江苏省南通市如皋初级中学2025-2026学年八年级上学期数学期末模拟卷

2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新人教版八年级上册第十四章10%，第十五章20%，第十六章20%，第十七章10%，第十八章10%，下册第十九章10%，第二十章10%。第二十四章10% 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（本题3分）音乐可以唤醒心灵的力量，去追寻更美好的生活！下列音乐符号不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 4．（本题3分）下列给出的三条线段的长，其中能组成直角三角形的是（    ） A．3、5、7 B．6、8、9 C． D． 5．（本题3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）有一组数据1，2，3，6，这组数据的离差平方和是（   ） A．20 B．30 C．14 D．16 7．（本题3分）用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是（   ） A．说明的依据是 B． C．上任意一点到两边的距离相等 D．点M，N到的距离不相等 8．（本题3分）如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上， 、、……均为等边三角形，若，则的边长为（    ）． A．6 B．128 C．64 D．32 9．（本题3分）如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 10．（本题3分）设，A为上一点，D为上一点，，C为上任一点，B是上任一点，那么折线的长最小值是（　　） A．12 B． C．8 D． 第二部分（非选择题共120分） 二、填空题：本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分。 11．（本题3分）“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的直径约为米．数据“”用科学记数法表示为 ． 12．（本题3分）若的值为零，则的值为 ． 13．（本题4分）分解因式：的结果是 ． 14．（本题4分）如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则 ． 15．（本题4分）若，则 ． 16．（本题4分）如图，中，，，，点是的中点，点是边上一个动点，将沿着折叠得到． （1）当时，的长为 ； （2）当时，的长为 ． 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题8分）计算： (1)； (2)． 18．（本题8分）（1）化简：； （2）化简：，再从中选择一个适当的数作为的值代入． 19．（本题10分）如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（与堤岸垂直）停有一艘游船，他想知道凉亭与这艘游船之间的距离，就制定了如下方案． 课题：测凉亭与游船之间的距离 测量工具：皮尺等 测量方案示意图： 测量步骤： ①小明沿堤岸走到电线杆C处 ②再往前走相同的距离，到达D点 ③他到达D点后向左转90度直行，当看到电线杆与游船在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处... 测量数据：米，米，米 (1)凉亭与游船之间的距离是 米； (2)请你说明小明做法的正确性． 20．（本题10分）图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上． 21．（本题12分）在某次射击训练中，队员甲、乙、丙都进行了12次射击，射击成绩（单位：环）信息统计如下： 信息一：如图1，队员甲的12次射击成绩的统计图； 信息二：队员乙的12次射击成绩的平均数为8环，方差为2.5； 信息三：如图2，根据队员甲和队员乙的12次射击成绩绘制的箱线图； 信息四：队员丙的12次射击成绩记录整理为：6，6，6，7，7，7，8，8，9，9，9，10 (1)计算队员甲的12次射击成绩的平均数和方差； (2)求队员丙的12次射击成绩的四分位数，，，并在图2中绘制相应的箱线图； (3)根据上述信息，请你评价这次训练中甲、乙、丙三个队员的射击情况． 22．（本题12分）（1）如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程． 已知：如图1，，垂足为点C，________，点P是直线MN上的任意一点． 求证：________． 证明： （2）如图2，是线段的垂直平分线，则与有何关系？请说明理由． 23．（本题12分）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求的值． (3)利用（2）中所求得的的值，分解因式：________． 24．（本题13分）阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如：①， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式的最小值是2； ②， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式存在最小值－7． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是_______； (2)知识运用：若，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 25．（本题13分）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边，饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线，如图②，小明作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： (1)如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． ∵点B与点关于直线l对称， ∴直线l是的垂直平分线． ∴______，______， ∴______=______． ∵在中，， ∴，即最小． (2)“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线，“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决，小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是______．请你完成上面填空． (3)【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为______． (4)【模型拓展】如图⑤，在锐角中，，，，点是边上的一动点，点关于直线，的对称点分别是，，连接，则的最小值为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 答案解析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新人教版八年级上册第十四章10%，第十五章20%，第十六章20%，第十七章10%，第十八章10%，下册第十九章10%，第二十章10%。第二十四章10% 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（本题3分）音乐可以唤醒心灵的力量，去追寻更美好的生活！下列音乐符号不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2．（本题3分）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项、同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘除，同类项的概念与合并规则，积的乘方运算法则，掌握整式的幂运算法则是解题关键． 根据整式的幂运算及同类项运算规则对选项依次判断即可． 【详解】解：∵，∴正确； ∵，∴错误； ∵，∴错误； ∵，∴错误． 故选：． 3．（本题3分）如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 当和都扩大为原来的2倍时，代入新值计算分式，化简后比较与原分式的关系． 【详解】解：原分式为，当和都扩大为原来的2倍时，新分式为： ∴ 新分式是原分式的2倍，即分式的值扩大为原来的2倍． 故选：B． 4．（本题3分）下列给出的三条线段的长，其中能组成直角三角形的是（    ） A．3、5、7 B．6、8、9 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，即若三角形三边满足（c为最长边），则该三角形为直角三角形，逐项计算判断即可． 【详解】解：A．，，，∴不能组成直角三角形，不合题意； B．，，，∴不能组成直角三角形，不合题意； C．，，，∴不能组成直角三角形，不合题意； D．，，，∴能组成直角三角形，符合题意； 故选：D． 5．（本题3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 6．（本题3分）有一组数据1，2，3，6，这组数据的离差平方和是（   ） A．20 B．30 C．14 D．16 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求离差平方和 【分析】计算数据的均值，然后求每个数据与均值之差的平方和． 本题考查了离差平方和的计算方法，理解离差平方和的计算方法是解答关键． 【详解】解：∵ 数据为1，2，3，6，共个数， ∴ 均值 ， ∴ 离差平方和 ． 故选：C． 7．（本题3分）用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是（   ） A．说明的依据是 B． C．上任意一点到两边的距离相等 D．点M，N到的距离不相等 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了角平分线的作图，角平分线性质的证明，三角形全等的判定和性质．根据作图可得，证明即可判断A；根据作图即可判断B；点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H，证明即可判断C；过点N作于点P，过点M作于点Q，证明，即可判断D． 【详解】解：A、由作图可知：， 又， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B、由作图可得：，故B正确，不符合题意； C、点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴上任意一点到两边的距离相等， 故C正确，不符合题意； D、过点N作于点P，过点M作于点Q，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D错误，符合题意； 故选：D． 8．（本题3分）如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上， 、、……均为等边三角形，若，则的边长为（    ）． A．6 B．128 C．64 D．32 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、根据平行线判定与性质求角度、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、30度角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质等知识点，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…以此可得即可解答． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：，即的边长为32． 故选D． 9．（本题3分）如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式，正方形的面积，三角形的面积，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则阴影部分的面积的底为，高之和为， 所以阴影部分的面积为，即． 因为大正方形的面积为， 所以，即小正方形的面积为． 故选：D． 10．（本题3分）设，A为上一点，D为上一点，，C为上任一点，B是上任一点，那么折线的长最小值是（　　） A．12 B． C．8 D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、最短路径问题、等边三角形的判定和性质 【分析】先分别作A、D关于、的对称点、点，连接、、，，，根据轴对称的性质可得，，，，则，再由勾股定理求出的长，由两点之间线段最短可得的长即为折线的长的最小值． 【详解】解：如图，分别作A、D关于、的对称点、点，连接、、，，， 则，，，， ∴， ∴当共线时，有最小值， 由轴对称的性质得，， ∴， 取的中点，连接， 则， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故折线的长的最小值为12． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路径问题、等边三角形的性质与判定、勾股定理，利用轴对称的性质将折线的长进行转化是解题的关键． 第二部分（非选择题共120分） 二、填空题：本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分。 11．（本题3分）“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的直径约为米．数据“”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（本题3分）若的值为零，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是熟练掌握分式的值为零的条件． 根据分式的值为零时，分子为零，且分母不等于零，直接解答即可． 【详解】解：∵的值为零， ∴，且， 即，且， ∴． 故答案为：． 13．（本题4分）分解因式：的结果是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．观察表达式，发现公因式，提取后剩余部分为，再利用平方差公式分解． 【详解】解：原式 ． 故答案为． 14．（本题4分）如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积公式，利用角平分线的性质，推导点到、的距离相等是解题关键． 作到、、的垂线，可由角平分线性质得三条垂线段相等，然后通过的面积求出垂线段长度，用该长度计算的面积即可． 【详解】解：如图，过点分别作、、的垂线，交延长线于点，交延长线于点，交于点． 平分，平分， ，， ， 已知，，， ， 解得，即， ． 故答案为：． 15．（本题4分）若，则 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查与二次根式有关的代入求值，先有理化分母化简得到，整理得，最后代入已知条件计算得出结果。 【详解】解：， ∴， ∴， 整理得， ∴ ， 故答案为：． 16．（本题4分）如图，中，，，，点是的中点，点是边上一个动点，将沿着折叠得到． （1）当时，的长为 ； （2）当时，的长为 ． 【答案】 或． 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、二次根式的混合运算、含30度角的直角三角形 【分析】本题重点考查平行线的性质、轴对称的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、二次根式、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）根据题意求得，由折叠性质证得为等腰直角三角形，根据勾股定理即可计算出答案； （2）过点作，根据题意求得，，由折叠性质证得为等腰直角三角形，分在右侧和左侧两种情况解答即可． 【详解】解：当， ∵，点是的中点， ∴， ∵沿着折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴； 当，过点作，交于点，在右侧时， ∵中，，，，点是的中点， ∴， ∴，， ∵沿着折叠得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴, 设，则， ∵， ∴， 解得， 即 当，在左侧时： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为；或． 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（本题8分）（1）化简：； （2）化简：，再从中选择一个适当的数作为的值代入． 【答案】（1）；（2）． 【难度】0.65 【知识点】运用完全平方公式进行运算、分式化简求值、运用平方差公式进行运算、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． （1）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项； （2）先通分计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法约分，最后根据分式有意义的条件选的值代入． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 由分式有意义的条件可知，， 选代入，． 19．（本题10分）如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（与堤岸垂直）停有一艘游船，他想知道凉亭与这艘游船之间的距离，就制定了如下方案． 课题：测凉亭与游船之间的距离 测量工具：皮尺等 测量方案示意图： 测量步骤： ①小明沿堤岸走到电线杆C处 ②再往前走相同的距离，到达D点 ③他到达D点后向左转90度直行，当看到电线杆与游船在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处... 测量数据：米，米，米 (1)凉亭与游船之间的距离是 米； (2)请你说明小明做法的正确性． 【答案】(1) (2)小明的做法正确，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形． （1）根据题意可直接得出凉亭与游船之间的距离等于的长度，即可得解； （2）利用证明即可得出答案． 【详解】（1）解：凉亭与游船之间的距离等于的长度，即为米， 故答案为：； （2）解：小明的做法正确，理由如下： 由题意可知，，，， 在和中， ， ． 米， 即测得的长就是凉亭与游船之间的距离． 因此，小明的做法是正确的． 20．（本题10分）图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【难度】0.65 【知识点】格点图中画等腰三角形、在网格中判断直角三角形、无刻度直尺作图 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）关于等腰三角形的一点画出图形即可； （2）作一个直角边分别为的直角三角形即可； （3）作一个腰为的等腰直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2）如图2中，即为所求；理由如下： ∵，, ∴, 即是直角三角形，且， ∴． （3）如图3中，即为所求（答案不唯一）． 21．（本题12分）在某次射击训练中，队员甲、乙、丙都进行了12次射击，射击成绩（单位：环）信息统计如下： 信息一：如图1，队员甲的12次射击成绩的统计图； 信息二：队员乙的12次射击成绩的平均数为8环，方差为2.5； 信息三：如图2，根据队员甲和队员乙的12次射击成绩绘制的箱线图； 信息四：队员丙的12次射击成绩记录整理为：6，6，6，7，7，7，8，8，9，9，9，10 (1)计算队员甲的12次射击成绩的平均数和方差； (2)求队员丙的12次射击成绩的四分位数，，，并在图2中绘制相应的箱线图； (3)根据上述信息，请你评价这次训练中甲、乙、丙三个队员的射击情况． 【答案】(1)队员甲的12次射击成绩的平均数为环；方差为 (2)，，，箱线图见解析 (3)甲的成绩比较集中且稳定，乙和丙成绩比较分散（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】求四分位数、画箱线图、求一组数据的平均数、求方差 【分析】本题主要考查了平均数，方差，四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）根据平均数和方差的定义计算即可； （2）先计算出四分位数，，，根据四分位数绘制箱线图即可； （2）计算求出队员丙的方差，再根据箱线图，方差即可解答． 【详解】（1）解：队员甲的12次射击成绩的平均数为：（环）； 方差为； （2）解：根据题意，队员丙的12次射击成绩的四分位数，，， 如图2，箱线图即为所求： （3）解：队员丙的12次射击成绩的平均数为：（环）， 方差为； ∵队员乙的12次射击成绩的平均数为8环，方差为；队员甲的12次射击成绩的平均数为8环，方差为；且，， ∴甲的成绩比较集中且稳定，乙和丙成绩比较分散（答案不唯一）． 22．（本题12分）（1）如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程． 已知：如图1，，垂足为点C，________，点P是直线MN上的任意一点． 求证：________． 证明： （2）如图2，是线段的垂直平分线，则与有何关系？请说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2），见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据题意证明，然后利用全等三角形的性质求解即可； （2）首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据等边对等角得到，进而求解即可． 【详解】解：（1）已知：如图1，，垂足为点C，，点P是直线上的任意一点． 求证：． 证明：， ， 在和中，， ， ； （2）， 理由：是线段的垂直平分线， ，， ，， ， 即． 23．（本题12分）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求的值． (3)利用（2）中所求得的的值，分解因式：________． 【答案】(1)“丰收2号”小麦的单位面积产量高 (2)的值为3 (3) 【难度】0.4 【知识点】分式方程的其它实际问题、十字相乘法 【分析】（1）因为总产量相等，所以面积小的试验田，其单位面积产量就高，分别求出“丰收1号”和“丰收2号”的面积，并比较大小，即可求解； （2）根据题（1）的结果和题意列出等式，求解即可； （3）由（2）知，，利用十字相乘法进行因式分解即可得． 【详解】（1）解：由题意，得“丰收1号”小麦的单位面积产量， “丰收2号”小麦的单位面积产量， ，且， ∴， ∴， ∴， ∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高． （2）解：由题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， ∴的值为3． （3）解：由（2）知，， ∴． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用、分式方程的解法、以及利用十字相乘法分解因式，根据题意列出分式方程是解题关键． 24．（本题13分）阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如：①， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式的最小值是2； ②， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式存在最小值－7． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是_______； (2)知识运用：若，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3, 3 (2)当时，y有最大值 (3) 【难度】0.65 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了利用配方法（完全平方公式）求解代数式的最值，解题的关键是将代数式通过配方转化为“平方项常数”的形式，再根据平方项的非负性判断代数式的最大值或最小值． （1）对代数式进行配方，补全完全平方项，转化为；利用平方项，确定当平方项为0时，代数式取得最小值，同时求出对应的值． （2）对配方，注意二次项系数为负，转化为；由平方项非负可知，即时代数式有最大值，再代入计算具体值． （3）从方程中整理出的表达式，代入得到新代数式；对新代数式配方，根据平方项非负性求最小值． 【详解】（1）解：， ， 当，即时，代数式取得最小值，最小值为． 故答案为：3，3； （2）解： ， ，； 当，即时，有最大值，最大值； （3）解：由得； 则， 当时，取得最小值，最小值为． 25．（本题13分）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边，饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线，如图②，小明作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： (1)如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． ∵点B与点关于直线l对称， ∴直线l是的垂直平分线． ∴______，______， ∴______=______． ∵在中，， ∴，即最小． (2)“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线，“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决，小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是______．请你完成上面填空． (3)【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为______． (4)【模型拓展】如图⑤，在锐角中，，，，点是边上的一动点，点关于直线，的对称点分别是，，连接，则的最小值为______． 【答案】(1)，， (2)两点之间，线段最短 (3) (4) 【难度】0.4 【知识点】等边三角形的判定和性质、线段问题(轴对称综合题)、两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查轴对称性质、线段垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，等边三角形的性质与判定，垂线段最短． （1）利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，即可求解； （2）根据两点之间，线段最短即可求解； （3）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． （4）如图，连接，根据轴对称的性质结合题意，进而得出是等边三角形，则，根据垂线段最短，可知当时，取得最小值，进而根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，， （2）解：“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”的问题加以解决． 故答案为：两点之间，线段最短； （3）解：如图，直线与交于点， 直线垂直平分， 、关于直线对称， 当和重合时，的值最小，最小值等于的长， ，， 周长的最小值是． 故答案为：； （4）解：如图，连接， ∵点关于直线，的对称点分别是，， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴当取得最小值时，取得最小值 ∴当时，取得最小值， 又∵，， ∴的最小值为 ∴ 最小值为 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新人教版八年级上册第十四章10%，第十五章20%，第十六章20%，第十七章10%，第十 八章10%，下册第十九章10%，第二十章10%。第二十四章10% 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1,(本题3分)音乐可以唤醒心灵的力量，去追寻更美好的生活！下列音乐符号不是轴对称图形的是() 3 D 2.(本题3分)下列运算正确的是() A.a12a6=a6 B.m2+m3=m5 C.3ab2.b3=3ab6 D.(ab)4=ab 3.(本题3分)如果分式，中的x,y都扩大为原来的2倍，那么分式的值〔） A.不变 B.扩大为原来的2倍 C.缩小为原来的： D.缩小为原来的时 4.(本题3分)下列给出的三条线段的长，其中能组成直角三角形的是() A.3、5、7 B.6、8、9 C.2、V4、5 D.√2,3，V5 5.(本题3分)下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.v4 B.V5 c.月 D.√0.09 6.(本题3分)有一组数据1,2,3,6，这组数据的离差平方和是() A.20 B.30 C.14 D.16 7.(本题3分)用尺规作图作一个己知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是() 试卷第1页，共8页 N M B A.说明△ONC≌△OMC的依据是SSS B.ON=OM C.OC上任意一点到∠AOB两边的距离相等 D.点M,N到OC的距离不相等 8.(本题3分)如图，己知：∠MON=30°，点A1、A2、A3..在射线ON上，点B1、B2、B3..在射线 0M上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4...均为等边三角形，若0A1=1,则△A6B6A7的边长为（). B,M B2 B A A. A A A.6 B.128 C.64 D.32 9.(本题3分)如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M,N分别在BC, AD上，点E,F在N上，点G,H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE,DE,BF,CF.若 图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为() G M C A.6 B.9 C.5 D.3 10.(本题3分)设LMON=20°，A为0M上一点OA=4W3,D为ON上一点，OD=8W3,C为AM上 任一点，B是OD上任一点，那么折线ABCD的长AB+BC+CD最小值是() C 一M A -N B D A.12 B.8V3 C.8 D.123 试卷第2页，共8页 第二部分（非选择题共120分) 二、填空题：本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分。 11.（本题3分)“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”，已知梅花花粉的直径约为0.000023米.数据 “0.000023”用科学记数法表示为一· 12.(本题3分)若的值为零，则x的值为 x-1 13.(本题4分)分解因式：a2(b+c)-4(b+c)的结果是 14.(本题4分)如图，△ABC中，点E在AB边上，连接CE,∠BEC的角平分线与LBAC的角平分线交 于点F,连接CF.若AC=8,CE=6,S△ACF=16,则S△FcE=一 15.(木题4分)若m=器2则m3-m2-2027m+2025= 16.(本题4分)如图，Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠C=90°，AB=4,点D是AB的中点，点E是边AC 上一个动点，将△ADE沿着DE折叠得到△ADE. (1)当AD1AB时，AA的长为 (2)当A'E1AC时，AE的长为 B 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本题8分)计算： (1)4W2+V8-V18: (2)(5+6(5-V6-(W5-1)2. 试卷第3页，共8页 18.(本题8分)(1)化简：(a-2)2-(a+1)(a-1): (2)化简：(1-)÷子再从-1,23中选择一个适当的数作为x的值代入. 19.(本题10分)如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点(AB与堤岸垂直)停有一艘游船，他 想知道凉亭与这艘游船之间的距离，就制定了如下方案 课题：测凉亭与游船之间的距离 测量工具：皮尺等 测量方案示意图： B 抄 D 堤岸 C E 测量步骤： ①小明沿堤岸走到电线杆C处 ②再往前走相同的距离，到达D点 ③他到达D点后向左转90度直行，当看到电线杆与游船在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处. 测量数据：AC=40米，CD=40米，DE=20米 (1)凉亭与游船之间的距离是米： (2)请你说明小明做法的正确性. 试卷第4页，共8页 20.(本题10分)图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的5×5网格，点A、B均在格点上，请 用无刻度的直尺完成下列作图 B :B 图1 图2 图3 (1)在图1中作出一个等腰△ABC,点C在格点上. (2)在图2中作出一个面积为5的直角△ABD,点D在格点上. (3)在图3中作出等腰直角三角形ABE,点E在格点上. 21.(本题12分)在某次射击训练中，队员甲、乙、丙都进行了12次射击，射击成绩（单位：环）信息统 计如下： 信息一：如图1，队员甲的12次射击成绩的统计图； 信息二：队员乙的12次射击成绩的平均数为8环，方差为2.5： 信息三：如图2，根据队员甲和队员乙的12次射击成绩绘制的箱线图： 信息四：队员丙的12次射击成绩记录整理为：6,6,6,7,7,7,8,8,9,9,9,10 成绩/环 10 个次数 9 6 678910成绩/环 丙 图1 图2 (1)计算队员甲的12次射击成绩的平均数和方差： (2)求队员丙的12次射击成绩的四分位数m25,m50,m75,并在图2中绘制相应的箱线图： (3)根据上述信息，请你评价这次训练中甲、乙、丙三个队员的射击情况. 试卷第5页，共8页 22.(本题12分)(1)如图1，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接PA、PB,将 线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂 直平分线上的点到线段两端的距离相等， B 图1 图2 请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程. 已知：如图1，MN1AB,垂足为点C, ,点P是直线MN上的任意一点. 求证： 证明： (2)如图2，CD是线段AB的垂直平分线，则∠CAD与LCBD有何关系？请说明理由. 23.(本题12分)如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a>1)的正方形去掉一个边长为1m的正 方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形，两块试验田的小麦都收 获了500kg. 1m (a-1)m am (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的+3倍，求α的值。 (3)利用（2)中所求得的a的值，分解因式：x2-ax-108= 试卷第6页，共8页 24.(本题13分)阅读理解并解答： 我们把多项式a2+2ab+b2,a2-2ab+b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键 是判断这个多项式是不是一个完全平方式.同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以用来解决求代数 式值的最大（或最小）值问题， 例如：①x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2, ,(x+1)2是非负数，即(x+1)2≥0，.(x+1)2+2≥2， 则当x=-1时，代数式x2+2x+3的最小值是2： ②3x2-12x+5=3(x2-4x)+5=3(x2-4x+4-4)+5=3(x-2)2-12+5=3(x-2)2-7, .(x-2)2是非负数，即(x-2)2≥0，.3(x-2)2-7≥-7， 则当x=2时，代数式3x2-12x+5存在最小值一7. (1)知识再现：当x=时，代数式x2-6x+12的最小值是 (2)知识运用：若y=-x2+2x-3,求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值： (3)知识拓展：若-x2+3x+y+5=0,求y+x的最小值. 试卷第7页，共8页 25,(本题13分)综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从 A地出发，到一条笔直的河边，饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海 伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题” 【模型解决】如图①，小明将A,B两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线，如图②，小明作点B关于 直线l的对称点B,连接AB'与直线l交于点C,点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明 对此进行了说明，以下是说明过程： B 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ (1)如图③，在直线1上另取任意一点C(与点C不重合)，连接AC,BC',BC. ,点B与点B关于直线I对称， ∴.直线1是BB的垂直平分线. :.CB=,C'B=_, ∴.AC+CB=AC+= ,在△ACB中，AB<AC+C'B', ∴.AC+CB<AC+CB,即AC+CB最小 (2)将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线，“同侧两点距离之和最小这一难于解决 的问题，转化为直线“异侧线段距离问题解决，小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是 .请你完成上面填空 (3)【模型应用】如图④，在△ABC中，直线m是边BC的垂直平分线，点P是直线m上的动点.若AB=5, AC=4,BC=7,则△APC周长的最小值为 (4)【模型拓展】如图⑤，在锐角△ABC中，∠A=30°，BC=3,S△4BC=8,点P是边BC上的一动点， 点P关于直线AB,AC的对称点分别是M,N,连接MN,则MN的最小值为一 试卷第8页，共8页