第05讲 二元一次方程组和它的解（寒假预习讲义）七年级数学新教材华东师大版

第05讲 二元一次方程组和它的解 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程. 知识点2：二元一次方程组的概念 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组. 标准形式： 其中,,,,,为常数。 知识点3：二元一次方程的解的概念 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对）。 知识点4：二元一次方程组的解的概念 1. 二元一次方程组的两个公共解叫作二元一次方程组的解. 2. 检验二元一次方程组解的方法：将有序数对代入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 注：方程组中只要有一个方程代入后不成立，则不是方程的解. 【题型1 判断是否是二元一次方程】 例1．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 变式1． 下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 变式2． 下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 变式3． 下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【题型2判断是否是二元一次方程组】 例2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 变式1． 在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 变式2． 下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 变式3． 下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型3 判断是否是二元一次方程的解】 例3．下列各对数是二元一次方程的解的是（） A． B． C． D． 变式1． 下列四组数值中，是二元一次方程解的是（    ） A． B． C． D． 变式2． 一个二元一次方程的解的个数有 ． 变式3． 下列各组数值中，方程的解是（   ） A． B． C． D． 【题型4 判断是否是二元一次方程组的解】 例4．下列二元一次方程组中，以为解的是（    ） A． B． C． D． 变式1． 在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 变式2． 已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 变式3． 在①，②，③，④中，解是的有（    ） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【题型5 写出二元一次方程的正整数解】 例5．写出二元一次方程的一个正整数解： ． 变式1． 二元一次方程的正整数解是 ． 变式2． 方程的正整数解有 对． 变式3． 写出二元一次方程的一组正整数解 ． 【题型6 利用二元一次方程的定义求参数】 例6．已知方程是关于，的二元一次方程，则 ． 变式1． 若是关于x，y的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 变式2． 若是关于x，y的二元一次方程，则 ． 变式3． 若方程是关于，的二元一次方程，则、的值分别是（） A．， B．， C．， D．， 【题型7 已知二元一次方程的解求参数或代数式的值】 例7．若是关于和的二元一次方程的解，则的值是 ． 变式1． 若是关于和的二元一次方程的一组解，则的值为 ． 变式2. 已知是二元一次方程的一组解，则 ． 变式3. 已知是二元一次方程的解，则的值是 ． 【题型8 与二元一次方程的定义或解有关的新定义型问题】 例8．关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______． (2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 变式1． 若将关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则这对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：将二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为______； (2)已知一个关于、的二元一次方程的解为，且该方程的“相伴系数对”为，写出这个二元一次方程为______． 变式2. 如果一个正三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的和，那么称这个三位数为“和好数”，如：三位数352，∵5＝3＋2，∴352是“和好数”，把一个和好数m的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把m的百位数字与个位数字之和的7倍记为，则的值为 ；若三位数A是“和好数”，且是完全平方数（一个整数的平方），则所有符合条件的A的最大值与最小值的和为 ． 变式3. 对于任意一个四位正整数，若满足千位数字比百位数字大，个位数字比十位数字大，且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“叁叁数”．将“叁叁数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记．则最小的“叁叁数”是 ；已知，都是“叁叁数”，其中，（，，，且，，，，均为整数），若为完全平方数，且满足除以的余数为，则的值为 ． 一、单选题 1．如果方程与下面方程中的一个可以组成二元一次方程组，这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是方程的解，则的值为（   ） A．11 B．1 C．2 D． 4．已知是的一组解，则的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 5．若是方程的一个解，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 7．小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（    ） A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8 8．今年3月12日是我国第47个植树节，为了履行植树义务，共建美丽中国，秋实中学计划用300元购买A，B两种型号铁锹（两种均购买）参加植树活动，A种型号铁锹单价为8元，B种型号铁锹单价10元，则不同的购买方式有（  ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 二、填空题 9．已知下列方程： ①；②；③；④；⑤．其中， 是二元一次方程．（填序号） 10．已知二元一次方程，请写出该方程的一个整数解： ．（只写一个） 11．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中， 是二元一次方程组．（填序号） 12．已知是关于x，y的二元一次方程，则a的值是 ． 13．若是方程组的解，则 ． 三、解答题 14．若关于x，y的二元一次方程有一组解为，求k的值． 15．已知二元一次方程． (1)写出它所有的正整数解：________________________________． (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组有唯一解 16．已知关于x，y的二元一次方程为常数，且，． (1)当时，求c的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a，b，c的值和方程的正整数解． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 二元一次方程组和它的解 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程. 知识点2：二元一次方程组的概念 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组. 标准形式： 其中,,,,,为常数。 知识点3：二元一次方程的解的概念 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对）。 知识点4：二元一次方程组的解的概念 1. 二元一次方程组的两个公共解叫作二元一次方程组的解. 2. 检验二元一次方程组解的方法：将有序数对代入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 注：方程组中只要有一个方程代入后不成立，则不是方程的解. 【题型1 判断是否是二元一次方程】 例1．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、方程中，含未知数的项的次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； B、方程中，含未知数的项的次数不都是1，不是二元一次方程，不符合题意； C、方程中，含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D、方程是二元一次方程，符合题意； 故选：D． 变式1． 下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的概念是解题的关键．根据二元一次方程的定义，需满足两个未知数、次数均为1且为整式方程． 【详解】解：A．含三个未知数（），属于三元一次方程，不符合二元条件，故该选项不符合题意； B．中 次数为2，不符合条件，故该选项不符合题意； C．可整理为，含两个未知数和，次数均为1，且为整式方程，符合条件，故该选项符合题意； D．中，分母中有字母，不符合整式方程要求，故该选项不符合题意； 故选：C． 变式2． 下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义；根据二元一次方程的定义，含有两个未知数且未知数的次数都是1的整式方程是二元一次方程，逐一分析各选项即可. 【详解】解：二元一次方程需满足：含有两个未知数；未知数的次数均为1；整式方程 A、，含有两个未知数x和y，且次数均为1，是二元一次方程，故A符合题意； B、，只含有一个未知数x，不是二元一次方程，故B不符合题意； C、，含有两个未知数，但y的次数为2，不是二元一次方程，故C不符合题意； D：，只含有一个未知数y，且y在分母中，不是整式方程，不是二元一次方程，故D不符合题意. 故选：A. 变式3． 下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．二元一次方程是含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程，据此逐一判断各选项． 【详解】解： A：方程含项，未知数次数不为1，∴ 不是二元一次方程． B：方程分母含未知数y，不是整式方程，∴ 不是二元一次方程． C：方程含两个未知数且次数均为1，是整式方程，∴ 是二元一次方程． D：方程只含一个未知数，∴ 是一元一次方程，不是二元一次方程． 故选：C． 【题型2判断是否是二元一次方程组】 例2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，正确理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且两个方程都是整式方程组成的方程组，即可作答． 【详解】解：A、方程中，为二次项，不符合一次方程条件，不符合题意； B、方程中，为分式，不符合一次方程条件，不符合题意； C、方程组含三个未知数x、y、z，不符合两个未知数条件，不符合题意； D、方程组含两个未知数x和y，且方程和均为一次方程，符合题意． 故选D． 变式1． 在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．根据二元一次方程组的定义，需满足两个未知数，未知数的最高次数为1，且每个方程均为整式方程，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有三个未知数，不属于二元一次方程组，故该选项不符合题意； B、属于二元一次方程组，故该选项符合题意； C、次数不是1次，不属于二元一次方程组，故该选项不符合题意； D、不是整式方程，不属于二元一次方程组，故该选项不符合题意； 故选：B． 变式2． 下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．根据二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”判断即可． 【详解】解：A．中，不是整式方程，故此选项不是二元一次方程组，不符合题意； B．符合二元一次方程组的定义，故此选项符合题意； C．含有三个未知数，故此选项不是二元一次方程组，不符合题意； D．未知数的次数是2，故此选项不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：B． 变式3． 下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，满足三个条件：①共含有两个未知数；②未知数的最高次数为1次；③整式方程．据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：含有三个未知数，故①不属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故②属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故③属于二元一次方程组； 的未知数的最高次数是2，故④不属于二元一次方程组； 故选：C． 【题型3 判断是否是二元一次方程的解】 例3．下列各对数是二元一次方程的解的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解．熟练掌握二元一次方程的解的定义，是解题的关键．根据二元一次方程解的定义，将各选项代入方程检验即可． 【详解】对于每个选项，计算的值： A：， ∵， ∴满足方程． B：， ∵， ∴不满足． C：， ∵， ∴不满足． D：， ∵， ∴不满足． ∴只有选项A的一对数是方程的解． 故选：A． 变式1． 下列四组数值中，是二元一次方程解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将每个选项的x和y值代入方程，验证是否成立． 【详解】解：选项A：，不是二元一次方程的解； 选项B：，不是二元一次方程的解； 选项C：，不是二元一次方程的解； 选项D：，是二元一次方程的解． 故选：D． 变式2． 一个二元一次方程的解的个数有 ． 【答案】无数个 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键，根据二元一次方程的定义即可得到答案． 【详解】解：二元一次方程的一般形式为（不同时为 0）． 当时，对于每一个的取值，都可以求出唯一的值与之对应，有无数个解； 当时，，此时的值唯一确定，而可以取任意实数，也有无数个解． ∴二元一次方程有无数个解． 故答案为：无数个． 变式3． 下列各组数值中，方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把每个选项中的、的值代入验证即可． 【详解】解：、把代入方程，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，故此选项不符合题意； 、把代入方程，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，故此选项不符合题意； 、把代入方程，左边，右边，左边右边，所以是方程的解，故此选项符合题意； 、把代入方程，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，故此选项不符合题意； 故选：． 【题型4 判断是否是二元一次方程组的解】 例4．下列二元一次方程组中，以为解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的性质：所有选项的第一个方程均为，且满足该方程，因此只需验证第二个方程的值是否匹配． 【详解】解：所有选项的第一个方程均为，且满足该方程， 将代入各选项的第二个方程： ∵对于选项A：，不满足； 对于选项B：，不满足； 对于选项C：，满足； 对于选项D：，不满足． ∴只有选项C以为解． 故选：C． 变式1． 在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，熟知一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解是解答此题的关键． 将代入各选项的方程组中，验证两个方程是否同时成立． 【详解】对于选项A：当时， ，成立； ，不成立． 故A不符合题意． 对于选项B：当时， ，成立； ，成立． 故B符合题意． 对于选项C：当时， ，不成立． 故C不符合题意． 对于选项D：当时， ，成立； ，不成立． 故D不符合题意． 因此，以为解的方程组是B． 故选B． 变式2． 已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看两个方程是否成立即可． 【详解】解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；故是原方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； 故选：B． 变式3． 在①，②，③，④中，解是的有（    ） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解．将代入各方程组，验证是否每个方程均成立，即可得出答案． 【详解】解：① 将代入第一个方程，，成立， 将代入第二个方程，，成立， 的解是； ② 将代入第一个方程，，不成立， 的解不是； ③ 将代入第一个方程，，不成立， 的解不是； ④ 将代入第一个方程，，成立， 将代入第二个方程，，成立， 的解是； 综上可知，解是的有①和④， 故选：C． 【题型5 写出二元一次方程的正整数解】 例5．写出二元一次方程的一个正整数解： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程的正整数解，采用枚举法，通过给定一个变量的值求解另一个变量即可． 【详解】解：令，代入方程，得， 即， 解得：， 因此一组正整数解为：； 故答案为：（答案不唯一）． 变式1． 二元一次方程的正整数解是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了二元一次方程整数解问题，先将原方程变形，用表示，确定的值，然后再求出的值即可得出答案，解题的关键在于用一个未知数表示另外一个，进而即可求得整数解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是正整数， ∴或或， 故答案为：或或． 变式2． 方程的正整数解有 对． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程的解，先根据，整理得，因为，y均为正整数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：， ， 又，y均为正整数， 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则，此时不是正整数，故舍去； 当时，则，此时不是正整数，故舍去； 或或， 方程的正整数解有3对． 故答案为： 变式3． 写出二元一次方程的一组正整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程的解，根据二元一次方程的解的定义，写出一组正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：， ∴二元一次方程的一组正整数解可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 【题型6 利用二元一次方程的定义求参数】 例6．已知方程是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，代数式求值，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此列式求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 变式1． 若是关于x，y的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义， 根据二元一次方程的定义，方程中两个未知数的系数都不能为零，但本题中y的系数已为，故只需x的系数即可保证为二元一次方程． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，且y的系数， ∴x的系数， 解得. 故选：D． 变式2． 若是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】根据关于，的方程是二元一次方程，得到，解答即可． 本题考查了二元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：由关于，的方程是二元一次方程， 故，， 解得，且， 故， 故答案为：2． 变式3． 若方程是关于，的二元一次方程，则、的值分别是（） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握“二元一次方程需满足含两个未知数、未知数的次数均为1且未知数的系数不为0”是解题的关键．根据二元一次方程的定义，分析未知数的次数和系数的限制条件，进而求解、的值． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴的系数，且的次数， 解得， ∴，， 故选：C． 【题型7 已知二元一次方程的解求参数或代数式的值】 例7．若是关于和的二元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数．将给定的解代入二元一次方程，通过求解一元一次方程得到的值，即可作答． 【详解】解：依题意，将代入方程，得， 即， 移项得， 解得， 故答案为 变式1． 若是关于和的二元一次方程的一组解，则的值为 ． 【答案】2017 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键；将二元一次方程的解代入方程，得到关于和的方程，再整体代入所求代数式求值即可． 【详解】解：将代入方程，得， 则； 故答案为：2017． 变式2. 已知是二元一次方程的一组解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将解代入方程得到，然后整体代入所求表达式 【详解】解：将，代入方程， 得， 则 ． 故答案为∶ 变式3. 已知是二元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，熟练掌握定义是解题的关键．将二元一次方程的解代入方程，得到，然后通过代数变形，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． 故答案为：4． 【题型8 与二元一次方程的定义或解有关的新定义型问题】 例8．关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______． (2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． （1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可； 【详解】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 变式1． 若将关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则这对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：将二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为______； (2)已知一个关于、的二元一次方程的解为，且该方程的“相伴系数对”为，写出这个二元一次方程为______． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是理解已知条件中的“相伴系数对”和二元一次方程解的定义． （1）将关于、的二元一次方程变形为的形式，根据已知条件中的“相伴系数对”的定义求出答案即可； （2）根据已知条件中的“相伴系数对”的定义和已知条件写出这个二元一次方程，然后把代入，得到关于的方程，解方程求出，再把代入这个方程即可． 【详解】（1）解：， 整理得：， 方程的“相伴系数对”为， 故答案为：； （2）解：由题意知，这个二元一次方程可写成：， 把代入， 可得：， 整理得：， 解得：， 这个二元一次方程为：， 即， 故答案为：． 变式2. 如果一个正三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的和，那么称这个三位数为“和好数”，如：三位数352，∵5＝3＋2，∴352是“和好数”，把一个和好数m的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把m的百位数字与个位数字之和的7倍记为，则的值为 ；若三位数A是“和好数”，且是完全平方数（一个整数的平方），则所有符合条件的A的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 96 792 【分析】本题主要考查了完全平方数，新定义，根据“和好数”的相关定义计算即可；根据“和好数”的定义，计算和后求和；设和好数的百位数字为，个位数字为，则十位数字为，表达和，求，使其为完全平方数，确定的可能值，找出所有符合条件的，再求最大值与最小值的和． 【详解】解：对于，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴，， 故； 设三位数的百位数字为，个位数字为，则十位数字为， ∴有，，，，， 则，令其等于完全平方数， ∴即为完全平方数， ∴必须为形式（为正整数），且， 解得或，即或； 当时，，，，； 当时，，，，或，，，； 所有符合条件的为，，，最大值为，最小值为， 和为． 故答案为：96；792． 变式3. 对于任意一个四位正整数，若满足千位数字比百位数字大，个位数字比十位数字大，且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“叁叁数”．将“叁叁数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记．则最小的“叁叁数”是 ；已知，都是“叁叁数”，其中，（，，，且，，，，均为整数），若为完全平方数，且满足除以的余数为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，整式加减的应用，二元一次方程的应用，设，则，则，，要取最小的“叁叁数”，则取最小值，则最小值为，又各个数位上的数字均不为零且互不相等，所以取最小值，则最小值为，从而求得最小的“叁叁数”是，由，所以，从而得，，然后求出，则有，然后可得或或或，再求出或（舍去）即可，解题的关键是准确理解题意，列出二元一次方程求解． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴要取最小的“叁叁数”，则取最小值，则最小值为， ∵各个数位上的数字均不为零且互不相等， ∴取最小值，则最小值为， ∴最小的“叁叁数”是， 设，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵除以的余数为，， ∴，或（此时不是“叁叁数”，舍）， ∴， ∵为完全平方数，，， ∴为，，，， ∴或或或， 即或或或， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴的值为， 故答案为：． 一、单选题 1．如果方程与下面方程中的一个可以组成二元一次方程组，这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，由2个一次方程，且共含有2个未知数组成的方程组是二元一次方程组，进行判断即可． 【详解】解：A、含有3个未知数，不能组成二元一次方程组，不符合题意； B、含有2次项，不能组成二元一次方程组，不符合题意； C、方程不是整式，不能组成二元一次方程组，不符合题意； D、能组成二元一次方程组，符合题意； 故选D． 2．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．二元一次方程需满足两个条件：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1．据此逐项判断即可． 【详解】解：A：，含两个未知数，但含未知数的项的次数为2，不是一次方程； B：，含两个未知数，但次数均为2，不是一次方程； C：，含两个未知数x和y，次数均为1，是二元一次方程； D：，含两个未知数，但y在分母，不是二元一次方程． 故选：C． 3．已知是方程的解，则的值为（   ） A．11 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故选：A． 4．已知是的一组解，则的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解 将给定的解代入方程组，分别求出m和n的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵，是方程组的解， ∴代入得：， ∴． 代入得：， ∴． ∴． 故选：D． 5．若是方程的一个解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程解答即可求解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程的一个解， ∴， 解得， 故选：． 6．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：方程组需含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知项的最高次数为，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可. 【详解】解：A选项：方程组中含有三个未知数， 不是二元一次方程组， 故A选项不符合题意； B选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是， 不是二元一次方程组， 故B选项不符合题意； C选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是， 不是二元一次方程组， 故C选项不符合题意； D选项：方程组中含有两个未知数，未知项的最高次数是， 是二元一次方程组， 故D选项符合题意． 故选：D． 7．小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（    ） A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将已知解代入方程求出y，再代入求■． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，． 故选：A． 8．今年3月12日是我国第47个植树节，为了履行植树义务，共建美丽中国，秋实中学计划用300元购买A，B两种型号铁锹（两种均购买）参加植树活动，A种型号铁锹单价为8元，B种型号铁锹单价10元，则不同的购买方式有（  ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的正整数解，熟练掌握根据实际问题的数量关系列方程，并结合正整数条件确定方程的解是解题的关键．设购买A、B型铁锹的数量为未知数，根据总价列出方程，化简后结合正整数条件确定未知数的取值，进而得到购买方式的数量． 【详解】解：设购买A型铁锹把，B型铁锹把，则 ， 解得， ∵为正整数， ∴是5的倍数，即是5的倍数． 设（为正整数），代入得， 解得， ∵，， ∴， 解得． 为正整数， 可以取， 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，． 共有7种购买方式． 故选：B． 二、填空题 9．已知下列方程： ①；②；③；④；⑤．其中， 是二元一次方程．（填序号） 【答案】②⑤ 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程）逐一判断各方程即可得到答案． 【详解】解：①中，项的次数为2，不符合定义； ②是整式方程，含有两个未知数，且未知数的次数均为1，符合定义； ③不是整式方程，不是二元一次方程； ④中项的次数为2，不符合定义； ⑤整理后为，是整式方程，且含有未知数的项的次数均为1，符合定义． 故答案为：②⑤． 10．已知二元一次方程，请写出该方程的一个整数解： ．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程的整数解，求出时的值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得， ∴二元一次方程的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一） 11．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中， 是二元一次方程组．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且每个含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组是二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：方程组①中，方程不是一次方程，故方程组①不是二元一次方程组； 方程组②中，一共有三个未知数，故方程组②不是二元一次方程组； 方程组③是二元一次方程组； 方程组④中，方程不是整式方程，故方程组④不是二元一次方程组； 故答案为：③． 12．已知是关于x，y的二元一次方程，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，未知数x和y的次数必须均为1，且系数不为零以确保两个变量都存在，据此建立等式和不等式求解，即可解题． 【详解】解：由二元一次方程的定义，得，， 解得或，且． 综上所述，． 故答案为：． 13．若是方程组的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，求整式的值，将方程组的解代入原方程组，得到两个关于和的方程，然后将两个方程相加，即可求出的值． 【详解】将，代入方程组， 得， 将方程①和方程②相加，得， 即． 故答案为：． 三、解答题 14．若关于x，y的二元一次方程有一组解为，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得． 15．已知二元一次方程． (1)写出它所有的正整数解：________________________________． (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组有唯一解 【答案】(1)或或 (2)（答案不唯一） 【分析】（1）将方程变形为用表示的形式，结合为正整数的条件，确定的取值范围，再代入求出对应的． （2）根据给定的方程组的解，构造一个二元一次方程，使该解满足这个方程． 【详解】（1）解：由方程，得． 当时，； 当时，； 当时，． 故方程所有的正整数解为或或 （2）解：∵把代入式子，得， ∴满足条件的二元一次方程可以是（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二元一次方程的正整数解及方程组的解，掌握用一个未知数表示另一个未知数，结合正整数条件确定取值、构造满足特定解的二元一次方程是解题的关键． 16．已知关于x，y的二元一次方程为常数，且，． (1)当时，求c的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a，b，c的值和方程的正整数解． 【答案】(1) (2)，，，方程的正整数解是 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是求解的关键． （1）将已知代入中，得到关于a的方程，求出a值，再代入中求解即可； （2）由题意得到，求得，进而可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， ，， ， ， ， ； （2）解：关于x，y的二元一次方程，，， ， ， ，y均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ，将代入得， ，， ，， 方程的正整数解是． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $