精品解析：辽宁省锦州市2025-2026学年上学期九年级期末数学题

锦州市2025~2026学年度九年级（上）期末质量检测 数学试卷 考试时间120分钟 试卷满分120分 ※必考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题．每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1. 若是一元二次方程的一个根，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．将代入方程，然后解关于a的方程即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得 故选：D． 2. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将上下两个矩形互相平行的六面体称之为“刍童”，如图所示“刍童”的俯视图为（不考虑容器厚度）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了几何体的俯视图，俯视图是从上向下看所得到的图形，看得见的画实线，看不见的画虚线，据此求解即可． 【详解】根据题意得，如图所示“刍童”的俯视图为（不考虑容器厚度）： 故选：C． 3. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且互相平分即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． 故选：B． 4. 在一个不透明的布袋里装有若干颗玻璃珠，这些玻璃珠除颜色外都相同，其中红色玻璃珠有颗．现将布袋里的玻璃珠充分搅匀，每次随机摸出一颗记录颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色玻璃珠的频率稳定在左右，试估计布袋里玻璃珠的总颗数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，设总颗数为，根据题意得，解方程即可求解，掌握频率和概率的关系是解题的关键． 【详解】解：设总颗数为， ∵摸到红色玻璃珠的频率稳定在， ∴ ， 解得， ∴估计布袋里玻璃珠的总颗数为， 故选：． 5. 在小提琴的设计中，蕴含着数学知识．如图所示，这三部分长度的比满足．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键．把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．依据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵这三部分长度的比满足，， ∴， 故选：C． 6. 如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题关键．设金色纸边的宽为，根据“整个挂图的面积是”列方程即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为， 由题意得：， 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，连接并延长至点C，过点C作轴于点D．若，则k的值为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，设，，则，，证明，则，进而得，，再根据，得，即可求解． 【详解】解：设，，则，， ∵轴，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故选：B． 8. 下列说法错误的是（　　） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线相等且垂直的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】可分别由平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等进行判断． 【详解】解：①由平行四边形的判定可知A正确； ②由矩形的判定可知B正确； ③因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C正确； ④D选项中再加上一个条件：对角线互相平分，可证其是正方形，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用平行四边形的判定与性质等． 9. 若点都在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数值的大小比较，通过点求出反比例函数的比例系数k，再代入点A和点B的横坐标求出和，最后比较大小，即可作答． 【详解】∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ∴反比例函数解析式为， ∴点都在反比例函数的图象上， 则 ∵， ∴， 故选：C 10. 如图，在矩形中，分别为上的动点且为的中点，于点于点P，连接．若，则的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边的中线的性质，连接，，，由矩形，得到，，，再根据斜边中点得到，即可得到，最后证明四边形是矩形，得到，当点在上时，最小，即最小． 【详解】解：连接，，， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当点在上时，最小，即最小， 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．“皮影戏”中的皮影是______（填写“平行投影”或“中心投影”） 【答案】中心投影 【解析】 【分析】根据平行投影和中心投影的定义解答即可． 【详解】解：“皮影戏”中的皮影是中心投影． 故答案是中心投影． 【点睛】本题主要考查了平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影． 12. 若反比例函数的图像经过第一、三象限，则m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴，解得， 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．当判别式时，方程有两个相等的实数根． 【详解】解：∵ 关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标分别为，点C在x轴正半轴上，则点C的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，先由点A、B的坐标，得到，，由勾股定理求出，由菱形的性质推出，即可得到点C的坐标． 【详解】解：∵点的坐标分别为， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴点C的横坐标为， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，E为上一点，连接，以点D为圆心，以的长为半径作弧，交于点F，连接，过点F作，分别交于点，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，延长与交于点，由正方形得到，，再证明，即可证明，得到． 【详解】解：延长与交于点， ∵， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∵以点D为圆心，以的长为半径作弧，交于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的长为 故答案为：1． 三、解答题（本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： ，， 解得，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）以点O为位似中心，画出与位似的，且点的坐标为； （2）写出与的相似比； （3）写出内的任意一点的对应点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质画图即可； （2）由图可得答案； （3）根据位似的性质可得答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 【小问2详解】 解：由（1）图可知，与的相似比为； 【小问3详解】 解：∵与的相似比为， 内的任意一点的对应点的坐标为． 18. “锦绣之州”是辽宁锦州的美誉，这座城市历史悠久、物产丰饶、风光秀丽，既有自然山水的灵秀，又有人文烟火的温情．某校开展“我爱锦州”主题演讲活动，提供四张主题卡片（每张卡片除字母和类别外完全相同）供学生选择，分别是A：北镇医巫闾山（自然景观类）、B：笔架山“天桥”（自然景观类）、C：锦州烧烤（特色美食类）、D：沟帮子熏鸡（特色美食类）． （1）从四张卡片中随机抽取一张，恰好抽到自然景观类主题卡片的概率是________； （2）小颖先从四张卡片中随机抽取一张，记下类别后不放回，小亮再从中抽取一张，求他们抽到的主题类别相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）根据题意列出表格表示出所有等可能的结果，再找出他们抽到的主题类别相同的结果，最后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：从四张卡片中随机抽取一张，恰好抽到自然景观类主题卡片的概率是； 【小问2详解】 解：根据题意可列表格如下， A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 根据表格可知共有12种等可能的结果，其中抽到的主题类别相同的结果有4种， ∴抽到的主题类别相同的概率为． 19. 在特定的温度下，某容器充满一定量的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求压强p与体积V之间的函数表达式； （2）若容器内气体的压强由减压至，那么气体的体积增加了多少？ 【答案】（1） （2）气体的体积增加了 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用，关键是根据题意找到等量关系式． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把和代入（1）中的函数解析式，求出对应气体的体积，然后相减即可． 【小问1详解】 解：设，由题意知， ∴， 即； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ， 即若容器内气体的压强由减压至，那么气体的体积增加了． 20. 锦州地处北纬，属北温带半干旱季风气候，日照充足、昼夜温差大，且土壤富含矿物质，是优质苹果的“黄金种植区”．某商贩购进一批锦州苹果销售，进价为每千克8元，若按每千克15元销售，平均每天可售出80千克．经市场调查发现，销售单价每降低1元，平均每天的销售量可增加30千克．若该商贩想要平均每天获利680元，并尽快减少库存，销售单价应定为多少元？ 【答案】12元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先理解题意，设销售单价定为元，则平均每天可售出千克，根据该商贩想要平均每天获利680元，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设销售单价定为元， 则平均每天可售出千克， 依题意，， 解得 ∵尽快减少库存， ∴销售单价应定为12元． 21. 如图，在中，，为的中点，于点为上一点，且，交的延长线于点，平分，． （1）求证：四边形是矩形； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定等知识． （1）先根据平行线的判定得，再证明，根据内错角相等两直线平行得，即可证明四边形是平行四边形，再根据，即可得出结论； （2）证明得，进而得，设，则，，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， 即的长为． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A和点B，交反比例函数的图象于点C，点C的横坐标为2． （1）求k的值； （2）E为直线上一点，且位于点C右侧． ①如图2，连接，交反比例函数的图象于点P，过点E作轴于点F，交反比例函数的图象于点Q，若，求的值； ②如图3，过点E作，交直线下方的反比例函数图象于点D，连接，若，求的面积． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程； （1）先求出，再把代入得； （2）①设，且，由垂直得，，则，再根据，得中点代入得，整理得，整体代入求值即可； ②设，过作轴于，过作轴于，过作轴交于，与交于，则，得到，再证明，得到，结合，代入解得得，最后求梯形面积即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∵直线交反比例函数的图象于点C， ∴把代入得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得反比例函数， ∵E为直线上一点，且位于点C右侧， ∴设，且， ①∵过点E作轴于点F，交反比例函数的图象于点Q， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴中点， 把代入得， 整理得， ∴； ②过作轴于，过作轴于，过作轴交于，与交于，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴， 消去整理得， 解得， ∴， ∴，，， ∴ ． 23. 【问题背景】 活动课上，张老师和同学们以正方形为背景，探究图形运动中的数学结论．如图1，在正方形中，延长至点是线段上的一个动点，连接，过点F作，交的平分线于点E，连接，交于点． 【探索发现】 （1）在点F运动的过程中，勤学小组发现与始终相等． 下面是两位组员的思考方法： 小李同学：在上取一点N，使得，连接，可以构造出一对全等三角形，即可证明． 小王同学：连接，过点F作交于点N，同样可以构造出一对全等三角形，即可证明． 请你借助任意一位同学的思考方法或运用其他方法，证明：； 【拓展延伸】 （2）张老师连接，分别交于点． ①如图2，善思小组连接，并画出了的情形，请协助他们计算出此时的长； ②如图3，笃行小组画出了的情形，求此时的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）小李同学的方法：在上取一点N，使得，连接，证明和，即可证明，得到； 小王同学方法：连接，过点F作交于点N， 先证明，再证明，，得到，得到； （2）①如图2，把逆时针旋转得到，连接，先证明，得到，再根据旋转得到，，，，接着证明，得到，即可得到是等腰直角三角形，最后根据列方程求解即可； ②如图3，过作于，由结合，得到，，即可求出，再根据，得到，，把逆时针旋转得到，连接，由①可得，，，中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵在正方形中，， ∴，， 小李同学的方法：在上取一点N，使得，连接， 则， ∴， ∴， ∵过点F作，交的平分线于点E， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 小王同学方法：连接，过点F作交于点N， 由正方形可得， ∵， ∴，， ∴，， ∵过点F作，交的平分线于点E， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）①如图2，把逆时针旋转得到，连接， ∵， ∴， ∴，即， 由正方形可得，，， ∴， ∴， ∵把逆时针旋转得到， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； ②如图3，过作于，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 把逆时针旋转得到，连接，由①可得，，， ∴，， ∴， 解得． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，本题十分复杂，解决问题的关键是关注特殊性，添加辅助线，需要十分扎实的基础和很强的能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦州市2025~2026学年度九年级（上）期末质量检测 数学试卷 考试时间120分钟 试卷满分120分 ※必考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题．每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1. 若是一元二次方程的一个根，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将上下两个矩形互相平行的六面体称之为“刍童”，如图所示“刍童”的俯视图为（不考虑容器厚度）（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 4. 在一个不透明的布袋里装有若干颗玻璃珠，这些玻璃珠除颜色外都相同，其中红色玻璃珠有颗．现将布袋里的玻璃珠充分搅匀，每次随机摸出一颗记录颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色玻璃珠的频率稳定在左右，试估计布袋里玻璃珠的总颗数为（ ） A. B. C. D. 5. 在小提琴的设计中，蕴含着数学知识．如图所示，这三部分长度的比满足．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，连接并延长至点C，过点C作轴于点D．若，则k的值为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 8. 下列说法错误的是（　　） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线相等且垂直的四边形是正方形 9. 若点都在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，分别为上的动点且为的中点，于点于点P，连接．若，则的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．“皮影戏”中的皮影是______（填写“平行投影”或“中心投影”） 12. 若反比例函数的图像经过第一、三象限，则m的取值范围是_________． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标分别为，点C在x轴正半轴上，则点C的坐标是________． 15. 如图，在正方形中，E为上一点，连接，以点D为圆心，以的长为半径作弧，交于点F，连接，过点F作，分别交于点，若，则的长为________． 三、解答题（本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）以点O为位似中心，画出与位似的，且点的坐标为； （2）写出与的相似比； （3）写出内的任意一点的对应点的坐标． 18. “锦绣之州”是辽宁锦州的美誉，这座城市历史悠久、物产丰饶、风光秀丽，既有自然山水的灵秀，又有人文烟火的温情．某校开展“我爱锦州”主题演讲活动，提供四张主题卡片（每张卡片除字母和类别外完全相同）供学生选择，分别是A：北镇医巫闾山（自然景观类）、B：笔架山“天桥”（自然景观类）、C：锦州烧烤（特色美食类）、D：沟帮子熏鸡（特色美食类）． （1）从四张卡片中随机抽取一张，恰好抽到自然景观类主题卡片的概率是________； （2）小颖先从四张卡片中随机抽取一张，记下类别后不放回，小亮再从中抽取一张，求他们抽到的主题类别相同的概率． 19. 在特定的温度下，某容器充满一定量的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求压强p与体积V之间的函数表达式； （2）若容器内气体的压强由减压至，那么气体的体积增加了多少？ 20. 锦州地处北纬，属北温带半干旱季风气候，日照充足、昼夜温差大，且土壤富含矿物质，是优质苹果的“黄金种植区”．某商贩购进一批锦州苹果销售，进价为每千克8元，若按每千克15元销售，平均每天可售出80千克．经市场调查发现，销售单价每降低1元，平均每天的销售量可增加30千克．若该商贩想要平均每天获利680元，并尽快减少库存，销售单价应定为多少元？ 21. 如图，在中，，为的中点，于点为上一点，且，交的延长线于点，平分，． （1）求证：四边形是矩形； （2）求的长． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A和点B，交反比例函数的图象于点C，点C的横坐标为2． （1）求k的值； （2）E为直线上一点，且位于点C右侧． ①如图2，连接，交反比例函数的图象于点P，过点E作轴于点F，交反比例函数的图象于点Q，若，求的值； ②如图3，过点E作，交直线下方的反比例函数图象于点D，连接，若，求的面积． 23. 【问题背景】 活动课上，张老师和同学们以正方形为背景，探究图形运动中的数学结论．如图1，在正方形中，延长至点是线段上的一个动点，连接，过点F作，交的平分线于点E，连接，交于点． 【探索发现】 （1）在点F运动的过程中，勤学小组发现与始终相等． 下面是两位组员的思考方法： 小李同学：在上取一点N，使得，连接，可以构造出一对全等三角形，即可证明． 小王同学：连接，过点F作交于点N，同样可以构造出一对全等三角形，即可证明． 请你借助任意一位同学的思考方法或运用其他方法，证明：； 【拓展延伸】 （2）张老师连接，分别交于点． ①如图2，善思小组连接，并画出了的情形，请协助他们计算出此时的长； ②如图3，笃行小组画出了的情形，求此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $