精品解析：黑龙江省哈尔滨市第六中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

哈尔滨市第六中学校2024级高二上学期期末考试 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线方程直接求解焦点坐标. 【详解】由，则，所以抛物线的焦点坐标为. 故选：A 2. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得． 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件， 故选：B． 3. 在的展开式中，含的项的二项式系数为（ ） A. 6 B. 16 C. 24 D. 216 【答案】A 【解析】 【分析】根据展开项二项式系数的特点直接计算即可． 【详解】由题可知：的项的二项式系数为， 故选：A． 4. ，，三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学.某中学现有四位学生报名.若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共有（ ） A. 30种 B. 36种 C. 72种 D. 81种 【答案】B 【解析】 【分析】将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，然后分配到三所学校求解. 【详解】设这四位同学分别为甲、乙、丙、丁， 由题意将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，然后分配到三所学校. 则不同的报名方法共有种. 故选：B. 5. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先由抛物线方程得到其准线方程为，再结合可得的坐标，设等轴双曲线的方程为，将其中一个代入方程即可求出，进而求解即可. 【详解】由抛物线，其准线方程为， 因为，所以，， 设等轴双曲线的方程为， 则，即，则等轴双曲线的方程为， 则，即的实轴长为. 故选：D 6. 跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.32 C. 0.45 D. 0.36 【答案】A 【解析】 【分析】首先明确各年级教师人数的比例以及各年级中喜欢跑步的教师比例，然后利用全概率公式计算从三个年级中随机抽一名教师喜欢跑步的概率即可 【详解】设事件表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， ∵三个年级的教师人数之比为3:3:4， ∴， ∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%， ∴, 根据全概率公式， 故选：A. 7. 已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆：的左、右焦点分别为，，从发出的光线，经上的点反射后，反射光线再经上的点反射.若经过这两次反射后，，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据已知条件，结合椭圆的定义得， 然后在中，利用余弦定理构造齐次式，从而得到. 详解】，，， 设，则，， ，，，，，， ，， ，，， 在中，，，， ， ，，， 的离心率为. 故选：D. 8. 已知抛物线的焦点为，直线过焦点与交于两点，以为直径的圆与轴交于两点，且，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设的中点为M，根据求出r，进而得到M点横坐标；再设直线，由韦达定理得到k与M横坐标的关系，进而求出k． 【详解】设的中点为轴于点，过作准线的垂线，垂足分别为，如图所示． 由抛物线的定义知， 则，所以，即， 解得或（舍去），故的横坐标为． 设直线，将代入， 得，则，解得， 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1 B. 随机变量X服从正态分布，，若，则 C. 由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断X，Y独立 D. 已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于：根据样本相关系数的意义可判断；对于：根据正态分布对称性即可判断；对于：根据独立性检验零假设为：与相互独立，由卡方值大于得到不成立，即可判断；对于：由残差公式即可判断. 【详解】对于：如果两个变量的相关程度越强，当是正相关时，相关系数越接近于， 当是负相关时，相关系数越接近于，故错误； 对于：随机变量X服从正态分布，可知正态曲线关于对称， 根据对称性，，所以，故正确； 对于：零假设为：与相互独立，由， 说明在的显著水平下，拒绝与相互独立的假设，故错误； 对于：当时，，由残差等于实际值减去预测值， 即，故正确. 故选：BD 10. 已知曲线C：，点P是曲线C上一点，直线与曲线C交于不同的两点M、N，点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C的长轴长为 B. 点P到直线的最大距离是 C. 直线的方程为 D. 若，则最大值是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，通过曲线C的方程判断出曲线C为焦点在轴上的椭圆，由此得出，则长轴长为；对于B，可将问题转换成求与平行且与曲线C相切的直线，再利用平行线间的距离即可判断；对于C，由点差法求出直线的斜率，然后求出直线的方程；对于D，设曲线C上点，写出曲线C上的点到定点的距离的平方，然后通过代入曲线C的方程转化为关于x的二次函数求解. 【详解】对于A，曲线C：为焦点在轴上的椭圆， ，，， 所以曲线C的长轴长为，故A正确； 对于B，设与直线平行的直线为，， 将与联立得， 令，解得， 此时直线与曲线C相切， 当时，直线的方程为， 此时两平行线的距离为， 当时，直线方程为， 此时两平行线的距离为， 故点P到直线的最大距离是，故B错误； 对于C，直线与曲线C交于M、N两点，且点为线段的中点， 设，，则，. 由点差法得：，所以， 所以，即， 所以直线的方程为：，即，故C正确； 对于D，设曲线C上点， 由得. 定点，则， 将代入得， 这是关于x的二次函数，开口向下，对称轴为， 当时，，所以最大值是，故D错误； 故选：AC. 11. 已知双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，点P为C上位于第二象限内的一点，，分别为的左、右焦点，若内切圆的圆心为，则（ ） A. 点到渐近线的距离为3 B. 若，则最小值是 C. 当时，的面积为 D. 若为坐标原点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由三角形内切圆的性质结合双曲线的定义得到点为的左顶点确定，再由渐近线方程得到，进而得到双曲线方程即可判断A；对于B，由得，再由三点共线求解即可；对于C，由内切圆半径为、内切圆关系得到，利用三角形面积公式求解即可；对于D，由向量的线性运算和数量积的运算律结合余弦定理求解即可. 【详解】如图， 设的内切圆与，，的切点分别为，，，则，，， 因为点为上位于第二象限内一点，所以，因为，， 所以， 则点即为的左顶点，又，所以，因为，所以，所以， 所以，，双曲线：， 对于A，，渐近线为，所以点到渐近线的距离为，故A错误； 对于B，，所以，所以， 当，，三点共线时，的最小值是，，如图， 所以，故B正确； 对于C，，即内切圆半径为，所以， 所以，即为直角三角形，所以， 所以的面积为，故C正确； 对于D选项，，所以， 整理可得， 又， 两式相加可得， 即，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不相邻的概率为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出所有排列情况，再求出甲乙相邻的排列情况，用总排列情况减去甲乙相邻的排列情况得到甲乙不相邻的情况，最后根据古典概型概率公式计算概率. 【详解】5个人随机排成一排的总排列数为：种. 将甲乙看成一个整体，此时相当于有4个人随机排列，排列数为， 而甲乙两人之间又有种排列顺序. 根据分步乘法计数原理，甲乙相邻的排列数为：种. 所以，甲乙不相邻的排列数为种. 根据古典概型概率公式可得，甲乙不相邻的概率为：. 故答案为：. 13. 已知双曲线，直线，若直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的两支上，则双曲线的离心率的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】设直线与双曲线的两个交点坐标分别为、，将直线与双曲线的方程联立，根据可得出的范围，即可得出的取值范围. 【详解】设直线与双曲线的两个交点坐标分别为、， 联立可得， 由题意可得，整理可得，可得， 故双曲线的离心率为， 即双曲线的离心率的取值范围是. 故答案为：. 14. 设抛物线焦点为F，准线与对称轴交于点E，过F的直线交抛物线于A，B两点，对称轴上一点C满足，若的面积为，则F到抛物线准线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为，设出过点的直线方程与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，结合得到，解得，，根据相似得到，从而列出方程，求出，再考虑焦点在轴上，同理可得到，求出答案. 【详解】假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为， 由题意得，， 当过点的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不符合要求，舍去， 设过点的直线方程为，， 与抛物线联立得， 设，， 则，， 因为，设， 则，即， 将代入，中，解得， 如图所示，可知，，. 因为∽，所以，故， 即，解得， 则到抛物线准线的距离为， 假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为 同理可得，故到抛物线准线的距离为， 综上，到抛物线准线的距离为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步骤.） 15. （1）已知直线经过直线和的交点且与直线垂直，求直线的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求两直线的交点坐标，根据垂直关系设所求直线l的方程为，代入运算即可； （2）根据点关于直线对称求点关于直线的对称点，即可得圆心和半径，进而可得方程. 【详解】（1）由题意联立，解得， 则直线和的交点为， 设所求直线l的方程为， 将点代入得，解得， 故所求直线l的方程为； （2）圆，圆心，半径为， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 可知所求圆的圆心为，半径为， 所以对称圆的方程为. 16. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点.过该抛物线的焦点且斜率为的直线，与抛物线相交于、两点. （1）求抛物线的标准方程和线段的长； （2）求的值. 【答案】（1）抛物线的标准方程为， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，即可得出该抛物线的标准方程，然后将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦点弦长公式可求得的值； （2）利用抛物线的焦半径公式和韦达定理可求得的值. 【小问1详解】 由题意，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线方程得，解得， 故该抛物线的标准方程为， 设点、，易知抛物线的焦点为，则直线的方程为， 联立可得，， 所以，， 故. 小问2详解】 . 17. 体育锻炼有助于学生全面发展，为研究某市学生体育锻炼时长，随机抽取了100名学生进行调查，并绘制频率分布直方图如下： （1）估计这100名学生日均体育锻炼时长的平均数； （2）若规定“日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生”. （i）采用分层随机抽样抽取8人，再从这8人中随机抽出3人，记抽到运动积极型学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （ii）用样本估计总体，从本市任选4名学生，求这4名学生中运动积极型学生个数Y的期望与方差. 【答案】（1）46.5 （2）（i）分布列见解析，2.25；（ii）， 【解析】 【分析】（1）求各组的频率，以每组区间中间值为代表，结合平均数公式运算求解； （2）（i）根据分层抽样可知运动积极型学生有6人，其他2人，结合超几何分布求分布列和期望；（ii）分析可知，结合二项分布求期望和方差 【小问1详解】 由频率分布直方图可知各组频率依次为：， 以每组区间中间值为代表，估计这100名学生日均体育锻炼时长的平均数为 . 【小问2详解】 （i）由直方图可得日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生占的比例为， 分层抽样抽取的8人中运动积极型学生有人，其他2人， 由题意可知：的可能取值有1，2，3， 则，，， 故X的分布列为 X 1 2 3 P 所以数学期望； （ii）由题意可知：， 所以，. 18. 在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. （1）求动点P的轨迹曲线C的方程； （2）过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 【答案】（1） （2）是，定值为3 【解析】 【分析】（1）设，根据题意列方程即可求解； （2）设直线：，，，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理求解即可. 【小问1详解】 设，， 因为动点P与，两点连线的斜率之积是， 所以，整理得， 所以动点P的轨迹曲线C的方程为. 【小问2详解】 易知直线斜率不为0， 设直线：，，， 联立，得， 则且，即且， 而， 则 ，为定值. 19. 已知椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，记四边形的内切圆为． （1）求圆的标准方程； （2）已知椭圆的右焦点为F，若上两点A，B满足，且．求证：以AB为直径的圆恒过异于点F的一个定点； （3）已知P为椭圆上任意一点，过点P作圆的切线分别交椭圆于两点，试求三角形面积的最小值． 【答案】（1） （2）定点为 （3） 【解析】 【分析】（1）由题知四边形为菱形，为其中心点，则圆的半径为到直线的距离，求解出相关量即可； （2）设，，，由可得，写出以AB为直径的圆的方程并化简得，令即可得到定点； （3）设直线PM方程为，根据相切得到，直线PM代入椭圆可得，即，同理可得，证得、、三点共线，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 因为椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，， 所以四边形菱形，为其中心点， 又，坐标分别为，，可得直线方程为， 则原点到直线的距离为， 即圆的半径，故圆的标准方程为． 【小问2详解】 设，，， 则，， 又，所以， 结合可得，， 设以AB为直径的圆上的点， 则，， ， 化简得， 令，则，解得或， 所以该圆恒过异于F的定点． 【小问3详解】 设直线PM方程为，由直线PM与圆相切，可知原点到直线PM的距离，整理可得， 将直线PM方程代入椭圆可得，， 整理即有，设，， 则， 即，故， 同理，，故、、三点共线，则， 设代入椭圆方程可得，则， 故， 同理，， 从而，， 所以，，得， 因此，，当且仅当时等号成立， 故三角形PMN面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六中学校2024级高二上学期期末考试 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在的展开式中，含的项的二项式系数为（ ） A. 6 B. 16 C. 24 D. 216 4. ，，三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学.某中学现有四位学生报名.若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共有（ ） A. 30种 B. 36种 C. 72种 D. 81种 5. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.32 C. 0.45 D. 0.36 7. 已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆：的左、右焦点分别为，，从发出的光线，经上的点反射后，反射光线再经上的点反射.若经过这两次反射后，，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，直线过焦点与交于两点，以为直径的圆与轴交于两点，且，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.） 9. 下列说法正确有（ ） A. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1 B. 随机变量X服从正态分布，，若，则 C. 由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断X，Y独立 D. 已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为 10. 已知曲线C：，点P是曲线C上一点，直线与曲线C交于不同的两点M、N，点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C的长轴长为 B. 点P到直线最大距离是 C. 直线的方程为 D. 若，则最大值是 11. 已知双曲线：一条渐近线的倾斜角为，点P为C上位于第二象限内的一点，，分别为的左、右焦点，若内切圆的圆心为，则（ ） A. 点到渐近线的距离为3 B. 若，则最小值是 C. 当时，的面积为 D. 若为坐标原点，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不相邻的概率为_____. 13. 已知双曲线，直线，若直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的两支上，则双曲线的离心率的取值范围是_______. 14. 设抛物线焦点为F，准线与对称轴交于点E，过F的直线交抛物线于A，B两点，对称轴上一点C满足，若的面积为，则F到抛物线准线的距离为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步骤.） 15. （1）已知直线经过直线和的交点且与直线垂直，求直线的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 16. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点.过该抛物线的焦点且斜率为的直线，与抛物线相交于、两点. （1）求抛物线的标准方程和线段的长； （2）求的值. 17. 体育锻炼有助于学生全面发展，为研究某市学生体育锻炼时长，随机抽取了100名学生进行调查，并绘制频率分布直方图如下： （1）估计这100名学生日均体育锻炼时长的平均数； （2）若规定“日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生”. （i）采用分层随机抽样抽取8人，再从这8人中随机抽出3人，记抽到运动积极型学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （ii）用样本估计总体，从本市任选4名学生，求这4名学生中运动积极型学生个数Y的期望与方差. 18. 在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. （1）求动点P的轨迹曲线C的方程； （2）过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 19. 已知椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，记四边形的内切圆为． （1）求圆的标准方程； （2）已知椭圆的右焦点为F，若上两点A，B满足，且．求证：以AB为直径的圆恒过异于点F的一个定点； （3）已知P为椭圆上任意一点，过点P作圆的切线分别交椭圆于两点，试求三角形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $