精品解析：内蒙古包头市昆区2025-2026学年九年级上学期期末测试数学试题

2025-2026学年度九年级第一学期期末教学调研检测试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共有8小题，每道小题各3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图1是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体三视图，正确识别几何体的三视图是解题的关键，根据米斗的示意图，即可得到米斗的主视图． 【详解】解：米斗的示意图如图2所示， 米斗的主视图为 故选：A． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 3. 5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点D， 中，， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半． 4. 已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据二次函数的图象及性质判断a和b的符号，从而得出点所在象限． 【详解】解：由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ，， ， 在第四象限， 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，以及判断点所在象限，解题的关键是根据二次函数的图象判断出a和b的符号． 5. 已知点和都在反比例函数的图像上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，直接代入计算即可．将点A和点B的横坐标代入反比例函数解析式，分别求出，的值，再比较大小． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴． ∴． 故选：A． 6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 ；，则顶点 的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据、的互相垂直平分线，且，即有，问题得解． 【详解】解：连接 ，交于点， ， ， 四边形是正方形， 、的互相垂直平分线，且， ，， ∴点坐标， 故选：B． 【点睛】本题结合坐标系考查了正方形的性质，关键灵活运用正方形的性质进行线段计算，得出点的坐标． 7. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案． 【详解】解：∵的顶点坐标为（0，0） ∴将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1）， ∴所得抛物线对应的函数表达式为， 故选B 【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 8. 如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质及矩形的性质和勾股定理．先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：矩形中，， ∵矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处， ， 在中，， 则， 设，则， 在中，， 解得：， ， ， 故选：C． 二、填空题：本大题共有4小题，每道小题各3分，共12分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 9. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，将代入方程求解m即可． 【详解】解：把代入方程， 得，即， 整理得， 解得， 故答案：3． 10. “”是杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出的助手，2025年1月令全球瞩目．某同学随机从中选取一个字母，取得“”的概率是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解： “”中，共有8个字母，其中字母“e”出现4次， ∴字母“e”出现的频率是， 故答案：． 11. 如图，，若，，则的长度是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，找到对应的边成比例是解题的关键．根据相似三角形的性质列出方程即可求解． 【详解】解：，． ， 当时，． 故答案为：9 12. 如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边上，且，连接并延长至点F，使，连接，连接并延长交于点G．若，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识．先证明是等边三角形，证明，，再证明得出，进而求出即可求出结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1． 三、解答题：本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解法解方程以及特殊角的三角函数混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用十字相乘法分解因式，进而计算得出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值分别化简，再进行加减，进而得出答案． 【小问1详解】 解：， ， ，； 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：） 【答案】乙楼的高为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 由题意得，四边形为矩形，，，，则，，，然后解求出，再由即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，四边形为矩形，，， ∴，，， ∵在中，， ∴， ∴， 答：乙楼的高为． 15. 我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图； （2）估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ （3）甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 【答案】（1）50人；；补全条形统计图见解析 （2）80人 （3）；列表法见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体以及用列表法或树状图法求随机事件的概率，解题的关键是从统计图中提取有效信息（如部分数量及对应百分比）计算总人数和各项目人数，再通过样本比例估计总体数量，同时准确列举所有可能结果计算概率． （1）①由B类人数人）及占比求抽取学生总数即可；②先计算D类人数占比，再用360度乘以占比即可求得圆心角；③用总数减去已知类别人数求得C类人数，补全条形图即可； （2）先求得样本中C类人数占比，再用总体人数乘以该占比即可； （3）列表列举甲、乙从A、B、C三类中选择的所有可能结果数，再找出两人选同一项目的结果数，然后用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵B类有人，且占抽取学生总数的， ∴抽取的学生人数为（人）． ∵D类有人， ∴D类人数占总人数的比例为， 则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为． ∵总人数为人，A类8人，B类人，D类人，E类6人， ∴C类人数为（人），补条形统计图如下． 故答案为：50人；． 【小问2详解】 解：∵样本中C类人数为人，占抽取总人数的比例为， ∴估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为（人）． 答：估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生有人． 【小问3详解】 解：设A、B、C三类项目分别用字母A、B、C表示，列表如下： 甲\乙 A B C A B C 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人填报同一项目的结果有3种：、、． ∴他们两人填报同一项目的概率为． 答：他们两人填报同一项目的概率是． 16. 将一条长为的铁丝剪成两段并把每一段铁丝做成一个正方形． （1）使这两个正方形的面积之和等于25，则其中较大正方形的边长是多少？ （2）这两个正方形的面积之和可能等于50吗？请说明理由． 【答案】（1）4 （2）不可能 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，根据两个正方形的面积之和等于25，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． （2）由题意建立方程，解方程发现一个根比7大，一个根为负数，均不符合题意． 【小问1详解】 解：设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为， 依题意列方程得， 整理得：， ， 解方程得，． 所以较大正方形边长为． 【小问2详解】 解：当，即时， 解得，， ，得，，，均不符合题意，舍去． 这两个正方形的面积之和不可能等于． 17. 已知二次函数． （1）直接写出抛物线的顶点坐标，并画出这个函数的图象； （2）①已知函数图象上两点和，若，请直接写出与的大小关系； ②当时，请直接写出y的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标，图象见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了画二次函数图象、将一般式化为顶点式、二次函数的性质等知识点，根据函数图象求不等式的解集是解答本题的关键． （1）将二次函数解析式化为顶点式可求得顶点坐标，运用描点法画出二次函数图象即可； （2）①根据二次函数的性质即可得到结论；②根据二次函数的性质得出取得最小值，顶点位置取得最大值即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴函数图象的顶点坐标； 列表如下： x 0 1 2 3 4 0 3 4 3 0 【小问2详解】 解：①∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵函数图象上两点和，， ∴， 故答案为：； ②∵，图象开口向下， 当时，取得最小值，， ∵顶点坐标为，则y的最大值为4， 当时，函数值y的取值范围． 18. 如图，在矩形中，，，将矩形绕点C按顺时针方向旋转角，得到矩形，与交于点E，的延长线与交于点F． （1）如图，当时，连接，请直接写出的值； （2）如图，当矩形的顶点落在的延长线上时，求的长； （3）如图，当时，连接，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、面积法等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线． （1）如图①中，矩形绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形，只要证明是等边三角形即可解决问题； （2）由，可得，推出，同理可得，由，求出，即可解决问题； （3）如图中，作于G，由，把问题转化为求，只要证明，证明，即可解决问题； 【小问1详解】 解：如下图中， ∵矩形绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 小问2详解】 解：如下图中， 在中，∵， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如下图中，作于G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级第一学期期末教学调研检测试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共有8小题，每道小题各3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备用具，是称量粮食的量器．如图1是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知点和都在反比例函数的图像上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 ；，则顶点 的坐标是（　　） A B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么的值为（ ） A B. C. D. 二、填空题：本大题共有4小题，每道小题各3分，共12分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 9. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是____． 10. “”是杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出的助手，2025年1月令全球瞩目．某同学随机从中选取一个字母，取得“”的概率是_______． 11. 如图，，若，，则的长度是______． 12. 如图，已知等边三角形，点D、E分别在边上，且，连接并延长至点F，使，连接，连接并延长交于点G．若，，则________． 三、解答题：本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 13. 计算： （1）； （2）． 14. 如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部仰角为到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：） 15. 我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图； （2）估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ （3）甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 16. 将一条长为的铁丝剪成两段并把每一段铁丝做成一个正方形． （1）使这两个正方形的面积之和等于25，则其中较大正方形的边长是多少？ （2）这两个正方形的面积之和可能等于50吗？请说明理由． 17. 已知二次函数． （1）直接写出抛物线的顶点坐标，并画出这个函数的图象； （2）①已知函数图象上两点和，若，请直接写出与的大小关系； ②当时，请直接写出y的取值范围． 18. 如图，在矩形中，，，将矩形绕点C按顺时针方向旋转角，得到矩形，与交于点E，的延长线与交于点F． （1）如图，当时，连接，请直接写出的值； （2）如图，当矩形的顶点落在的延长线上时，求的长； （3）如图，当时，连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $