第14讲 三角恒等变换讲义-2025-2026学年高一数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版）

该高中数学三角恒等变换复习讲义通过思维导图系统构建知识体系，将两角和差、二倍角、降幂、半角及辅助角公式等核心知识点分层梳理，用框架图呈现公式推导逻辑与内在联系，突出公式逆用、角的拆分等重难点分布。 讲义亮点在于“题型归纳+举一反三”的练习设计，涵盖给角求值、给值求角等8类典型题型，如辅助角公式高级应用结合函数值域与几何面积最值问题，培养数学思维中的运算推理与模型构建能力。过关测试包含选择、填空及综合解答题，适配不同层次学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

第14讲 三角恒等变换 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 4 知识点2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 4 知识点3、降幂公式 4 知识点4、半角公式 5 知识点5、辅助角公式 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：两角和与差公式 6 题型二：三角恒等变换的化简问题 6 题型三：给角求值问题 7 题型四：给值求值问题 7 题型五：给值求角问题 8 题型六：辅助角公式的高级应用 8 题型七：三角恒等式问题 9 题型八：综合应用问题 10 05 过关测试 13 知识点1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）和角公式 （）， （）， （）． （2）差角公式 （）， （）， （）． 知识点2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 （）， （）， （） 知识点3、降幂公式 ， ， ． 知识点4、半角公式 ， ， ． 其中，符号由所在象限决定． 知识点5、辅助角公式 ，其中，．叫做辅助角，的终边过点． 题型一：两角和与差公式 【例1】（2025·高一·安徽合肥·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高一·云南昆明·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高一·贵州·期末）的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-3】（2025·高一·安徽亳州·期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，若角满足，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 题型二：三角恒等变换的化简问题 【例2】（2025·高一·湖南·期末）若A是的内角，且，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高一·北京西城·期中）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高一·山东威海·期中）已知函数，则（    ） A． B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【变式2-3】（2025·高一·内蒙古呼和浩特·期中）已知，，则下列命题中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数是偶函数 C．函数的最小值为 D．函数的一个单调递增区间是 题型三：给角求值问题 【例3】（2025·高一·四川·期中）计算（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·广东汕头·二模）若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·高一·广东茂名·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·高一·山西·期末）（ ） A． B． C． D． 题型四：给值求值问题 【例4】（2025·高一·全国·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·高一·广东湛江·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·高二·山西·开学考试）若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·高一·陕西咸阳·期中）已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 题型五：给值求角问题 【例5】（2025·高一·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·高一·四川内江·期中）已知，，且、是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·高一·江苏徐州·期末）已知，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·高一·河南·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型六：辅助角公式的高级应用 【例6】（2025·高一·北京·期中）函数的值域是 ． 【变式6-1】（2025·高一·北京顺义·期末）如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，矩形ABCD的面积S的最大值为 . 【变式6-2】（2025·高一·辽宁·期末）已知函数的图象关于直线对称，则的值为 . 【变式6-3】（2025·高一·河南南阳·期末）设，已知，则 题型七：三角恒等式问题 【例7】（2025·高一·四川成都·期中）已知斜三角形. (1)借助正切和角公式证明：. 并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值： ①， ②； (2)若，求的最小值. 【变式7-1】（2025·高三·辽宁丹东·期中）已知为斜三角形． (1)证明：； (2)若为锐角三角形，，求的最小值． 【变式7-2】（2025·高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-3】（2025·高一·全国·专题练习）已知中，，且将，试判断的形状. 题型八：综合应用问题 【例8】（2025·高三·河南·月考）已知函数的图象关于点对称． (1)求； (2)若，求函数的最值及取最值时的的值； (3)若，且，求． 【变式8-1】（2025·高一·浙江·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)用五点法作出在区间内的图象； (3)在中，若，求的最大值. 【变式8-2】（2025·高三·福建龙岩·期中）剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点.现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段上，均在线段上. (1)求圆心角的大小（用弧度表示）； (2)设，且，求的长； (3)求矩形面积的最大值. 【变式8-3】（2025·高一·北京顺义·期末）已知函数（），且函数图象的一个对称中心为. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若在区间上的值域是，求m的取值范围. 1．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·黑龙江·月考）角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数，若，且在上有最大值，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川泸州·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·山东·期中）若函数 的最大值为1，则常数φ的值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，则（    ） A．7 B． C． D． 7．（25-26高三上·北京·月考）在平面直角坐标系中中，角以为始边，终边与单位圆交点的纵坐标是，把的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·云南曲靖·期末）由正弦二倍角公式，我们发现一个有趣事实. 同理，由此请计算（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高三上·吉林四平·期中）已知点位于角的终边上，则（    ） A．是锐角 B． C． D．是奇函数 10．（多选题）（24-25高一下·四川泸州·期末）已知函数的最小正周期为，则（    ） A．的值为2 B． C．函数在单调递增 D．当时，方程存在两个根，则 11．（多选题）（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知函数与直线在第一象限内的交点的横坐标从小到大依次为，，，…，，…，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知，，，则 ． 13．（25-26高三上·北京·期中）如图，单位圆与轴的正半轴交于点，以轴的非负半轴为始边作锐角、，终边分别与单位圆相交于点、，角的终边与单位圆交于点． （1）若，，则扇形的面积为 ； （2）若，点的纵坐标为时，则点的纵坐标为 ． 14．（25-26高三上·陕西渭南·月考）已知，若，，则的值为 . 15．（22-23高一下·江苏·月考）已知. (1)求； (2)求. 16．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求的值； (2)若角满足，且，求的值. 17．（25-26高一上·广东·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增区间． (2)若，求的值域． (3)若，，求的值． 18．（24-25高一上·安徽宣城·期末）为推进乡村振兴战略实施，建设美丽宜居乡村，某村准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化．如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，先要将此空地规划出一个等腰三角形区域，底边，交于点E）种植树木，其余的区域种植花卉．设． (1)当时，求的面积； (2)当为何值时，的面积最大． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $第14讲三角恒等变换 目录 01题型归纳目录.2 02思维导☒图3 03知识点梳理… 4 知识点1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式4 知识点2、二倍角的正弦、余弦、正切公式4 知识点3、降幂公式4 知识点4、半角公式5 知识点5、辅助角公式5 04题型归纳，举一反三.6 题型一：两角和与差公式6 题型二：三角恒等变换的化简问题7 题型三：给角求值问题 9 题型四：给值求值问题 10 题型五：给值求角问题 12 题型六：辅助角公式的高级应用 14 题型七：三角恒等式问题17 题型八：综合应用问题19 05过关测试… .24 1/35 01 题型归纳目录 题型五：给值求角问题 题型一：两角和与差公式 题型六：辅助角公式的高级应用 题型二：三角恒等变换的化简问题 题型归纳 题型七：三角恒等式问题 题型三：给角求值问题 题型八：综合应用问题 题型四：给值求值问题 2/35 02 思维导图 (①sin(atp)=sinacosB±cosasinβ； 两角和与差的正余弦与正切 ②cos(atp)=cosacosB千sinasinB; tanatfanβ ③tan(ap)-1干tanatan (①sin2a=2 sinacosa; 二倍角公式 2cos2a=cos'a-sin'a=2cos'a-1=1-2sin'a; ③tan2a= 2tand -tan'a: 在平面几何中的应用 三角恒等变换 降次（幂）公式 在物理中的应用 2 半角公式 n2ma sina asina+bcosa=√a'+bsim(a+中) 辅助角公式 (其中sin中= 3/35 03 知识点梳理 知识点1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)和角公式 sin(a+B)=sina cosB+cosa sin B (SB)), cos(a+B)=cosa cosB-sina sin B (CB)), tan(a+β)= tana+tanβ 1-tan a tan B （Ta+B). (2)差角公式 sin(a-B)=sina cosB-cosa sin B () cos(a-B)=cosa cosB+sina sin B (C), tan(a-B)=tana-tan B 1+tan a tan B (Ta-). 知识点2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2a =2sina cosa (S2), cos 2a cos'a sin-a =1-2sin2a =2c0s2a-1(C2a）, 2tana（Ta） tan2d=1-tan'c 知识点3、降幂公式 sina=1-cos2a 2 cos'a=1+cos2a 2 sina cosa =-sin 2a 2 4/35 知识点4、半角公式 sin =士 1-cosa =土 1+cosa 2 2 tan= 1-cosa 2 V1+cosa 其中，符号由所在象限决定. 2 知识点5、辅助角公式 asinx+bcosx=√a2+b2sin(x+p),其中cos0=- Va sing= a +·p叫做辅助角，p的终 b 边过点P(a,b). 5/35 题型归纳，举一反三 题型一：两角和与差公式 【例1】(2025高一安徽合肥期末)已知ana=3an(a+B)=号，则an2B=（） A. C.3 4 5 B. 5 【答案】D 【解析】依题意，tan(a+B)=ana+ianB-3+an阝_1， l-tana tanβ 1-3anB=7,解得anB=-2, 2tanβ-44 所以tan2B=1-tan1-43 故选：D 3 【变式1-H1】(2025高一云南昆明期末)已知sin(a+B)=亏ana=2anB,则sinacos:（） A5 B. √2 C. D.5 【答案】D 【解所】：sn(a+B）-号，+oasin 3 5 又由ana=2ianB,得sinacosp=2 cosasin,即cosasinB=s -sinacosB, 3 ’即sinacosB=2 3 sinacosB 2 故选：D 【变式1-2】(2025高一.贵州期末) 1+tan15 的值为() 1-tan15 A.1 B. C.5 D. 3 3 【答案】C 【解析】 1+tan15 tan45°+tan15o 1-tanl5°-1-tan45°tanl5° =tan(45°+15)=tan60°=√5. 故选：C 【变式1-3】(2025高一安徽毫州期末)已知角的顶点与原点0重合，始边与x轴的非负半轴重合，它 的终边过点P 43 若角B满是ou+B1-吕·则esB的值为() 6/35 63 A. 65 B. 33 或 65 c.56或6 D. 6565 65 65 【答案】D 3 3 5 4 【解析】依题意， sina + 5 由cos(a+B)= 12 可知sin(a+B)=±-( 5 13 169 V69 5 13 则cosB=cos[(a+β)-a]=cos(a+β)cosa+sin(a+B)sina= 1×565 故选：D 题型二：三角恒等变换的化简问题 【例2】(2025高一湖南期末)若A是ABC的内角，且sin4-cos4=17 /3,则sin4+4cos4的值可以为(】 5sinA-7cosA a高 8 B.- C.、l6 19 5 D.16 5 【答案】A 【解析】由sin4-c0s1=吕可得sin4-c0542-289 13 169 sin A-2 sin A cosA+cos =289 169 即1-sin2A= 28 ..sin24=- 169(sin 4+cos)1+sin24 20 49 169 169 7 5 ①：A∈ ∴.sinA+cosA= 3 所以sinA=2 c0sA= 13: sinA 12 所以tanA= cosA 所以 5sinA+4cosA 5tanA+4-8 8 5sinA-7cosA 5tan4-7-19-19 ②：A∈ 2,πsin1+cosA= > J 13， 所以sinA 13,c0s4=-12 135 所以tanA= sinA 5 cosA 12 25 +4 12 5sinA+4cosA 5tanA+4 23 所 5sin4-7cos45an4-725-7109 12 故选：A 7/35 【变式2-1】(2025·高一·北京西城期中)下列函数中，最小正周期为的奇函数是() A.y=tan2x B.y=sinx C.y=cos2x-sinx D.y=sinxcosx 【答案】D 【解析】对于A,y=an2x的最小正周期为，故A不合题意： 对于B,y=sin的最小正周期为=元，令fx)=y=5inx,定义域为R, 因为f(-x)=sin(-x=sinx=f(x)为偶函数，故B不合题意； 对于C,y=cos2x-sin2x=co0s2x,最小正周期为无三型 令f(x)=cos2x,定义域为R, f(-x)=c0s-2x=cos2x=f(x)为偶函数，故C不合题意； 1 对于D,y=sin xcos=sin2x,最小正周期为=， 令f(x)=y=。sin2x,定义域为R, 心)n-2=n2x=-),为奇话数，故D符合烟意 故选：D, 【变式2-2】(2025高一山东威海期中)己知函数fx)=sin(x+)cosx,则() A.()sin(x B.f(x)的最大值为2 61 C.y=f)的图象关于直线x=对称D.f(倒在区间0， 上单调递增 12 【答案】D 【解折】f)=sn(x+孕cosx= sin xcos+cos xsin 3 cosx= sin x+ -cosx cosx 2 =sin xcosx+ 。1 cos'x=sin 2x+ 51+os2 -cos2x+ 2 4 272 2 42 2引9 对于选项A:由上边推导知选项A错误： 对于选项B:由以上推导得到最大值为}+ 3× ,故选项B错误； 4 对千选项c:令2x+号-+ke习→=音+受1ke列，不存在整数使得-吾波达项c错误 32 8/35 对于选项D当x时，2江+骨（后引，止孩函数在X(昏 上单调递增，故选项D正确； 故选：D 【变式2.3】2025商-内家古呼利和浩特期中)已知/1因=smx+引，8到=cosx-引， 则下列命题中 正确的是() A.函数y=f(x·gx的最小正周期为2π B.函数y=fx·gx是偶函数 C.函数y=fx+gx)的最小值为-2 D.函数y=f(x+gx)的一个单调递增区间是 3ππ -44 【答案】D 【解折】因为f=n+引=cos,8到=co-引-sm 对于A、B:因为y=f(xgx)=cosxsinx=-sin2x, 所以函数y=∫xgx)的最小正周期T=27=,故A错误： 为xGR,in-2x)=7n2x,所以函数y=小g为奇函数，故B 对于C:因为y=-g时=s+如=号+号a小-(+引 2 2 所以函数y=∫x)+gx)的最小值为-√2，故C错误； 由-+2m≤x+元s+2m,keZ,解得-3+2km≤x≤+2ka,keZ, 2 42 4 所以函数y=+g的蛾区间为经+2血孕+2∈2)。 4 所以3]为函数y=x+gx)的一个单调递增区间，故D正确 4’4 故选：D 题型三：给角求值问题 【例3】(2025高一·四川期中)计算cos43°sin73°+sin223°cos287°=() A号 B.3 2 c D.3 2 【答案】A 9/35 【解析】由题意可得：cos43°sin73°+sin223°cos287°=cos43°sin73°+sin(180+43)cos360°-73) =sn75cos43-cs735如4g=sm73-48)=sm30-号 故选：A 【变式3-1】(2025广东汕头·二模)若λsin160°+tan20°=√5，则实数1的值为() A.4 B.4V5 C.25 D.4V5 3 【答案】A V3-tan20° √3cos20°-sin20°2(sin60°cos20°-cos60°sin20° 【解析】由已知可得入= in180°-20 sin20°cos20 1 2 sin 40 4sin40° =4 sin40° 故选：A 【变式3-2】(2025高一广东茂名期末)sinl10cos250 的值为() cos225°-sin2155 B. 3 C.3 D.3 2 2 【答案】A 1 1 【解析】原式_-sin70°cos70° in140 sin40 、2 i40、1 、2 cos225°-sin225 cos50 2 故选：A 【变式3-3】(2025高一山西期末)sin20°W3+tan50=() A.月 B.2 C.5 D.1 【答案】D in20°sin50°+V3cos50 2sin20°sin50°+60°）2sin20°sin90°+20° 【解析】原式= cos 50 cos 50" cos90°-50°） 2sin20°cos20°sin40° =1 sin 40 sin40° 故选：D 题型四：给值求值问题 10/35