精品解析：河南省洛阳市豫西北联盟（洛阳二测）2026届高三第二次质量检测数学试题

2025—2026学年高三年级质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法化简得到，结合虚部概念即得解. 【详解】由题可得：，所以的虚部为, 故选：D 2. 已知集合，则的所有子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据子集个数的计算公式求解. 【详解】由， 所以的所有子集的个数为. 故选：A 3. 已知抛物线，上的点与焦点的距离为4，则（ ） A. 2 B. 4 C. 2或 D. 4或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设，结合抛物线的定义可求得，再将点代入抛物线方程即可求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义，到焦点的距离为，得， 则抛物线方程为， 将点代入抛物线方程得，则. 故选：D 4. 在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，利用三点共线，推出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】如图，由点O是BC的中点，得， 由三点共线，得，，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以取得最小值2. 故选：B 5. 已知，则，，的大小关系不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数图象直接画图求解即可. 【详解】设， 则分别为与图象交点的横坐标， 当时，如下图所示，此时，故B情况可能出现； 当时，且位于和交点上方时， 如下图所示，此时，故C情况可能出现； 当时，且位于和交点下方时， 如下图所示，此时，故D情况可能出现. 所以不可能出现. 故选：A 6. 设，，，则下列说法错误的为（ ） A. B. 为奇函数 C. D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】化简，结合三角函数的图像与性质依次判断选项即可. 【详解】由题可得：, 所以，故A正确； ,由于为奇函数，所以为奇函数，故B正确； 由于,而与不相等，故C错误； 当时，，则，故D正确； 故选：C 7. 定义在上的奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】构造研究其奇偶性、区间单调性，问题转化为求与的交点个数，数形结合判断交点个数，即可得. 【详解】令且定义域为R，则， 所以为偶函数，在上， 所以在上单调递减，结合偶函数的对称性知，其在上单调递增， 由，则，且，则， 由于函数 由的零点个数等价于与的交点个数，函数大致图象如下， 函数关于对称，且时，， 在、上分别单调递减、单调递增， 显然时， 在上单调递增，则时恒成立， 在上单调递减，且时,， 所以使， 综上，与的交点横坐标有，即有3个零点. 故选：D 8. 已知点为双曲线的右顶点，点的坐标为，若上存在一点（不与点重合），使得，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据圆的性质可得点的轨迹方程为，联立方程解得坐标，由题意建立不等式，结合离心率的定义，可得答案. 【详解】设，因为，则， 则点的轨迹方程为以为直径的圆， 又中点为，， 所以点的轨迹方程为． 联立，又， 整理得，即， 则（舍去）或，由题意知点在双曲线的右支上，即， 所以，则，即，则， 所以，又， 则的离心率的取值范围为. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，函数有两个极值点，，则（ ） A. 可能是负数 B. C. 曲线在点处的切线方程为 D. 为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导，分析函数的单调性，即可求解判断ABD；根据导数的几何意义求解判断C. 【详解】由，则， 当时，，则在上单调递减，没有极值，故A错误， 当时，令，得， 不妨设，则，故B正确， 当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在区间上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点， 而，则， 所以 为定值，故D正确； 对于C，由，则，而， 则曲线在点处的切线方程为，故C正确. 故选：BCD 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若数列为等差数列，，，则时，最大 C. 若数列满足，，则 D. 若，则数列的前项和小于 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用与的关系即可求解，对于B，利用等差数列的前项和公式求解即可；对于C，求出数列是周期为3即可求解；对于D，利用裂项相消即可求解. 【详解】对于A，当时，,解得：， 当时，， 化简可得：， 所以, 则是首项为,公比为的等比数列，所以， 即,故A正确； 对于B，在等差数列中，,则, ,由于,则, 所以等差数列的公差小于，则, 则时，最大，故B正确； 对于C，数列满足，，则,,, 所以数列是周期为3的数列， 计算一个周期内的乘积：，,,故, 所以,故C不正确； 对于D，由题可得：, 所以数列的前项和, 即,由于,则， 即数列的前项和小于，故D正确； 故选：ABD 11. 已知正方体的棱长为2，为棱的中点，点满足，则（ ） A. 任意，三棱锥的体积是定值 B. 当时，与所成角的余弦值为 C. 存在，使得二面角的大小为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由不与平面平行，即点到面的距离不为定值，由此判断即可；对于BCD，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可. 【详解】对于A，不与平面平行， 到平面的距离不为定值， 三棱锥的体积不为定值，故A错误； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 当时，，则，， 所以， 则与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，由B知，， 则，即，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 若二面角的大小为， 则， 则，由于， 且函数开口向上，对称轴为， 则， 不存在，使得二面角的大小为，故C错误； 对于D，由C知，平面的一个法向量为， 因为，则， 而正方体的外接球的球心，则， 则到平面的距离， 而外接球半径， 截面圆半径的平方为， 则截面的面积为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 下面是按从小到大顺序排列的两组数据： 甲：1，3，，10，13，15，19，22，27，30；乙：2，5，7，，20，30. 若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据百分位数和中位数定义即可列出式子计算求解. 【详解】因为，甲组数据的第百分位数为第三个数和第四个数的平均数，即, 乙组数据的中位数为，根据题意得，解得：， 故答案为： 13. 已知某圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为3和5，则该圆台的侧面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的侧面公式即可求得其侧面积. 【详解】由于圆台的下底面半径为5，故下底面圆周为外接球的大圆， 如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为， 则圆台的高， 则圆台的母线长为， 所以可得圆台的侧面积为. 故答案为：. 14. 数列，满足：，，.设，，若，，则_____. 【答案】6733 【解析】 【分析】利用列举法可得，从而得到，，利用等差数列的求和公式求解即可. 【详解】由题可得：， 若时，，则除以余， 若时，，则能被整除， 若时，，则除以余1， 若时，，则除以余， 若时，，则除以余， 若时，，则能被整除， 若时，，则除以余1， 若时，，则除以余， 综上，当时，，， 则 由于，， 所以， 将正整数按每个分组：，每组中去掉型数，剩余3个数为一组， 所以， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，． （1）若，求； （2）为边上一点，且，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】 (1)根据已知条件和利用正弦定理可求出，再利用同角三角函数基本关系式可求出； (2)根据题意知为等腰三角形，再利用余弦定理得出为等边三角形可得，从而求出的面积． 【详解】（1）在中，由正弦定理及题设得 ，故， 解得， 又，所以. （2）设，则． 在中，由余弦定理得， ， 即，① 在等腰中，有，② 联立①②，解得或（舍去）． 所以为等边三角形，所以， 所以． 解法二：（1）同解法一． （2）设，则 因为， 所以， 由余弦定理得，得， 所以，解得或（舍去）． 所以为等边三角形，所以， 所以． 【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，任意三角形的面积，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算,是中档题. 16. 已知三棱锥和是边长为的等边三角形，平面平面 （1）求证：； （2）设为中点，为内的动点(含边界)，且平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明：取中点，连接.和是等边三角形， 面，面； （2）. 【解析】 【分析】证明：取中点，连接.根据三角形的性质和线面垂直的判定和性质可得证； 以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 取中点中点，连接，则平面平面所以在线段上运动，设，运用线面角的空间向量求解方法和二次函数的性质可求得范围. 【详解】略 以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 取中点中点，连接， 则平面平面所以在线段上运动， 则，， 设，. 设平面的一个法向量，则，即，平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则 . 所以直线与平面所成角的正弦值的范围为. 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，以及运用向量法求线面角的方法，关键在于得出动点运动的轨迹，运用向量的线性关系，设出动点的坐标，属于中档题. 17. 经调查发现，年龄（单位：岁）在[10，60]上的旅游者为中国乡村旅游的“目标客群”.为了充分了解此群体的旅游意愿，随机调查了“目标客群”中的300名旅游者，统计他们的年龄，得到如下统计表： 组名 A B C D E 年龄 人数 20 120 100 40 20 （1）用分层随机抽样的方法，从上面5组“目标客群”中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取4人，记抽到C组的人数为，E组的人数为.设，求的分布列和期望； （2）年龄在上的旅游者称为中国乡村旅游的“主流客群”.若把样本中“主流客群”的频率作为所有“目标客群”中“主流客群”的概率，则从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能被抽到多少人？ 【答案】（1） 0 1 2 3 4 . （2）15 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样特点求出，的所有可能取值为0，1，2，3，4，求出的所有可能取值的概率，进而得到分布列和期望； （2）根据题意设抽取到的乡村旅游者年龄在内的人数为，则，判断的单调性，求出的最大值，从而求得. 【小问1详解】 由题意得，这15人中，年龄在C组内的有（人）， 年龄在E组内的有（人）， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以，， ，，， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 【小问2详解】 样本中“主流客群”的频率为. 从所有“目标客群”中随机抽取20人， 设“主流客群”中被抽到的人数为，则 所以. 由于， 故当时，， 则. 当时，， 则. 所以当时，最大， 即从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能抽到15人. 18. 如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点，称点为点的“伴随点”．已知椭圆上的点的一个“伴随点”为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，点与点关于轴对称． （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）记（ⅰ）中的直线所过的定点为，若在直线上的射影分别为（，为不同的两点），记，，的面积分别为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （ⅰ）证明：当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，则， 联立整理得，则，，，所以， 直线的方程为，由椭圆的对称性知，若存在定点，则必在轴上． 当时， ， 即直线恒过定点． 当直线的斜率为0时，直线的方程为，也过． 综上，直线恒过定点． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由椭圆过点，其伴随圆过点列方程组即可求得椭圆方程； （2）（i）分直线的斜率不为0和为0两种情况讨论，直线的斜率不为0时可设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，结合椭圆的对称性，利用韦达定理化简即可求得直线恒过定点； （ii）法一：设直线的方程为，分别求出，则可得，结合二次函数的性质即可得的取值范围； 法二：表示，再结合二次函数的性质即可得的取值范围； 法三：设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理化简可得，再结合二次函数的性质即可得的取值范围. 【小问1详解】 因为椭圆过点，其伴随圆过点． 所以解得 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）解：法一：由题意知的斜率存在且不为0，， 设直线的方程为，，，， ， ， ， 由（ⅰ）知且， 则 ， 因为，所以，所以， 所以，所以， 故的取值范围为． 法二：， 由（ⅰ）知， ． （剩余部分同解法一） 法三：由（ⅰ）知直线恒过定点，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立整理得， 则，， 恒成立， ， ， ， 因为，不妨设，， ， 因为，所以，所以，所以， 故的取值范围为． 【点睛】对于范围和最值问题，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值或范围,最值常用基本不等式法、二次函数的性质以及利用求函数值域的方法(配方法、导数法等)求解. 解题模板: 第一步：将所求最值或范围的量用变量表示出来; 第二步：用基本不等式或二次函数的性质或求函数值域的方法求出最值或范围. 19. 已知函数，，的极值点为1. （1）求的值； （2）对，，使得，求的取值范围； （3）证明：（其中是自然对数的底数）. 【答案】（1） （2） （3） 在上单调递减，所以，， 令，，有； 再由（2）可得，即，则， 即，也即，∴，, ． 则, 所以 【解析】 【分析】（1）先求出导函数再应用1是极值点代入求参即可； （2）把存在及恒成立转化为最值问题，先求出，再分类讨论求出计算求参即可； （3）应用，再结合（2）得出，应用不等式的性质计算即可证明. 【小问1详解】 因为的极值点为1，且，所以 所以，经检验符合题意， 因此可得. 【小问2详解】 对，总存在使得成立， 等价于存在使得成立， 由（1），若，，函数单调递增，若，，函数单调递减，所以， 所以存在，使得， ，，当时， ①当时，若，，函数单调递减，，不符合题意； ②当时，，使得， 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减， 即，则，使得，符合题意； ③当时，若，，函数单调递增，， 则，使得，符合题意； 综上可知，所求实数的取值范围是 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高三年级质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知集合，则的所有子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 3 3. 已知抛物线，上点与焦点的距离为4，则（ ） A. 2 B. 4 C. 2或 D. 4或 4. 在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 5. 已知，则，，的大小关系不可能为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则下列说法错误的为（ ） A. B. 为奇函数 C. D. ， 7. 定义在上奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知点为双曲线的右顶点，点的坐标为，若上存在一点（不与点重合），使得，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，函数有两个极值点，，则（ ） A. 可能是负数 B. C. 曲线在点处的切线方程为 D. 为定值 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若数列为等差数列，，，则时，最大 C. 若数列满足，，则 D. 若，则数列的前项和小于 11. 已知正方体的棱长为2，为棱的中点，点满足，则（ ） A. 任意，三棱锥的体积是定值 B. 当时，与所成角的余弦值为 C. 存在，使得二面角的大小为 D. 当时，平面截该正方体外接球所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 下面是按从小到大顺序排列的两组数据： 甲：1，3，，10，13，15，19，22，27，30；乙：2，5，7，，20，30. 若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则_____. 13. 已知某圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为3和5，则该圆台的侧面积为_____. 14. 数列，满足：，，.设，，若，，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，． （1）若，求； （2）为边上一点，且，求的面积． 16. 已知三棱锥和是边长为的等边三角形，平面平面 （1）求证：； （2）设为中点，为内的动点(含边界)，且平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 17. 经调查发现，年龄（单位：岁）在[10，60]上的旅游者为中国乡村旅游的“目标客群”.为了充分了解此群体的旅游意愿，随机调查了“目标客群”中的300名旅游者，统计他们的年龄，得到如下统计表： 组名 A B C D E 年龄 人数 20 120 100 40 20 （1）用分层随机抽样的方法，从上面5组“目标客群”中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取4人，记抽到C组的人数为，E组的人数为.设，求的分布列和期望； （2）年龄在上的旅游者称为中国乡村旅游的“主流客群”.若把样本中“主流客群”的频率作为所有“目标客群”中“主流客群”的概率，则从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能被抽到多少人？ 18. 如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点，称点为点的“伴随点”．已知椭圆上的点的一个“伴随点”为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，点与点关于轴对称． （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）记（ⅰ）中的直线所过的定点为，若在直线上的射影分别为（，为不同的两点），记，，的面积分别为，求的取值范围． 19. 已知函数，，极值点为1. （1）求的值； （2）对，，使得，求的取值范围； （3）证明：（其中是自然对数的底数）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $