第15讲 函数的对称性与周期性的综合问题讲义（思维导图+3大知识点+8大题型+过关测试）-2025-2026学年高一数学上学期期末必考题型归纳

该高中数学讲义通过思维导图系统构建函数对称性与周期性的知识体系，梳理对称性判定、周期性定义及两者综合应用技巧，用框架图呈现知识点内在逻辑，突出对称性与周期性的转化关系等重难点。 讲义亮点在于“题型归纳举一反三”设计，如题型六通过抽象函数对称性与周期性综合题，引导学生推理函数性质，培养数学思维。过关测试题分层设置，基础题巩固知识，综合题提升能力，助力学生自主复习，教师可实施精准教学。

第15讲 函数的对称性与周期性的综合问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1、函数的对称性 4 知识点2、函数的周期性 4 知识点3、常用技巧 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：周期性的定义与求解 6 题型二：由周期求解析式 6 题型三：判断抽象函数的周期性 7 题型四：函数周期性的应用 7 题型五：由抽象函数的周期性求函数值 8 题型六：对称性与周期性的综合应用 8 题型七：交点问题 9 题型八：对称中心的综合应用 9 05 过关测试 12 知识点1、函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 知识点2、函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小正数叫做的最小正周期. 知识点3、常用技巧 1、周期性技巧 2、函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 3、对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 题型一：周期性的定义与求解 【例1】（25-26高一上·江苏·期末）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·江西赣州·期中）若函数满足，且当时，，则（   ） A．0 B． C．1 D． 【变式1-2】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·四川内江·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（   ） A．0 B．2025 C．2024 D．2 题型二：由周期求解析式 【例2】（2025·高一·河南信阳·期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】设，又记，，，2，3，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高二·贵州铜仁·期末）设函数的定义域为R，满足，且当时.则当，的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型三：判断抽象函数的周期性 【例3】（2025·高一·广西·期中）已知定义在上的函数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-1】（2025·高一·浙江·期中）已知定义域为的函数的图象关于点对称，且对任意，都有，则（   ） A． B． C．函数为奇函数 D． 【变式3-2】（2025·高一·湖南·期末）定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．在区间上单调递减 C． D． 【变式3-3】（2025·高二·江苏南京·期末）已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法不一定正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称 题型四：函数周期性的应用 【例4】（2025·高一·安徽合肥·期末）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A．-2022 B．0 C．2 D．2022 【变式4-1】（2025·高一·浙江绍兴·期中）已知奇函数对任意，都有，且，则（   ） A． B．2 C． D．4 【变式4-2】（2025·高一·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，满足，且为奇函数，则一定有（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·高一·天津滨海新·期中）已知函数定义域均为，的图象关于点对称，且满足，，则下列说法错误的是（     ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C．是奇函数 D． 题型五：由抽象函数的周期性求函数值 【例5】（2025·高一·江西·期中）已知是定义域为的奇函数，且满足，，则 . 【变式5-1】（2025·高一·江苏苏州·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则的值为 . 【变式5-2】（2025·高一·江西南昌·期中）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，则 . 【变式5-3】（2025·高一·河南驻马店·期中）已知函数的定义域为，且对任意的，满足，且，则 ． 题型六：对称性与周期性的综合应用 【例6】（2025·高一·重庆渝中·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·高一·云南曲靖·期中）定义在上的函数是偶函数，函数是奇函数，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·高一·北京·期中）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列错误的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 【变式6-3】（2025·高一·湖北武汉·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且为偶函数.若,则（    ） A．2 B． C．4 D．0 题型七：交点问题 【例7】（2025·高一·安徽合肥·期中）已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，则所有交点的横､纵坐标之和为（    ） A．0 B．5 C．10 D．20 【变式7-1】（2025·高三·山西太原·月考）已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式7-2】（2025·高一·安徽·期中）已知函数，定义在上的函数满足，若函数的图象与函数的图象有且仅有三个交点，，，其中，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 【变式7-3】（2025·高一·湖南·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（    ） A． B．m C．2m D．4m 题型八：对称中心的综合应用 【例8】（2025·高一·陕西西安·期中）我们学习了奇函数的定义：设函数的定义域为，若对，都有，且，那么函数就叫做奇函数.类比奇函数定义，我们可以得到一般的中心对称函数的定义，设函数的定义域为，若对，都有，且，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. (1)已知函数，判断是否为奇函数，并说明理由； (2)已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心（不用证明）； (3)已知函数，其中，若正数，满足：，且不等式恒成立，求的取值范围. 【变式8-1】（2025·高一·重庆·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可以将其推广为： 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)已知函数的定义域为，且图象关于点对称，求的值： (2)已知函数，. （i）根据以上结论，求出函数图象的对称中心，并求在的值域. （ii）是否存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有3个不等根，若存在，求出实数与的取值范围；若不存在，说明理由. 【变式8-2】（2025·高一·陕西榆林·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，其中. (1)证明：若函数为奇函数，则实数和均为定值； (2)求函数图象的对称中心. 【变式8-3】（2025·高一·福建莆田·期中）已知函数（，），. (1)求c的值； (2)已知“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何x恒成立”，试用此结论判断函数的图象是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由； (3)若存在实数，使得对任意，都存在，使得，求实数n的最大值. 1．（25-26高一上·山西·期末）已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽·期中）已知定义域为的偶函数满足，且时，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列说法中不正确的有（    ） A．函数的周期是 B．直线是函数的一条对称轴 C．在上单调递增 D． 4．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知函数的定义域为，且满足，当时，，则当时，函数的最大值为（   ） A．2 B．1 C．－1 D．0 5．（25-26高三上·安徽·月考）已知是上的偶函数，且，当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·山东·月考）定义域为的函数周期为4，且的图象关于轴对称，当时，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·全国·月考）已知函数的定义域为，且，则下列说法错误的是（   ） A．为周期函数 B．为偶函数 C． D． 8．（25-26高三上·浙江温州·月考）已知函数的定义域为为偶函数，且，则（   ） A．47 B． C．1 D．2 9．（多选题）（25-26高一上·湖北襄阳·期中）若为上的奇函数且为偶函数，时，，则下列说法正确的是（    ） A．关于点中心对称 B． C．在上的值域为 D．若时，有5个解，则实数的范围为 10．（多选题）（25-26高一上·湖南株洲·期中）若定义在上不恒为零的函数满足：，，且在区间上，只有；则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．不是偶函数 C． D． 11．（多选题）（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知定义在上的奇函数满足，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C．的最小正周期为6 D．在上至少有9个零点 12．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，当时，，则 . 13．（25-26高一上·吉林长春·期中）已知函数的定义域为，且，，当时，，则 . 14．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知是定义在上的奇函数，满足，且时，，则 . 15．（25-26高三上·河北石家庄·月考）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算 16．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数.（直接写出结果） (2)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的，，都有：. 17．（23-24高一上·山西运城·期末）已知定义在上的函数满足，都有且当时， (1)求； (2)证明：为周期函数； (3)判断并证明在区间上的单调性． 18．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知函数. (1)求,和的值. (2)猜想一下与有什么关系？并证明. (3)求值： 19．（25-26高一上·河北保定·期中）小明在学习奇偶函数的定义及图象性质的基础上，对函数图象的对称性做了进一步研究，他发现：在定义域中，若对任意的，都有，则函数的图象关于直线对称；若对任意的，都有，则函数的图象关于点中心对称．现给出函数． (1)试判断函数的图象是轴对称图形还是中心对称图形，并求出相应的对称轴或对称中心； (2)求的值； (3)若函数． ①证明：函数的图象关于直线对称； ②讨论方程的根的个数． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 函数的对称性与周期性的综合问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1、函数的对称性 4 知识点2、函数的周期性 4 知识点3、常用技巧 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：周期性的定义与求解 6 题型二：由周期求解析式 7 题型三：判断抽象函数的周期性 9 题型四：函数周期性的应用 11 题型五：由抽象函数的周期性求函数值 13 题型六：对称性与周期性的综合应用 15 题型七：交点问题 17 题型八：对称中心的综合应用 19 05 过关测试 24 知识点1、函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 知识点2、函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小正数叫做的最小正周期. 知识点3、常用技巧 1、周期性技巧 2、函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 3、对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 题型一：周期性的定义与求解 【例1】（25-26高一上·江苏·期末）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为关于中心对称， 所以对称中心是，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以， ∴. 故选：D 【变式1-1】（25-26高一上·江西赣州·期中）若函数满足，且当时，，则（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 则， 所以是以为周期的周期函数， 又当时，，则， 所以. 故选：A 【变式1-2】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由是定义在上的奇函数，得， 则，即， 由，得，于是， 即，因此， 函数是以4为周期的周期函数，又当时，， 所以. 故选：A 【变式1-3】（24-25高一上·四川内江·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（   ） A．0 B．2025 C．2024 D．2 【答案】D 【解析】因为，且函数是定义在上的奇函数， 则，即， 令，可得； 令，可得； 可得，则， 可知4为的一个周期，且， 所以. 故选：D. 题型二：由周期求解析式 【例2】（2025·高一·河南信阳·期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】是定义在上的周期为的偶函数，时，， 时，， ， 此时， 当时，，， 此时， 所以， 综上可得：时， 故选：C. 【变式2-1】设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，， 当时，，， 因为函数为偶函数，则， 综上所述，当时，. 故选：C. 【变式2-2】设，又记，，，2，3，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，，则，， ，则，故， 故选：． 【变式2-3】（2025·高二·贵州铜仁·期末）设函数的定义域为R，满足，且当时.则当，的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由知：周期为1， ∴令，有则， ∴， 故在上的最小值为. 故选：D 题型三：判断抽象函数的周期性 【例3】（2025·高一·广西·期中）已知定义在上的函数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由，以替换，得， 又因为①，所以， 所以是以4为周期的周期函数. 在①中，令，得，所以， 所以. 故选：B 【变式3-1】（2025·高一·浙江·期中）已知定义域为的函数的图象关于点对称，且对任意，都有，则（   ） A． B． C．函数为奇函数 D． 【答案】D 【解析】对于A，因函数是定义在上的函数，其图象关于点对称， 且，可得， 由可得， 则有，则， 故，即4为函数的一个周期， 又由可得， 由可得， 这些条件均无法确定，可以是任意满足的值， 故没有依据，故A错误； 对于B，由A已得， 假设，则恒成立，而题设没有这个条件，故B错误； 对于C，由可得，故为偶函数， 假设为奇函数，则恒成立，而题设没有这个条件，故C错误； 对于D，由函数的图象关于点对称可知， 令得，即， 又由A项，，可得：，， 且4为函数的一个周期， 故，故D正确. 故选：D. 【变式3-2】（2025·高一·湖南·期末）定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．在区间上单调递减 C． D． 【答案】C 【解析】由为奇函数有：，即，又，所以，所以， 即，所以，所以，故A正确； 由有的图像关于对称，又，所以的图像关于对称， 当时，，作出函数的图像： 由图可知在单调递减，又，所以是以4为周期的周期函数，所以， 所以当，，即在的图像与的图像一致，所以在单调递减，故B正确； 由，又，在单调递减，所以，故C错误； 由于，，，， 所以，且是以4为周期的周期函数，所以，故D正确， 故选：C. 【变式3-3】（2025·高二·江苏南京·期末）已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法不一定正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称 【答案】B 【解析】由是偶函数，可知，则关于对称，故A正确； 因为是奇函数，所以也是奇函数，关于点对称，故D正确； 由AD可知，，即，即， 则，所以是周期函数，周期为4，故C正确； 由可知，，函数关于对称， 但不确定，故B错误. 故选：B 题型四：函数周期性的应用 【例4】（2025·高一·安徽合肥·期末）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A．-2022 B．0 C．2 D．2022 【答案】C 【解析】因为是定义域为的奇函数，所以，， 因为，即， 所以，即是周期为4的函数， ，所以， ， 所以， 又， 所以. 故选：C. 【变式4-1】（2025·高一·浙江绍兴·期中）已知奇函数对任意，都有，且，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】，， 则， 故函数周期为， ． 故选：A． 【变式4-2】（2025·高一·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，满足，且为奇函数，则一定有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数为奇函数，则， 所以， 所以， 又，得， 所以，则， 则， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 所以， 所以， 其它三个选项条件不足无法计算， 故选：A. 【变式4-3】（2025·高一·天津滨海新·期中）已知函数定义域均为，的图象关于点对称，且满足，，则下列说法错误的是（     ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C．是奇函数 D． 【答案】D 【解析】对于A：由得， 由得， 所以，即函数的图象关于对称，A正确； 对于B：由得， 由得， 所以，即函数的图象关于对称，B正确； 对于C： 因为关于点对称，所以， 因为关于对称，所以， 所以，所以，所以， 即周期为， 又由关于点对称可得 即，所以是奇函数，C正确； 对于D：因为关于对称，所以， 因为关于点对称，所以， 所以，D错误； 故选：D. 题型五：由抽象函数的周期性求函数值 【例5】（2025·高一·江西·期中）已知是定义域为的奇函数，且满足，，则 . 【答案】. 【解析】由是定义域为的奇函数，得.， ，则. ， .. 故答案为：. 【变式5-1】（2025·高一·江苏苏州·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则的值为 . 【答案】202 【解析】由题意得为奇函数，所以， 即，所以函数关于点中心对称. 由为偶函数，所以可得，所以函数关于直线对称，所以， 又因为函数关于点中心对称，所以， 所以，从而，所以函数为周期为4的函数. 因为，所以，则，因为关于直线对称，所以， 又因为关于点对称，所以，又因为， 又因为，所以， 所以. 故答案为：202. 【变式5-2】（2025·高一·江西南昌·期中）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，则 . 【答案】0 【解析】函数的图象向左平移1个单位得函数的图象， 而的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称， 即函数为偶函数，由对任意都有， 得，即，解得， 因此，即，函数的周期为6， 所以. 故答案为：0 【变式5-3】（2025·高一·河南驻马店·期中）已知函数的定义域为，且对任意的，满足，且，则 ． 【答案】1 【解析】因为， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以，所以，即. 可得，，，，， 把上式相加得，又，所以. 故答案为：1. 题型六：对称性与周期性的综合应用 【例6】（2025·高一·重庆渝中·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为关于中心对称， 所以对称中心是，即是奇函数，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以，即. 故选：D. 【变式6-1】（2025·高一·云南曲靖·期中）定义在上的函数是偶函数，函数是奇函数，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，. 令，则，所以； 令，则，，所以； 所以A正确. 令，则，； 令，则，. 所以其它选项均不能确定. 故选：A. 方法二：由题可知，函数的图象关于轴对称，所以图象的关于直线对称； 函数的图象关于原点对称，且过原点，所以的图象关于点对称，且过点. 由此可得，而其它选项的值均不能判断. 故选：A. 【变式6-2】（2025·高一·北京·期中）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列错误的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】C 【解析】因为，且为奇函数， 所以 ，，且 ， 则 ， ，故A正确； ，故B正确； 由 ，得 ， 又，所以 结合 ， 得 ，所以为偶函数，故C错误，D正确； 故选：C. 【变式6-3】（2025·高一·湖北武汉·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且为偶函数.若,则（    ） A．2 B． C．4 D．0 【答案】A 【解析】是偶函数，是奇函数, . . . 的周期为4. 是R上的奇函数, . 故选：A. 题型七：交点问题 【例7】（2025·高一·安徽合肥·期中）已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，则所有交点的横､纵坐标之和为（    ） A．0 B．5 C．10 D．20 【答案】D 【解析】因为定义域为， 令， 则， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 故的图象关于对称，因为，则的图象也关于对称， 所以与的交点也关于对称， 若函数与的图象有四个交点，分别为， 不妨设，则，， 则，， 则所有交点的横､纵坐标之和为. 故选：D. 【变式7-1】（2025·高三·山西太原·月考）已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【解析】由知的图象关于直线对称， 又的图象也关于直线对称， 所以函数与的图象有6个交点，分3对分别关于直线对称， 每对交点的横坐标之和为4，所以. 故选：D. 【变式7-2】（2025·高一·安徽·期中）已知函数，定义在上的函数满足，若函数的图象与函数的图象有且仅有三个交点，，，其中，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【解析】函数的定义域为， ， 所以，的图象关于点对称， 由，得的图象也关于点对称， 因此，，则. 故选：A. 【变式7-3】（2025·高一·湖南·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（    ） A． B．m C．2m D．4m 【答案】B 【解析】由函数满足，可得函数的图象关于点中心对称， 又由函数，可得， 则，所以的图象也关于点中心对称， 所以两个函数和的图象的交点也关于点对称， 则两个对称点的纵坐标之和为，可得. 故选：B. 题型八：对称中心的综合应用 【例8】（2025·高一·陕西西安·期中）我们学习了奇函数的定义：设函数的定义域为，若对，都有，且，那么函数就叫做奇函数.类比奇函数定义，我们可以得到一般的中心对称函数的定义，设函数的定义域为，若对，都有，且，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. (1)已知函数，判断是否为奇函数，并说明理由； (2)已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心（不用证明）； (3)已知函数，其中，若正数，满足：，且不等式恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）定义域为，不关于原点对称，存在，但不存在，由奇函数定义可知，不为奇函数. （2）的定义域为，则要为中心对称函数，则对称中心的横坐标只能为， 而， 所以函数的对称中心为. （3）函数，， 则函数的对称中心为， 记， 则， 于是，即， 依题意，，，，为正数， 恒成立， 而， 当且仅当，即时取等号， 所以. 所以的取值范围是. 【变式8-1】（2025·高一·重庆·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可以将其推广为： 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)已知函数的定义域为，且图象关于点对称，求的值： (2)已知函数，. （i）根据以上结论，求出函数图象的对称中心，并求在的值域. （ii）是否存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有3个不等根，若存在，求出实数与的取值范围；若不存在，说明理由. 【解析】（1）函数的定义域为，且图象关于点对称， 则函数为奇函数， 所以， 则令得，令得，即， 所以； （2）（i）设的对称中心为，函数为奇函数， 则恒成立， 所以 整理得，故，解得， 所以函数的对称中心为， 则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单增， 所以，故在的值域为； （ii）令，由（i）知， 令，因为在单调减，在单调递增， 且，又 则①当时，方程有两个不等根且， 则，所以； ②当时，方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1， 又方程转化为 设， 由二次函数与的图象特征， 原题目等价于：对任意，关于的方程在区间上总有2个不等根，， 且有两个不等根，只有一个根，则必有， 当时，结合二次函数的图象， 则有，解之得； 综上，实数的取值范围为：； 此时，则其根，故必有. 【变式8-2】（2025·高一·陕西榆林·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，其中. (1)证明：若函数为奇函数，则实数和均为定值； (2)求函数图象的对称中心. 【解析】（1）证明：因为为奇函数，并且定义域为， 所以，即，则， 又，则， 所以， 所以，因为，所以， 综上，若函数为奇函数，则实数和为定值，均为. （2）设函数图象的对称中心为， 则函数为奇函数， 因为 ， 由（1）可得解得， 故函数图象的对称中心为. 【变式8-3】（2025·高一·福建莆田·期中）已知函数（，），. (1)求c的值； (2)已知“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何x恒成立”，试用此结论判断函数的图象是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由； (3)若存在实数，使得对任意，都存在，使得，求实数n的最大值. 【解析】（1）将代入，得，解得， （2）假设函数的图像存在对称中心， 则对于定义域内任何恒成立， 整理得恒成立， 所以，解得，， 故函数的对称中心为； （3）因为对任意，都存在及实数m，使得， 所以，即， 所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，所以，即的最大值为2. 1．（25-26高一上·山西·期末）已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以的周期为． 当时，，则在上单调递减，所以在上单调递减． 因为，且 所以． 故． 故选：A. 2．（25-26高一上·安徽·期中）已知定义域为的偶函数满足，且时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据为偶函数及， . 故选：D 3．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列说法中不正确的有（    ） A．函数的周期是 B．直线是函数的一条对称轴 C．在上单调递增 D． 【答案】C 【解析】对于A，为偶函数，， 关于直线对称，即， 为奇函数，； ，， 的周期为，A正确； 对于B，， 即是函数的一条对称轴，B正确； 对于C，为定义在上的奇函数，， 当时，； 当时，，， ； 当时，， ， 在上单调递减，C错误； 对于D，由C知：，，，D正确. 故选：C. 4．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知函数的定义域为，且满足，当时，，则当时，函数的最大值为（   ） A．2 B．1 C．－1 D．0 【答案】D 【解析】由题意得， 所以，所以函数的周期为4． 由，得，所以是奇函数． 又当时，， 所以当时，， 所以． 所以当时，有． 二次函数的图像开口向上，对称轴为， 在区间上端点值均为0，最小值为－1， 所以的最大值为0． 故选：D． 5．（25-26高三上·安徽·月考）已知是上的偶函数，且，当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由条件得. 故选：D. 6．（25-26高三上·山东·月考）定义域为的函数周期为4，且的图象关于轴对称，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由周期性知， 而，则，即， 所以， 由的图象关于轴对称，则. 所以. 故选：A 7．（25-26高三上·全国·月考）已知函数的定义域为，且，则下列说法错误的是（   ） A．为周期函数 B．为偶函数 C． D． 【答案】C 【解析】在中， 取，可得,解得， 再取，可得,则有，即函数为偶函数，故B正确； 取，得，则有， 两式相减，可得，即,故为以3为一个周期的周期函数，故A正确； 由上分析，由，可得． 因,所以，故D正确； 取，得到：，再取，得，故C错误. 故选：C 8．（25-26高三上·浙江温州·月考）已知函数的定义域为为偶函数，且，则（   ） A．47 B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为函数的定义域为,且所以，且，即. 因为函数为偶函数，所以. 所以，所以函数是周期为4的周期函数. 所以. 故 故选：C. 9．（多选题）（25-26高一上·湖北襄阳·期中）若为上的奇函数且为偶函数，时，，则下列说法正确的是（    ） A．关于点中心对称 B． C．在上的值域为 D．若时，有5个解，则实数的范围为 【答案】ACD 【解析】由是定义在上的奇函数可知， 又为偶函数，得， 将变换为，得， 将变换为，得 所以，即的周期为8. 由，，， 得，所以， 所以的图象关于点中心对称，故A正确； 由题意知，， 当时，，则， 又，所以， 即当时，. 所以， 所以，故B错误； 当时，，则， 又，所以. 所以当时，， 得，此时函数的值域为， 当时，，则， 又，所以， 得，此时函数的值域为， 所以在上值域为，故C正确； 当时，，方程无解； 当时，， 由解得，共2个解， 当时，方程的解为，共2个解， 当时，方程的解为，共2个解， 要使在内有5个解，需，故D正确. 故选：ACD 10．（多选题）（25-26高一上·湖南株洲·期中）若定义在上不恒为零的函数满足：，，且在区间上，只有；则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．不是偶函数 C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，定义域为R的函数在上，只有，得， 假设是奇函数，则与矛盾，即假设错误，因此不是奇函数，A错误； 对于B，由，得，则不是偶函数，B正确； 对于D，，令， 则，代入得， 即，所以是周期为10的周期函数， 则，D正确； 对于C，由选项D，得，C正确. 故选：BCD 11．（多选题）（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知定义在上的奇函数满足，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C．的最小正周期为6 D．在上至少有9个零点 【答案】ABD 【解析】对于A，由得的图象关于点对称，故A正确； 对于B，由，令可得，得，故B正确； 对于C，因为是奇函数，由，可知3是的一个周期，则其最小正周期不大于3，所以的最小正周期不可能是6，故C错误； 对于D，，， ，， 在上至少有9个零点，故D正确． 故选：ABD. 12．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，当时，，则 . 【答案】 【解析】由是偶函数，得，则. 由是奇函数，得，则， 因此，函数是以4为周期的周期函数， 又当时，，所以. 故答案为： 13．（25-26高一上·吉林长春·期中）已知函数的定义域为，且，，当时，，则 . 【答案】 【解析】因为函数的定义域为，且， ，则， 则，则， 则， 所以为偶函数且是周期为的周期函数， 又当时，， 所以. 故答案为： 14．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知是定义在上的奇函数，满足，且时，，则 . 【答案】 【解析】因为，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 所以，所以是周期为的周期函数， 所以， 又因为，所以，所以， 故答案为：. 15．（25-26高三上·河北石家庄·月考）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算 【解析】（1）∵对任意实数，恒有， ∴， ∴函数是周期为4的周期函数. （2）∵，∴. 当时，， 此时. （3）当时，；当时，. ∴， ∴，又函数的一个周期为4， ∴ . 16．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数.（直接写出结果） (2)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的，，都有：. 【解析】（1）函数的定义域为， 由“”函数的定义知，函数不是“”函数； 令，其定义域为，，， 所以函数是“”函数. （2）由是以为周期的周期函数，不妨设， 当时，而函数为上的“”函数，则， 当时，不妨设，且， 由是以为周期的周期函数，得，又函数为上的“”函数， 因此 ，则对任意的，均有， 由于是以为周期的周期函数，则对任意， 存在，使得， 从而， 所以对任意的，均有. 17．（23-24高一上·山西运城·期末）已知定义在上的函数满足，都有且当时， (1)求； (2)证明：为周期函数； (3)判断并证明在区间上的单调性． 【解析】（1）令，得，由于当时，因此 令，得，即，因此． （2）证明：令，得， 因此，所以 由周期性的定义可知，函数是以4为周期的周期函数． （3）函数在上单调递减，证明如下： 任取，有 由于，故,由（1）知， 因此，又， 因此 故，因此在上单调递减. 18．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知函数. (1)求,和的值. (2)猜想一下与有什么关系？并证明. (3)求值： 【解析】（1）; （2）猜想：. 证明：由, 可得：, 则,即证猜想. （3） 19．（25-26高一上·河北保定·期中）小明在学习奇偶函数的定义及图象性质的基础上，对函数图象的对称性做了进一步研究，他发现：在定义域中，若对任意的，都有，则函数的图象关于直线对称；若对任意的，都有，则函数的图象关于点中心对称．现给出函数． (1)试判断函数的图象是轴对称图形还是中心对称图形，并求出相应的对称轴或对称中心； (2)求的值； (3)若函数． ①证明：函数的图象关于直线对称； ②讨论方程的根的个数． 【解析】（1）的图象是中心对称图形. 因为， 所以函数的图象关于点中心对称. （2）由（1）得， 所以. （3）①证明：， 因为， 所以， 所以函数的图象关于直线对称. ②解法一：由得， 令，则函数的图象是由幂函数的图象向右平移个单位长度， 再将轴下方的部分沿轴翻折形成的，如图， 由图得，当时，直线与函数的图象有个交点，则方程有个根； 当时，直线与函数的图象有个交点，则方程有个根， 综上，当时，方程有个根；当时，方程有个根. 解法二：由得（*）， 当时，恒成立，此时方程无解， 当时，时，（*）化为，即， 解得，满足，此时方程有一个解； 时，（*）化为，即， 解得，满足，此时方程有一个解， 综上，当时，方程有个根；当时，方程有个根. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $