专题20.1勾股定理及其应用（寒假衔接讲义）（4大知识点预习+ 10大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期

20.1勾股定理及其应用 知识点1：勾股定理的定义与表示 1.文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边为a、b，斜边为c，则。 3.适用条件：仅适用于直角三角形，需明确直角边与斜边（未明确时需分类讨论）。 知识点2：勾股定理的证明 1.核心思想：面积法，通过图形的拼接、切割，利用“总面积不变”推导三边关系。 2.常见方法：赵爽弦图（四个全等直角三角形+小正方形拼成大正方形）； 3.证明关键：将不规则图形转化为规则图形，建立面积等式，化简得到勾股定理。 知识点3：勾股定理的直接应用 1.求边长：已知直角三角形两边，求第三边（，，）。 2.求面积：利用勾股定理求直角三角形的高（等面积法：，得）。 3.分类讨论：当未明确斜边时，需分“已知边为斜边”和“已知边为直角边”两种情况。 知识点4：勾股定理的实际应用与拓展 1.实际问题建模：将生活中的直角情境（如梯子滑动、航海、折叠、旗杆测量）转化为直角三角形。 2.最短路径问题：①平面内“将军饮马”模型；②立体图形（圆柱、长方体）表面最短路径（化曲为直，展开为平面图形）。 3.数轴表示无理数：构造直角三角形，使斜边长度为目标无理数（如可由直角边1和2的斜边得到）。 【基础必考题型】 【题型1】直接应用勾股定理求边长 1.核心知识点: 勾股定理的直接应用（已知直角边求斜边、已知斜边和一直角边求另一直角边）； 生活中简单直角情境的识别（如梯子、旗杆、河流宽度）。 2.解题方法技巧: 先明确直角三角形的直角边和斜边（最长边为斜边）； 代入勾股定理公式计算，结果需化简（如）； 涉及实际长度时，结果需符合实际意义（正数）。 【例题1】.已知中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 【变式题1-1】.一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，则它的斜边长为（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 【变式题1-2】.你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高、宽的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？ 【变式题1-3】.如图，在中，，则斜边上的高的长为（    ） A． B． C． D． 【题型2】勾股定理与数轴表示无理数（跨模块） 1.核心知识点: 勾股定理构造直角三角形； 实数与数轴的一一对应关系。 2.解题方法技巧: 要表示无理数，构造直角边为正整数的直角三角形（如可由直角边3和1构造）； 以数轴原点为直角顶点，在数轴上截取直角边长度，作垂线截取另一直角边，连接斜边； 以原点为圆心、斜边为半径画弧，交数轴正半轴于目标点。 【例题2】.如图所示，数轴上点所表示的数为 ． 【变式题2-1】.如图，数轴上点A所表示的数是 ． 【变式题2-2】.如图，，则数轴上点所表示的数为 ． 【变式题2-3】.如图，在数轴上的点表示的实数是 ． 【题型3】勾股定理与面积综合（基础） 1.核心知识点: 直角三角形面积公式； 勾股定理与等面积法的结合。 2.解题方法技巧: 已知两边求面积：直接用； 已知一边和面积求另一边：利用面积公式变形（如）； 求斜边上的高：用等面积法，先由勾股定理求斜边。 【例题3】.勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理．如图， (1)要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得______，用分割计算面积得______； (2)请尝试验证勾股定理． 【变式题3-1】.“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（   ） A．49 B．36 C．25 D．9 【变式题3-2】.“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是 ．    【变式题3-3】.如图，直角中，，点是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，下列关于，，之间的大小关系，正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【培优高频题型】 【题型4】网格中的勾股定理（数形结合） 1.核心知识点: 网格中构造直角三角形； 勾股定理的计算应用。 2.解题方法技巧: 以目标线段为斜边，在网格中找水平、竖直方向的直角边（数格子确定长度）； 代入勾股定理计算（如网格中直角边为3和4，斜边为）； 求网格三角形面积时，可利用“割补法”结合勾股定理验证。 【例题4】.如图，的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为1．求边的长． 【变式题4-1】.如图所示的网格是正方形网格，则 （点，，是网格线交点）． 【变式题4-2】.如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1． (1)【感知】如图1，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可在空白网格处拼成一个大正方形，这个大正方形的边长是___________； (2)【探究】如图2，将网格中阴影部分图形采用适当的方式裁剪后可拼成一个新的大正方形，请在图中的空白网格处画出所拼成的这个新的大正方形，这个正方形的边长是___________； (3)【应用】小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为5：2．他能否裁出这样的纸片？请说明理由． 【变式题4-3】.图①是由四个边长为的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形四的面积为，则这个格点正方形的边长为． (1)图②是由个小正方形网格组成的图形．那么格点正方形的边_______． (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)在由个小正方形网格组成的图④中，画出边长为的格点正方形． (4)在数轴上画出对应的点点． 【题型5】勾股定理的验证（面积法与图形拼接） 1.核心知识点: 面积法核心思想（图形拼接前后总面积不变）； 正方形、直角三角形的面积公式； 勾股定理的符号表示（，为直角边，为斜边）。 2.解题方法技巧: 分析拼接图形组成（如大正方形由小正方形+4个全等直角三角形组成）； 用两种方法表示同一图形面积：①整体面积（如大正方形面积）；②部分面积和（如小正方形面积+4个直角三角形面积）； 建立面积等式，化简后推导得出。 【例题5】.用四个图（1）所示的直角三角形拼成图（2）．在图（2）中，用“两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和”，验证勾股定理． 【变式题5-1】.著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边的长度为a，b，斜边的长度为c，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH．测得千米，千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）在中，，，，且点D在直线上，，请直接写出的值． 【变式题5-2】.（1）材料学习：勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1，图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．材料中的方法体现的数学思想是（   ） A．函数思想    B．分类讨论思想    C．数形结合思想    D．整体思想 （2）灵活运用：某同学提出了一种证明勾股定理的方法，如图3，点B是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为a，b，c，将裁剪拼接至位置，该同学用面积不变的方法证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．（提示，可连接试试） 【变式题5-3】.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)证明勾股定理 取4个与（图1）全等的三角形，其中，，，，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理． (2)应用勾股定理 ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴在点D右侧的交点C表示的数是________； ②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【题型6】含分类讨论的边长求解（易错） 1.核心知识点: 勾股定理的应用； 直角三角形斜边的不确定性（分类讨论思想）。 2.解题方法技巧: 当题目未明确斜边时，分两种情况：①已知边为斜边；②已知边为直角边； 列方程求解后，验证三边是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）； 示例：已知Rt△ABC中，，，求：当为斜边时；当为斜边时。 【例题6】.在中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为 ． 【变式题6-1】.直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形的另两边可能是 ．（写出一组即可） 【变式题6-2】.已知直角三角形的两边，满足． (1)求，的值； (2)求这个直角三角形第三边的长度． 【变式题6-3】.直角三角形的两边满足，那么这个三角形的面积是（    ） A． B．或 C． D．或 【题型7】勾股定理与折叠问题（几何变换） 1.核心知识点: 折叠的性质（对应边相等、对应角相等）； 勾股定理的方程应用。 2.解题方法技巧: 折叠后找相等的线段（如折叠点B到B'，则，）； 设未知数（如设，则）； 以折叠后形成的直角三角形为模型，列勾股定理方程（如Rt△B'CE中，）。 【例题7】.如图，在中，，，，将折叠，沿折叠，使点与点重合，则的周长等于 ． 【变式题7-1】.如图所示，长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则长为（   ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.在数学综合实践课上，贺老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点A与边中点F重合，折痕为，分别交边、边于点D、点E． ①求的度数．②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形． 纸片，，折叠该纸片，使点A落在边上的点F处，折痕为，分别交边、边于点D、点E．若，，求的长度． (3)深度探究 如图3，折叠（、为锐角）纸片，使点A落在的下方点F处，折痕分别交边、边于点D、点E，线段与分别交于点M、点N，若，点D、点F到的距离相等，求证：． 【变式题7-3】.在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 【题型8】生活中的实际应用（情境题） 1.核心知识点: 勾股定理的建模应用； 生活情境与直角三角形的转化。 2.解题方法技巧: 提取情境中的直角关系（如梯子、墙、地面构成直角三角形；航海中南北、东西方向构成直角）； 确定直角边和斜边的实际长度（注意单位统一）； 代入勾股定理求解，验证结果的实际可行性（如梯子滑动的安全距离）。 【例题8】.《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为尺，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式题8-1】.如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为，和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是（  ） A． B． C． D． 【变式题8-2】.如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【变式题8-3】.如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两个城镇A，B，现在计划在火车轨道上修建一个货运中转站，使得中转站P到城镇A，B的距离相等．为此某中学“综合与实践”小组开展了“确定货运中转站位置”的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如表： 课题 确定货运中转站位置 测量工具 皮尺 测量示意图    说明：， 测量数据 ，， 通过测量数据，请你确定货运中转站应修建在距离点M多少千米处？ 【压轴素养题型】 【题型9】立体图形表面最短路径（空间转化） 1.核心知识点: 化曲为直的转化思想； 勾股定理的平面应用。 2.解题方法技巧: 展开立体图形（圆柱侧面展开为长方形、长方体展开为平面图形）； 确定展开图中两点的位置，构造直角三角形（直角边为展开图的长和宽）； 代入勾股定理计算最短路径（如圆柱高、底面周长，展开后直角边为和）。 【例题9】.如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位：），一只蚂蚁沿台阶表面从点A出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（   ） A． B． C． D． 【变式题9-1】.如图1，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物．若蚂蚁沿图1中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是．将圆柱沿将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是 （取3）；经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．当蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等，则 ．（取3） 【变式题9-2】.如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是_____． (2)如图1，该金属丝长度最短需要______． (3)如图2，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图3，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【变式题9-3】.十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表了“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图①，在一个长、宽、高分别为，，的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙与后墙及地面的墙角处（即M点处），苍蝇正好在左面墙与房顶相交位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！ 【方案设计】 为了研究上面提出的“蚂蚁爬行”的最短路线问题，小明先进行了如下操作；如图②，是由个棱长为的小正方体所搭建的几何体，一只蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，沿什么路线爬行所走路程最短？ （1）观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线． ①填空：例如：图③是由上面与右面展开得到的平面图形；图④是由_______面与________面展开得到的平面图形（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）； ②画图：3种不同的爬行路线，小明已经画出了其中两种，请你在网格中补充出第三种展开得到的平面图，并画出相应的最短路线，即线段； （2）比较验证 ③比较，，三种爬行路线的长短后可得，线段，，中最短路线是________； 【问题回归】 定义：如图⑤，在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．数学语言表达：如图，如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可用进行相关计算．请你试着用从上面定义中学到的新知识解决你遇到的问题． （3）最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图①），若那只蚂蚁所走的路程用d表示，则最小值为_____． 【题型10】勾股定理新定义问题（素养） 1.核心知识点: 新定义的理解与转化； 勾股定理的综合应用。 2.解题方法技巧: 解读新定义（如“垂美四边形”：对角线垂直的四边形）； 利用定义转化为直角三角形问题（如垂美四边形中，，通过对角线交点构造直角三角形推导）； 结合勾股定理列方程或计算。 【例题10】.定义：在中，若，，，且，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”请根据以上定义解决下列问题： (1)判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； (2)如图，若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，求的度数； 【变式题10-1】.定义：如果一个三角形两边平方的和等于第三边平方的倍，我们称这样的三角形为“奇异三角形”． (1)根据“奇异三角形”的定义，下列结论中： 等边三角形一定是“奇异三角形”； 直角三角形可能是“奇异三角形”； 边长为、、的三角形是“奇异三角形”． 其中正确的有___________．（只填序号） (2)若是“奇异三角形”，且其两边长分别为，则第三边的边长为___________． (3)如图，在中，，以为斜边作等腰直角，，点是下方的一点，且满足，，猜想是否是“奇异三角形”，并证明． 【变式题10-2】.小明同学在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为他积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是他尝试着给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索。 特殊四边形（筝形）的探究学习单 观察猜想 定义： 四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 任务一： 小明在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形有一组对角应该是相等的．进一步观察后，发现这类“筝形”应该还具有其它性质；请再猜想一条筝形的性质：______；（除定义外） 推理验证 任务二： 根据数学探究的步骤，我们需要对小明的猜想进行推理验证：如图，筝形中，，，求证：． 性质应用 任务三： 如图，筝形中，，，，求筝形的面积． 任务四： 如图，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数为______． 【变式题10-3】.定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； (3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 易错点 1.应用勾股定理时未明确直角边和斜边，忽略分类讨论（如已知两边为3和4，直接认为斜边为5，漏解）； 2.折叠问题中找不到对应边，无法构造直角三角形，或设未知数后列方程出错； 3.立体图形最短路径问题不会展开，或展开后找错直角边长度； 4.实际问题建模错误，未准确识别直角三角形的三边对应关系（如航海中方向判断错误）。 重点 1.熟练掌握勾股定理的定义、符号表示，能准确应用于边长和面积计算； 2.掌握分类讨论思想，处理斜边不确定的情况； 3.学会将实际问题、立体图形转化为直角三角形模型，运用勾股定理求解； 4.理解勾股定理的证明思想（面积法），能简单拼图验证。 难点 1.分类讨论的全面性，避免漏解； 2.立体图形的展开与最短路径的构造； 3.实际问题的数学建模（从复杂情境中提取直角三角形）； 4.勾股定理与规律探究、新定义问题的综合应用，培养归纳推理和创新思维。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，嘉淇在C点设桩，使，并测得长米，长米，则A点和B点之间的距离为（ ）米 A．100 B．80 C．60 D．120 2．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，，，均为格点（小正方形的顶点），以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（   ） A． B．3 C．2 D． 3．如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知， ，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．如图，中 ，，点D在边上，连接，沿翻折，使点C落在边点E上，则（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 5．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是 ． 7．在直角三角形中，，，，平分交于点，则的长为 ． 8．如图，在中，，点P、A分别位于直线异侧，连接，，，当，时，则的长为 ． 9．如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上中点，M为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 10．如图，把等边三角形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，于点．若，则的长为 ． 三、解答题 11．作图题 (1)的顶点都在格点上，在图中作出，使与关于轴对称； (2)在数轴上表示实数．（作图时保留痕迹，不必写作法） 12．如图，在中，，D为内一点，，其中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点F． (1)求的度数； (2)用等式表示的数量关系，并证明． 13．如图，将长方形纸片，沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知厘米，厘米，求的长． 14．在中，，，，为的中点，为边上一动点．当构成的四边形有一组邻边相等时，求的长． 15．如下图，长方体的底面相邻两边的长分别是和，高是．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕1圈到达点，那么所用细线最短需要多长？如果从点开始经过4个侧面缠绕圈到达点，那么所用细线最短时，其长度的平方是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1勾股定理及其应用 知识点1：勾股定理的定义与表示 1.文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边为a、b，斜边为c，则。 3.适用条件：仅适用于直角三角形，需明确直角边与斜边（未明确时需分类讨论）。 知识点2：勾股定理的证明 1.核心思想：面积法，通过图形的拼接、切割，利用“总面积不变”推导三边关系。 2.常见方法：赵爽弦图（四个全等直角三角形+小正方形拼成大正方形）； 3.证明关键：将不规则图形转化为规则图形，建立面积等式，化简得到勾股定理。 知识点3：勾股定理的直接应用 1.求边长：已知直角三角形两边，求第三边（，，）。 2.求面积：利用勾股定理求直角三角形的高（等面积法：，得）。 3.分类讨论：当未明确斜边时，需分“已知边为斜边”和“已知边为直角边”两种情况。 知识点4：勾股定理的实际应用与拓展 1.实际问题建模：将生活中的直角情境（如梯子滑动、航海、折叠、旗杆测量）转化为直角三角形。 2.最短路径问题：①平面内“将军饮马”模型；②立体图形（圆柱、长方体）表面最短路径（化曲为直，展开为平面图形）。 3.数轴表示无理数：构造直角三角形，使斜边长度为目标无理数（如可由直角边1和2的斜边得到）。 【基础必考题型】 【题型1】直接应用勾股定理求边长 1.核心知识点: 勾股定理的直接应用（已知直角边求斜边、已知斜边和一直角边求另一直角边）； 生活中简单直角情境的识别（如梯子、旗杆、河流宽度）。 2.解题方法技巧: 先明确直角三角形的直角边和斜边（最长边为斜边）； 代入勾股定理公式计算，结果需化简（如）； 涉及实际长度时，结果需符合实际意义（正数）。 【例题1】.已知中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （）利用勾股定理直接计算即可； （）利用勾股定理直接计算即可； 【详解】（1）解：∵为直角边，为斜边，， ∴； （2）解：∵为直角边，为斜边，， ∴． 【变式题1-1】.一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，则它的斜边长为（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理．利用勾股定理直接计算斜边长即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别是3和4， ∴它的斜边长为 故选：B 【变式题1-2】.你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高、宽的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， 即这根木条的长至少． 【变式题1-3】.如图，在中，，则斜边上的高的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键． 先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ， ∴， 即． 故选：A． 【题型2】勾股定理与数轴表示无理数（跨模块） 1.核心知识点: 勾股定理构造直角三角形； 实数与数轴的一一对应关系。 2.解题方法技巧: 要表示无理数，构造直角边为正整数的直角三角形（如可由直角边3和1构造）； 以数轴原点为直角顶点，在数轴上截取直角边长度，作垂线截取另一直角边，连接斜边； 以原点为圆心、斜边为半径画弧，交数轴正半轴于目标点。 【例题2】.如图所示，数轴上点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，先根据勾股定理求出圆弧半径，结合图形即可得到答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，圆弧半径为， ∴数轴上点所表示的数是， 故答案为：． 【变式题2-1】.如图，数轴上点A所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与无理数、实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理可得数轴上表示的点与其右侧点之间的距离，再根据数轴的性质解答即可得． 【详解】解：∵数轴上表示的点与其右侧点之间的距离为， ∴数轴上点所表示的数是． 故答案为：． 【变式题2-2】.如图，，则数轴上点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟记定理并求出的长是解题的关键．先根据勾股定理列式求出的长，即为的长，再根据数轴上的点的表示解答．． 【详解】解：由勾股定理得， ， 点在数轴上表示的数为， 数轴上点所表示的数为， 故答案为：． 【变式题2-3】.如图，在数轴上的点表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出线段的长，进而求出线段的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得， ∴， ∵点A在原点右侧， ∴点A表示的数为， 故答案为：． 【题型3】勾股定理与面积综合（基础） 1.核心知识点: 直角三角形面积公式； 勾股定理与等面积法的结合。 2.解题方法技巧: 已知两边求面积：直接用； 已知一边和面积求另一边：利用面积公式变形（如）； 求斜边上的高：用等面积法，先由勾股定理求斜边。 【例题3】.勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理．如图， (1)要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得______，用分割计算面积得______； (2)请尝试验证勾股定理． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明及整式的混合运算，熟练掌握勾股定理及整式混合运算的运算法则是解题的关键． （1）分别用两种方法“整体计算”和“分割计算”表示直角梯形的面积； （2）两种方法表示出的直角梯形的面积相等，列出等式，整理后证明出即可． 【详解】（1）用整体计算面积：直角梯形的面积， 用分割计算面积：三个直角三角形的面积， （2）直角梯形的面积为， 也可以表示为三个直角三角形的面积和，即， ， ． 【变式题3-1】.“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（   ） A．49 B．36 C．25 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意求得大正方形的边长，根据勾股定理求出直角三角形的小直角边长为3，从而得小正方形的边长，即可得出结果． 【详解】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的小直角边为a， ∵大正方形的面积是169， ∴， ∵直角三角形的长直角边是12， ∴， ∴小正方形的边长， ∴小正方形的面积． 故选：A． 【变式题3-2】.“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了以“赵爽弦图”为背景得图形面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，（负值舍去），，由勾股定理得到，则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，大正方形的面积是169，      ∴， 解得，（负值舍去）， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，直角三角形的长直角边是12， ∴， ∴， ∴， ∴小正方形的面积是， 故答案为： ． 【变式题3-3】.如图，直角中，，点是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，下列关于，，之间的大小关系，正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查角平分线的性质和勾股定理，关键是根据角平分线的性质得出和和的高相等解答．根据角平分线的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：点是三条角平分线的交点， 和和的高相等，高设为h， 的面积记为，的面积记为，的面积记为， ，， ， ， ， 故选：B． 【培优高频题型】 【题型4】网格中的勾股定理（数形结合） 1.核心知识点: 网格中构造直角三角形； 勾股定理的计算应用。 2.解题方法技巧: 以目标线段为斜边，在网格中找水平、竖直方向的直角边（数格子确定长度）； 代入勾股定理计算（如网格中直角边为3和4，斜边为）； 求网格三角形面积时，可利用“割补法”结合勾股定理验证。 【例题4】.如图，的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为1．求边的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了勾股定理．利用勾股定理解答即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ． 【变式题4-1】.如图所示的网格是正方形网格，则 （点，，是网格线交点）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长交格点于，连接，根据勾股定理得到，，得出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形外角的性质得到结论． 【详解】解：延长交格点于，连接， 则，， ， 是等腰直角三角形，且， ． 故答案为：． 【变式题4-2】.如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1． (1)【感知】如图1，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可在空白网格处拼成一个大正方形，这个大正方形的边长是___________； (2)【探究】如图2，将网格中阴影部分图形采用适当的方式裁剪后可拼成一个新的大正方形，请在图中的空白网格处画出所拼成的这个新的大正方形，这个正方形的边长是___________； (3)【应用】小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为5：2．他能否裁出这样的纸片？请说明理由． 【答案】(1) (2)作图见解析； (3)不能裁出这样的纸片，理由见解析 【分析】本题考查网格中勾股定理的应用，画正方形，开平方运算，解题的关键在于熟练运用勾股定理解决问题． （1）利用勾股定理求解，即可解题； （2）根据题意得到网格中阴影部分面积，再利用正方形性质得到这个正方形的边长，并结合勾股定理画出图形即可； （3）设长方形纸片的长为，宽为，根据长方形的面积为，列出方程求解，得到长方形纸片长和宽，利用正方形的面积为，得到正方形边长，将长方形纸片长和宽与正方形边长，进行比较判断，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，这个大正方形的边长是， 故答案为：． （2）解：由题知，阴影部分面积为5，拼成的这个新的大正方形边长为， ∵， 故所作新的大正方形如图所示： （3）解：不能裁出这样的纸片，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为． 则有， （舍负）， ∴长为，宽为， 原来正方形的面积为， ∴原来正方形的边长为， ， 不能裁出这样的纸片． 【变式题4-3】.图①是由四个边长为的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形四的面积为，则这个格点正方形的边长为． (1)图②是由个小正方形网格组成的图形．那么格点正方形的边_______． (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)在由个小正方形网格组成的图④中，画出边长为的格点正方形． (4)在数轴上画出对应的点点． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析； (4)见解析． 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格、勾股定理与实数，解决本题的关键是利用勾股定理画出长度为无理数的线段． 直接运用勾股定理计算即可； 因为，利用勾股定理画图即可； 因为，利用勾股定理画图即可； 在数轴上构造直角边长为和的直角三角形，直角三角形的斜边为，以为圆心为半径，向左画弧，弧与数轴的交点表示的数为. 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 在由个小正方形网格组成的图中画出边长为的格点正方形，如下图所示； （3）解：， 在由个小正方形网格组成的图中画出边长为的格点正方形，如下图所示； （4）解：在数轴上画出对应的点点，如下图所示． 【题型5】勾股定理的验证（面积法与图形拼接） 1.核心知识点: 面积法核心思想（图形拼接前后总面积不变）； 正方形、直角三角形的面积公式； 勾股定理的符号表示（，为直角边，为斜边）。 2.解题方法技巧: 分析拼接图形组成（如大正方形由小正方形+4个全等直角三角形组成）； 用两种方法表示同一图形面积：①整体面积（如大正方形面积）；②部分面积和（如小正方形面积+4个直角三角形面积）； 建立面积等式，化简后推导得出。 【例题5】.用四个图（1）所示的直角三角形拼成图（2）．在图（2）中，用“两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和”，验证勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，正确理解题意得到是解题的关键．先根据题意得到图（2）中大正方形边长为，小正方形边长为c，再根据面积之间的关系得到，即可推出． 【详解】解：由题意得，图（2）中大正方形边长为，小正方形边长为， ∵图（2）中，两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和， ∴， ∴， ∴． 【变式题5-1】.著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边的长度为a，b，斜边的长度为c，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH．测得千米，千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）在中，，，，且点D在直线上，，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3）的长为10或22 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识，熟知勾股定理是解题的关键． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）分点D在线段上和点D在线段的延长线上两种情况，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得， ， 解得，即千米， 千米， 答：新路比原路少千米； （3）如图所示，当点D在线段上时， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 如图所示，当点D在的延长线上时， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 综上所述，的长为10或22． 【变式题5-2】.（1）材料学习：勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1，图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．材料中的方法体现的数学思想是（   ） A．函数思想    B．分类讨论思想    C．数形结合思想    D．整体思想 （2）灵活运用：某同学提出了一种证明勾股定理的方法，如图3，点B是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为a，b，c，将裁剪拼接至位置，该同学用面积不变的方法证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．（提示，可连接试试） 【答案】（1）C，（2）证明见详解 【分析】本题考查了勾股定理的证明． （1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想； （2）连接，将拼接后的四边形分成两个三角形，根据题中信息，先证明为等腰直角三角形，进而得出中相关线段长，求出各个图形面积，再利用拼接前后两个图形的面积相等即可得证． 【详解】（1）解：根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想， 故答案为：C； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴正方形的面积为， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，整理得：， ∴． 【变式题5-3】.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)证明勾股定理 取4个与（图1）全等的三角形，其中，，，，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理． (2)应用勾股定理 ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴在点D右侧的交点C表示的数是________； ②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1)见解析； (2)①；②绳索的长为 【分析】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用． （1）根据正方形的面积为，或，即可得到，化简即可证明； （2）①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可； ②设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，正方形的边长为，则面积为， 又正方形由正方形和4个全等的三角形组成，故面积为， ∴， 即， ∴． 即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和． （2）解：①∵在中，，， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 答案为：； ②∵，， ∴． 设秋千的绳索长为，即， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：． ∴绳索的长为． 【题型6】含分类讨论的边长求解（易错） 1.核心知识点: 勾股定理的应用； 直角三角形斜边的不确定性（分类讨论思想）。 2.解题方法技巧: 当题目未明确斜边时，分两种情况：①已知边为斜边；②已知边为直角边； 列方程求解后，验证三边是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）； 示例：已知Rt△ABC中，，，求：当为斜边时；当为斜边时。 【例题6】.在中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了勾股定理．本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设第三边为x，则 （1）若8是直角边，则第三边x是斜边， 由勾股定理得，，解得：； （2）若8是斜边，则第三边x为直角边， 由勾股定理得，，解得． 所以第三边长为10或． 故答案为：10或． 【变式题6-1】.直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形的另两边可能是 ．（写出一组即可） 【答案】37，35或20，16或9，15或5，13（任写一组即可） 【分析】设直角三角形的斜边是c，另一条直角边是a，根据勾股定理，得，则，借助因数分解的方法即可求得另外两边的可能值． 【详解】解：设直角三角形的斜边是c，另一条直角边是a. 根据勾股定理，得， 即， 则有 或 或 或 ． ∴或或 或， 则另外两边可能是37，35或20，16或15，9或13，5． 故答案为：37，35或20，16或9，15或5，13（任写一组即可） 【点睛】此题为开放性试题，答案不唯一．根据勾股定理得到另外两条边的平方差，再进一步借助因式分解和因数分解的知识，得到关于两条边的方程组，从而求解． 【变式题6-2】.已知直角三角形的两边，满足． (1)求，的值； (2)求这个直角三角形第三边的长度． 【答案】(1)， (2)这个直角三角形的第三边的长度是或 【分析】本题考查了勾股定理，非负数的性质； （1）根据非负数的性质，即可求解； （2）需分两种情况讨论：①已知两边均为直角边；②较长的边为斜边，另一边为直角边．再根据勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，. ∵，为三角形的两边， ∴舍去， ∴，. （2）解：①若，都为直角边，则第三边长度为； ②若为斜边，为直角边，则第三边长度为. 综上所述，这个直角三角形的第三边的长度是或. 【变式题6-3】.直角三角形的两边满足，那么这个三角形的面积是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，非负数的性质，先根据非负数的性质求出的值，再分情况讨论求出三角形的面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由， 则，， ∴，， ∴，， 当、为直角三角形两直角边时，三角形的面积是； 当为直角边、为斜边时，由勾股定理得另一直角边长为， 此时三角形的面积是； 综上可知：这个三角形的面积是或， 故选：． 【题型7】勾股定理与折叠问题（几何变换） 1.核心知识点: 折叠的性质（对应边相等、对应角相等）； 勾股定理的方程应用。 2.解题方法技巧: 折叠后找相等的线段（如折叠点B到B'，则，）； 设未知数（如设，则）； 以折叠后形成的直角三角形为模型，列勾股定理方程（如Rt△B'CE中，）。 【例题7】.如图，在中，，，，将折叠，沿折叠，使点与点重合，则的周长等于 ． 【答案】17 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等． 根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 的周长． 故答案为：17． 【变式题7-1】.如图所示，长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的翻折变换、勾股定理和长方形的性质．设，则，根据折叠的性质得，在中，，即可求得x． 【详解】解：设，则， ∵长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点C与点A重合， ∴， 在中，， ∴，解得：． 故选：A． 【变式题7-2】.在数学综合实践课上，贺老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点A与边中点F重合，折痕为，分别交边、边于点D、点E． ①求的度数．②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形． 纸片，，折叠该纸片，使点A落在边上的点F处，折痕为，分别交边、边于点D、点E．若，，求的长度． (3)深度探究 如图3，折叠（、为锐角）纸片，使点A落在的下方点F处，折痕分别交边、边于点D、点E，线段与分别交于点M、点N，若，点D、点F到的距离相等，求证：． 【答案】(1)①；②见解析 (2)10 (3)见解析 【分析】（1）①根据等边三角形的性质结合折叠的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质，折叠的性质及角的等量代换，得到，设 ，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）作，分别交于．证明，得到，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵等边三角形，F为中点， ∴， ∵， ∴． ②∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形． （2）解：∵， ∴， ∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则 在中，， ∴， 解得：， ∴． （3）证明：作 ，，分别交于K，G，H． ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 【变式题7-3】.在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 【答案】(1)①；②见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）①根据等边三角形的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质、折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）先证明，得到，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：①等边三角形，点为的中点， ， ， ； ， ②证明：， 同理①得， 为等边三角形； （2）， ， 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， ，， ． （3）如图，作，，，分别交于，，． ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，同理可得：， ． 【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 【题型8】生活中的实际应用（情境题） 1.核心知识点: 勾股定理的建模应用； 生活情境与直角三角形的转化。 2.解题方法技巧: 提取情境中的直角关系（如梯子、墙、地面构成直角三角形；航海中南北、东西方向构成直角）； 确定直角边和斜边的实际长度（注意单位统一）； 代入勾股定理求解，验证结果的实际可行性（如梯子滑动的安全距离）。 【例题8】.《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为尺，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设为x尺，则尺，根据勾股定理得： ， 则， 即， 故选：D． 【变式题8-1】.如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为，和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，长方体的体对角线是最长的，当木棒在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可． 【详解】解：由题意知：盒子底面对角线长为， 盒子的对角线长：， 又细木棒长， 故细木棒露在盒外面的最短长度是：， 故选：D． 【变式题8-2】.如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米 (2)大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 【变式题8-3】.如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两个城镇A，B，现在计划在火车轨道上修建一个货运中转站，使得中转站P到城镇A，B的距离相等．为此某中学“综合与实践”小组开展了“确定货运中转站位置”的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如表： 课题 确定货运中转站位置 测量工具 皮尺 测量示意图    说明：， 测量数据 ，， 通过测量数据，请你确定货运中转站应修建在距离点M多少千米处？ 【答案】千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，根据勾股定理得到，求解即可． 【详解】设，则， ，，， ， ， 解得， 中转站P应修建在离点M千米处． 【压轴素养题型】 【题型9】立体图形表面最短路径（空间转化） 1.核心知识点: 化曲为直的转化思想； 勾股定理的平面应用。 2.解题方法技巧: 展开立体图形（圆柱侧面展开为长方形、长方体展开为平面图形）； 确定展开图中两点的位置，构造直角三角形（直角边为展开图的长和宽）； 代入勾股定理计算最短路径（如圆柱高、底面周长，展开后直角边为和）。 【例题9】.如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位：），一只蚂蚁沿台阶表面从点A出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平面展开的最短路径问题．先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 将台阶展开成平面图形，根据两点之间，线段最短得到最短路线，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：将台阶展开成平面图形，如图所示， 在中，，， ， 即一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是． 故选：C． 【变式题9-1】.如图1，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物．若蚂蚁沿图1中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是．将圆柱沿将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是 （取3）；经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．当蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等，则 ．（取3） 【答案】 15 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意得最短路径“路线二”为线段的长，则有，根据勾股定理可进行求解；由题意易得，进而求解即可． 【详解】解：由题意得最短路径“路线二”为线段的长，底面圆的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故答案为15；． 【变式题9-2】.如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是_____． (2)如图1，该金属丝长度最短需要______． (3)如图2，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图3，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了求最短路径(勾股定理的应用)以及两点之间线段最短，画出正确的侧面展开图是解题关键； （1）根据过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短，即可判断； （2）由展开图可知：，求出；即可求解； （3）若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是以周长及高为直角三角形的斜边长的4倍；据此即可求解； （4）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，求出；根据，即可求解； 【详解】（1）解：∵过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短， ∴将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是； （2）解：由展开图可知：， ∴； 该金属丝长度最短需要，即 ； （3）解：若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是以周长及高为直角三角形的斜边长的4倍； ∵， ∴所需金属丝最短长度是； （4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 则，， ∴， ∵底面周长为， ∴， ∴； ∵， ∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是； 【变式题9-3】.十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表了“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图①，在一个长、宽、高分别为，，的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙与后墙及地面的墙角处（即M点处），苍蝇正好在左面墙与房顶相交位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！ 【方案设计】 为了研究上面提出的“蚂蚁爬行”的最短路线问题，小明先进行了如下操作；如图②，是由个棱长为的小正方体所搭建的几何体，一只蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，沿什么路线爬行所走路程最短？ （1）观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线． ①填空：例如：图③是由上面与右面展开得到的平面图形；图④是由_______面与________面展开得到的平面图形（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）； ②画图：3种不同的爬行路线，小明已经画出了其中两种，请你在网格中补充出第三种展开得到的平面图，并画出相应的最短路线，即线段； （2）比较验证 ③比较，，三种爬行路线的长短后可得，线段，，中最短路线是________； 【问题回归】 定义：如图⑤，在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．数学语言表达：如图，如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可用进行相关计算．请你试着用从上面定义中学到的新知识解决你遇到的问题． （3）最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图①），若那只蚂蚁所走的路程用d表示，则最小值为_____． 【答案】（1）①上，后；②见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了长方体的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理； （1）①观察图形即可得到答案； ②补充由前面与右面展开得到的平面图形，即可求解； （2）比较大小，即可求解； （3）根据（1）的方法，画出三种不同的爬行路线，结合定义，分别计算，比较大小，即可求解． 【详解】解：（1）图④是由上面与后面展开得到的平面图形， 故答案为：上，后． ②如图所示，由前面与右面展开得到的平面图形 （2），，， ∵， ∴线段，，中最短路线是， 故答案为：． （3）如图，由左面与后面展开得到的平面图形 根据定义可得； 如图，由上面与后面展开得到的平面图形 根据定义可得； 如图，由上面与右面展开得到的平面图形 根据定义可得； ∵， ∴最小值为． 故答案为：． 【题型10】勾股定理新定义问题（素养） 1.核心知识点: 新定义的理解与转化； 勾股定理的综合应用。 2.解题方法技巧: 解读新定义（如“垂美四边形”：对角线垂直的四边形）； 利用定义转化为直角三角形问题（如垂美四边形中，，通过对角线交点构造直角三角形推导）； 结合勾股定理列方程或计算。 【例题10】.定义：在中，若，，，且，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”请根据以上定义解决下列问题： (1)判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； (2)如图，若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，求的度数； 【答案】(1)等边三角形不是“类勾股三角形”，理由见解析； (2)的度数为． 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识． （1）根据“类勾股三角形”的定义、勾股定理计算，得出直角三角形是等腰直角三角形，根据假命题的概念判断即可； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出． 【详解】（1）解∶ 等边三角形不是“类勾股三角形”， 理由：设等边三角形的三边长分别为，，，则， ， 等边三角形不是“类勾股三角形”； （2）证明：等腰三角形是“类勾股三角形”，，， ， ， 是直角三角形，且． ， ， 的度数为． 【变式题10-1】.定义：如果一个三角形两边平方的和等于第三边平方的倍，我们称这样的三角形为“奇异三角形”． (1)根据“奇异三角形”的定义，下列结论中： 等边三角形一定是“奇异三角形”； 直角三角形可能是“奇异三角形”； 边长为、、的三角形是“奇异三角形”． 其中正确的有___________．（只填序号） (2)若是“奇异三角形”，且其两边长分别为，则第三边的边长为___________． (3)如图，在中，，以为斜边作等腰直角，，点是下方的一点，且满足，，猜想是否是“奇异三角形”，并证明． 【答案】(1)； (2)或或； (3)是“奇异三角形”，见解析． 【分析】本题考查了“奇异三角形”定义，勾股定理，等腰三角形性质，三边关系，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“奇异三角形”定义逐一分析即可， （）设第三边的边长为，然后根据“奇异三角形”定义分 ， ， 三种情况分析，再结合三边关系即可求解； （）通过勾股定理，等腰三角形和“奇异三角形”定义即可求解． 【详解】（1）解：设是等边三角形，则， ∴， ∴为“奇异三角形”，故原结论正确； 设的直角边为，，斜边为， ∴， 若，或时，， ∴或， ∴可能是“奇异三角形”，故原结论正确； ∵，、， ∴， ∴边长为、、的三角形是“奇异三角形”，原结论正确； 故选：； （2）解：设第三边的边长为， ， 解得：，符合三边关系， ， 解得：，符合三边关系， ， 解得：，符合三边关系， 故答案为：或或； （3）解：是“奇异三角形”， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“奇异三角形”． 【变式题10-2】.小明同学在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为他积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是他尝试着给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索。 特殊四边形（筝形）的探究学习单 观察猜想 定义： 四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 任务一： 小明在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形有一组对角应该是相等的．进一步观察后，发现这类“筝形”应该还具有其它性质；请再猜想一条筝形的性质：______；（除定义外） 推理验证 任务二： 根据数学探究的步骤，我们需要对小明的猜想进行推理验证：如图，筝形中，，，求证：． 性质应用 任务三： 如图，筝形中，，，，求筝形的面积． 任务四： 如图，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数为______． 【答案】任务一：筝形的对角线互相垂直； 任务二：见解析； 任务三：； 任务四：或 【分析】任务一：连接，推出垂直平分，得到筝形的对角线互相垂直； 任务二：连接，证明，得到； 任务三：设相交于点，由题得到，，，推出是等边三角形，求出，得到，得到； 任务四：分两种情况：当，；当，，分别计算即可． 【详解】任务一：解：如图，连接， ， 垂直平分， 筝形的对角线互相垂直； 故答案为：筝形的对角线互相垂直； 任务二： 证明：如图，连接， ，， ， ； 任务三： 解：如图，设相交于点 ，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 垂直平分， ， ， ， ； 任务四： 解：， ， 当四边形为筝形时 如图， 当，，     则， ； 如图， 当，， 则， 综上所述，的度数为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了新定义，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质与判定，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，灵活运用各知识点是解题的关键． 【变式题10-3】.定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； (3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 【答案】(1)是 (2)5 (3)2或1或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，以及等直三角形的定义，解题关键是读懂题目中给的等直三角形定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据等直分割线的定义判断即可； （2）根据等直三角形可得：，，，，结合等腰三角形的判定和性质即可解答； （3）根据等直三角形的定义，分是直角三角形和等腰三角形时，画出图形，分别求解即可. 【详解】（1）解：直角三角形一定是等直三角形 证明：如图：是的垂直平分线， ，则是等腰三角形， 是直角三角形 是的一条等直分割线段； ∴直角三角形一定是等直三角形， 故答案为：是； （2）是的等直分割线段 是等腰三角形 设：，则 在中，根据勾股定理得 解得 ； （3）在中，，，是的等直分割线段， ①若，时，如图1， ∴， ∴， ∴， ②若，时，如图2， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ③若，时，如图3， ∴ ④若，时，如图4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长可以为或或. 故答案为：或或. 易错点 1.应用勾股定理时未明确直角边和斜边，忽略分类讨论（如已知两边为3和4，直接认为斜边为5，漏解）； 2.折叠问题中找不到对应边，无法构造直角三角形，或设未知数后列方程出错； 3.立体图形最短路径问题不会展开，或展开后找错直角边长度； 4.实际问题建模错误，未准确识别直角三角形的三边对应关系（如航海中方向判断错误）。 重点 1.熟练掌握勾股定理的定义、符号表示，能准确应用于边长和面积计算； 2.掌握分类讨论思想，处理斜边不确定的情况； 3.学会将实际问题、立体图形转化为直角三角形模型，运用勾股定理求解； 4.理解勾股定理的证明思想（面积法），能简单拼图验证。 难点 1.分类讨论的全面性，避免漏解； 2.立体图形的展开与最短路径的构造； 3.实际问题的数学建模（从复杂情境中提取直角三角形）； 4.勾股定理与规律探究、新定义问题的综合应用，培养归纳推理和创新思维。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，嘉淇在C点设桩，使，并测得长米，长米，则A点和B点之间的距离为（ ）米 A．100 B．80 C．60 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键． 根据勾股定理可以直接求解． 【详解】解：由题可知，米，米，， 米． 故选：C 2．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，，，均为格点（小正方形的顶点），以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】首先确定的长度，再利用“以为圆心，为半径画弧”可知，接着结合网格确定的长度，最后在直角三角形中运用勾股定理计算的长度． 【详解】解：如图，连接， 由网格图可知：， ∵以为圆心，为半径画弧， ∴． 在中， ． ∴． 故选：A ． 【点睛】本题考查了勾股定理和网格中线段长度的计算，解题关键是根据半径相等确定点的准确位置，再结合勾股定理计算目标线段的长度． 3．如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知， ，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握方程思想是解题关键． 设，则，利用“”，结合勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设，则， ，， ，， ， ， 化简得， 解得，即． 故选：． 4．如图，中 ，，点D在边上，连接，沿翻折，使点C落在边点E上，则（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理和翻折的性质，熟练掌握勾股定理列方程以及翻折的性质是解决本题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，再由翻折可得，设，则，，在，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由、、，满足， 故是直角三角形，， 沿翻折后，落在上的点， 因此：，，， 即，设，则，； 又， 在中， ，即， 解得，即． 故选：C． 5．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，坐标与图形，首先得到， ，然后由折叠结合平行线的性质得到，推出，设，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵长方形的顶点、、， ∴， 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为． 故选：A． 二、填空题 6．如图，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理与网格，解题的关键在于能够根据题意求出的长． 先利用勾股定理求出的长，即可得到的长，再根据实数与数轴的关系求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵点A表示的数为， ∴点E表示的数为， 故答案为：． 7．在直角三角形中，，，，平分交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，过点D作于点E，利用勾股定理求出的长，由角平分线的性质得到，根据求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图所示，过点D作于点E， ∵在中，，，， ∴， ∵平分交于点，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，，点P、A分别位于直线异侧，连接，，，当，时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，过点作，交的延长线于点，利用已知条件证明，得到，然后分别在，，中利用勾股定理求出，列方程求出，最后求出，通过作辅助线构造直角三角形，将已知条件集中起来是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图， 则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， 在中， 由勾股定理，得，， 设，则， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， 在中， 由勾股定理，得． 故答案为：． 9．如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上中点，M为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】8 【分析】此题考查了轴对称——最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论，熟知等腰三角形三线合一的性质，两点之间线段最短是解答此题的关键． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得：（）， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短（）， 故答案为：8． 10．如图，把等边三角形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据折叠得到，进而得到，从而得到的长. 【详解】解：是等边三角形， ，． ， ， ． ， ， ． 由折叠的性质，得，， ， ， ． ， ， ． 故答案为：. 三、解答题 11．作图题 (1)的顶点都在格点上，在图中作出，使与关于轴对称； (2)在数轴上表示实数．（作图时保留痕迹，不必写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，勾股定理，实数与数轴，熟知相关知识是解题的关键． （1）关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）画出直角边为1，斜边为2的直角三角形，则该直角三角形的另一直角边的长为，以数轴上表示数字2的点为圆心，为半径画弧交数轴于点A（点A在表示数2的点的左侧），则点A即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点A即为所求． 12．如图，在中，，D为内一点，，其中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点F． (1)求的度数； (2)用等式表示的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用， （1）证明即可得出； （2）过点C作交于点H，证明得出，再求出，，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴．即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点C作交于点H， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 13．如图，将长方形纸片，沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知厘米，厘米，求的长． 【答案】10厘米 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，根据题意可得，厘米，，由折叠的性质可得厘米，，利用勾股定理求出的长，设厘米，则厘米，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，厘米，， 厘米， 厘米， 由折叠知厘米，， 在中，由勾股定理得厘米 设厘米，则厘米， 在中，由勾股定理得 ， 解得， 的长为10厘米． 14．在中，，，，为的中点，为边上一动点．当构成的四边形有一组邻边相等时，求的长． 【答案】2或3或 【分析】先由勾股定理求得边的长度，然后分三种情况讨论四边形邻边相等时点的位置，即可计算的长度； 本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得． 为的中点， ． 当构成的四边形有一组邻边相等时，有以下三种情况： ①如图①，当时， ， ， ； ②如图②，当时，作，垂足为，连接． ， ，． ， ， ， ，即． 设，则． 在中，． 在中，， ， ， 解得， 即； ③如图③，当时，作，垂足为． 由②可知， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得． 在中，，， ， 即， 解得，即， ． 综上所述，的长为2或3或． 15．如下图，长方体的底面相邻两边的长分别是和，高是．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕1圈到达点，那么所用细线最短需要多长？如果从点开始经过4个侧面缠绕圈到达点，那么所用细线最短时，其长度的平方是多少？ 【答案】 【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：将长方体的侧面展开，如图所示． ，， ， 用一根细线从点开始经过个侧面缠绕圈到达点，所用细线最短需要． 如果从点开始经过个侧面缠绕圈到达点，则长方体的侧面展开图的一边长，即, 那么所用细线最短时，其长度的平方是． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 学科网（北京）股份有限公司 $