精品解析：宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题

银川一中2025-2026学年第一学期七年级数学素养检测B卷 总分：120分 时长：120分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 倒数是（ ） A 20 B. C. D. 2. 在，，，这四个数中，与互为相反数的数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 旅客上飞机前的安检，采用抽样调查 B. 要了解某小区居民垃圾分类情况，对小区的老年人进行调查 C. 对中央电视台《朗读者》的收视情况的调查，采用普查 D. 对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查，采用普查 4. 一副三角板，如图所示叠放在一起，的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列结论不正确的是（ ） A. 单项式的次数是3 B. 不是单项式 C. 多项式是五次三项式 D. 单项式的系数是 6. 《九章算术》是一部与现代数学的主流思想完全吻合的中国数学经典著作．其中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：原题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？受此启发，有如下改编问题：有几个人一起合买一件物品，每人出10钱，就会多出3钱；每人出8钱，就会缺少4钱．问买物品的人数和物品的价格各是多少？用一元一次方程的知识解答上述问题，设共有人，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，根据某机器零件设计图纸上的信息判断，点，在线段上，且，点为的中点，若，则（ ）． A B. C. D. 8. 风从贺兰山来，把古罗马的阶梯染成金黄——这是大美银川收到最浪漫的一封落日来信．我校七年级的一位同学用围棋子摆出了“大美银川”的大字，如图，按照某种规律摆成的一行“大”字，按照这种规律，第个“大”字棋子的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 在乡村的田野间，有一条连接村庄A和农田B的弯曲小路．为了方便村民们日常耕作、缩短从村庄到农田的通行距离，村民们决定将这条弯曲的小路改直．这一做法依据的数学基本事实是______． 10. 2025年11月，我国成功举办全球人工智能创新峰会，现场展示的国产智能芯片每秒可完成12500000亿次运算，标志着我国在高端芯片领域实现重大突破，这一成就向世界展现了“中国智造”的强大实力．请将12500000用科学记数法表示为______________． 11. 2025年是中华人民共和国成立76周年（也是中华全国总工会成立100周年），已知若，为有理数，则______ 12. 已知关于x的方程的解与方程的解相同，则a的值为______． 13. “河海不择细流，故能就其深”强调了包容和积累的重要性．以下正方体的表面展开图复原后，与“海”字相对的字是______． 14. 银川市金凤区某中学要举办数学文化节，需要制作一种多边形的宣传标牌．已知从这个多边形的一个顶点出发，最多可以引出12条对角线，则它的边数为______． 15. 铜钱是我国的早期货币，外圆内方的构造彰显了数学之美．如图，某铜钱外围是半径为a的圆，内含边长为b的正方形，下列表示铜钱阴影部分面积的代数式是__________． 16. 在北师大版七年级上册数学中，我们学习了有理数运算和代数式的相关知识．现定义了一种新运算“”：对于任意的有理数，规定：，若为整数，且，则满足条件的的所有值的和为______． 三、解答题（17-22题每题6分，23-24题每题8分，25-26题每题10分，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 下面是小明解方程的过程： 解：去分母，得，（第一步） 去括号，得，（第二步） 移项，得，（第三步） 全并同类项，得，（第四步） 系数化为1，得．（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是________________； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________； 任务二：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议：________________； 任务三：请你写出解该方程的正确解题过程． 19. 先化简，再求值．，其中，． 20. 如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． （1）分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； （2）若每个小立方块的棱长为3，则该几何体（不含与地面接触的面）的表面积是多少？ 21. 某巡警骑摩托车从岗亭出发，在一条东西方向笔直的道路上巡逻，规定向东为正，一段时间内行驶情况记录如下（单位：千米）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 （1）第七次行驶后停留在岗亭的什么方向？距离岗亭有多少千米？ （2）若他离开岗亭超过10千米，定位装置会给岗亭发送定位信息，请问他这一段时间内共有几次给岗亭发送定位信息？并通过计算说明理由． 22. 2025世界智能大会在上海举行，本届大会的主题是“智能时代，同球共济”．大会的举办掀起了人工智能热，学校计划组织七年级学生参观本地举办的智能科技展，其中5个展区的主题分别是：A．人工智能、B．工业互联网、C．智能交通、D．智慧生活、E．数字健康．为了解同学们的参展意向，学校随机抽取了七年级的部分学生进行了问卷调查，问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图（均不完整） 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生人数有__________人． （2）请把条形统计图补充完整． （3）求扇形统计图中“C智能交通”对应的扇形圆心角的度数． （4）根据以上调查，请估计该校七年级1200名学生参观意向为“A人工智能”的人数． 23. 数学课上，老师给出了如下问题：如图（1），，平分，若．求的度数． （1）以下是小刚的解答过程，请你帮助小刚同学将解答过程补充完整： 解：因为，平分， 所以____________（角平分线的定义）． 因为， 所以____________． （2）小彬说：“我觉得这道题有两种情况，小刚考虑的是在内部的情况，事实上，还可能在的内部”．根据小彬提出的想法，请你在图（2）中画出另一种情况对应的图形，并求出的度数． 24. 列方程解决问题故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿．故宫文物医院的两名修复师负责运送一批待修复的宫廷玉器．甲修复师先以40米/分钟的速度从文物库房出发前往修复工作室，10分钟后，乙修复师发现甲落下了关键的修复工具，立刻骑电动代步车以60米/分钟的速度从同一库房出发追赶．请问，乙修复师出发后多少分钟能追上甲修复师？ （1）小娟与小军两人根据题意，列出了不同的方程： 小娟： 小军： 小娟所列方程中的x的实际含义是________________________； 小军所列方程中的x的实际含义是________________________． （2）从第一问两个方程中选一个解方程，解决这个实际问题． 25. 数形结合是通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数：     （1）填空： 从图①中可以得到：，因此图①中共有______个黑色小正方形； 从图②中可以得到：，因此图②中共有______个黑色小正方形； 从图③中可以得到：______，因此图③中共有6个黑色小正方形． 【规律总结】 （2）由此可以猜想：图中共有______个黑色小正方形（用含的代数式表示，其中为正整数）． （3）根据上面的发现，我们还可以得到猜想：______（用含的代数式表示，其中为正整数）． 【探究应用】 （4）根据你发现结论，计算：． 【拓展应用】 （5）根据你发现的结论，计算：． 26. 数学实验室： 唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度． 数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为，点B表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）利用上述表示方法，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为______．（不化简） （2）结合上面的理解，若，则______． （3）当是______时，代数式． （4）若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P先沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，到达点B后立刻以原速向数轴负半轴运动．点Q沿数轴负方向运动，速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P与点Q相距1个单位长度？（请写出必要的求解过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川一中2025-2026学年第一学期七年级数学素养检测B卷 总分：120分 时长：120分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 的倒数是（ ） A. 20 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：C． 2. 在，，，这四个数中，与互为相反数的数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，化简绝对值，化简多重符号，相反数的定义等知识，需要判断四个数中哪些是的相反数（即1），分别计算每个数的值即可求解． 【详解】解：∵ ，，，， ∴与互为相反数（即等于1）的数有、、，共3个， 故选C 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 旅客上飞机前的安检，采用抽样调查 B. 要了解某小区居民垃圾分类情况，对小区的老年人进行调查 C. 对中央电视台《朗读者》的收视情况的调查，采用普查 D. 对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查，采用普查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抽样调查与普查的应用场景．普查适用于所有个体都必须调查的情况，抽样调查适用于从总体中抽取部分代表进行调查．根据普查和抽样调查这两种数据收集方式各自的特点判断即可． 【详解】解：A、∵旅客上飞机前的安检需对每个人检查，∴应采用普查，故A错误； B、∵只调查老年人不能代表全体居民，∴抽样不合理，故B错误； C、∵收视率调查通常采用抽样方法，∴普查不现实，故C错误； D、∵航母零部件质量要求高，需全面检查，∴采用普查正确，故D正确． 故选：D． 4. 一副三角板，如图所示叠放在一起，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角板的特点和平角的性质，根据三角板的特点，确定的度数，再根据平角的性质求出． 【详解】解：由题意可得：， ， 故选：D． 5. 下列结论不正确的是（ ） A. 单项式的次数是3 B. 不是单项式 C. 多项式是五次三项式 D. 单项式系数是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查单项式的定义、次数、系数以及多项式的次数和项数．根据定义逐一判断各选项． 【详解】解：单项式的次数是3，故A正确； 是单项式，故B错误； 多项式是五次三项式，故C正确； 单项式的系数是，故D正确． 故选：B． 6. 《九章算术》是一部与现代数学的主流思想完全吻合的中国数学经典著作．其中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：原题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？受此启发，有如下改编问题：有几个人一起合买一件物品，每人出10钱，就会多出3钱；每人出8钱，就会缺少4钱．问买物品的人数和物品的价格各是多少？用一元一次方程的知识解答上述问题，设共有人，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查一元一次方程的应用，正确理解“盈”和“不足”的含义是关键． 根据物品价格相等列方程即可． 【详解】解：∵每人出10钱，就会多出3钱， ∴物价为； ∵每人出8钱，就会缺少4钱， ∴物价为． ， 故选：A． 7. 如图，根据某机器零件设计图纸上信息判断，点，在线段上，且，点为的中点，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了线段的中点，线段的和差，根据，，求出，再根据点为的中点，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 8. 风从贺兰山来，把古罗马的阶梯染成金黄——这是大美银川收到最浪漫的一封落日来信．我校七年级的一位同学用围棋子摆出了“大美银川”的大字，如图，按照某种规律摆成的一行“大”字，按照这种规律，第个“大”字棋子的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探究．根据图形得出前几个图形棋子个数，找到规律第个“大”字中的棋子个数是，即可求解． 【详解】解：由题目得，第1个“大”字中的棋子个数是； 第2个“大”字中的棋子个数是； 第3个“大”字中的棋子个数是； ， 进一步发现规律：第个“大”字中的棋子个数是． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 在乡村的田野间，有一条连接村庄A和农田B的弯曲小路．为了方便村民们日常耕作、缩短从村庄到农田的通行距离，村民们决定将这条弯曲的小路改直．这一做法依据的数学基本事实是______． 【答案】两点之间，线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，熟知两点之间线段最短是解题的关键．根据两点之间线段最短进行求解即可． 【详解】解：村庄A和农田B是两个点，弯曲小路是曲线，改直后成为线段，依据数学基本事实“两点之间，线段最短”，从而缩短通行距离． 故答案为：两点之间，线段最短． 10. 2025年11月，我国成功举办全球人工智能创新峰会，现场展示的国产智能芯片每秒可完成12500000亿次运算，标志着我国在高端芯片领域实现重大突破，这一成就向世界展现了“中国智造”的强大实力．请将12500000用科学记数法表示为______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 2025年是中华人民共和国成立76周年（也是中华全国总工会成立100周年），已知若，为有理数，则______ 【答案】124 【解析】 【分析】该题考查了非负数的性质，代数式求值，利用非负数的性质，绝对值和平方数均为非负数，它们的和为零则每个部分均为零，从而求出x和y的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 则． 故答案为：124． 12. 已知关于x的方程的解与方程的解相同，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程的应用，关键是得出关于a的方程．求出第二个方程的解，把x的值代入第一个方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， ， 解得， ∵关于x的方程的解与方程的解相同， ∴把代入方程得：, 解得：． 故答案为：． 13. “河海不择细流，故能就其深”强调了包容和积累的重要性．以下正方体的表面展开图复原后，与“海”字相对的字是______． 【答案】细 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．根据正方体表面展开图的特征进行判断即可得到答案． 【详解】解：由正方体的展开图可知，“海”字所在面相对的面上的汉字是“细”． 故答案为：细． 14. 银川市金凤区某中学要举办数学文化节，需要制作一种多边形的宣传标牌．已知从这个多边形的一个顶点出发，最多可以引出12条对角线，则它的边数为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了多边形对角线的计算，根据多边形中，从一个顶点出发可以引出（是多边形的边数）条对角线的计算方法即可求解． 【详解】解：根据题意，设多边形的边数为， ， 解得，， ∴这个多边形的边数为15， 故答案为：15． 15. 铜钱是我国的早期货币，外圆内方的构造彰显了数学之美．如图，某铜钱外围是半径为a的圆，内含边长为b的正方形，下列表示铜钱阴影部分面积的代数式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是理解题意． 用圆的面积减去正方形的面积即可． 【详解】解：由题意，得 铜钱阴影部分面积为：， 故答案为：． 16. 在北师大版七年级上册数学中，我们学习了有理数的运算和代数式的相关知识．现定义了一种新运算“”：对于任意的有理数，规定：，若为整数，且，则满足条件的的所有值的和为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程、新定义，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据新运算的定义，将，代入公式，化简得到的表达式，再根据方程求解绝对值方程，得到的整数值，最后求这些值的和． 【详解】解：∵， ∴， 化简得， 所以或． 若，则；若，则． 为整数，满足条件，所有值的和为． 故答案为：2． 三、解答题（17-22题每题6分，23-24题每题8分，25-26题每题10分，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用，熟练掌握运算顺序（先乘方，后乘除，最后加减）和运算律（乘法分配律）是解题的关键． （1）将除法转化为乘法，利用乘法分配律展开计算． （2）先计算乘方，再按照乘除运算顺序从左到右依次计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 下面是小明解方程的过程： 解：去分母，得，（第一步） 去括号，得，（第二步） 移项，得，（第三步） 全并同类项，得，（第四步） 系数化为1，得．（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是________________； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________； 任务二：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议：________________； 任务三：请你写出解该方程的正确解题过程． 【答案】任务一：①等式的性质；②三，移项没有变号；任务二：（答案不唯一）去分母注意不要漏乘或去括号要注意符号或养成口头检验的习惯等；任务三：见解析 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解本题的关键． 任务一：观察这位同学解方程的步骤，利用等式的基本性质，判断即可得到结果； 任务二：答案不唯一，建议只要合理即可； 任务三：根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】解：任务一：①第一步的变形依据是等式的性质； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：移项没有变号； 任务二：（答案不唯一）去分母注意不要漏乘或去括号要注意符号或养成口头检验的习惯等 任务三：解方程：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得：， 系数化为1，得． 19. 先化简，再求值．，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先去括号，再合并同类项化简，然后将，代入计算求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 20. 如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． （1）分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； （2）若每个小立方块的棱长为3，则该几何体（不含与地面接触的面）的表面积是多少？ 【答案】（1）见详解 （2）216 【解析】 【分析】此题考查从不同方向看几何体，解题关键是利用空间想象能力想象图形的形状． （1）根据正面，左面，上面所看到的图形形状直接画图即可； （2）从正面、左面、上面看到的图形面积之和的2倍，即为几何体的表面积再减去底面面积即可求解； 【小问1详解】 解：从正面、左面、上面看到的几何体的形状图如图， 【小问2详解】 解：该几何体的表面积是， 故答案为：216． 21. 某巡警骑摩托车从岗亭出发，在一条东西方向笔直的道路上巡逻，规定向东为正，一段时间内行驶情况记录如下（单位：千米）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 （1）第七次行驶后停留在岗亭的什么方向？距离岗亭有多少千米？ （2）若他离开岗亭超过10千米，定位装置会给岗亭发送定位信息，请问他这一段时间内共有几次给岗亭发送定位信息？并通过计算说明理由． 【答案】（1）第七次行驶后巡警停留在岗亭的正西方向上，且距离岗亭4千米 （2）该巡警会有两次发送定位，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查正负数的实际应用，有理数加减混合运算； （1）根据题意列式计算，再根据正负数的意义解答即可； （2）分别计算每次离开岗亭的距离，和10千米做比较即可． 【小问1详解】 解：（千米）． ∴第七次行驶后巡警停留在岗亭的正西方向上，且距离岗亭4千米． 【小问2详解】 解：巡警一天会有2次发送定位信息，理由如下： 第一次：，，没发送． 第二次：，，没发送． 第三次：，，发送． 第四次：，，没发送． 第五次：，，没发送． 第六次：，，发送． 第七次：，，没发送． 综上所述．该巡警会有两次发送定位． 22. 2025世界智能大会在上海举行，本届大会的主题是“智能时代，同球共济”．大会的举办掀起了人工智能热，学校计划组织七年级学生参观本地举办的智能科技展，其中5个展区的主题分别是：A．人工智能、B．工业互联网、C．智能交通、D．智慧生活、E．数字健康．为了解同学们的参展意向，学校随机抽取了七年级的部分学生进行了问卷调查，问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图（均不完整） 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生人数有__________人． （2）请把条形统计图补充完整． （3）求扇形统计图中“C智能交通”对应的扇形圆心角的度数． （4）根据以上调查，请估计该校七年级1200名学生参观意向为“A人工智能”的人数． 【答案】（1）80 （2）见解析 （3） （4）300 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，补全条形统计图，抽样调查的合理性，利用样本估计总体，掌握以上统计基础知识是解本题的关键． （1）由人工智能的人数除以其占比即可得总人数， （2）先求解选择“C智能交通”的学生人数，再补全图形即可； （3）由选择智能交通的人数除以总人数，得到比例，再求圆心角即可； （4）由样本估计总体直接求解即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（人）， 故答案为：80； 【小问2详解】 由； 补全图形如下： 【小问3详解】 所调查的学生中选择“C智能交通”的学生人数占调查总人数的 ， 故所对的圆心角度数为； 【小问4详解】 七年级总人数为1200人，根据以上调查，“A人工智能”的学生占， 所以估计全校参观意向为“A人工智能”的学生人数约为：人． 23. 数学课上，老师给出了如下问题：如图（1），，平分，若．求的度数． （1）以下是小刚解答过程，请你帮助小刚同学将解答过程补充完整： 解：因为，平分， 所以____________（角平分线的定义）． 因为， 所以____________． （2）小彬说：“我觉得这道题有两种情况，小刚考虑的是在内部的情况，事实上，还可能在的内部”．根据小彬提出的想法，请你在图（2）中画出另一种情况对应的图形，并求出的度数． 【答案】（1）；60；；40 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，掌握角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，得到，再根据角的和差关系，即可得到的度数； （2）画出图形，根据角平分线的定义，得到，再根据角的和差关系，即可得到的度数． 【小问1详解】 解：因，平分， 所以（角平分线的定义）． 因为， 所以． 故答案为：；60；；40． 【小问2详解】 解：如图， ，平分， （角平分线的定义）． ， ． 的度数为． 24. 列方程解决问题故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿．故宫文物医院的两名修复师负责运送一批待修复的宫廷玉器．甲修复师先以40米/分钟的速度从文物库房出发前往修复工作室，10分钟后，乙修复师发现甲落下了关键的修复工具，立刻骑电动代步车以60米/分钟的速度从同一库房出发追赶．请问，乙修复师出发后多少分钟能追上甲修复师？ （1）小娟与小军两人根据题意，列出了不同的方程： 小娟： 小军： 小娟所列方程中的x的实际含义是________________________； 小军所列方程中的x的实际含义是________________________． （2）从第一问两个方程中选一个解方程，解决这个实际问题． 【答案】（1）小娟所列方程中的x的实际含义是乙修复师出发后追赶的时间（分钟）；小军所列方程中的x的实际含义是追上的地点距离库房的距离（米） （2）乙修复师出发后20分钟能追上甲修复师 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用（行程问题中的追及问题），熟练掌握追及问题中的等量关系（甲、乙行驶的路程相等）是解题的关键． （1）通过分析方程中各量的实际意义，明确小娟、小军方程里的含义． （2）选择其中一个方程，按照一元一次方程的解法求解，得到乙追上甲的时间． 【小问1详解】 解：小娟所列方程中的的实际含义是：乙修复师出发后追赶的时间（分钟）； 小军所列方程中的的实际含义是：追上的地点距离文物库房的距离（米）． 故答案为：小娟所列方程中的x的实际含义是乙修复师出发后追赶的时间（分钟）；小军所列方程中的x的实际含义是追上的地点距离库房的距离（米）； 【小问2详解】 解：情况1：选择小娟的方程求解， ， ， ， ， ， 答：乙修复师出发后20分钟能追上甲修复师． 情况2：选择小军的方程求解， ， ， ， ， 此时乙的追赶时间为：（分钟） 答：乙修复师出发后20分钟能追上甲修复师． 25. 数形结合是通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数：     （1）填空： 从图①中可以得到：，因此图①中共有______个黑色小正方形； 从图②中可以得到：，因此图②中共有______个黑色小正方形； 从图③中可以得到：______，因此图③中共有6个黑色小正方形． 【规律总结】 （2）由此可以猜想：图中共有______个黑色小正方形（用含的代数式表示，其中为正整数）． （3）根据上面的发现，我们还可以得到猜想：______（用含的代数式表示，其中为正整数）． 【探究应用】 （4）根据你发现的结论，计算：． 【拓展应用】 （5）根据你发现的结论，计算：． 【答案】（1）1；3；；（2）；（3）；（4）1275 ；（5）2360 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，有理数的混合运算，由已知图形找到规律是解题的关键． （1）根据图形解答即可； （2）根据已知图形找出规律猜想即可； （3）根据（1）找出规律猜想即可； （4）利用（3）的猜想计算即可； （5）把算式转化为，再利用规律计算即可； 【详解】解：（1）从图①中可以得到：，因此图①中共有 1 个黑色小正方形； 从图②中可以得到：，因此图②中共有 3 个黑色小正方形； 从图③中可以得到：，因此图③中共有 6 个黑色小正方形； 故答案为：1；3；； （2）由（1）可以猜想：图中共有个黑色小正方形， 故答案为：； （3）根据上面发现，我们还可以得到猜想：， 故答案为：； （4）解：由（3）可得，； （5）解： ． 26. 数学实验室： 唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度． 数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为，点B表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）利用上述表示方法，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为______．（不化简） （2）结合上面的理解，若，则______． （3）当是______时，代数式． （4）若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P先沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，到达点B后立刻以原速向数轴负半轴运动．点Q沿数轴负方向运动，速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P与点Q相距1个单位长度？（请写出必要的求解过程） 【答案】（1） （2）5或1 （3）或 （4）1秒或2秒或3秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离的求解方法． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）由得到或，再解方程即可； （3）分类讨论去绝对值，再解一元一次方程即可； （4）点表示的数为，设运动时间为,当时，点表示的数为，点表示的数为，则由题意得，；当时，点表示的数为，点表示的数为，由题意得，，再分别解绝对值方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为， 故答案为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： 则或 解得或， 故答案为：5或1； 【小问3详解】 解： 时，，解得； 时，，不符合题意，舍； 时，，解得， ∴当或时，， 故答案为：或； 【小问4详解】 解：∵点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧， ∴点表示的数为， 秒， 设运动时间为 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则由题意得，， 即或 解得或； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意得， 即或 解得或， 综上：运动1秒或2秒或3秒或秒后，点P与点Q相距1个单位长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $