参数的函数的单调性——含指对二次型 10 题型七：利用单调性比较大小或解不等式 12 题型八：根据函数单调性求参数 12 04 好题赏析（一题多解） 15 05 数学思想方法 16 ①数形结合 16 ②转化与化归 16 ③分类讨论 16 06 课时精练（真题、模拟题） 18 基础过关篇 18 能力拓展篇 19 1、结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 3、会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用. 一、导数研究单调性 1、函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间内，①如果，那么函数在这个区间内单调递增 ②如果，那么函数在这个区间内单调递减 ③如果，那么函数在这个区间内为常数函数 2、求单调区间的方法： ①通过解不等式或(等号可要可不要)； ②求，并可适当整理，尽量将整理成，，…，之积商的形式，借助数轴分段确定单调性，或直接观察解析式得出单调性． 注意：⑴写单调区间时，正确表示方法是：多个单调区间之间用逗号隔开，绝对不能用符号“”． ⑵若在某个区间上单调递增，则；若在某个区间上单调递减，则； ⑶设，，且，那么 ①在是增函数恒成立 ②在是减函数恒成立 常用二级结论 1、含参数单调性讨论 第一步：求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间) 第二步：变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分) 第三步：恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负) 第四步：然后再求有效根 第五步：根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系) 第六步：导数图像定区间 2、函数在区间内单调递增(或递减)，可得(或)在该区间恒成立，而不是(或)恒成立，“＝”不能少.必要时还需对“＝”进行检验. 3、若函数在内存在单调递增区间，则当时，有解；若函数f(x)在(a,b)内存在单调递减区间，则当时，有解. 题型一：不含参函数的单调性 【典例1-1】（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】已知函数.证明：在定义域内单调递增. 【解题总结】 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开. 【变式1-1】函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．， D． 【变式1-2】（2025·高三·山西运城·开学考试）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·四川达州·一模）曲线在点处的切线平分圆，则函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 题型二：含参数的函数的单调性—— 一次型 【典例2-1】已知，函数，当时，讨论函数的单调性. 【典例2-2】已知函数，讨论的单调性. 【变式2-1】已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)设函数，讨论在区间上的单调性. 【变式2-2】已知函数． (1)若，求的极小值； (2)讨论导函数的单调性． 【变式2-3】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数，． (1)若在处的切线方程为，求实数m的值； (2)讨论的单调性. 题型三：含参数的函数的单调性—— 含指对一次型 【典例3-1】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性. 【典例3-2】已知函数．讨论的单调区间. 【变式3-1】 已知函数. (1)若在处的切线斜率为，求切线方程. (2)求的单调区间. 【变式3-2】设函数，． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【变式3-3】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 题型四：含参数的函数的单调性—— 可因式分解二次型 【典例4-1】已知函数，其中. (1)若函数的极小值为4，且在处取到极大值，求函数的解析式； (2)讨论函数的单调性. 【典例4-2】已知函数，． (1)若在处的切线方程与直线垂直，求a的值并求函数在区间的最值； (2)若，试讨论的单调性． 【变式4-1】已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性. 【变式4-2】（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数. (1)已知在取得极值，求a的值， (2)当时，讨论的单调性； 【变式4-3】已知函数，其导函数为． (1)设． ①求的值； ②求在上的最大值． (2)讨论的单调性． 【变式4-4】已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【变式4-5】已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 题型五：含参数的函数的单调性—— 不可因式分解二次型 【典例5-1】（2025·高三·山西晋城·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． 【典例5-2】已知函数． (1)当时，求的解集； (2)当时，求的单调区间． 【变式5-1】已知函数．讨论的单调性. 【变式5-2】（2025·贵州黔东南·三模）设函数． (1)若，试求函数的极值； (2)设，讨论的单调性． 题型六：含参数的函数的单调性——含指对二次型 【典例6-1】已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 【典例6-2】（2025·福建福州·模拟预测）已知函数，且. (1)求曲线的对称中心； (2)证明：曲线在对称中心处的切线不过坐标原点； (3)讨论的单调性. 参考数据：当时，. 【变式6-1】（2025·湖北武汉·三模）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【变式6-2】已知函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【变式6-3】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间 【变式6-4】已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性． 题型七：利用单调性比较大小或解不等式 【典例7-1】（2025·高三·江苏·期末）已知实数x，y满足，则下列关系一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2025·湖北武汉·三模）已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】定义在上的函数为奇函数，其导数为，且当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型八：根据函数单调性求参数 【典例8-1】（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（   ） A． B． C． D． 【典例8-2】已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【解题总结】 1、函数在区间内单调递增(或递减)，可得(或)在该区间恒成立，而不是(或)恒成立，“＝”不能少.必要时还需对“＝”进行检验. 2、若函数在内存在单调递增区间，则当时，有解；若函数f(x)在(a,b)内存在单调递减区间，则当时，有解. 【变式8-1】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·高三·山西·开学考试）函数（其中，且）是其定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】（2025·高三·云南保山·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-5】（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-6】（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-7】若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-8】已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-9】函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 1．已知，则    A． B． C． D． 2．（2022年新高考全国I卷数学真题）设，则（    ） A． B． C． D． ①数形结合 1．已知函数，，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．若为R上的减函数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． ②转化与化归 4．已知，x，，且，则下列关系式恒成立的为    A． B． C． D． 5．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是     A． B． C． D． 6．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是 A． B． C． D． ③分类讨论 7．已知函数在R上单调递增，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D．e 8．若函数是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数在上不单调，则a的取值范围是    A． B． C． D． 基础过关篇 1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 3．（2025·上海黄浦·三模）若、，则“”成立是“”成立的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．（2025·四川眉山·模拟预测）函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南长沙·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·四川泸州·模拟预测）若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 9．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知、，且，则（   ） A． B． C． D．无法确定、的大小 10．（2025·江西萍乡·三模）记，为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（多选题）（2025·湖北恩施·模拟预测）下列不等关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）（2025·海南·模拟预测）已知函数，则（   ） A．点是函数图象的对称中心 B．是函数的极小值点 C．当时， D．当时， 13．（多选题）（2025·湖南长沙·三模）已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．函数的图象关于轴对称 B．函数的最小值为2，无最大值 C．函数在上单调递增 D．不等式的解集为 14．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，且在区间上单调，则的取值范围是 . 15．（2025·山西·模拟预测）若函数在区间单调递增，则的取值范围是 . 16．（2025·江苏苏州·三模）若在上不单调，则实数的取值范围是 ． 17．（2025·甘肃定西·模拟预测）若过点只有一条直线与函数的图象相切，则的取值范围为 . 18．（2025·江苏·一模）若在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 19．（2025·青海西宁·模拟预测）已知x，y为正实数，，则的取值范围是 ． 能力拓展篇 20．已知，则的大小关系为 . 21．在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”.若函数为“函数”，则实数的取值范围是 . 22．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数为增函数，求的值； 23．在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”． (1)判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由； (2)已知函数是“旋转函数”，求的最大值； (3)若函数是“旋转函数”，求的取值范围． 24．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是一个函数的图象，即函数的图象与直线至多有1个交点，则称函数具有“α旋转不变性”. (1)证明：函数，具有“旋转不变性”； (2)若函数具有“旋转不变性”，求m的取值范围. 25．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2　导数与函数的单调性 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、导数研究单调性 3 常用二级结论 3 03 探究核心题型 5 题型一：不含参函数的单调性 5 题型二：含参数的函数的单调性—— 一次型 6 题型三：含参数的函数的单调性—— 含指对一次型 9 题型四：含参数的函数的单调性—— 可因式分解二次型 12 题型五：含参数的函数的单调性—— 不可因式分解二次型 18 题型六：含参数的函数的单调性——含指对二次型 21 题型七：利用单调性比较大小或解不等式 26 题型八：根据函数单调性求参数 28 04 好题赏析（一题多解） 34 05 数学思想方法 38 ①数形结合 38 ②转化与化归 41 ③分类讨论 42 06 课时精练（真题、模拟题） 45 基础过关篇 45 能力拓展篇 54 1、结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 3、会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用. 一、导数研究单调性 1、函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间内，①如果，那么函数在这个区间内单调递增 ②如果，那么函数在这个区间内单调递减 ③如果，那么函数在这个区间内为常数函数 2、求单调区间的方法： ①通过解不等式或(等号可要可不要)； ②求，并可适当整理，尽量将整理成，，…，之积商的形式，借助数轴分段确定单调性，或直接观察解析式得出单调性． 注意：⑴写单调区间时，正确表示方法是：多个单调区间之间用逗号隔开，绝对不能用符号“”． ⑵若在某个区间上单调递增，则；若在某个区间上单调递减，则； ⑶设，，且，那么 ①在是增函数恒成立 ②在是减函数恒成立 常用二级结论 1、含参数单调性讨论 第一步：求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间) 第二步：变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分) 第三步：恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负) 第四步：然后再求有效根 第五步：根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系) 第六步：导数图像定区间 2、函数在区间内单调递增(或递减)，可得(或)在该区间恒成立，而不是(或)恒成立，“＝”不能少.必要时还需对“＝”进行检验. 3、若函数在内存在单调递增区间，则当时，有解；若函数f(x)在(a,b)内存在单调递减区间，则当时，有解. 题型一：不含参函数的单调性 【典例1-1】（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误. 对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误. 对于C，，满足在上单调递增，故C正确. 对于D，在上单调递减，在上单调递增，不满足在上单调递增，故D错误. 故选：C. 【典例1-2】已知函数.证明：在定义域内单调递增. 【解析】函数的定义域为，， 当时，，所以在定义域内单调递增. 【解题总结】 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开. 【变式1-1】函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．， D． 【答案】B 【解析】因为，. 所以对函数求导得：. 令，则，解得. 又，所以. 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 【变式1-2】（2025·高三·山西运城·开学考试）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的定义域为，解不等式，可得， 故函数的单调递减区间为. 故选：B. 【变式1-3】（2025·四川达州·一模）曲线在点处的切线平分圆，则函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， 因为曲线在点处的切线平分圆， 所以曲线在点处的切线经过圆心， 所以，解得：， 所以， 令，则，所以函数的增区间为. 故选：C. 题型二：含参数的函数的单调性—— 一次型 【典例2-1】已知，函数，当时，讨论函数的单调性. 【解析】函数的定义域为， 又， 当时，，故函数在区间上单调递减； 当时，令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 故当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递减. 【典例2-2】已知函数，讨论的单调性. 【解析】定义域，， ①当时，，在上单调递减， ②当时，令得， 令，得，令，得， 所以在单调递减，在单调递增. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. 【变式2-1】已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)设函数，讨论在区间上的单调性. 【解析】（1）当时，， 则，所以，， 所以切线方程为；，即. （2）由，， 当时，，在上单调递增； 当时，令. 当时，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式2-2】已知函数． (1)若，求的极小值； (2)讨论导函数的单调性． 【解析】（1）当时，，的定义域为， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值． （2）的定义域为， ， 令，则， 当时，恒成立，所以即在上单调递增． 当时，由，得，由，得， 所以即在上单调递减，在上单调递增. 【变式2-3】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数，． (1)若在处的切线方程为，求实数m的值； (2)讨论的单调性. 【解析】（1）由，． 依题意， ， 解得 . （2）的定义域为，， 当时，恒有 ，故的单调递减区间为， ②当时，令，得， 由，得；由，得， 故的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 题型三：含参数的函数的单调性—— 含指对一次型 【典例3-1】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性. 【解析】（1）由题设，则， 所以，， 故点处的切线为，则； （2）由题设且， 令，则，即， 令且，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故， 故，即时，，即在上单调递增； 当时，由或时趋向于正无穷，故与有两个交点， 若交点横坐标为，，则， 所以，或时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上，时在上单调递增； 时，，在上单调递增，在上单调递减； 【典例3-2】已知函数．讨论的单调区间. 【解析】，， 令，得． 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 【变式3-1】 已知函数. (1)若在处的切线斜率为，求切线方程. (2)求的单调区间. 【解析】（1）因为，所以，则，所以， 所以，所以， 切线方程为：，即． （2）因为，所以， 若，由，得；由，得， 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，由，得；由，得， 此时，函数的单调递减区间为，递增区间为． 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，递增区间为． 【变式3-2】设函数，． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【解析】（1）因为，则，解得，故， 所以，所以， 此时，曲线在处的切线方程为，即. （2）因为，则， 当时，则， 即函数的单调递减区间为，没有单调递增区间； 当时，由可得，由可得. 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【变式3-3】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【解析】（1）当时，． ，即切点为． ，则． 所以切线方程为，即． （2）． ①当时，，所以在单调递增． ②当时，由可得，由可得． 所以在单调递减，在单调递增． 综上所述，当时，在单调递增；当时， 在单调递减，在单调递增． 题型四：含参数的函数的单调性—— 可因式分解二次型 【典例4-1】已知函数，其中. (1)若函数的极小值为4，且在处取到极大值，求函数的解析式； (2)讨论函数的单调性. 【解析】（1）因为，， 所以， 由在点处取到极大值，得，解得， 所以， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取到极大值，在处取到极小值，故符合题意， 所以，且， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，， 当时，，由，得；由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，由得或. 当时，由，得或；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，，由，得或；由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，，函数在上单调递增. 当时，，由，得或；由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【典例4-2】已知函数，． (1)若在处的切线方程与直线垂直，求a的值并求函数在区间的最值； (2)若，试讨论的单调性． 【解析】（1）由题意可知：， 所以，则， 所以此时，， 令，或（舍）． 令，，令，． 可知在上单调递减；在上单调递增； 所以，又因为， 所以． 综上，函数在区间的最小值为，最大值为． （2）由题可得：，，， 令，则或． ①当时，，令，得，令，得，或； ②当时，，令，得，令，得，或； ③当时，，则在区间单调递增． 综上所述：当时，在和上单调递增，在区间单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在区间单调递减． 【变式4-1】已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性. 【解析】（1），所以切点为 又，所以切线方程为 （2）定义域为 令，解得或， ①当，即时，在单调递减，在上单调递增， ②当，即时，在单调递减， ③当，即时， 在上单调递减，在上单调递增. 【变式4-2】（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数. (1)已知在取得极值，求a的值， (2)当时，讨论的单调性； 【解析】（1）因为， 所以， 因为在取得极值， 所以 ， 经检验符合题意； （2）由题意可知的定义域为， . 由可得或， 当时，,故在上单调递减. 当时，，故令，解集为， 令，解集为， 因此的递增区间为，递减区间为，. 当时，，令，解集为， 令，解集为， 因此的递增区间为，递减区间为，. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，的递增区间为，递减区间为，. 【变式4-3】已知函数，其导函数为． (1)设． ①求的值； ②求在上的最大值． (2)讨论的单调性． 【解析】（1）①由题意得， 则，解得． ②由①得，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也就是最大值，最大值为． （2）由题意有的定义域为，． 当时，，由，得，由，得， 在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得，由，得或， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，，在上单调递增； 当时，由，得，由，得或， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减． 【变式4-4】已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【解析】（1）当时，，则， 因为函数定义域为， 所以当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 即函数有极小值，无极大值. （2）直接求导得：， 因为函数定义域为， 当时，，则函数在上单调递增； 当时， 则当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 综上可得：当时，函数在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【变式4-5】已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【解析】（1）当时，，，则切点坐标为． 又因为，， 所以在处的切线方程为． （2）由函数求导可得 ． 定义域为， 则①当时，由得， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增； ③当时，由得， 当或时，， 当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在单调递减； ④当时，由得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在递增，上递减，递增； 当时，在上递增； 当时，在递增，递减，递增； 当时，在递减，递增． 题型五：含参数的函数的单调性—— 不可因式分解二次型 【典例5-1】（2025·高三·山西晋城·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． 【解析】（1）当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以曲线在点处的切线方程为． （2）的定义域为． 当时，． 令，则在上单调递减，在上单调递增， 因此，的最小值为 当时，则，此时，在上单调递增， 当时，令，得． 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增 综上，当时，在上单调递增，当时， 在上单调递增， 在上单调递减． 【典例5-2】已知函数． (1)当时，求的解集； (2)当时，求的单调区间． 【解析】（1）当时，，， 所以在上单调递减，又， 则当时，；当时，， 故的解集为． （2），（） 设，（）的对称轴，， 当，有，则，在单调递减． 当，则有两个不等正根，， 所以、上，上， 在、上单调递减，在上单调递增； 当，则有一个正根，即上，上， 在上单调递增，在上单调递减． 综上： 当，的单调减区间为，无单调递增区间； 当，的单调减区间为、，单调递增区间为； 当，的单调递增区间为，单调减区间为． 【变式5-1】已知函数．讨论的单调性. 【解析】，则， 令，，则， 因，故， 当，即时，，则在上单调递减； 当时，令，，，，，， 在和单调递减，在单调递增; 当时，，，则在上单调递增，在单调递减; 综上所述，当时，则在上单调递减， 当时，在和单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增，在单调递减. 【变式5-2】（2025·贵州黔东南·三模）设函数． (1)若，试求函数的极值； (2)设，讨论的单调性． 【解析】（1）当时，，函数的定义域为， 所以，令有， 由有，有， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值； （2）由， 所以的定义域为， 所以，令， 当时，，，所以在单调递减； 当时，令有，， 所以， 所以由有，，有，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； 综上有：当时，的单调减区间为，无增区间； 当时，的单调增区间为，单调减区间为. 题型六：含参数的函数的单调性——含指对二次型 【典例6-1】已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 【解析】（1）由题意得， 则. 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，即. （2）由（1）得， 令，则. 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以， 即. ①当时，在上单调递增. ②当时，由，得；由，得， 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 【典例6-2】（2025·福建福州·模拟预测）已知函数，且. (1)求曲线的对称中心； (2)证明：曲线在对称中心处的切线不过坐标原点； (3)讨论的单调性. 参考数据：当时，. 【解析】（1）由函数， 则满足，解得，所以函数的定义域为， 因为 所以曲线的对称中心为. （2）证明：由函数，可得， 则，所以曲线在对称中心处的切线方程为， 因为且，，所以曲线在对称中心处的切线不过坐标原点. （3）当时，，此时在上单调递增； 当时， 当时，. 设，，所以，令，可得， 所以在上单调递减，上单调递增， 因为当时，，，，所以， 由，可看成关于变量的二次函数， 该二次函数的判别式为， 由引理可知，，所以，， 因为时，，所以，此时在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减. 【变式6-1】（2025·湖北武汉·三模）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【解析】（1），， ，， 切线方程为，即. （2），. ①当时，， 当时，单调递减；当时，单调递增. ②当时， 当时，，， 当时，，，时等号成立， 所以在上单调递增. ③当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增. ④当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上所述：①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，在上单调递增； ③当时，在上单调递增，在上单调递减； ④当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式6-2】已知函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【解析】（1）若，则，则，，， 所以在点处的切线方程为． （2）， ①当，令，解得，令，解得， 在单调递增，在单调递减； ②当，令，解得，， 当时，令，解得或，令，解得， 在，单调递增，在单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，令，解得或，令，解得， 在，单调递增，在单调递减， 综上，当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在，单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，单调递增.在单调递减． 【变式6-3】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间 【解析】（1）当时，则，， 所以，则切点为，切线的斜率，所以切线方程为； （2）函数的定义域为，又， 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时（当且仅当时取等号）， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 综上可得： 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，. 【变式6-4】已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性． 【解析】（1）当时，，， ∴，                                      ∵在上恒成立，∴由得，                           ∵当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，                                                         则的极小值为，无极大值． （2）由题意得，，                                                       当时，，，即恒成立，所以在R上单调递减；                                                           当时，令，则，得， 时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增．               综上，当时，在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 题型七：利用单调性比较大小或解不等式 【典例7-1】（2025·高三·江苏·期末）已知实数x，y满足，则下列关系一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可知，， 设，，，所以在单调递增， 因为，，所以. 故选：D 【典例7-2】（2025·湖北武汉·三模）已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，令，则有，错误； 对于B，令，则，又，从而，错误； 对于C，对任意的有，， 令，则，即， 令且，则， 所以在上单调递减，则，即， 从而，（利用，则），正确； 对于D，令，则，又，从而，错误. 故选：C 【变式7-1】定义在上的函数为奇函数，其导数为，且当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，当时，， 所以在上单调递减，又因为函数为定义在上奇函数， 为定义在上奇函数，所以为定义在上的奇函数， 则在上单调递减，即函数在上单调递减， 所以由可得：， 即，所以， 故选：C. 【变式7-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，其中，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因为， ，， 因为，所以，即，所以， 故选：B. 【变式7-3】（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，① 因为函数为偶函数，则，② 联立①②可得， 令，则，且不恒为零， 所以，函数在上为增函数，即函数在上为增函数， 故当时，，所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，整理可得，解得. 故选：C. 题型八：根据函数单调性求参数 【典例8-1】（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 得， 因为是上的增函数，则恒成立， 即恒成立， 当时，，此时不恒成立，不满足题意； 当时，等价于对恒成立， 则. 故选：C. 【典例8-2】已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为对任意两个不相等的实数，都有， 即， 令，不妨设， 则有， 所以， 所以在R上单调递增， 所以在R上恒成立， 即在R上恒成立， 令， 则，令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 所以. 即的最大值为. 故选：D. 【解题总结】 1、函数在区间内单调递增(或递减)，可得(或)在该区间恒成立，而不是(或)恒成立，“＝”不能少.必要时还需对“＝”进行检验. 2、若函数在内存在单调递增区间，则当时，有解；若函数f(x)在(a,b)内存在单调递减区间，则当时，有解. 【变式8-1】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递减， 所以当时，恒成立，则； 当时，由在上递减， 若，，合题意， 若，则，故; 又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得. 综上所述，， 故选：C． 【变式8-2】（2025·高三·山西·开学考试）函数（其中，且）是其定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由.若单调递增，则恒成立，即. 设，，又函数在时函数值趋近于0，不满足条件； 若单调递减，则恒成立，即， 当时，函数在时函数值趋向于，不满足条件，所以， 令，则，所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减，所以，即， 所以，即，解得. 故选：B 【变式8-3】已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得， 要使在上存在单调递减区间，只需存在区间，使得当时，， 当时，，显然不存在满足条件的区间； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A. 【变式8-4】（2025·高三·云南保山·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法一： 令，则在上单调递减， 且在上恒成立， 所以解得. 法二：，则， 则在区间上恒成立， 则或，解之得. 故选：A. 【变式8-5】（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数的对称轴为， 若在上不单调，则满足，解得； 又由函数，可得， 若在上不单调，则满足，解得， 所以两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则有或， 可得，所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式8-6】（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求导可得， 由题意有解， 即有解， 即有解， 令， 因为，易知在单调递增， 此时，所以， 又，， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 故选：B. 【变式8-7】若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得定义域为， 当时，解可得，不满足定义域； 当时，令， 要使函数在区间内存在单调递减区间， 只需满足或. 由可得，，此时有； 由可得，，此时有. 所以，. 综上所述，. 故选：A. 【变式8-8】已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，因为为上的增函数， 而在内单调递增， 故为内的增函数，且在内恒成立， 故，故， 故选：D. 【变式8-9】函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【解析】由可得， 由于的单调递减区间是，故和是的两个根，故，故， 故选：A 1．已知，则    A． B． C． D． 【答案】A  【解析】先证当， 令， 则恒成立，即在上单调递增， 所以，即； 令， 则恒成立，即在上单调递增， 所以，即； 综上，当恒成立． [方法一]：构造函数 因为当， 故，故，所以； 设， ，所以在上单调递增， 故，所以， 所以，所以，故选 [方法二]：不等式放缩 因为当， 取得：，故， ，其中，且， 当时，，即， 此时，， 故，故， 所以，所以，故选 [方法三]：构造函数 因为，因为当， 所以，即，所以 设，， 所以在单调递增，则， 所以，所以，所以， 故选 [方法四]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当， 所以，即，所以 因为当，取得，故，所以 故选 2．（2022年新高考全国I卷数学真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 ①数形结合 1．已知函数，，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A  【解析】设， 则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，时，时， 且时，时， 作出与的图象如图所示： 由图可知在上单调递减，在上单调递增， 因为， 所以， 因为，则， 即，即， 又，所以， 所以， 所以， 所以， 因为在上单调递减， 所以， 即 即 故选： 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C  【解析】令，， 则在单调递减，单调递增，如图所示： ， ， ， 同理，， 又， ， 故选： 3．若为R上的减函数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】令，，，， 则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 有极大值 在时取最小值 根据分段函数的定义，当时，与一致，当时，与一致． 在同一坐标系下作出与的图象． 要使分段函数的表达式有意义，则有 因为为R上的减函数，所以在上单调递减，在上单调递减， 且， 观察可得，a的取值范围为 ②转化与化归 4．已知，x，，且，则下列关系式恒成立的为    A． B． C． D． 【答案】A  【解析】设， 则， 因为， 所以，所以， 所以函数在上单调递增； 由得， 因为，所以， 当时，由得，此时； 当时，，故 ，所以； 当时，，故 ，所以； 综上所述，所以，即， 故选 5．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是     A． B． C． D． 【答案】D  【解析】函数在区间上存在单调增区间， 函数在区间上存在子区间使得不等式成立， ， 由，则在区间上存在子区间使得， 令，在为增函数，， 所以 故选 6．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D  【解析】， 函数在区间单调递增， 在区间上恒成立． ， 而在区间上单调递减， 的取值范围是 故选： ③分类讨论 7．已知函数在R上单调递增，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D．e 【答案】B  【解析】 由题意可得， 因为在R上单调递增， 所以恒成立， 那么有两种情况：或恒成立， 要使上述两种情况恒成立，则， 则， 设， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以， 故选： 8．若函数是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】由题可知，在上， ， 因为且，所以，则， 当时，a不存在， 当时， 经检验不符合题意， 故 故选： 9．已知函数在上不单调，则a的取值范围是    A． B． C． D． 【答案】B  【解析】， 当时，在上单调递增，不符合题意； 故， ， 当时，，又， 故在上恒成立，故函数在上单调递增，不符合题意； 当时，又，要使在上不单调， 则，可得，则， 故选 基础过关篇 1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（2025·上海黄浦·三模）若、，则“”成立是“”成立的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【解析】令，求导得恒成立， 所以是上的增函数， 所以， 当时，有，这表明不是的充分条件， 当时，有，这表明不是的必要条件， 所以“”成立是“”成立的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．（2025·四川眉山·模拟预测）函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数， 求导得， 函数在区间上单调递减， 等价于在区间上恒成立， 则，等价于， 与，与，与不具有包含关系， 所以，，不是函数在区间上单调递减的必要不充分条件， 因为是的真子集，所以是函数在区间上单调递减的必要不充分条件， 故选：A. 5．（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为，在上单调递增，故A正确； 对于B，， 当时，， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，的定义域为， ，所以为偶函数， 因为，所以由幂函数的性质知在上单调递增， 由偶函数的性质可得：在上单调递减，故C错误； 对于D，当时，, 由的单调性知，在不具备严格的单调性， 所以在上不具备严格的单调性，故D错误. 故选：A. 6．（2025·湖南长沙·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得在上恒成立， 则. 因为， 要使得不等式恒成立，则． 故选：D. 7．（2025·四川泸州·模拟预测）若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得， 令，则有， 又，故， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以. 又，故，所以， 所以. 故选：D. 8．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得函数的定义域为， 由于， 所以的图象关于直线对称， ， 当时，单调递增，所以， 又，所以，单调递增， 所以，解得. 故选：D． 9．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知、，且，则（   ） A． B． C． D．无法确定、的大小 【答案】A 【解析】令，则， 当时，，故恒成立， 故在上单调递增， 又，， 由零点存在定理得， 令，则， 由上面的求解可知在上单调递增， 且存在，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故的零点，，所以. 故选：A. 10．（2025·江西萍乡·三模）记，为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】令函数，求导得，故在上单调递增， 由，得，即，即充分性成立； 由，得，即，可得，故必要性不成立， 综上可知，甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 11．（多选题）（2025·湖北恩施·模拟预测）下列不等关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对A，由三角函数线可知当时，， 令，可得，所以，故A对； 对B，构造函数，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以当且时，， 令，可得，即，故B错； 对C，因为当且时，，故， 所以当且时，， 令，得，即，故C对. 对D， 构造函数，， 则，， 所以在单调递增，故，即， 令，得，故D对. 故选：ACD. 12．（多选题）（2025·海南·模拟预测）已知函数，则（   ） A．点是函数图象的对称中心 B．是函数的极小值点 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解析】由题意，，求导可得，令，得， 当或时，；当时，. 所以在和上单调递增，在上单调递减，且， 可作出大致图象如图所示． 对于A，，所以函数的图象关于点成中心对称，故A正确； 对于B，由图象可知，是函数的极大值点，故B错误； 对于C，当时，，因为，结合函数图象和单调性可得，故C正确； 对于D，当时，，此时，，则，所以，故D正确． 故选：ACD. 13．（多选题）（2025·湖南长沙·三模）已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．函数的图象关于轴对称 B．函数的最小值为2，无最大值 C．函数在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】A.，即，所以函数是偶函数，的图象关于轴对称，故A正确； B.当时，，，所以在单调递增，，且是偶函数，所以函数的最小值为2，无最大值，故B正确； C.由AB可知，在单调递减，在上单调递增，故C错误； D. 不等式，两边平方得，得，故D正确. 故选：ABD 14．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，且在区间上单调，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意得，且既有极大值又有极小值， 故有两个不相等的实数根， 即，解得或. 设， 若在区间上单调递减，则需满足，解得. 若在区间上单调递增，则或 解得无解或. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 15．（2025·山西·模拟预测）若函数在区间单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】， 令，则当时，， 又因为， 当且仅当时等号成立，且当时，不恒为0， 故的取值范围是. 故答案为：. 16．（2025·江苏苏州·三模）若在上不单调，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，可得， 所以在上不单调，所以在上有解， 即在有解，即存在，使得， 又因为在上单调递减，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 17．（2025·甘肃定西·模拟预测）若过点只有一条直线与函数的图象相切，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】 设过点的切线与的切点为， 因为，则切线的斜率为， 所以切线的方程为， 代入得， 即. 设，则， 由，得或， 当或时，，在，上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以，， 因为，所以，， 作出的大致图象如图所示， 由图象可知只有一条直线与的图象相切时，或. 故答案为： 18．（2025·江苏·一模）若在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，令， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 19．（2025·青海西宁·模拟预测）已知x，y为正实数，，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由得：， 构造函数，则， 可知在上递增， 结合，得 ，即 由基本不等式可知：， 当且仅当时等号成立，所以. 故答案为：. 能力拓展篇 20．已知，则的大小关系为 . 【答案】 【解析】由， 即， 令， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 则有，即， 令， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 则有，即， 故. 故答案为： 21．在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”.若函数为“函数”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由“函数”的定义可知若函数为“函数”，则直线与的图像至多只有一个交点， 即，即只有一根， 令，则在上单调， 则， 当时，则，在上单调，满足要求； 当时，设，则， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 即， 由函数在上单调，则，解得，与矛盾，不成立； 当时，设，则， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 即， 由函数在上单调，则，解得， 又，即； 综上所述，， 故答案为：. 22．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数为增函数，求的值； 【解析】（1）当时，，则， 所以， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为 （2） ， 因为函数为增函数，所以对所有成立， 当时，，不等式恒成立， 所以，又，所以， 当时，，不等式恒成立， 所以，又，所以， 当，，不等式恒成立，此时， 综上：， 23．在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”． (1)判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由； (2)已知函数是“旋转函数”，求的最大值； (3)若函数是“旋转函数”，求的取值范围． 【解析】（1）函数不是“旋转函数”，理由如下： 的图象逆时针旋转后与轴重合， 当时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾， 因此，函数不是“旋转函数”. （2）由题意可得，函数与函数的图象最多有1个交点，其中， 所以关于的方程最多有一个根， 即关于的方程最多有一个根， 即函数在上单调． 易知，且． 若， 则，不满足题意， 所以， 所以， 即， 即的最大值为． （3）由题意可知，与的图象最多有一个交点， 故，最多一个解，即与的图象至多一个交点， 所以恒大于等于0或恒小于等于0， 当时，，所以. 令， 故， 当时，在单调递减；在单调递增； 当，且时，，，矛盾； 当时，，满足条件； 当，在单调递增；在单调递减； 所以，故， 综上所述；. 24．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是一个函数的图象，即函数的图象与直线至多有1个交点，则称函数具有“α旋转不变性”. (1)证明：函数，具有“旋转不变性”； (2)若函数具有“旋转不变性”，求m的取值范围. 【解析】（1）由题意可知，当时，, 令 ，， 则， 在上单调递减. 故与至多有1个交点， 即与至多有1个交点， 故函数具有“旋转不变性”. （2）由题意得：当时，， 函数与函数的图象至多有1个交点， 即方程至多有一个根, 即函数与函数的图象至多1个交点， 因此函数在上为单调函数， ，而当时，， 所以在上恒成立，故. 令，则 因为在上单调递减，且， 由零点存在定理可知，，使 所以， 当单调递增， 当单调递减， 所以， 即. 25．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $$