精品解析：辽宁省大连市第九中学2025-2026学年上学期八年级期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学 （本试卷共23小题，满分120分．考试时间120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不轴对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 点A（﹣3，5）关于x轴对称的点的坐标为（　　） A. （﹣3，5） B. （3，﹣5） C. （﹣3，﹣5） D. （3，5） 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面内两点关于x轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点A(-3，5)关于x轴对称的点的坐标为(-3，-5)， 故选：C． 【点睛】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征．掌握平面内两点关于x轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题关键． 3. 世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多很多，它是被命名为H39的原生动物，它的最长直径也不过0.00003厘米，其中0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 【详解】解：． 故：C． 4. 若分式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 直接利用分式有意义的条件即分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：． 故选：B． 5. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形高；因此此题可根据“过三角形的一个顶点作该顶点所对边的垂线段即为三角形的高”进行求解即可． 【详解】解：在中，边上的高为； 故选：B． 6. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，依次逐项判断即可． 【详解】解：A：，是整式乘法，不是因式分解； B：，右边不是积的形式，不是因式分解； C：，右边是积的形式，属于因式分解； D：，左边是单项式，不是多项式，不是因式分解； 故选：C． 7. 数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意确定全等三角形的判定条件即可求解． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， ∴判定和全等的方法是是， 故选：C． 8. 如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，，立柱的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，由点是斜梁的中点，，得到，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵点是斜梁的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 9. 如图，在中，按以下步骤作图： ①以B为圆心，任意长为半径作弧，交于D，交于E； ②分别以D，E为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F； ③作射线交于G． 如果，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、等边对等角、三角形内角和定理，由作图可得平分，从而得出，结合等边对等角可得，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即的度数为， 故选：C． 10. 如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等能够验证下列哪个等式（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图形可知，边长为的正方形是由1个边长为x的正方形，2个长为x宽为y的长方形，1个边长为y的正方形组成，根据面积公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景计算方法进行求解是解决本题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，负指数幂的运算．根据计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：6． 12. 计算： =______ 【答案】4xy 【解析】 【分析】根据同底数幂除法法则计算即可. 【详解】=4x4-3y2-1=4xy. 故答案为：4xy 【点睛】本题考查同底数幂除法，同底数幂相除，底数不变，指数相减；熟练掌握运算法则是解题关键. 13. 若一个等腰三角形两边长分别为和2，则它的周长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论，当腰长为2或腰长为4两种情况． 【详解】解∶当腰长是2时，则三角形的三边是2，2，4，不满足三角形的三边关系； 当腰长是4时，三角形的三边是4，4，2，，能构成三角形，此时三角形的周长， 故答案为∶． 14. 使用生日作为密码已经成为历史，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序就可以形成密码，例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是______． 【答案】81316 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值等知识点，正确进行因式分解是解题的关键．先 把所给的代数式分解因式，然后分别求出三个因式的值，即可得出密码． 【详解】解：， 当取，时， ，，， ∴因式码从小到大为8，13，16， 故密码为81316， 故答案为：81316． 15. 如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为__________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及两点之间线段最短．连接，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到的最小值为的长，进而可得周长的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵直线m垂直平分， ∴， 又∵， ∴最小值为的长，即的最小值为的长， ∴周长最小值是． 故答案为：11． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是乘法公式的应用，负整数指数幂的运算，积的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先利用完全平方公式与平方差公式计算乘法运算，再合并同类项即可； （2）按照负整数指数幂、积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先计算分式的除法，再计算加法，结果化为最简分式，然后将代入计算即可．掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质， （1）由平行线推出，即可根据证明； （2）根据全等三角形的性质解答． 【小问1详解】 证明：， ． 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：， ，， ． 19. 如图，已知中． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交边，于点D，E（不写作法、保留作图痕迹并标明字母）； （2）连接，若，的周长是18，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由题意得，由线段垂直平分线的性质可得，则可得的周长为． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求． 【小问2详解】 解：连接， ∵的周长是18， ∴， ∴， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 20. 观察下列等式： … 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现了一个速算法则： 十位数字相同，个位数字分别是3和7的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上3和7的乘积21． 例如，计算，因为，，所以． （1）利用以上规律直接写出结果：______； （2）设两个因数的十位数字为，用含的代数式表示上述速算法则：__________________； （3）普于思考的小聪通过计算 … 发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律． 设两个因数的十位数字为，个位数字分别为，且，请用含的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立． 【答案】（1） （2），， （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查整式乘法相关的数学规律，关键在于理解题意结合并相关知识． （1）根据题意直接写出答案即可； （2）根据观察规律可得，即可求解； （3）利用代数式表示两个乘数，根据整式的运算计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 由题意可知： … ∴， 故答案为：，，； 【小问3详解】 ，理由如下： 两个因数分别表示为：，， 则 ， ∵， ∴ ． 21. 在学了乘法公式“  ”的应用后，王老师提出问题：求代数式 的最小值要求同学们运用所学知识进行解答同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：  解：    ， ，． 当时，的值最小，最小值是．  的最小值是． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）直接写出 的最小值为           ． （2）求代数式 的最小值． （3）若 ，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用完全平方公式变形，根据偶次方的非负性解答即可； （3）利用完全平方公式变形，根据偶次方的非负性解答． 【小问1详解】 解： ， 当时，有最小值，是， 故答案是：2 【小问2详解】 ， ， ， 当时，的值最小，最小值为， 的最小值为； 【小问3详解】 ， ， ， ， ， 当时，的值最小，最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题考查的是代数式最值的确定，掌握配方法的一般步骤和偶次方的非负性是解题的关键． 22. 中国吉林地处“世界三大黄金玉米带”之一的核心种植区，为了提高玉米收割效率，计划引进甲、乙两种类型收割机． （1）若在相同时间内，1台甲型收割机能收割100公顷地，1台乙型收割机能收割120公顷地．1台乙型收割机比1台甲型收割机每天多收割公顷地，求甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地各是多少公顷． （2）若1台甲型收割机每天可以收割a公顷地，1台乙型收割机每天可以收割b公顷地，（其中）．现在要收割一块面积为S公顷的玉米试验田，有两种收割方案： 方案一：一半的面积由1台甲型收割机收割，另一半的面积由1台乙型收割机收割； 方案二：完成整个收割工作的前一半时间由1台甲型收割机收割，后一半时间由1台乙型收割机收割． ①小贺同学选择方案一，列了这样一个式子：， 化简后可得方案一所用时间是______天； 小蔓同学选择方案二，设t天可以完成，列方程， 解得所用时间是______天．（用含a、b、S的式子表示） ②请你判断哪种方案所用时间少，并说明理由． 【答案】（1）甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地分别是4公顷和公顷 （2）①；；②方案二所用时间少，见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，分式的加减． （1）设甲型收割机每台每天收割的玉米地是公顷，根据时间相同列方程求解即可； （2）①根据题意直接计算即可；②用作差法比较即可． 【小问1详解】 解：设甲型收割机每台每天收割的玉米地是公顷， 则有：， 解得． 检验，当时，， ∴原分式方程的解为， 乙型收割机：（公顷）， 答：甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地分别是4公顷和公顷． 【小问2详解】 解：①方案一所用时间是：， 方案二：设共用了t天，由题意得， ， 解得． 故答案为：，， ②方案二所用时间少 理由：， 由题意知：，，，且， ∴，， ∴， ∴， ∴方案二所用时间少． 23. 如图1，中，，点D在上，连接，在的右侧作，且，连接． （1）求证：； （2）作点C关于的对称点F，连接交于点M，连接． ①直接写出和的数量关系； ②如图2，点D和点C重合时，求证：； ③如图3，点D不与点C重合，时，请你通过测量猜想出与的数量关系：______，并对猜想加以证明． 【答案】（1）见解析 （2）①；②见解析；③，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形及等边三角形的判定和性质，轴对称性质等，理解题意，构造全等三角形是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质及角之间的等量代换即可证明； （2）①根据轴对称的性质可得出结果；②连接，根据平行线的判定和性质得出，再由轴对称的性质得出，，利用等量代换即可证明；③根据等边三角形的判定得出为等边三角形，过点E作交于点H，连接，利用全等三角形的判定得出，，结合其性质即可证明． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 ①∵点C关于的对称点F， ∴； ②证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵点C关于对称点F， ∴，， ∴， ∴， ∴； ③，证明如下： ∵，，，， ∴为等边三角形， ∴，， 过点E作交于点H，连接，如图所示： ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点C关于的对称点F， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学 （本试卷共23小题，满分120分．考试时间120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点A（﹣3，5）关于x轴对称的点的坐标为（　　） A. （﹣3，5） B. （3，﹣5） C. （﹣3，﹣5） D. （3，5） 3. 世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多很多，它是被命名为H39的原生动物，它的最长直径也不过0.00003厘米，其中0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若分式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，边上的高为（ ） A B. C. D. 6. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 8. 如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，，立柱的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，按以下步骤作图： ①以B为圆心，任意长为半径作弧，交于D，交于E； ②分别以D，E为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F； ③作射线交于G． 如果，，那么度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等能够验证下列哪个等式（　　） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 12. 计算： =______ 13. 若一个等腰三角形两边长分别为和2，则它周长为_________． 14. 使用生日作为密码已经成为历史，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序就可以形成密码，例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是______． 15. 如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16 计算： （1）； （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 如图，已知中． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交边，于点D，E（不写作法、保留作图痕迹并标明字母）； （2）连接，若，的周长是18，求的周长． 20. 观察下列等式： … 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现了一个速算法则： 十位数字相同，个位数字分别是3和7的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上3和7的乘积21． 例如，计算，因为，，所以． （1）利用以上规律直接写出结果：______； （2）设两个因数的十位数字为，用含的代数式表示上述速算法则：__________________； （3）普于思考的小聪通过计算 … 发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律． 设两个因数十位数字为，个位数字分别为，且，请用含的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立． 21. 在学了乘法公式“  ”的应用后，王老师提出问题：求代数式 的最小值要求同学们运用所学知识进行解答同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：  解：    ， ，． 当时，的值最小，最小值是．  的最小值是． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）直接写出 的最小值为           ． （2）求代数式 的最小值． （3）若 ，求的最小值． 22. 中国吉林地处“世界三大黄金玉米带”之一的核心种植区，为了提高玉米收割效率，计划引进甲、乙两种类型收割机． （1）若在相同时间内，1台甲型收割机能收割100公顷地，1台乙型收割机能收割120公顷地．1台乙型收割机比1台甲型收割机每天多收割公顷地，求甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地各是多少公顷． （2）若1台甲型收割机每天可以收割a公顷地，1台乙型收割机每天可以收割b公顷地，（其中）．现在要收割一块面积为S公顷的玉米试验田，有两种收割方案： 方案一：一半的面积由1台甲型收割机收割，另一半的面积由1台乙型收割机收割； 方案二：完成整个收割工作的前一半时间由1台甲型收割机收割，后一半时间由1台乙型收割机收割． ①小贺同学选择方案一，列了这样一个式子：， 化简后可得方案一所用时间是______天； 小蔓同学选择方案二，设t天可以完成，列方程， 解得所用时间是______天．（用含a、b、S的式子表示） ②请你判断哪种方案所用时间少，并说明理由． 23. 如图1，中，，点D在上，连接，在的右侧作，且，连接． （1）求证：； （2）作点C关于的对称点F，连接交于点M，连接． ①直接写出和的数量关系； ②如图2，点D和点C重合时，求证：； ③如图3，点D不与点C重合，时，请你通过测量猜想出与的数量关系：______，并对猜想加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $