第08讲 幂函数以及函数的应用（思维导图+3大知识点+6大题型+过关测试）讲义-2025-2026学年高一数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

该高中数学讲义通过思维导图系统构建幂函数及函数应用的知识体系，将幂函数概念、图象性质、实际应用步骤分块梳理，用考点诠释明确底数系数等关键要素，呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“题型归纳+变式训练”的分层设计，如幂函数定义判断题结合实例辨析非幂函数形式，函数应用题通过成本利润模型培养数学思维与建模能力。过关测试覆盖选择解答题，基础生可夯实基础，优生能深化应用，助力教师精准教学与学生自主复习。

第08讲 幂函数以及函数的应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、幂函数概念 4 知识点二、幂函数的图象及性质 4 知识点三、解决实际应用问题的步骤： 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：幂函数的定义 6 题型二：定义域与值域问题 6 题型三：图像问题 7 题型四：单调性与奇偶性的综合问题 8 题型五：解不等式问题 9 题型六：函数的应用 10 05 过关测试 12 知识点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 考点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点二、幂函数的图象及性质 【例1】作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 考点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 【例2】作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 【变式2-1】幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 【变式2-2】幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 知识点三、解决实际应用问题的步骤： 第一步：阅读理解，认真审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息． 第二步：引进数学符号，建立数学模型 设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型． 第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果． 第四步：再转译为具体问题作出解答． 题型一：幂函数的定义 【例3】（25-26高一上·河北·期中）给出下列函数，其中不是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·北京丰台·期中）下列函数是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·江西九江·期中）下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（25-26高一上·四川广安·期中）已知幂函数的图象经过点，，则为（   ） A． B． C． D． 题型二：定义域与值域问题 【例4】（25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·山西吕梁·月考）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数． (1)求在上的值域； (2)解不等式； (3)若关于的方程在上有解，求的取值范围． 【变式4-3】（25-26高一上·山东·期中）已知幂函数在区间上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数的值. 【变式4-4】（24-25高一上·全国·期中）已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 题型三：图像问题 【例5】（25-26高一上·浙江·期中）函数与的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式5-1】（25-26高一上·上海松江·期中）已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式5-2】（25-26高一上·宁夏银川·期中）对，记，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为 （ ） A．或1 B．或2 C．1 D． 题型四：单调性与奇偶性的综合问题 【例6】（25-26高一上·河南·期中）已知幂函数，且在上单调递增． (1)求的值； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)设为偶函数，当时，，当时，求的表达式． 【变式6-1】（25-26高一上·云南曲靖·期中）已知幂函数 是偶函数. (1)求的值； (2)解不等式. 【变式6-2】（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 【变式6-3】（25-26高一上·广东汕头·期中）已知幂函数的图象过点． (1)求此函数的解析式，并判断奇偶性； (2)设函数，讨论的单调性，并比较与的大小． 题型五：解不等式问题 【例7】（25-26高一上·广东·期中）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 【变式7-1】已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 ． 【变式7-2】（25-26高一上·江西景德镇·期中）已知幂函数在上递减，则 ，不等式的解集为 . 【变式7-3】（25-26高一上·湖北荆州·期中）已知幂函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为 . 题型六：函数的应用 【例8】（24-25高一上·河南南阳·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【变式8-1】（24-25高一上·广东深圳·期末）为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）. (1)求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 【变式8-2】（25-26高一上·北京·月考）2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的. (1)求常数和的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【变式8-3】（24-25高一上·安徽·期中）红色旅游是一种将爱国教育与自然景观结合起来的新型主题旅游形式，受到了越来越多游客的欢迎．某旅游公司今年开发了一处红色旅游景区，该景区一年需投入固定成本300万元，若该景区在一年内有x万游客，则另需投入成本万元，且．已知该景区门票售价为70元/人，当地政府为鼓励该景区更好发展，每年给该旅游公司财政补贴10x万元． (1)求该景区一年利润（万元）关于人数x（万人）的函数解析式； (2)一年的游客为多少万人时，该景区一年利润最大？最大利润是多少？ 1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 2．（25-26高一上·重庆·月考）已知幂函数 在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·山东德州·期末）已知幂函数在上单调递减，设，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·重庆璧山·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知命题：；命题：，若为真命题，为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·四川成都·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·河南新乡·期中）已知，函数在上单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·青海·期中）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·江苏淮安·期中）下列关于幂函数的说法不正确的是（   ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递增 D．的解集为 10．（多选题）（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知幂函数 的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为 C．函数 为偶函数 D．若函数 ，，，则 11．（多选题）（25-26高一上·山东潍坊·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）（25-26高一上·山西太原·期中）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 13．（25-26高一上·云南丽江·期中）已知幂函数在上单调递减，且，则m等于 ． 14．（25-26高一上·广西桂林·期中）若幂函数在上单调递减，则 ． 15．（25-26高一上·四川成都·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则函数且的图象过定点 . 16．（25-26高一上·广东东莞·期中）如图所示是函数的图象，由函数的图象与函数的图象“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求实数的取值范围； (3)若关于的方程存在实数解，求实数的取值范围. 17．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知幂函数的解析式为． (1)求的值及的定义域； (2)若，判断的奇偶性并说明理由． 18．（25-26高一上·北京顺义·期中）经检测，餐后4小时内，正常人身体内某微量元素在血液中的浓度与时间满足关系式：．服用药物后，药物中所含该微量元素在血液中的浓度与时间满足关系式：，现假定某患者餐后立刻服用药物，且血液中微量元素总浓度等于与的和．（参考数据：） (1)求4小时内血液中微量元素总浓度的最高值； (2)若餐后4小时内，血液中微量元素总浓度不低于8的累积时长不少于2.5小时，则认定该药物治疗有效，否则需调整治疗方案，请你判断是否需要调整治疗方案，并说明理由． 19．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的解析式； (2)若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 幂函数以及函数的应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、幂函数概念 4 知识点二、幂函数的图象及性质 4 知识点三、解决实际应用问题的步骤： 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：幂函数的定义 6 题型二：定义域与值域问题 7 题型三：图像问题 10 题型四：单调性与奇偶性的综合问题 12 题型五：解不等式问题 14 题型六：函数的应用 16 05 过关测试 20 知识点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 考点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点二、幂函数的图象及性质 【例1】作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 考点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 【例2】作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 【变式2-1】幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 【变式2-2】幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 知识点三、解决实际应用问题的步骤： 第一步：阅读理解，认真审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息． 第二步：引进数学符号，建立数学模型 设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型． 第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果． 第四步：再转译为具体问题作出解答． 题型一：幂函数的定义 【例3】（25-26高一上·河北·期中）给出下列函数，其中不是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A、选项C、选项D都符合的形式， 选项B中自变量在指数位置，不是幂函数， 故选：B． 【变式3-1】（25-26高一上·北京丰台·期中）下列函数是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】幂函数是形如（为常数）的函数，所以A符合，BCD不符合， 故选：A. 【变式3-2】（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高一上·江西九江·期中）下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】形如（为常数）的函数为幂函数，故A、B、C均为幂函数，D错误. 故选：D 【变式3-4】（25-26高一上·四川广安·期中）已知幂函数的图象经过点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设幂函数，则，解得， 故，则，则. 故选：C. 题型二：定义域与值域问题 【例4】（25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得． 故选：D． 【变式4-1】（23-24高一上·山西吕梁·月考）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 【变式4-2】（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数． (1)求在上的值域； (2)解不等式； (3)若关于的方程在上有解，求的取值范围． 【解析】（1）令,则，所以，，在区间上单调递增，所以， 所以在上的值域为； （2）令则化为，化简得， 解得，即，解得，所以原不等式的解集为. （3）令因为，所以，则， 令，在单调递减，在单调递增，所以时取得最小值， 又时，，时，，所以时取得最大值， 所以 ，所以的取值范围是. 【变式4-3】（25-26高一上·山东·期中）已知幂函数在区间上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数的值. 【解析】（1）由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 幂函数在区间上单调递减，所以，即. （2）由（1）知：，当时，可得， 设，则， 则函数，即为， 又由函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，即时，函数在上单调递增，所以， 令，解得； 当时，即时，函数在上递减，在上递增， 所以，令，解得（舍去）； 当时，即时，函数在上单调递减，所以， 令，解得（舍去）， 综上可得，实数的值为. 【变式4-4】（24-25高一上·全国·期中）已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【解析】（1）由已知，得或， 又因为在区间上单调递增，所以. （2）， （i）法一： 法二：可解得， 将即可求得. （ii）法一：， 令，， 对称轴，所以当时取到最小值2， 所以值域为. 方法二：因为在上单调递增. 所以，所以值域为. 题型三：图像问题 【例5】（25-26高一上·浙江·期中）函数与的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】函数为单调递减的指数函数，且过点，其值域为，排除B，D. 函数为幂函数，定义域和值域都是，且单调递增，过点. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高一上·上海松江·期中）已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】对于A：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三象限可以判断出.矛盾.故A错误； 对于B：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、四象限可以判断出，矛盾.故B错误； 对于C：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、三、四象限可以判断出，且，矛盾.故C错误； 对于D：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三、四象限可以判断出，可以同时成立，故D正确. 故选：D 【变式5-2】（25-26高一上·宁夏银川·期中）对，记，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】和都是偶函数， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时， 在同一平面直角坐标系中作出和的图象，如图： 表示与的较大者，所以图象是两个图象较高的， 故选：A. 【变式5-3】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为 （ ） A．或1 B．或2 C．1 D． 【答案】C 【解析】因为幂函数的图象与坐标轴没有公共点， 所以，解得． 故选：C. 题型四：单调性与奇偶性的综合问题 【例6】（25-26高一上·河南·期中）已知幂函数，且在上单调递增． (1)求的值； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)设为偶函数，当时，，当时，求的表达式． 【解析】（1）由题可得，解得或； 又在上单调递增，所以， 故； （2）由（1）得，所以原问题即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，可知该二次函数开口向上， 所以要满足题意，只需， 解得； （3）由（1）得，当时，， 令，代入得， 所以当时，， 当时，，. 所以当时，. 【变式6-1】（25-26高一上·云南曲靖·期中）已知幂函数 是偶函数. (1)求的值； (2)解不等式. 【解析】（1）幂函数为偶函数， 所以，解得或， 当时，，为奇函数，不符合题意，舍去； 当时，，为偶函数，满足题意； 所以. （2）由（1）知， 为偶函数，且在上单调递增， 所以不等式，可化为， 所以，两边平方得， 化简得，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式6-2】（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 【解析】（1）因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得，又因为，所以或或， 当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）； 当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 综上所述，． （2）由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数， 则由可得， 即，即，解得， 所以满足的实数的取值范围为． 【变式6-3】（25-26高一上·广东汕头·期中）已知幂函数的图象过点． (1)求此函数的解析式，并判断奇偶性； (2)设函数，讨论的单调性，并比较与的大小． 【解析】（1）设该幂函数的解析式为， 因为幂函数的图象过点， 所以，显然该幂函数的定义域为非负实数集， 所以该幂函数是非奇非偶函数； （2）是上的增函数，理由如下： 设是上任意两个实数，且，则有， ， 因为， 所以， 所以，即， 所以是上的增函数， ， 因为， 所以函数是偶函数， 所以，， 因为，是上的增函数， 所以. 题型五：解不等式问题 【例7】（25-26高一上·广东·期中）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 【答案】 【解析】因为函数为幂函数，所以设， 由. 所以. 又在上单调递增， 所以. 故所求不等式的解集为. 故答案为： 【变式7-1】已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为幂函数在上是减函数， 所以，即， 解得．又因为，所以或． 当时，，，为偶函数， 图象关于轴对称，满足题意． 原不等式为，由于在R上单调递增， 则不等式化为，解得． 当时，，，为奇函数， 不满足图象关于轴对称，舍去． 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 【变式7-2】（25-26高一上·江西景德镇·期中）已知幂函数在上递减，则 ，不等式的解集为 . 【答案】 【解析】为幂函数，，解得：或； 当时，在上单调递增，不合题意； 当时，在上单调递减，符合题意； 综上所述：； 的定义域为，， 为定义在上的偶函数， 在上单调递增，且图象关于轴对称， 由得：且，解得：或， 的解集为. 故答案为：；. 【变式7-3】（25-26高一上·湖北荆州·期中）已知幂函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为是幂函数，所以， 化简得，解得或. 当时，在上单调递增，不合题意； 当时，在上单调递减，符合题意； 所以，那么不等式为. 所以，解得. 故答案为：. 题型六：函数的应用 【例8】（24-25高一上·河南南阳·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【解析】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元， 根据题意有， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. （2）设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得，解得. 故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 【变式8-1】（24-25高一上·广东深圳·期末）为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）. (1)求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 【解析】（1）由题意可得， 即，整理得. （2）当时，为对称轴开口向上的抛物线， 所以当时，， 当时，， 因为，当且仅当即取等号， 所以，即， 综上所述，当时，该水果单株利润最大，最大利润是240元． 【变式8-2】（25-26高一上·北京·月考）2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的. (1)求常数和的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【解析】（1）∵，即， ∵函数图象是连续不断的， ∴， 解得. （2）由（1）知， 则， 当时，，当且仅当，即时取等号. 当，即时，， 由二次函数的性质可知，当，即时，函数取最大值， ∴， ∵，即， ∴训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高. 【变式8-3】（24-25高一上·安徽·期中）红色旅游是一种将爱国教育与自然景观结合起来的新型主题旅游形式，受到了越来越多游客的欢迎．某旅游公司今年开发了一处红色旅游景区，该景区一年需投入固定成本300万元，若该景区在一年内有x万游客，则另需投入成本万元，且．已知该景区门票售价为70元/人，当地政府为鼓励该景区更好发展，每年给该旅游公司财政补贴10x万元． (1)求该景区一年利润（万元）关于人数x（万人）的函数解析式； (2)一年的游客为多少万人时，该景区一年利润最大？最大利润是多少？ 【解析】（1）由题意得，该景区一年的利润， 因为投入成本， 所以景区一年的利润为. （2）①当时，单调递增，此时； ②当时，， 可得函数的图象开口向下，对称轴， 所以当时，函数的最大值； ③当时，， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 因为，且， 综上可得，一年的游客为20万人时，该景区一年利润最大，且最大利润是万元． 1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【解析】∵函数是幂函数，，解得或， 或， ∵对任意的且，满足， 在上为增函数，则， ，为上单调递增的奇函数， ，， ，故． 故选：B 2．（25-26高一上·重庆·月考）已知幂函数 在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得，解得或， 又在区间上单调递增，所以，故， 所以过定点. 故选：B. 3．（22-23高一上·山东德州·期末）已知幂函数在上单调递减，设，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，可得，解得，则，显然该函数为偶函数， 由函数在其定义域上单调递增，则， 由函数在其定义域上单调递增，则， 故，即， 由函数在上单调递减，则. 故选：C. 4．（25-26高一上·重庆璧山·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因是幂函数，则，解得或， 当时，，其定义域为，且为奇函数，故舍去； 当时，是上的偶函数，符合题意. 则，其图象对称轴为直线， 由该函数在区间上单调递减，可得，解得. 故选：C. 5．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知命题：；命题：，若为真命题，为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】命题中，不等式变形为，又，即， 令，因为函数、在均单调递减， 所以在上单调递减，因此在上的最大值为， 要使对所有恒成立，需， 即命题p为真时，； 令，由幂函数的性质可知在区间上是增函数， 所以，则， 题目中q为假命题，所以或， 结合p真、q假的条件，取上述两者a的交集，所以的取值范围为． 故选：D． 6．（25-26高一上·四川成都·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数的定义域为， 且，则函数为偶函数，故A错误； 对于B，函数在上单调递增，故B错误； 对于C，的定义域为， 且，则函数为奇函数， 而函数在上单调递减， 则在上单调递减，故C正确； 对于D，函数在上单调递增，故D错误. 故选：C 7．（25-26高一上·河南新乡·期中）已知，函数在上单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于，，若，由幂函数性质易得函数在上单调递增， 当时，因函数在上单调递减，故在上单调递增， 时，总有在上单调递增. 对于，因函数在上单调递减， 由题意需使在上单调递减，即． 依题意，需使，解得， 故实数a的取值范围是． 故选：C． 8．（24-25高一上·青海·期中）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知，，即，解得，或. 若，则，图象关于y轴对称； 若，则，图象关于原点对称. 所以. 由，即化简得 所以实数的取值范围为. 故选：C. 9．（25-26高一上·江苏淮安·期中）下列关于幂函数的说法不正确的是（   ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递增 D．的解集为 【答案】C 【解析】因为幂函数，由于立方根的意义可得幂函数定义域为，选项A正确； 因为，所以，所以幂函数值域为，选项B正确； 因为，所以为偶函数，又因为， 所以幂函数在区间单调递增， 根据偶函数的性质得到在上单调递减，选项C错误； 由于为偶函数，所以 ，由， 根据函数图象和性质，可得，则有， 解得，选项D正确； 故选：C 10．（多选题）（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知幂函数 的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为 C．函数 为偶函数 D．若函数 ，，，则 【答案】AC 【解析】设幂函数 的解析式为， 因为幂函数 的图象经过点， 所以，解得，即， 对于A，函数的定义域为，故A正确； 对于B，函数的值域为，故B错误； 对于C，因为，所以函数 为偶函数，故C正确； 对于D，解法一：，取， 则，， 此时， 解法二：作出函数的图象如下： 由图象可知，函数为凹函数， 所以，当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：AC 11．（多选题）（25-26高一上·山东潍坊·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】，函数值域为，A选项正确； ，函数值域为，B选项错误； ，函数值域为，C选项正确； ，函数值域为，D选项正确； 故选：ACD 12．（多选题）（25-26高一上·山西太原·期中）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】BD 【解析】令，则，得，故，则，A错； 所以函数的定义域为， 且为偶函数，B对； 在上单调递增，在上单调递减，C错； 由或，故的解集为，D对. 故选：BD 13．（25-26高一上·云南丽江·期中）已知幂函数在上单调递减，且，则m等于 ． 【答案】0 【解析】在上单调递减， ，故， 又，或， 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意． 综上知，． 故答案为：0． 14．（25-26高一上·广西桂林·期中）若幂函数在上单调递减，则 ． 【答案】 【解析】由题意，解得， 此时在上单调递减，满足， 所以. 故答案为： 15．（25-26高一上·四川成都·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则函数且的图象过定点 . 【答案】 【解析】函数为幂函数，所以，解得：或， 当时，为奇函数，图象不关于轴对称，舍去； 当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 所以，则函数且， 令，得，， 所以函数且的图象过定点为; 故答案为： 16．（25-26高一上·广东东莞·期中）如图所示是函数的图象，由函数的图象与函数的图象“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求实数的取值范围； (3)若关于的方程存在实数解，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意可得，解得，故. （2）因为函数在定义域上为增函数， 由可得，解得， 故实数的取值范围是. （3）因为关于的方程存在实数解，即存在实数解， 结合图象可得，整理可得，解得或， 故实数的取值范围是. 17．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知幂函数的解析式为． (1)求的值及的定义域； (2)若，判断的奇偶性并说明理由． 【解析】（1）依题意得：， 故，所以的定义域为． （2）由的定义域为可得的定义域为， 故的定义域为，定义域关于原点对称． ， 因为， ， 所以为非奇非偶函数． 18．（25-26高一上·北京顺义·期中）经检测，餐后4小时内，正常人身体内某微量元素在血液中的浓度与时间满足关系式：．服用药物后，药物中所含该微量元素在血液中的浓度与时间满足关系式：，现假定某患者餐后立刻服用药物，且血液中微量元素总浓度等于与的和．（参考数据：） (1)求4小时内血液中微量元素总浓度的最高值； (2)若餐后4小时内，血液中微量元素总浓度不低于8的累积时长不少于2.5小时，则认定该药物治疗有效，否则需调整治疗方案，请你判断是否需要调整治疗方案，并说明理由． 【解析】（1）根据题意， 当时，，其最大值为； 当时，在单调递增，在单调递减，其最大值为； 又，故当时，的最大值为， 即4小时内血液中微量元素总浓度的最高值为； （2）当时，令，则，解得； 当时，令，则，解得； 故血液中微量元素总浓度不低于8的累积时长为小时，需要调整治疗方案. 19．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的解析式； (2)若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于y轴对称， 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符， 所以， （2）由（1）得， 由不等式在区间 上恒成立， 则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，对称轴为， 则函数在单调递减，在单调递增， 则， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $