5.1.1变化率问题（共2课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦导数的概念及意义，从微积分创立背景导入，通过小车行驶速度、抛物线切线斜率等实例，构建从平均变化率到瞬时变化率的学习支架，衔接函数性质与极限思想。 其亮点是以现实问题（如火箭发射、小球下落）为载体，用极限逼近思想贯穿教学，培养数学眼光（观察运动变化）、数学思维（推理瞬时变化）和数学语言（符号表达极限）。通过探究式学习和分层练习，学生能深化对导数本质的理解，教师可依托清晰的问题链提升教学效率。

5.1.1 变化率问题 5.1 导数的概念及其意义 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 章前导读 在对函数的深入研究中,数学家创立了微积分,这是具有划时代意义的伟大创造,被誉为数学史上的里程碑. 牛顿 (1643年－ 1727年), 英国物理学家、数学家. 莱布尼茨 (1646年－1716年)， 德国哲学家、数学家. 微积分的创立 物体的运动 曲线的切线 函数的最大（小）值 长度、面积、体积和重心 章前导读 导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法. 因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具. 在本章，我们将学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数和极限的思想，感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义. 问题1 小车行驶的速度 小车行驶的路程s（单位：m）与时间t（单位：s）存在函数关系 s(t)＝t2． 探究新知 思考2：如何求小车运动时t1秒到t2秒这段时间的平均速度？ 时间段为t1≤t≤t2，因此有 思考1：如何求小车运动时5秒到6秒这段时间的平均速度？ 时间段为5≤t≤6，因此有 s(t)＝t2． 探究新知 思考3 瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系，求小车在t＝5s时的瞬时速度吗？ 平均速度 缩短时间段长度 瞬时速度v(t0) 探究新知 在t＝5之后或之前，任意取一个时刻5＋Δt. 当Δt＞0时，5＋Δt在5之后，在[5，5＋Δt]这段时间， 有 思考3 瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系，求小车在t＝5s时的瞬时速度吗？ 平均速度 缩短时间段长度 瞬时速度v(t0) 探究新知 在t＝5之后或之前，任意取一个时刻5＋Δt. 当Δt＜0时，5＋Δt在5之前，在[5＋Δt，5]这段时间， 有 Δt＞0时，［5，5＋Δt］ Δt＜0时，［5＋Δt，5］ 当Δt趋近于0时，平均速度趋近于10. 探究新知 8 当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于10. 我们把10叫做“当Δt无限趋近于0时， 的极限”，记为 探究新知 Δt ≠ 0 思考4 你能推导出任意时刻t0时瞬时速度的表达式吗？ 因为s(t)＝t2，所以小车在时间段[t0，t0＋Δt]（或[t0＋Δt ，t0]）的平均速度为 所以 探究新知 通过不断缩小时间间隔，用平均速度逼近得到了瞬时速度. 瞬时速度是平均速度当时间间隔△t无限趋近于0时的极限. 无限逼近的极限思想，是微积分学的基础. 探究新知 (2) 瞬时速度： (3) 极限的含义. 思考5 回顾本刚才的探究过程，你学到了什么？ 无限逼近的极限思想 知识总结 (1) 平均速度： 1.小车行驶速度 2.研究方法 取极限 12 解: (1) 课堂练习 教材P61 解: (2) 课堂练习 教材P61 3．一个小球从5m的高处自由下落，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y(t)＝－4.9t2．求t=1s时小球的瞬时速度． 课堂练习 解: ∴ t=1s时小球的瞬时速度为－9.8m/s． 教材P62 1．某质点沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式y＝5t2＋6．求： （1）2≤t≤3这段时间的平均速度； （2）t＝2s时的瞬时速度． 补充练习 探究新知 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 思考1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？ P0 不一定！ x y O f(x)＝x2 1 1 2 2 3 4 P0 探究新知 思考2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？ 不一定！ f(x)＝sinx x y O －1 1 　　由此，我们不能再像研究直线与圆的位置关系时那样，通过交点的个数来定义相切了. 探究新知 思考3：对于一般曲线C，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线 f(x)＝x2 为例. 问题2 抛物线切线的斜率 对于抛物线f(x)＝x2，应该如何定义它在点P0(1，1)处的切线呢？ x y O f(x)＝x2 1 1 2 2 3 4 P0 P 在抛物线（1,1）附近取一点得到割线 将点P逐渐靠近点P0，观察割线P0P的位置变化情况. 探究新知 问题2 抛物线切线的斜率 对于抛物线f(x)＝x2，应该如何定义它在点P0(1，1)处的切线呢？ 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置P0T，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线. T 思考4 如何求抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率呢？ 探究新知 切线位置 割线位置 无限逼近 切线斜率 割线斜率 无限逼近 取极限 思考4 如何求抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率呢？ 探究新知 T 记点P的横坐标x＝1＋Δx, 则P(1＋Δx, (1＋Δx)2).于是割线P0P的斜率 让横坐标变化量Δx趋于0, 观察割线斜率的变化. Δx→0时，斜率k→2. 探究新知 Δx ≠ 0 我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时， 的极限”，记为 当Δx无限趋近于0时，割线P0P的斜率k无限趋近于2. 探究新知 T 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0．因此，切线P0T的斜率k0＝2． 思考5 试求抛物线f(x)＝x2在点P0(﹣1，1)处的切线P0T的斜率. 探究新知 解： 记点P的横坐标x＝﹣1＋Δx, 则P(﹣1＋Δx, (﹣1＋Δx)2). 于是割线P0P的斜率 故抛物线在点P0(﹣1，1)处的切线斜率为﹣2. 思考6 试求抛物线f(x)＝x2在点P0(x0，x02)处的切线P0T的斜率. 探究新知 解： 记点P的横坐标x＝x0＋Δx, 则P(x0＋Δx, (x0＋Δx)2). 于是割线P0P的斜率 故抛物线在点P0(x0，x02)处的切线斜率为2x0. 探究新知 思考7：观察函数s(t)＝t2的图象，平均速度 的几何意义是什么？瞬时速度v(1)呢？ t s O s(t)＝t2 1 1 2 2 3 4 P0 P T (2) 割线的斜率： (3) 切线的斜率： 思考8 回顾本刚才的探究过程，你学到了什么？ 无限逼近的极限思想 知识总结 (1) 切线的定义： 1.抛物线切线的斜率 2.研究方法 (4) 瞬时速度的几何意义. 切线 割线 无限逼近 取极限 28 课堂练习 教材P64 解: 补充练习 1．求抛物线 f(x)＝－2x2＋1在点(1，－1)处的切线方程． 2. 求曲线y＝ x2－2在点(1，－ )处的切线的倾斜角． 解: 4x＋y﹣3=0 解: 45° $