精品解析：九师联盟2025-2026学年高三上学期第五次质量检测（1月）数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. R 2. 若向量，，，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 3. 若虚数i是关于的方程的一个根，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 不能确定 4. 某中学举办迎国庆歌咏比赛，邀请了七位评委，对一个选手打分后，得到一组互不相等的数据，去掉其中最高分与最低分得到的数据与原始数据一定相同的是（ ） A. 平均分 B. 极差 C. 标准差 D. 中位数 5. 已知直线，圆，则直线和圆的位置关系为（ ） A 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法确定 6. 若函数最小正周期为，且，的图象关于点对称，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 7. 将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，那么数列的前10项和为（ ） A. 560 B. 1330 C. 100 D. 385 8. 设函数，令，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C 若，，则 D. 若，，，，则 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的极值都大于0 C. D. 若，则 11. 伽利略说：大自然是一本用数学语言写成的书.人们在自然界中发现了斐波那契数列，其中，（），斐波那契数列在动植物生长、艺术设计和金融市场都有广泛应用.下列关于斐波那契数列的正确结论是（ ） A. B. C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则xy的取值范围是________． 13. 碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定的比率衰减，称为衰减率.考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年.假设某生物死亡时其体内碳14的含量为，则此生物的死亡时间t（，单位：年）和死亡后体内碳14的剩余含量M的函数关系可以是________． 14. 已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线与的右支交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知，B为锐角． （1）求角B的大小； （2）若，求面积的最大值． 16. 已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点． （1）求线段的长度； （2）若是上两点，是坐标原点，直线的斜率之积等于，求证：直线过定点． 17. 如图，在正三棱台中，，． （1）求正三棱台的体积V； （2）若Q是的中点，求直线QB与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）若有2个极值点，求m的取值范围； （3）若有2个零点，求m的取值范围． 19. 某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出8位候选人，然后在这8人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛． （1）已知某班甲、乙、丙三人已经入围8位候选人之中，现从这8人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组人数为X，求X的分布列与数学期望； （2）预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛．若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； （3）假如只有A组与B组进入决赛，胜者获得冠军．已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分．A组每道题先做对的概率都为，B组先做对的概率都为q，且，各题做题结果相互独立．现在有两种赛制可以供A组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军．你认为A组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. R 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集化简集合，由二次函数的值域化简集合，再根据并集的运算即可得结论. 【详解】因为解不等式可得，所以， 又因为，所以， 所以． 故选：C． 2. 若向量，，，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量坐标的线性运算可得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算列方程即可解得实数的值. 【详解】因为向量，， 所以， 由，可得， 故选：B． 3. 若虚数i是关于的方程的一个根，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数相等计算即可. 【详解】因为i是方程，，的一个根， 所以，即， 所以，，所以，， 因此． 故选：B． 4. 某中学举办迎国庆歌咏比赛，邀请了七位评委，对一个选手打分后，得到一组互不相等的数据，去掉其中最高分与最低分得到的数据与原始数据一定相同的是（ ） A. 平均分 B. 极差 C. 标准差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意由平均数、极差、标准差和中位数的定义分析可得答案. 【详解】由题意不妨设， 对于A，平均分可能变大、可能变小、可能不变，故A错误； 对于B，原始数据极差为，去掉其中最高分与最低分得到的数据极差为， 因所以，故极差变小，故B错误； 对于C，去掉最高分和最低分后，数据的离散程度变小，故标准差变小，故C错误； 对于D，原始数据中位数为，去掉其中最高分与最低分得到的数据中位数仍为，故中位数不变，故D正确. 故选：D. 5. 已知直线，圆，则直线和圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】求得直线的定点，求得圆的圆心与半径，计算可得，可得结论. 【详解】由，可得直线恒过定点， 由圆的标准方程为，可得圆心为，半径， 因为，所以点在圆内， 直线和圆相交． 故选：A． 6. 若函数的最小正周期为，且，的图象关于点对称，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由及关于点对称得，代入求值. 【详解】，则，由，得， 因为的图象关于点对称， 所以，解得， 又，所以， 所以． 故选：A． 7. 将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，那么数列的前10项和为（ ） A. 560 B. 1330 C. 100 D. 385 【答案】B 【解析】 【分析】列举出数列和的公共项的前10项，进而求解即可. 【详解】由于数列是以1为首项的奇数列，即， 数列是以1为首项的平方数列，即， 则数列和的公共项的前10项列举出来分别是：， 所以数列的前10项和为． 故选：B． 8. 设函数，令，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再根据指对数运算性质比较自变量的大小，利用函数的单调性，即可比较函数值大小， 【详解】，因为的定义域为， 且，所以是偶函数， 令，因在上单调递增， 又，当时，，即在上单调递增， 由复合函数的单调性知在上单调递增. 又，，， 因， 由，可得， 即，故可得，即． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，根据线面垂直的性质定理知A正确； 对于B，，无法推出，B错误； 对于C，因为，过作平面，则， 因为，所以，，所以，故C正确； 对于D，由面面平行的判定定理可知，一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则两个平面平行. 题中条件未指明直线相交，当时，结论不一定成立，故D错误． 故选：AC 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的极值都大于0 C. D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】求导，分析函数的单调性，进而判断各选项即可. 【详解】因为，所以， 则，故A正确； 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则的极小值为，故B错误； 因为在上单调递增，且， 所以，故C正确； 当时，由幂函数的性质，知， 因为在上单调递减，所以，故D错误． 故选：AC． 11. 伽利略说：大自然是一本用数学语言写成的书.人们在自然界中发现了斐波那契数列，其中，（），斐波那契数列在动植物生长、艺术设计和金融市场都有广泛应用.下列关于斐波那契数列的正确结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据斐波那契数列的递推公式可得到累加后即可判断A选项；取特殊值代入即可排除B选项；根据斐波那契数列的递推公式可得到，累加后即可得到C选项；将看成，然后再利用递推公式即可判断D选项. 【详解】因为，，则，且, 所以，，，…，，， 累加得，故A正确； 因为时，，故B错误； 因为，，…，， 将以上各式相加，得，故C正确； 因为，所以 ， 故D正确。 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则xy的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由得到以为变量的二次不等式，求解得范围. 【详解】由基本不等式，得，解得，当且仅当时，等号成立， 所以的取值范围是． 故答案为：. 13. 碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定的比率衰减，称为衰减率.考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年.假设某生物死亡时其体内碳14的含量为，则此生物的死亡时间t（，单位：年）和死亡后体内碳14的剩余含量M的函数关系可以是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一个半衰期的定义和指数的运算求出可得答案. 【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为， 那么死亡1年后生物体内碳14含量为， 死亡2年后生物体内碳14含量为， 死亡5730年后生物体内碳14含量为， 所以，，所以． 故答案为：． 14. 已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线与的右支交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点，设出直线方程，与双曲线方程联立，得到弦中点坐标，进而得到弦垂直平分线方程，令求出点的横坐标，再求解范围即可. 【详解】设，，弦的中点为， 由题意可得，，则， 设直线的方程为， 联立方程，整理得，，恒成立， 所以，. 因为直线和的右支交于两点，所以，解得， 所以，， 直线的方程为， 令，得， 又，所以，所以， 即点的横坐标的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知，B为锐角． （1）求角B的大小； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换可求得，可求角B的大小； （2）方法一：利用余弦定理结合基本不等式可求得，进而可求得面积的最大值．方法二：利用正弦定理可得，，从而可得，利用三角恒等变换及辅助角公式可求得面积的最大值． 【小问1详解】 因为， 所以， 即． 因为，所以，，又已知，所以． 【小问2详解】 方法一：在中，由余弦定理得， 又因为，，所以， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以的面积，即的面积的最大值为． 方法二：由，及正弦定理，得， 所以，， 所以的面积 ， 因，所以， 当，即时，取得最大值1， 取得最大值， 即面积的最大值为． 16. 已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点． （1）求线段的长度； （2）若是上两点，是坐标原点，直线的斜率之积等于，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，，联立抛物线方程与直线方程求出，利用焦半径公式即可求出答案； （2）设直线，，，联立抛物线方程与直线方程得到，由题意可得，求出即可证明. 【小问1详解】 由题意得，所以的方程为， 设，， 联立方程，得， 所以，， 由抛物线的定义，得. 【小问2详解】 易知直线的斜率不为，设直线，，， 联立方程，所以， 所以，，， 因为直线的斜率之积等于，即，即， 又，， 所以，即， 所以，解得， 所以直线过定点． 17. 如图，正三棱台中，，． （1）求正三棱台体积V； （2）若Q是的中点，求直线QB与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）确定正三棱台的高，求出上下底面的面积，利用棱台体积公式计算其体积. （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，通过向量夹角公式计算线面角的正弦值. 【小问1详解】 如图，设上、下底面的中心分别为，，连接，，过点作底面的垂线，垂足为，则在上，是正三棱台的高， 因为，都是正三角形，且，所以，， 由勾股定理，得， 所以正三棱台的体积． 【小问2详解】 如图，以为原点，为轴正方向，过作的平行线与交于点， 为轴正方向，为轴正方向，则，， 所以，，，， 所以，，． 设平面的法向量，则即 取，得，即平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知函数． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）若有2个极值点，求m的取值范围； （3）若有2个零点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线的斜率，由点斜式即可求得切线方程； （2） 函数有2个极值点，所以函数有2个变号零点，从而将问题转化为与的图象有2个交点，结合导数求出的单调区间和最值即可求解； （3）令，从而将问题转化为直线与的图象有2个交点，结合导数求出的单调区间和最值即可求解， 【小问1详解】 当时，，，， 所以. 所以的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为函数有2个极值点，所以函数有2个变号零点， 而，令，所以， 设，只需与的图象有2个交点. 因，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，又， 且当时，且，当时，且. 作出函数的图象如下： 由图知，当时，函数有2个极值点. 【小问3详解】 因，则1不是的零点， 令，则， 所以，令，欲使函数有2个零点， 只需直线与的图象有2个交点. 因， 当或时，，在和上单调递增； 当或时，，在和上单调递减，且， 的极大值为，的极小值为， 又当时，且，当且时，， 当且时，，当时，， 由图知，当或时，直线与的图象有2个交点， 即有2个零点时，的取值范围是. 19. 某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出8位候选人，然后在这8人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛． （1）已知某班甲、乙、丙三人已经入围8位候选人之中，现从这8人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为X，求X的分布列与数学期望； （2）预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛．若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； （3）假如只有A组与B组进入决赛，胜者获得冠军．已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分．A组每道题先做对的概率都为，B组先做对的概率都为q，且，各题做题结果相互独立．现在有两种赛制可以供A组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军．你认为A组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程． 【答案】（1）分布列见解析， （2） （3）组采用赛制二更有利于胜出，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出随机变量的取值及相应的概率，可得分布列，再利用数学期望公式求解即可； （2）利用相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式来求解可得答案； （3）按照赛制一，设做完选定的题后，求出组取得胜利的概率，按照赛制二，不妨设做完题，求出组取得胜利的概率，再做差比较大小可得答案. 【小问1详解】 由题意知随机变量取值可以为0，1，2，3， ，， ，． 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望； 【小问2详解】 设甲、乙、丙能独立做对该题的事件分别为， 则至少有两人做对该题的事件为： ，所以竞赛小组能进入决赛的概率为 ； 【小问3详解】 按照赛制一，设做完选定的题后，组的得分为，则， 组取得胜利的概率为； 按照赛制二，可以认为在赛制一的基础上再把剩下的两道题做完， 不妨设做完题，组取得胜利的概率为， 则， ， 已知，所以， 所以，因此组采用赛制二更有利于胜出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $