精品解析：北京市第八中学2025-2026学年八年级上学期期末模拟考试数学试题

2025－2026学年度初二上期末模拟 一．选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 下面由冬季奥运会比赛项目图标组成的四个图形中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 华为Mate70于2024年11月开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9100芯片，该款芯片采用等效7纳米工艺，1纳米米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知中，，且第三边的长度是奇数，则的最大长度是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 6. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　） A. 50° B. 60° C. 75° D. 85° 7. 下列各式中，可能取值为零的是（ ） A. B. C. D. 8. 在中,、E是边上的两点，且，下列四个推断中错误的是( ) A. 若是的高，则可能是的中线 B. 若是的中线，则不可能是的高 C. 若是的角平分线，则可能是的中线 D. 若是的高，则不可能是的角平分线 二．填空题（本题共16分，每题2分） 9. 计算_____；有意义，则的取值范围是_____． 10. 点关于x轴的对称点的坐标为_____． 11. 已知： ，则的值为______． 12. 如图，点、、在同一直线上，，于，，要使，则只需添加一个适当的条件是_____．（只填一个即可） 13. 一个圆柱形容器的容积为，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器的一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程用时，设小水管注水速度为．那么可列出关于的分式方程为_____． 14. 如图，在中，，，于点，交于点．如果，那么________． 15. 如图，是的角平分线，是边上的中线，若的面积是18．，则的面积是_____． 16. 如图，一面镜子斜固定在地面上，且点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为___________． 三．解答题（本题共68分，第17题8分，第18题11分，第19题7分，第20题8分，第21题9分，第22题8分，第23题9分，第24题8分） 17. 因式分解 （1）； （2） 18. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中 19. 解方程：． 20. 如图，，，垂足分别为，，，相交于点，．求证：． 21. 如图，在中，． （1）用直尺和圆规完成以下作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，在直线上截取线段（点在下方），使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）根据（1）中作图，若，证明：．补全以下证明过程： 证明：， ， ， ________________． 垂直平分， ，________． ． 在和中， ． ________．（________） ． 22. 我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． （1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”． ①与（　　） ②与（　　） （2）已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； （3）已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足．求b，c，d的值； 23. 已知，如图，四边形，，，平分，点是边上的一点，且． （1）若，，则 ； （2）若，则的度数为 (用含的式子表示)； （3）如图2，连接，过点作，垂足为点，交于点，判断与的数量关系并证明． 24. 物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心． 根据以下素材，探索完成任务． 素材一 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 若顶点坐标分别为，则中线交点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材二 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤：1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系．2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积．3．确定这几个简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标．4．代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材三 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为：其中， 任务1：已知一块均匀梯形薄板，将其分割为一个矩形和一个直角三角形．矩形重心坐标为，直角三角形重心坐标为，若矩形面积为8，三角形面积为4，求梯形薄板的重心坐标． 任务2：已知一块均匀薄板，由30块边长为的小正方形组成，求这块均匀薄板的重心坐标．（x轴、轴1个单位长度表示） 任务3：阴影部分图形的重心坐标是_____；（取3） 四．附加题（本题共10分，第25题4分，第26题6分） 25. 如图，是等边三角形，，是线段上一点（不与点，重合），连接，点分别在线段的延长线上，且，点从运动到的过程中，当时，的长是_____；周长的变化规律是_____（填“先变大后变小”或“先变小后变大”或“不变”）；当的面积与面积的比为时，则的长是_____． 26. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点P给出如下定义：先将点P向右()或向左()平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点P的“R关联点” （1）如图1，点P坐标为 ①当点R坐标为时，则点P的“R关联点”的坐标为：________； ②若点为点P的“R关联点”，则R的坐标________； （2）如图2，点，点B与点A关于y轴对称点R在边上，点P坐标为 ①画出点P所有的“R关联点”； ②这些关联点组成的图形形状是：________； （3）如图3，点，，点R在正方形边上，点．若线段上存在点的“R关联点”，直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度初二上期末模拟 一．选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 下面由冬季奥运会比赛项目图标组成的四个图形中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．根据能否找到一条直线使图形折叠后能够完全重合，进行判断即可，掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项错误； 、不是轴对称图形，故本选项错误； 、不是轴对称图形，故本选项错误； 、是轴对称图形，故本选项正确． 故选：． 2. 华为Mate70于2024年11月开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9100芯片，该款芯片采用等效7纳米工艺，1纳米米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算判断，即可解题． 【详解】解：A、，选项运算错误，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不可以合并，选项运算错误，不符合题意； D、，选项运算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方，解题的关键是正确掌握各计算法则． 4. 下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】解：A、，从左到右的变形是整式的乘法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、，从左到右的变形，是因式分解，故此选项符合题意． 故选D． 【点睛】考查了因式分解，正确把握因式分解的定义是解题关键． 5. 已知中，，且第三边的长度是奇数，则的最大长度是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据三角形三边关系确定的取值范围，再结合为奇数的条件，从可能值中选出最大值． 【详解】解：∵在中，， ∴由三角形三边关系得：的取值范围为，即， 又∵的长度为奇数， ∴可能取值为3，5，7，其中最大值为7， ∴的最大长度是7， 故选：C． 6. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　） A. 50° B. 60° C. 75° D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理和三角形的外角的性质计算即可． 【详解】∵∠DAC＝∠DFE+∠C＝60°+45°＝105°， ∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝75°， 故选C． 【点睛】考查了三角形外角的性质，解题关键是利用了三角形的外角的性质． 7. 下列各式中，可能取值为零的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件和分式值为零的条件依次分析各项即可． 【详解】A．，m无实数解，故错误； B．，解得，则时，的取值为零，故正确； C．，解得，m无实数解，故错误； D．，m无实数解，故错误； 故选B． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，分式值为零的条件，解答本题的关键是熟练掌握分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为零． 8. 在中,、E是边上的两点，且，下列四个推断中错误的是( ) A. 若是的高，则可能是的中线 B. 若是的中线，则不可能是的高 C. 若是的角平分线，则可能是的中线 D. 若是的高，则不可能是的角平分线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线的性质，解题的关键是结合、的条件，分析各线段的位置关系． 根据三角形高、中线、角平分线的定义，结合边的长短关系，逐一分析各选项的合理性． 【详解】解：当时， A、∵是高，，当为中点时，可作为中线，如下图，此选项不符合题意，； B、∵是中线，则为中点，又，故在上，而，高应靠近侧（即侧），故不可能是高，此选项不符合题意； C、∵是角平分线，如下图， 又，当为中点时，可作为中线，此选项不符合题意； D、∵是高，，此时，符合题干条件， 因此有可能是角平分线，选项D推断错误，见下图， ∴此选项符合题意． 故选：D． 二．填空题（本题共16分，每题2分） 9. 计算_____；有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，幂的乘方计算，第一空利用指数运算法则计算幂的乘方和负整数指数幂；第二空根据分式有意义的条件，分母不为零求解． 【详解】解：． ∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：；． 10. 点关于x轴的对称点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标．根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果． 【详解】解：∵两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于x轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 11. 已知： ，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方及整体代入思想，关键是的转换； 由已知条件 ，可得： ，将转换成，即可求得结果. 【详解】解：由 ， 得 ， ∴ 故答案为：. 12. 如图，点、、在同一直线上，，于，，要使，则只需添加一个适当的条件是_____．（只填一个即可） 【答案】（或） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．根据已知推出，，则添加利用即可证明；或利用即可证明；或利用即可证明；选择一种即可． 【详解】解：，，， ， ， 若添加， 则； 若添加， 则； 若添加， 则； 故答案为：（或）． 13. 一个圆柱形容器的容积为，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器的一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程用时，设小水管注水速度为．那么可列出关于的分式方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，根据大水管的直径是小水管的2倍，得出大水管的横截面积是小水管的4倍，从而大水管的注水速度为小水管的4倍；注水过程分为两个阶段：第一阶段用小水管注水一半容积，时间；第二阶段用大水管注水剩余一半容积，时间；总时间等于两阶段时间之和． 【详解】解：设小水管注水速度为， 则注水一半容积为， 大水管的直径是小水管的2倍，因此横截面积是小水管的4倍，注水速度也为小水管的4倍，即， 第一阶段注水时间：， 第二阶段注水时间：， 总时间， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，于点，交于点．如果，那么________． 【答案】3 【解析】 【分析】首先求得，，然后根据“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，，易得，再结合平行线的性质证明为直角三角形，进而可得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 15. 如图，是的角平分线，是边上的中线，若的面积是18．，则的面积是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，中线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点D作于F，过D作于G，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式可得， 从而可得，求得，最后利用三角形的中线性质可得，进行计算即可解答． 【详解】解：如图所示，过点D作于F，过D作于G， 是的角平分线， ， ， ， 的面积是18， ， ∵是边上的中线， ， 故答案为：． 16. 如图，一面镜子斜固定在地面上，且点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】作出PD关于直线OA对称的线段，所以最短路线为三点共线且时最短，过P作好垂线构建矩形，再利用等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：作点关于的对称点，当时，光线经过的路径长最短， ∴，作于F，∴，∴，∵， ∴，∴，∴，， ∴为等边三角形，∴，∴． 故答案为4． 三．解答题（本题共68分，第17题8分，第18题11分，第19题7分，第20题8分，第21题9分，第22题8分，第23题9分，第24题8分） 17. 因式分解 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，提取公因式法，完全平方及平方差公式，掌握相关方法是解题的关键． （1）先提取，再由完全平方公式分解即可； （2）提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 =； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值和整式的混合运算，掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式和完全平方公式，再合并同类项即可； （2）先计算分式的除法，再计算加法，结果化为最简分式，然后将代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时， ． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程两边同乘3(x+1)，解出x的解，再检验解是否满足. 【详解】解：方程两边都乘， 得：， 解得：， 经检验是方程的解， 原方程的解为． 【点睛】本题考查的知识点是分式方程的求解，解题关键是解出的解要进行检验. 20. 如图，，，垂足分别为，，，相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．先证明，得出，再证明即可得出结论． 【详解】证明：，， ， ， ， ， 在和中， ， ． 21. 如图，在中，． （1）用直尺和圆规完成以下作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，在直线上截取线段（点在下方），使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）根据（1）中作图，若，证明：．补全以下证明过程： 证明：， ， ， ________________． 垂直平分， ，________． ． 在和中， ． ________．（________） ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） ；；；；全等三角形对应边相等 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的尺规作图方法作出点D和点E，再以点E为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于F（点F在下方），再连接即可； （2）先导角证明，再由垂直平分，得到，．证明，得到，则可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． （1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”． ①与（　　） ②与（　　） （2）已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； （3）已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足．求b，c，d的值； 【答案】（1）； （2）或或或； （3）， 【解析】 【分析】（1）根据定义解答即可得解； （2）先由定义得出或，解方程即可得解； （3）S，T互为“差值代数式”当，且“差值”为，恒等变形得出，然后由新定义即可得解. 【小问1详解】 解：①，所以当时，与互为“差值代数式”，“差值”为1， 故答案为： ； ②，所以与不是“差值代数式”， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4， ∴， ∴或， 当时，即 ，所以或； 当时，即，所以或； 综上所述，或或或； 【小问3详解】 ∵关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”， ∴结果为常数， ∴当，且“差值”为， 又∵ ∴ ∴，， 故：，. 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，分式的混合运算，利用平方根解方程，代数式的配方等知识点，熟练掌握其性质并能灵活对代数式进行恒等变形是解决此题的关键． 23. 已知，如图，四边形，，，平分，点是边上的一点，且． （1）若，，则 ； （2）若，则的度数为 (用含的式子表示)； （3）如图2，连接，过点作，垂足为点，交于点，判断与的数量关系并证明． 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由，可得，，由可证，，即可求解； （2）由全等三角形的性质可得，即可求解； （3）由可证，可得，由等腰三角形的性质可求解． 【小问1详解】 解：过点作于， ，， ， 平分， ， 又，， ， ，， 又， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， ， 由（1）可知：， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 ，理由如下： 过点作，交的延长线于，交于，连接，， ， ， 又，， ， ， 又，， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 又， ． 24. 物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心． 根据以下素材，探索完成任务． 素材一 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 若顶点坐标分别为，则中线交点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材二 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤：1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系．2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积．3．确定这几个简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标．4．代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材三 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为：其中， 任务1：已知一块均匀梯形薄板，将其分割为一个矩形和一个直角三角形．矩形重心坐标为，直角三角形重心坐标为，若矩形面积为8，三角形面积为4，求梯形薄板的重心坐标． 任务2：已知一块均匀薄板，由30块边长为的小正方形组成，求这块均匀薄板的重心坐标．（x轴、轴1个单位长度表示） 任务3：阴影部分图形的重心坐标是_____；（取3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确理解各个图形的重心坐标计算公式是解题的关键． 任务1：根据题干所给的公式直接带入计算求解即可； 任务2：先分别求出矩形、矩形、矩形重心坐标及面积，代入公式计算即可； 任务3：分别求出正方形，正方形，的面积和重心坐标，再求出空心圆的面积和坐标，进而求出正方形（含挖空）的重心坐标，再根据题干所给公式计算求解即可． 【详解】解：任务1：∵矩形重心坐标为，矩形面积为，直角三角形重心坐标为，三角形面积为， ， ， ∴梯形薄板的重心坐标为； 任务2：如下图， ∵矩形重心坐标为，即，面积为， 矩形重心坐标为，即，面积为， 矩形重心坐标为，即，面积为， ， ， ∴薄板的重心坐标为； 任务3：如图所示， 正方形的重心坐标为，即，面积为， 正方形的重心坐标为，即，面积为， 正方形内的空心圆的重心坐标为，面积为， 的重心坐标为，即，面积为， ∴正方形（含挖空）的重心的横坐标为，纵坐标为， 根据题干所给公式计算整个阴影部分的重心的横坐标和纵坐标为： 整个阴影部分的重心的横坐标为， 纵坐标为， ∴整个阴影部分的重心的坐标为． 四．附加题（本题共10分，第25题4分，第26题6分） 25. 如图，是等边三角形，，是线段上一点（不与点，重合），连接，点分别在线段的延长线上，且，点从运动到的过程中，当时，的长是_____；周长的变化规律是_____（填“先变大后变小”或“先变小后变大”或“不变”）；当的面积与面积的比为时，则的长是_____． 【答案】 ①. 1 ②. 先变小后变大 ③. 3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明是本题关键．由“”可证，由全等三角形的性质可得；，可得周长，可得周长的变化规律；作于点H，作于点M，先求出的面积，设，则，求出，列方程求出a的值，进而求出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴周长， ∵点D在边上从B至C的运动过程中，的长先变小后变大， ∴周长先变小后变大， 作于点H，作于点M， 是等边三角形，， ， ， ， 当的面积与面积的比为时， 的面积， ， 的面积，， 设，则， 在中，， ， ， ， ， 整理，得， 解得：， ， 故答案为：1；先变小后变大；3． 26. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点P给出如下定义：先将点P向右()或向左()平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点P的“R关联点” （1）如图1，点P坐标为 ①当点R坐标为时，则点P的“R关联点”的坐标为：________； ②若点为点P的“R关联点”，则R的坐标________； （2）如图2，点，点B与点A关于y轴对称点R在边上，点P坐标为 ①画出点P所有的“R关联点”； ②这些关联点组成的图形形状是：________； （3）如图3，点，，点R在正方形边上，点．若线段上存在点的“R关联点”，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）①；②； （2）①见解析；②等腰三角形； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的新定义问题，涉及到平移和轴对称的性质，“主从运动”模型，解不等式组，分类讨论等知识技能．根据“关联点”的定义求出、、三点之间的坐标关系是解答本题的关键． （1）①根据“关联点”的定义求出、、三点之间的坐标关系，然后代入、两点坐标即可； ②把点看作，然后根据、、三点之间的坐标关系求出点坐标即可； （2）①根据、、三点之间的坐标关系求出点关于、、三点对应的“关联点”的坐标，然后连接这三个对应点，三条边即为点所有“关联点”组成的图形； ②同理①求出点关于、、、四点对应的“关联点”的坐标，连接四个对应点得到一个矩形，再分别讨论线段和矩形四条边有交点，根据不等式组求出的范围． 【小问1详解】 ①和如图所示． 根据“关联点”的定义，将点向左平移个单位长度，再作其关于直线的对称点，得到点． ；． ，． 点坐标为． 故答案为：． ②点坐标为，点坐标为． 由①可得，． 点为点的“关联点”，点相当于这里的点． ，． 坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 ①当、、三点作为点时，设点的“关联点”分别为、、． 由 （1）可知，． 将、、三点分别与点坐标代入可得： 、、． 连接、、三点，则点的所有的“关联点”形成的图形为的三条边． ②如图，，这些所有的关联点组成的图形形状为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形； 【小问3详解】 根据，分别求出点关于、、、四点作为“点”时的四个“关联点”坐标：、、、． 如图所示，矩形四条边即点的“关联点”的轨迹． 、，并且线段上存在点的“关联点”． 线段需与矩形四条边有交点． 当线段与有交点时： ，解得． 当线段与有交点时： ，无解，则没有交点． 当线段与有交点时： 或， 解得，． 因为线段和线段分别在轴下方和上方，不可能有交点． 故的取值范围为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $