第09讲 指数函数及其性质（思维导图+3大知识点+9大题型+过关测试）讲义-2025-2026学年高一数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版）

该高中数学指数函数单元复习讲义通过思维导图系统构建知识体系，结合表格对比不同底数（a>1与0<a<1）的图象特征和性质，梳理概念、图象规律及底数变化对图像的影响，突出定义域、值域、单调性等核心重难点的内在联系。 讲义亮点在于“题型归纳+分层训练”设计，通过指数运算、单调性判断等9类题型，结合2025年各地期中期末真题例题，引导学生用数学思维分析参数问题、不等式求解等综合应用，培养运算能力和逻辑推理。每个题型配“对点训练”，基础题巩固概念，综合题提升应用，助力不同层次学生掌握，教师可据此实施精准复习教学。

第09讲 指数函数及其性质 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、指数函数的概念： 4 知识点二、指数函数的图象及性质： 4 知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：指数的运算 6 题型二：指数函数的概念 8 题型三：根据图像求参数问题 9 题型四：定义域问题 12 题型五：值域问题 12 题型六：单调性问题 17 题型七：指数函数图像的应用 19 题型八：不等式问题 21 题型九：综合问题 23 05 过关测试 28 知识点一、指数函数的概念： 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 知识点二、指数函数的图象及性质： 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 知识点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ①，②，③，④，则： 又即：时，（底大幂大） 时， （2）特殊函数 ，，，的图像： 题型一：指数的运算 【例1】（2025·高一·甘肃酒泉·期末）（1）计算：； （2）化简：； （3）已知，求m的值． 【解析】（1）； （2）由得； （3）因为，所以， 所以，又，所以． 【对点训练1】（2025·高一·天津南开·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)已知，，请求出的用a，b表示的数学表达式． 【解析】（1） ， . （2）     （3） （4） （5）由，得； 因为，由换底公式得： . 【对点训练2】（2025·高一·海南·期中）（1）已知（且），求的值； （2）化简：； （3）化简： 【解析】（1）； （2） ； （3）原式. 【对点训练3】（2025·高一·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2). 【解析】（1）由指数幂的运算公式，可得： . （2）由指数幂的运算公式，可得： . 题型二：指数函数的概念 【例2】（2025·高一·浙江宁波·期中）已知函数，若，则整数a的值为（   ） A．0 B．1 C．-1 D．-1或0 【答案】D 【解析】当时，，故满足题意； 当时，，，故不满足题意； 当时，，，故满足题意. 综上，可得整数a的值为或. 故选：D 【对点训练4】（2025·高一·湖南·期中）已知集合，函数，则的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】由题意，，则；，有， 所以. 故选：B． 【对点训练5】（2025·高一·广东东莞·期中）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【解析】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 【对点训练6】（2025·高一·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【解析】由已知得，即得. 故选：C 题型三：根据图像求参数问题 【例3】（2025·高一·福建龙岩·期中）已知函数（，且）的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的图象过原点，所以， 因为的图象无限接近直线，但又不与该直线相交， 所以，，. 故选：C 【对点训练7】（2025·高一·湖北·期中）已知函数，若方程有且仅有三个不等实根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在同一平面直角坐标系中画出的图象及直线，如图所示， 由图可知，要使方程有且仅有三个不等实根， 即的图象与直线有三个不同的公共点， 则只需. 故选：B 【对点训练8】（2025·高一·重庆·期中）如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，越大，越大．的值小于的值小于的值小于的值. 故选：D. 【对点训练9】（2025·高一·上海·期中）设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】对A，函数单调递增，且图象与y轴相交于x轴下方， 所以且， 所以函数单调递增且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故A错误； 对B，函数单调递增，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递增，且图象为向上平移个单位得到，故B正确； 对C，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故C错误； 对D，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，故D错误. 故选：B 题型四：定义域问题 【例4】（2025·高一·广东广州·期中）函数的定义域是 ． 【答案】 【解析】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 【对点训练10】（2025·高一·天津南开·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【解析】由题意，解得且， 故答案为：． 【对点训练11】（2025·高一·内蒙古赤峰·期末）函数的定义域为 ． 【答案】． 【解析】由题意得，解得，则其定义域为. 故答案为：. 【对点训练12】（2025·高一·新疆伊犁·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】函数的意义，则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 题型五：值域问题 【例5】（2025·高一·重庆·月考）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求函数的值域． (3)设函数，且函数在区间上的最小值为7，求的值． 【解析】（1）偶函数，理由如下： 由题意得，则， 所以的定义域为，关于原点对称， 由， 则， 所以是偶函数. （2）因为， 因为，又因为，则， ①当时，为增函数，此时，故的值域为， ②当时，为减函数，此时，故的值域为. 综上所述，当时，故的值域为. 当时，的值域为. （3）由题意， 设，因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 所以时，， 所以在区间上的最小值为，且对称轴为，开口向上， ①当，即时，此时在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值为，不符合题意，故舍去； ②当，即时，此时在区间上单调递减， 在上单调递增，则时，有最小值为，解得（负值舍去），符合题意； ③当，即时，此时在区间上单调递减， 所以当时，最小值为，解得舍去. 综上所述，的值为. 【对点训练13】（2025·高一·广东深圳·期中）已知函数是定义域为上的偶函数． (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值． 【解析】（1）因为是定义域为上的偶函数， 则，即， 所以，即， 所以，，； （2）由（1）可知， 任取，则，， 则， 所以，所以在上单调递增，又因为是偶函数， 故由式可得， 所以，即， 解得或，故不等式的解集为； （3）， 所以 ， 令，由，在上单调递增，则，则可转化为关于的函数，对称轴为. 当时，则时，，解得； 当时，则时，，解得，舍去； 综上，可知． 【对点训练14】（2025·高一·河北邢台·期中）已知函数． (1)证明：为奇函数； (2)求方程的解； (3)设函数，求在上的最大值与最小值． 【解析】（1）证明：依题意得的定义域为，定义域关于原点对称. 因为，所以为奇函数. （2）由， 令，则， 所以，即， 解得或（舍去）， 则，解得，故方程的解为. （3）由，， 令，所以函数， 则在上单调递增， 又，所以， 则的最小值为1，最大值为. 【对点训练15】（2025·高一·河南·期中）已知二次函数满足． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)设函数，若在上的值域为，求的取值范围． 【解析】（1）由题意，设， 则， ， 则， 又，则，解得， 所以. （2）函数开口向上，对称轴为， 当时，函数在上单调递减， 则，， 所以函数的值域为； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 所以函数的值域为. 综上所述，当时，函数的值域为； 当时，函数的值域为. （3）由，则， 所以， 令，则，且， 因为函数开口向下，对称轴为， 又，则， 所以函数在上单调递减， 则， 两式相减得，， 整理得，， 由于，则，即，则， 代入，得， 则， 令，由于，且，则，即， 而， 因为函数开口向上，对称轴为， 则函数在上单调递减， 而，，则，所以. 题型六：单调性问题 【例6】（2025·高一·河南新乡·期中）已知，函数在上单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于，，若，由幂函数性质易得函数在上单调递增， 当时，因函数在上单调递减，故在上单调递增， 时，总有在上单调递增. 对于，因函数在上单调递减， 由题意需使在上单调递减，即． 依题意，需使，解得， 故实数a的取值范围是． 故选：C． 【对点训练16】（2025·高一·江苏·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 当时，在R上单调递减， 当时，在R上单调递增， 由一次函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减， 因为在区间上单调递增，根据复合函数的单调性可知，且，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 【对点训练17】（2025·高一·浙江·期中）若函数为上的单调递增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由在上单调递增，可得 解得：. 故选：B. 【对点训练18】（2025·高一·吉林长春·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，解得或， 可知函数的定义域为， 因为的图像开口向上，对称轴为， 可知在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增， 又因为在定义域内单调递减， 可得在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 题型七：指数函数图像的应用 【例7】（2025·高一·广东·期中）已知函数 的图象过原点，且无限接近于直线，但又不与该直线相交，则函数有（   ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【解析】因为函数的图象过原点，得： ，所以，即. 因为， 所以当时，，此时， 又因为函数图象无限接近直线但不相交， 因此：，又因为，得. 则， 因为，得，则， 所以：， 所以：， 即函数无最大值，最小值为0. 故选：B. 【对点训练19】（2025·高一·河北保定·期中）已知函数（且）的图像与直线交于两点，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】函数定义域为,所以是偶函数． 当时，函数，函数在上单调，故位于轴两侧， 设A在第一象限，在第二象限．因为，所以，， 所以，解得． 故选：A 【对点训练20】（2025·高一·北京·期中）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【解析】因为，所以的周期为2， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 令，则， 即求与在上交点个数， 作出与图象，如图所示    所以与图象在上有11个交点， 则函数在区间内的零点个数为11. 故选：B 【对点训练21】（2025·高一·北京通州·期中）已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】    令，则等价于. 因此该题可理解为三个函数的函数值相同时，对应的自变量的大小关系. 根据图象分析的大小关系共有以下4种情况： ①；②；③；④；⑤. 故选：D. 题型八：不等式问题 【例8】（2025·高一·山西吕梁·月考）已知函数的定义域为，为偶函数，且对任意的（），都有，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称， 又对任意的，都有， 所以在上单调递增， 所以可等价为，即， 当时，不等式可化为，即， 令，则，由于，无解； 当时，不等式可化为，即， 即，所以，解得． 综上，关于的不等式的解集为． 故答案为： 【对点训练22】（2025·高一·黑龙江大庆·期中）已知，若，则a的取值范围为 【答案】 【解析】，即，即， 当时，得，解得， 当时，得，解得， 综上所述，a的取值范围为. 故答案为：. 【对点训练23】（2025·高一·福建泉州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设， 故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， ． 故答案为： 【对点训练24】（2025·高一·浙江温州·期中），则满足的实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，由，得，解得，符合； 当时，由，得， 所以，所以，所以， 解得，符合， 所以的的取值范围是. 故答案为：. 题型九：综合问题 【例9】（2025·高一·福建·月考）已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若最小值为，求m的值； (3)在（2）的条件下，若不等式在有实数解，求实数a的取值范围． 【解析】（1）设， 由二次函数图像开口向上，对称轴为直线， 故函数在上单调递增，所以， 故所求值域为. （2）函数的最小值为， 令，则， 由二次函数图像开口向上，对称轴为直线， 当时，函数在上单调递增，无最小值； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数在上的最小值为， 由题意可得，解得或（舍去）. 综上，. （3）由题意，有实数解， 即，可得， ，当且仅当时取等号， 在上恒成立， 有实数解，，有实数解 解得，即实数a的取值范围为． 【对点训练25】（2025·高一·广东清远·期中）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴， 则，由， 则当时，原函数为奇函数． （2）由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减函数． （3）因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 【对点训练26】（2025·高一·河南安阳·期中）已知函数． (1)当时，求的最值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)设函数，若存在，使得成立，求的取值范围． 附：函数在上单调递减，在上单调递增． 【解析】（1）由题意知，的定义域为， 令，则， 当时，等价于， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，二次函数取得最小值-3， 即时，取得最小值-3，无最大值． （2）令，当时，， 对任意的恒成立，即在时恒成立， ，令，则，不等式变为， 记，则函数的图象开口向下，对称轴为， 在时的最大值为，因此，， 即的取值范围为． （3）由题知， 令，当时，，则等价于， 题目等价于“存在，使得成立”， 等价于“在上的最大值与最小值之差大于或等于”， 分情况讨论： ①当时，易知在上单调递减，最大值与最小值之差为： ，由，知，满足条件， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，知在上单调递增，最大值为，最小值为， 差为：，由，得，满足条件； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 最小值为，最大值为或， ，，均不符合条件； 当时，在上单调递减， 最大值与最小值之差为， 因为，所以，不符合条件， 综上，的取值范围为． 【对点训练27】（2025·高一·山西晋中·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求在区间上的最大值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，得，解得. （2）当时，， 令，因为，所以， 所以， 当时，取最大值，所以在区间上的最大值为. （3）若对任意的，总存在，使得， 可得：. 又， 所以， 所以对任意的，， 则对任意的恒成立， 即，. 令，即，令，. 因为在区间上为增函数，所以 所以实数的取值范围是. 1．（25-26高一上·全国·期末）设函数，若不等式对恒成立，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】当，， 若不等式，恒成立，则①； 当，，对称轴为， 当时，单调递减，单调递增， ∴， 则，解得②； 综合①②得． 故选：A． 2．（25-26高一上·广西·期中）已知，若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．9 【答案】B 【解析】依题意，，故， 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为3. 故选：B. 3．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设：关于的不等式对一切恒成立，：指数函数（且）在上单调递减，那么是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】对于来说， 若，则有，显然成立， 若，要想关于的不等式对一切恒成立， 只需， 综上所述，的取值范围为； 因为指数函数（且）在上单调递减， 所以有，则的取值范围为， 显然， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 4．（25-26高一上·江西赣州·月考）已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【解析】由函数，令，可得，所以图象的定点， 又由函数的图象过函数图象的定点， 可得，即，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 5．（24-25高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，可得是奇函数，且在上是增函数，将不等式转化为，得到，结合的单调性，即可求解. 【解答过程】设函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且，即，所以为奇函数， 因为是上的增函数，是上的减函数， 所以是上的增函数， 由等价于， 即， 又因为是奇函数，可得， 可得，即，解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 6．（25-26高一上·山东聊城·月考）已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数，定义域为，而且， 所以为偶函数，所以. 由指数函数与对数函数的性质可得，. 因为时，在上单调递增， 所以，所以. 故选：A 7．（24-25高一上·青海·期中）函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由条件可知，实数需满足，解得：. 故选：A 8．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为R， 由，可知函数是奇函数， 而函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减， 故不等式， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 9．（多选题）（25-26高一上·江苏·期末）已知函数（且，），则下列说法正确的是（   ） A．若，则的图象过定点 B．若，则的最小值为 C．若，则 D．若， 【答案】ACD 【解析】对于A选项，令，解得，则，所以的图象过定点，故A正确； 对于B选项，因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号，故B错误； 对于C选项，因为，则在上单调递增， 又，即，所以，故C正确； 对于D选项，因为，则在上单调递减， 又，函数在上单调递增， 则，故D正确. 故选：ACD 10．（多选题）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图象过定点 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的单调递增区间是 D．不等式对一切实数恒成立，则 【答案】ABC 【解析】A．令，可得，， 所以函数且的图象过定点，故A正确； B．的定义域为，则函数中，，解得：，故函数的定义域为，故B正确； C．函数的对称轴为：，开口向下，故函数在,上单调递增，在,上单调递减， 函数在上单调递减，所以还是的单调递增区间是，故C正确； D．当时，不等式对一切实数恒成立，当时， 则，解得，综上，故D错误； 故选：ABC． 11．（多选题）（25-26高一上·广东中山·月考）下列说法正确的是（    ） A．函数（且）必过定点 B．函数（且）必过定点 C．函数的递增区间为 D．函数的递增区间为 【答案】BC 【解析】对于A，由函数，令，可得， 所以函数过定点，所以A错误； 对于B，由函数，令，可得， 所以函数过定点，所以B正确； 对于C，由函数，可得其图象开口向上，对称轴方程为， 可得函数在上单调递减，在单调递增， 又由函数为单调递增函数， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得的递增区间为，所以C正确； 对于D，由函数，令， 解得或，即函数的定义域为， 且在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数得递增区间为，所以D错误. 故选：BC. 12．（25-26高一上·陕西汉中·期中）计算 . 【答案】 【解析】原式 故答案为： 13．（25-26高一上·湖南张家界·期中）已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，，则， 因为对任意的，存在，使得成立， 因此函数在上的最大值大于函数在上的最大值， 又， 所以在上的最大值为， 于是，即，所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．（25-26高一上·河南新乡·期中）已知指数函数（且）在区间上的最大值和最小值之和为3，则它在区间上的最大值和最小值之和为 ． 【答案】18 【解析】指数函数在上单调，在上的最大值和最小值之和为， 即，可得， 则指数函数在上的最大值和最小值之和为， ， 故答案为：18 15．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，. (1)求的值； (2)判断函数在定义域上的单调性，并证明你的结论； (3)对于任意的，不等式恒成立，试求常数m的取值范围． 【解析】（1）由对任意的，都有， 令，可得，解得； （2）函数在上为单调递增函数，证明如下： 设且，则，所以， 则，即， 所以函数在上为增函数； （3）由（2）知，函数在上为增函数， 对于任意的，不等式恒成立， 所以不等式在上恒成立，且， 即不等式在上恒成立， 设，则，所以在上恒成立， 由在上为增函数，所以， 所以，即实数m的取值范围为. 16．（23-24高一上·广东广州·期末）函数是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断的单调性，并证明； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意，得，结合且不等于1，解得， 当时，，则， 所以函数为奇函数，合题意，故. （2）函数为上的增函数.证明如下： 任取，且，则 ， ，，即，，， 所以，即， 所以函数为上的增函数. （3）由（2）得在上单调递增， ， 存在，使得成立，即， 令，易知在上单调递增， 所以， 即，当且仅当，即时等号成立， ，所以实数的取值范围为. 17．（25-26高一上·广西玉林·期中）在数学探究中：若函数满足解析式（，且），则称为“分数指数式函数”，这类函数的单调性与对称性在密码学、数据加密等领域有着重要应用，已知某“分数指数式函数”：， (1)若，请用定义法证明单调性； (2)若，， ①求证：为定值，并求该定值； ②求的值. 【解析】（1）当时，，函数的定义域为， 任取，且，则 ， 因，则，，故， 即，故函数为增函数. （2）①当，时，，则 ， 故为定值1. ②由①已得， 则 . 18．（25-26高一上·河北承德·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求实数的值； (2)求函数在上的解析式； (3)判断函数在上的单调性，并用定义证明． 【解析】（1）函数是定义在上的奇函数，则，解得， 经检验，满足要求． （2）由（1）得，时，， 当时，则，， 又是奇函数，则， 故，故； 则 （3）函数在上单调递增． 证明如下：任取，且， 则 ． 由，得，又因为，，所以， 所以，即． 所以函数在上单调递增． 又因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 19．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并用定义法加以证明； (2)若存在使不等式成立，求实数a的取值范围； (3)设，若对，使得成立，求实数a的取值范围 【解析】（1）函数的定义域为R，由为奇函数，得，解得， 此时，，即为奇函数， 因此，，函数在R上单调递增， 任取，函数在R上单调递增，则，， ，因此，即， 所以函数在R上单调递增. （2）由（1）知，奇函数在R上单调递增， 不等式，则， 依题意，存在使成立， 而，，当且仅当时取等号，因此， 所以实数a的取值范围是. （3）由（1）知，，，函数在R上单调递增，值域为， 函数的值域为，因此函数的值域为， 函数在上单调递增，值域为， 由对，使得成立，得函数在R上的值域是在上值域的子集， 即，因此，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 指数函数及其性质 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、指数函数的概念： 4 知识点二、指数函数的图象及性质： 4 知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：指数的运算 6 题型二：指数函数的概念 7 题型三：根据图像求参数问题 7 题型四：定义域问题 8 题型五：值域问题 8 题型六：单调性问题 10 题型七：指数函数图像的应用 10 题型八：不等式问题 11 题型九：综合问题 11 05 过关测试 13 知识点一、指数函数的概念： 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 知识点二、指数函数的图象及性质： 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 知识点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ①，②，③，④，则： 又即：时，（底大幂大） 时， （2）特殊函数 ，，，的图像： 题型一：指数的运算 【例1】（2025·高一·甘肃酒泉·期末）（1）计算：； （2）化简：； （3）已知，求m的值． 【对点训练1】（2025·高一·天津南开·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)已知，，请求出的用a，b表示的数学表达式． 【对点训练2】（2025·高一·海南·期中）（1）已知（且），求的值； （2）化简：； （3）化简： 【对点训练3】（2025·高一·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2). 题型二：指数函数的概念 【例2】（2025·高一·浙江宁波·期中）已知函数，若，则整数a的值为（   ） A．0 B．1 C．-1 D．-1或0 【对点训练4】（2025·高一·湖南·期中）已知集合，函数，则的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【对点训练5】（2025·高一·广东东莞·期中）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【对点训练6】（2025·高一·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 题型三：根据图像求参数问题 【例3】（2025·高一·福建龙岩·期中）已知函数（，且）的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（   ） A． B． C． D． 【对点训练7】（2025·高一·湖北·期中）已知函数，若方程有且仅有三个不等实根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【对点训练8】（2025·高一·重庆·期中）如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A． B． C． D． 【对点训练9】（2025·高一·上海·期中）设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（   ） A．   B．   C．   D．   题型四：定义域问题 【例4】（2025·高一·广东广州·期中）函数的定义域是 ． 【对点训练10】（2025·高一·天津南开·期中）函数的定义域是 . 【对点训练11】（2025·高一·内蒙古赤峰·期末）函数的定义域为 ． 【对点训练12】（2025·高一·新疆伊犁·期末）函数的定义域为 ． 题型五：值域问题 【例5】（2025·高一·重庆·月考）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求函数的值域． (3)设函数，且函数在区间上的最小值为7，求的值． 【对点训练13】（2025·高一·广东深圳·期中）已知函数是定义域为上的偶函数． (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值． 【对点训练14】（2025·高一·河北邢台·期中）已知函数． (1)证明：为奇函数； (2)求方程的解； (3)设函数，求在上的最大值与最小值． 【对点训练15】（2025·高一·河南·期中）已知二次函数满足． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)设函数，若在上的值域为，求的取值范围． 题型六：单调性问题 【例6】（2025·高一·河南新乡·期中）已知，函数在上单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【对点训练16】（2025·高一·江苏·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【对点训练17】（2025·高一·浙江·期中）若函数为上的单调递增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【对点训练18】（2025·高一·吉林长春·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 题型七：指数函数图像的应用 【例7】（2025·高一·广东·期中）已知函数 的图象过原点，且无限接近于直线，但又不与该直线相交，则函数有（   ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值 【对点训练19】（2025·高一·河北保定·期中）已知函数（且）的图像与直线交于两点，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【对点训练20】（2025·高一·北京·期中）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【对点训练21】（2025·高一·北京通州·期中）已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 题型八：不等式问题 【例8】（2025·高一·山西吕梁·月考）已知函数的定义域为，为偶函数，且对任意的（），都有，则关于的不等式的解集为 ． 【对点训练22】（2025·高一·黑龙江大庆·期中）已知，若，则a的取值范围为 【对点训练23】（2025·高一·福建泉州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【对点训练24】（2025·高一·浙江温州·期中），则满足的实数的取值范围是 . 题型九：综合问题 【例9】（2025·高一·福建·月考）已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若最小值为，求m的值； (3)在（2）的条件下，若不等式在有实数解，求实数a的取值范围． 【对点训练25】（2025·高一·广东清远·期中）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【对点训练26】（2025·高一·河南安阳·期中）已知函数． (1)当时，求的最值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)设函数，若存在，使得成立，求的取值范围． 附：函数在上单调递减，在上单调递增． 【对点训练27】（2025·高一·山西晋中·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求在区间上的最大值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 1．（25-26高一上·全国·期末）设函数，若不等式对恒成立，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26高一上·广西·期中）已知，若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．9 3．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设：关于的不等式对一切恒成立，：指数函数（且）在上单调递减，那么是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·江西赣州·月考）已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 5．（24-25高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山东聊城·月考）已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·青海·期中）函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高一上·江苏·期末）已知函数（且，），则下列说法正确的是（   ） A．若，则的图象过定点 B．若，则的最小值为 C．若，则 D．若， 10．（多选题）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图象过定点 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的单调递增区间是 D．不等式对一切实数恒成立，则 11．（多选题）（25-26高一上·广东中山·月考）下列说法正确的是（    ） A．函数（且）必过定点 B．函数（且）必过定点 C．函数的递增区间为 D．函数的递增区间为 12．（25-26高一上·陕西汉中·期中）计算 . 13．（25-26高一上·湖南张家界·期中）已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 14．（25-26高一上·河南新乡·期中）已知指数函数（且）在区间上的最大值和最小值之和为3，则它在区间上的最大值和最小值之和为 ． 15．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，. (1)求的值； (2)判断函数在定义域上的单调性，并证明你的结论； (3)对于任意的，不等式恒成立，试求常数m的取值范围． 16．（23-24高一上·广东广州·期末）函数是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断的单调性，并证明； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 17．（25-26高一上·广西玉林·期中）在数学探究中：若函数满足解析式（，且），则称为“分数指数式函数”，这类函数的单调性与对称性在密码学、数据加密等领域有着重要应用，已知某“分数指数式函数”：， (1)若，请用定义法证明单调性； (2)若，， ①求证：为定值，并求该定值； ②求的值. 18．（25-26高一上·河北承德·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求实数的值； (2)求函数在上的解析式； (3)判断函数在上的单调性，并用定义证明． 19．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并用定义法加以证明； (2)若存在使不等式成立，求实数a的取值范围； (3)设，若对，使得成立，求实数a的取值范围 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $