精品解析：山东省济宁市汶上县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年度第一学期期末阶段练习 九年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分．考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷前务必每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案． 3．答第Ⅱ卷时，在题号所示答题区域作答，答题作图时，先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 4．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、解题过程或演算步骤． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，不是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列函数中，是的反比例函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数，判断各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A、 ，是正比例函数，故此选项不符合题意； B、，是反比例函数，故此选项符合题意； C、，是一次函数，故此选项不符合题意； D、，是二次函数，故此选项不符合题意． 故选： B． 3. 在一个不透明的箱子里，装有红、白两种颜色的小球共12个．某同学经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则箱子中红球有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到红球的频率稳定在0.25左右，得到摸到红球的概率为0.25，再利用总数乘以概率进行计算即可． 【详解】解：由题意，摸到红球的概率为0.25， 故箱子中红球有：（个）； 故选C． 4. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5. 已知点，点，点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小．通过将各点的横坐标代入二次函数解析式，直接计算对应的纵坐标值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵ 点，点，点都在二次函数的图象上， ∴， ， ， ∴． 故选：C． 6. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， ∴ 故选：A. 7. 如图，四边形ABCD内接于，，连接BD，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆的性质． 根据圆的内接四边形对角互补可得的度数，由弦相等可得弧相等，从而可得圆周角相等，计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：C． 9. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点E，连接交于点F，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故选：A． 【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键． 10. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点B，顶点为点D，对称轴为直线．其中点，点，且．有以下结论： ①；②；③若方程的两个根为，则，；④点D到轴的距离小于4．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴交点问题，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由抛物线开口向上得到，然后由对称轴得到，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到，即可判断①；由对称轴为直线得到，然后将代入抛物线得到，代入得到，然后根据得到，即可判断②；分别将和代入方程，整理求出和或6，进而可判断③；先求出点坐标为，然后利用的取值范围即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵对称轴为直线， ∴， ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴当时，，， ∴方程转化为， 解得； ∴当时，，， ∴方程转化为， 解得或6； ∵方程的两根为、， ∴，，故③正确； 将代入， 将，代入得，， ∴， ∵， ∴， ∴点D到轴的距离小于4，故④正确； 综上所述，其中正确结论有3个． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为． 故答案为： 12. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 13. 如图，内接于，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点D，连接并延长交于点，连接，．若．则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握垂直平分线的作法是解题关键．由作图方法，可知为的垂直平分线，再根据等边对等角，可得，进而得，根据圆周角定理即可求得答案． 【详解】解：由作图方法，可知为的垂直平分线， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据和勾股定理列方程是解题的关键．求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，利用待定系数法即可求出实数k的值． 【详解】解：当时，，解得， ∴点B的坐标为， ∵点C坐标为， ∴， 设点A坐标为， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴点A坐标为， ∴， 解得， 故答案为： 15. 定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，进而得到，，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：； 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、解题过程或演算步骤． 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行方程，即可作答． （2）先把整理得，运用因式分解法进行方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 17. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定．转动转盘、等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色．若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘． （1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为_______； （2）任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查几何概率，利用列表法求概率，正确的列出表格，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知，任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 列表： 第二次 第一次 红 白 蓝 红 （红，红） （红，白） （红，蓝） 白 （白，红） （白，白） （白，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝） 共有9种等可能结果，颜色不同的结果有6种， ． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，三个顶点的坐标分别为点，点，点． （1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出平移后的，并写出点的坐标； （2）将绕原点逆时针旋转，得到，画出旋转后的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查作图——平移变换、旋转变换、弧长的计算，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 由图可得，． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 由图可得， 【小问3详解】 解：由勾股定理得，， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为． 19. 小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 （1）表格中的值是 ； （2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【答案】（1）100 （2） 与之间的函数图象，如图所示： （3） 当的长增大时，拉力减小，理由： 由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出是的反比例函数． （1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【小问1详解】 解：根据表格中的数据发现： ， 因此点与点的距离与拉力F的乘积不变， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明：∵，是的切线，即， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； （2）的半径 【解析】 【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 如图所示，连接，设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径． 【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 21. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）3元 （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. 【小问3详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若是一元二次方程的两个实数根，则求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，解题的关键是掌握二次函数的性质； （1）利用二次函数的对称性进行求解； （2）①利用二次函数的顶点坐标及，建立方程求解即可；②利用方程的根及根与系数的关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象过点，． 对称轴为直线， ， ； 【小问2详解】 解：①二次函数的最大值为， ，， 又， ， 解得， ， ，则， ； ②由①知，方程为：，即， 若是一元二次方程的两个实数根， 则，， ． 23. 综合与实践 【问题提出】 探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 【探究发现】 （1）如图1，在中，，点是边上一点，过点作于点，于点，过点作于点．连接，由分割法可得图形面积： ______，则____________； 【实践应用】 （2）如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点，过点作于点，于点．当时，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，是半圆的直径，，是弦，，点是上一点，，垂足为点．已知，，，直接写出与的面积之和． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）图形面积分割法得出，根据得出； （2）过点作于点，过点作于点，根据等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得，，进而根据旋转的性质可得是等边三角形，同理求得的长，进而根据（1）的结论，即可求解； （3）延长、交于点，过点作于点，连接，设，根据圆周角定理得出，在，中，根据勾股定理求得，进而根据弧与圆周角的关系得出，根据前面的结论，即可求解． 【详解】解：（1），，， ， ， ， ， 故答案为：，，； （2）如图，过点作于点，过点作于点， 是等边三角形，， ， ， ，， ， ， ， 在中，． 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ，则， 由（1）可得； （3）如图，延长、交于点，过点作于点，连接， 设， 是半圆的直径， ， ，，， 在中，， 在中，， ， 解得， 即， ， ，， ， ， 由（2）可得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，含度角的直角三角形的性质，弧与圆周角的关系，熟练掌握等面积法求线段长是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期末阶段练习 九年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分．考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷前务必每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案． 3．答第Ⅱ卷时，在题号所示答题区域作答，答题作图时，先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 4．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、解题过程或演算步骤． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，不是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是的反比例函数的为（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的箱子里，装有红、白两种颜色的小球共12个．某同学经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则箱子中红球有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 5. 已知点，点，点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形ABCD内接于，，连接BD，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点E，连接交于点F，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点B，顶点为点D，对称轴为直线．其中点，点，且．有以下结论： ①；②；③若方程的两个根为，则，；④点D到轴的距离小于4．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为________． 12. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 13. 如图，内接于，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点D，连接并延长交于点，连接，．若．则的度数为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______． 15. 定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是_______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、解题过程或演算步骤． 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定．转动转盘、等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色．若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘． （1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为_______； （2）任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，三个顶点的坐标分别为点，点，点． （1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出平移后的，并写出点的坐标； （2）将绕原点逆时针旋转，得到，画出旋转后的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留）． 19. 小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 （1）表格中的值是 ； （2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 20. 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 21. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若是一元二次方程的两个实数根，则求的值． 23. 综合与实践 【问题提出】 探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 【探究发现】 （1）如图1，在中，，点是边上一点，过点作于点，于点，过点作于点．连接，由分割法可得图形面积： ______，则____________； 【实践应用】 （2）如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点，过点作于点，于点．当时，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，是半圆的直径，，是弦，，点是上一点，，垂足为点．已知，，，直接写出与的面积之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $