精品解析：湖南省娄底市双峰县2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷

双峰县2025年九年级第一学期期末质量检测卷 数 学 （时量：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 下列函数中不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 某超市月份的营业额为万元，月份的营业额为万元，设每月营业额的平均增长率都为，则平均增长率应满足的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 如图，线段与相交于点，补充下列一个条件后，仍不能判定和相似是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的三个顶点都在的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知与相似，且周长比为，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形顶点坐标分别为，，，．以坐标原点为位似中心，将平行四边形放大为原图形的倍．则点对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. （1）（2） B. （1）（3） C. （2）（4） D. （3）（4） 10. 规定：在平面直角坐标系中，如果点的坐标为，那么线段在平面直角坐标系中的方向值表示为：．若与互相垂直，且，，则．现有与互相垂直，且，，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11 已知四个数，，，成比例，若，，，则________． 12. 已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为______． 13. 五边形五边形，相似比为．若，则_________． 14. 某校关注学生的用眼健康，从九年级400名学生中随机抽取了60名进行视力检查发现有24名学生近视，据此估计这400名学生中，近视的学生人数约是________． 15. 如图，点在反比例函数的图像上，轴，轴，垂足分别为、．若四边形是正方形，且正方形的面积为4，则___________． 16. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则________． 17. 如图，，，，点，，在一条直线上，点，，也在一条直线上．若与的距离是，则到直线的距离________． 18. 构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，延长到D，，连接，得．根据此图可求得的结果 _________________． 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 19. 计算： 20. 先阅读下面材料：对于一元二次方程，如果方程有两个不相等的实数根，那么；如果方程有两个相等的实数根，那么；如果方程没有实数根，那么．再解答下面的题目：当t取什么值，关于x的一元二次方程， （1）有实数根； （2）没有实数根． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 21. 为全面贯彻党的教育方针，践行健康第一教育理念，促进学生全面发展，某校八年级在“每天开设一节体育课”活动中组织学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．测试结束后，随机抽取a名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制如下的统计图表． 成绩/分 频数 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数的值为________，扇形统计图中的值为________； （2）该校八年级学生共有人，若八年级学生都参加测试，估计得分分及以上学生人数有多少人？ 22. 如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米，∠CED=60°． （1）求垂直支架CD的长度．（结果保留根号） （2）求水箱半径OD的长度．（结果精确到0．1，参考数据：，） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23. 某单位准备将院内一块长30m、宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道，剩余的地方种植花草，如图所示．要使种植花草的面积为532，那么小道进出口的宽应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等） 24. 如图，在和中，是边上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点． （1）求一次函数的解析式及面积； （2）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． （3）若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标． 26. 如图，和是两个全等等腰直角三角形，，的顶点E与的斜边BC的中点重合将绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q． 如图，当点Q在线段AC上，且时，和的形状有什么关系，请证明； 如图，当点Q在线段CA的延长线上时，和有什么关系，说明理由； 当，时，求P、Q两点间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 双峰县2025年九年级第一学期期末质量检测卷 数 学 （时量：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 下列函数中不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如为常数，的函数称为反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、是反比例函数，不符合题意； B、是一次函数，符合题意； C、是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，不符合题意． 故选：B． 2. 某超市月份的营业额为万元，月份的营业额为万元，设每月营业额的平均增长率都为，则平均增长率应满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据平均增长率模型，从月到月经过个月增长，月营业额等于月营业额乘以的平方，据此即可求解． 【详解】解：设每月营业额的平均增长率都为，则平均增长率应满足的方程为， 故选：C． 3. 如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据AG=2，GB=1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案． 【详解】解：∵AG=2，GB=1， ∴AB=3， ∵ ， ∴ ， 故选D． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键． 4. 如图，线段与相交于点，补充下列一个条件后，仍不能判定和相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由图可知：， A、 ，不能判定与相似，故该选项符合题意； B、 根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故该选项不符合题意； C、 即，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故该选项不符合题意； D、根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故该选项不符合题意； 故选：A． 5. 如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，掌握相关知识是解决问题的关键．的长为米，则长为米，根据列方程即可． 【详解】解：的长为米，则长为米， 根据得： ， ∴． 故选：A． 6. 如图，的三个顶点都在的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， 故选：． 7. 已知与相似，且周长比为，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形性质，熟练掌握周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据周长比为，得到相似比为，再由面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与相似，且周长比为， ∴相似比为， ∴面积比， 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，．以坐标原点为位似中心，将平行四边形放大为原图形的倍．则点对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质；根据位似变换的性质，以原点为位似中心，相似比为，点的对应点坐标应为原坐标乘以或． 【详解】解：以原点为位似中心，相似比为，点的坐标为， 点的对应点'的坐标为或， 即或． 故选：C． 9. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. （1）（2） B. （1）（3） C. （2）（4） D. （3）（4） 【答案】C 【解析】 【分析】分k＞0和k＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】当k＞0时， 函数y＝kx的图象位于一、三象限，y＝（k≠0）的图象位于一、三象限，（2）符合； 当k＜0时， 函数y＝kx的图象位于二、四象限，y＝（k≠0）的图象位于二、四象限，（4）符合； 故选C． 【点睛】考查了反比例函数和正比例函数的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不大． 10. 规定：在平面直角坐标系中，如果点的坐标为，那么线段在平面直角坐标系中的方向值表示为：．若与互相垂直，且，，则．现有与互相垂直，且，，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平面向量，坐标与图形性质以及同角三角函数的关系，解题的关键是正确运用两平面向量互相垂直的运算法则． 根据平面向量互相垂直的运算法则得到方程．通过解该方程求得，所以由特殊角的三角函数值求得答案． 【详解】解：∵与互相垂直，且，， ∴ ， ∵是锐角， ∴， 两边同除以得： 即． ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知四个数，，，成比例，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质，四个数成比例即满足，代入已知数值求解 【详解】解：，，，成比例， ． 代入，，，得，即． 解得． 故答案为：． 12. 已知关于一元二次方程配方后得到，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过将配方后的方程展开，整理成一般式，与原方程对比常数项，求出c的值． 【详解】解：配方后得到， 展开得， 移项整理得， 原方程为， 对比常数项，得． 故答案为：． 13. 五边形五边形，相似比为．若，则_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质．利用相似多边形的性质，对应边成比例，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】∵五边形五边形，相似比为． ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 14. 某校关注学生的用眼健康，从九年级400名学生中随机抽取了60名进行视力检查发现有24名学生近视，据此估计这400名学生中，近视的学生人数约是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了样本估计总体．根据样本估计总体的思想，用样本中近视学生的比例估计总体中近视学生的比例． 【详解】解：样本中近视学生的比例为，则总体中近视学生人数约为． 故答案为：． 15. 如图，点在反比例函数的图像上，轴，轴，垂足分别为、．若四边形是正方形，且正方形的面积为4，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，正方形的性质，设，则由正方形的性质可推出，再根据正方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵正方形的面积为4， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再将代数式化简代入计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故答案为：． 17. 如图，，，，点，，在一条直线上，点，，也在一条直线上．若与的距离是，则到直线的距离________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的相似与实际问题的综合应用，掌握三角形的相似是解题的关键．根据得到，又因为与的距离是，则有，于是得，，根据相似比即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作的延长线，垂足为点， 交的延长线于点， ，，， ∴， ∴，即， ∵与的距离是，即，且由作图可知，，， ，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则，即点到直线距离是． 故答案为：． 18. 构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，延长到D，，连接，得．根据此图可求得的结果 _________________． 【答案】## 【解析】 【分析】可得是等腰直角三角形，设，由勾股定理得，则，故． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，由勾股定理得 ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了求角的正切值，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算含特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 20. 先阅读下面材料：对于一元二次方程，如果方程有两个不相等的实数根，那么；如果方程有两个相等的实数根，那么；如果方程没有实数根，那么．再解答下面的题目：当t取什么值，关于x的一元二次方程， （1）有实数根； （2）没有实数根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义． （1）先化为一般形式，根据方程有实数根，得到，进行求解即可； （2）根据方程没有实数根，得到，进行求解即可； 【小问1详解】 解：原方程化为 当时，方程有实数根，即，解得 【小问2详解】 解：当时，方程没有实数根，即，解得 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 21. 为全面贯彻党的教育方针，践行健康第一教育理念，促进学生全面发展，某校八年级在“每天开设一节体育课”活动中组织学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．测试结束后，随机抽取a名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制如下的统计图表． 成绩/分 频数 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数的值为________，扇形统计图中的值为________； （2）该校八年级学生共有人，若八年级学生都参加测试，估计得分分及以上的学生人数有多少人？ 【答案】（1）， （2）人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表与扇形统计图的综合应用，用样本估计总体． （1）计算本次抽取的学生人数通过得分成绩在3的频数除以所占百分比可得出，计算扇形统计图中n的值利用成绩分数在4的频数除以总人数再乘可得到结果； （2）先计算本次抽取的人数中得分超过3分的频数，再计算其频率，最终用八年级总人数乘以频率即可得到结果． 【小问1详解】 解：由成绩分数在频数与所占百分比可知：， ∵成绩分数在的频数为， ∴． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：在本次抽取的学生中，得分超过3分的频数为：， ∴得分超过3分的频率为：， ∴在八年级学生中，得分超过3分的人数约有：（人）． 22. 如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米，∠CED=60°． （1）求垂直支架CD的长度．（结果保留根号） （2）求水箱半径OD的长度．（结果精确到0．1，参考数据：，） 【答案】（1）CD=38cm．（2）18．5cm． 【解析】 【详解】试题分析：（1）首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的关系，在△CDE中利用sin60°=，求出CD的长． （2）首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，表示出CO，AO的长度，根据直角三角形的性质得到CO=AO，再代入数计算即可得到答案． 试题解析：（1）∵DE=76厘米，∠CED=60°， ∴sin60°=， ∴CD=38cm． （2）设水箱半径OD长度为x厘米，则CO=（38cm+x）厘米，AO=（150+x）厘米， ∵∠BAC=30°， ∴CO=AO， 38+x=（150+x）， 解得：x=150-76=150-131．48≈18．5cm． 考点：解直角三角形的应用． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23. 某单位准备将院内一块长30m、宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道，剩余的地方种植花草，如图所示．要使种植花草的面积为532，那么小道进出口的宽应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等） 【答案】小道进出口的宽度为1米 【解析】 【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532m2列出方程求解即可． 【详解】解：设小道进出口的宽为x米， 根据题意可得 整理得 即 解得或 因为34＞30（不合题意，舍去），所有 答：小道进出口的宽度为1米. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程． 24. 如图，在和中，是边上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据得出，进而根据两边成比例夹角相等，证明即可； （2）根据（1）的结论，得出，代入已知条件即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即， ∵，即， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点． （1）求一次函数的解析式及面积； （2）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． （3）若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标． 【答案】（1），4 （2）或 （3），，， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将点、的坐标代入反比例函数解析式，即可得出、的值，从而得出点、的坐标，再利用待定系数法计算即可得出一次函数的解析会，计算出直线与轴、轴的交点坐标为、，再由三角形的面积公式即可得解； （2）由，，再结合函数图象即可得解； （3）由题意可得，设，即，再由列出一元一次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点， 将与坐标代入反比例解析式得：，， 、， 代入一次函数解析式得： ， 解得：，， 则一次函数的解析式为， 当时，，当时，则， 解得， ∴直线与轴、轴的交点坐标为、， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴反比例函数值小于一次函数值的的取值范围为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 设，即， ， ∴， 解得：或， ∴，， 同理可得：，， 综上所述，点的坐标为，，，． 26. 如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点E与的斜边BC的中点重合将绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q． 如图，当点Q在线段AC上，且时，和的形状有什么关系，请证明； 如图，当点Q在线段CA的延长线上时，和有什么关系，说明理由； 当，时，求P、Q两点间的距离． 【答案】（1）见解析；（2）∽．理由见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）依据△ABC是等腰直角三角形，E是BC的中点，运用SAS即可判定△BPE≌△CQE； （2）依据∠B=∠C=∠DEF=45°，即可得到∠BEP=∠EQC，再根据∠B=∠C，即可判定△BPE∽△CEQ； （3）先根据△BPE∽△CEQ，得到=，进而得到BE=CE=，BC=，最后根据勾股定理，求得△APQ中，PQ=. 【详解】≌． 理由是等腰直角三角形， ，， ， ， 是BC的中点， ， 在和中， ， ≌； ∽． 理由：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ， ∽； 如图，连结PQ， ∽， ， ，，， ， ， ， 在中，， ， ，， 在中，． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形判定，相似三角形的判定以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是辅助线构造直角三角形，依据相似三角形的对应边成比例，列式计算求得BE，CE的长，并运用勾股定理进行计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $