精品解析：陕西省西安市长安区2026届高三上学期一模数学试题

长安区2026届高三第一次模拟考试 数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数虚部的定义即可得解. 【详解】， 的虚部为， 故选：B. 2. 从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：95，90，71，76，85，88，72，91，92，65（单位：分），则这10名同学数学成绩的第70百分位数是（ ） A. 90 B. 91 C. 90.5 D. 91.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的计算即可求解. 【详解】先将这10个数从小到大排列：65,71,72,76,85,88,90,91,92,95， 因为，7是整数， 故这10名同学数学成绩的第70百分位数是 ， 故选：C. 3. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过列举法求出集合，再由交集的定义即可得解. 【详解】当时，；当时，；当 时，；当时，， 故，，. 故选：A. 4. 设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，分析充分性与必要性，即可得解. 【详解】若，又，故，即， 则或，故甲无法推出乙，充分性不成立； 若，则，两边平方得， 所以，故乙可以推出甲，必要性成立. 综上，甲是乙的必要不充分条件， 故选：B. 5. 记为等差数列的前n项和.已知，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 13 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】运用等差中项的性质即可得解. 【详解】由，可得， 又因为，即，解得， 故选：C. 6. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用对数的运算性质及对数换底公式即可得解. 【详解】由题可知，故， 故选：A. 7. 已知平面向量，，，满足，，，则（ ） A. B. 或 C. 5 D. 5或 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件，得到与的关系，再利用向量夹角公式建立关于的方程，最后求解即可. 【详解】由可得，则， 因为，故有，即， 又因为，两边同时平方得， 将与代入上式， 得，整理得， 解得或， 故选：B. 8. 已知函数的定义域为，且，，则（） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件变换先计算周期，算出一个周期内的值，然后根据周期性求结果即可. 【详解】因为，由， 令 ，则， 即①， 所以②， ①②相加得：， 所以， 所以函数的一个周期为6， 令，则， 令，则， 又， 所以， ， 所以 所以由周期性得： ， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知棱长为2的正方体中，分别为， ，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 棱锥的体积为 D. 与平面所成角的正切值为 【答案】BC 【解析】 【分析】建系，结合向量的平行垂直可判断AB，由体积公式可判断C，由线面夹角的向量法可判断D. 【详解】 如图建系，， 则，显然不平行，即错误，故A错误； ，则， 即，故B正确； ，故C正确， 易知平面的一个法向量为， 设与平面所成角为， 所以， 所以， 所以，故D错误， 故选：BC 10. 下列说法正确的为（ ） A. B. 已知， ，且，则 C. 函数为偶函数，则 D. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，运用终边相同的角的性质及余弦函数的定义即可得解；对于B，运用基本不等式中“1”的妙用即可得解；对于C：利用偶函数的定义求解即可；对于D，利用分段函数的单调性解决即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C：若是偶函数，则有， 即，得， 整理得，解得，故C错误； 对于D：若函数在上单调递增，则，得， 解得，即，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，有两个零点，则下列结论正确的是（） A. 当时， B. C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，作出单位圆，将与转化为面积，再直观比较面积即可；对于B，画出的函数图象，数形结合确定所在区间，即可判断；对于C，考虑正切函数的周期性，且注意到，数形结合即可判断；对于D，由，推出，根据零点范围可得符号判断. 【详解】 即，易知当 时，，显然不符题意，故， 因此 等价于. 对于A：当时，，则 设，在平面直角坐标系中作单位圆，与轴交于 ，则，过点 作垂直于轴，交射线 于点，连接， 由三角函数的定义可知，，设扇形的面积为， ，，易知，即， 得 ，即当时，有不等式 ，又因为， 因此当时，，故A正确； 对于B：画出且且与的函数图象， 如图可以看出， 故，故B错误； 对于C：的最小正周期为，且由图象可知， 故之间的距离大于，即，故C正确； 对于D：由，推出 ， 因为，且由C可知， 故有，则， 而， 又因为，且 在为增函数， 故， 则， 又因为， 故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求得，所以 ，，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以 ，， 所以曲线在处的切线方程为，即 . 故答案为： . 13. 直线： 与直线：交于点，则的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】通过直线过定点，且垂直确定的轨迹为圆，再由的几何意义即可求解. 【详解】对于直线：，令，得 ， 即直线过定点， 对于直线：，化简得， 由，得，即直线过定点， 当时，，，两直线垂直， 当时，，两直线垂直， 所以点的轨迹为以为直径的圆，除去 点， 中点坐标为， ， 所以以为直径的圆方程为：， 即点的轨迹方程为： ， 的几何意义为两点连线的斜率， 由图可知：直线与圆相切， 过作圆的切线，设斜率为，直线方程为， 即，由圆心到直线的距离等于半径可得：， 解得：， 由图形可知：的取值范围是， 故答案为： 14. 如图，已知是圆锥 的轴截面，，分别为，的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】勾股得到，从而得到，然后根据截面得到截面，根据勾股得到当范围，，再结合截面得到的范围，从而得到的最大值. 【详解】 过点作，交底面圆于两点，连接 ，， ， 设，则， 由圆锥的性质得 底面， 因为底面，所以， 又，平面 ，所以平面 ， 因为平面 ，所以， 因为分别是的中点，所以，则， 因为，平面 ，所以平面 ， 则平面 为截面， 因为为中点，所以，所以平面 ， 因为 平面 ，所以，所以， 如图为截面的平面图， 以为原点， 为轴，过点垂直 向上的方向为轴正方向建系， ，，，则抛物线方程为， 设，，则， 所以， 则，所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于找到截面，然后转化为平面几何求范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有. （1）求角A； （2）若D为BC中点，且，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过三角恒等变换对题目所给等式进行化简，即可得解； （2）运用中线向量定理得，两边平方后，再运用基本不等式以及三角形的面积公式，即可得解. 【小问1详解】 ， ， 又因为， 故 ， 整理得， ，，， ，. 【小问2详解】 由题意知， 则， ，， （当且仅当 时等号成立），， 面积的最大值为. 16. 如图，在四棱锥 中，底面为矩形，平面 平面，M为 中点，过点A作 的垂线交 于点N，交于点E. （1）证明：平面； （2）若 ，，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 平面 平面，平面 平面 ， ， 平面， 平面 又平面 ，， 又，，平面， 平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质证得 平面 ，继而证得 ，再结合，即可证得线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得两两互相垂直，以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，. 设，则． ，， ，解得，则. 设平面ACE的法向量为，由， 令，可得，则平面的一个法向量为， 由（1）得为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为 ，则 则， 因此，平面与平面所成角的余弦值为. 17. 2025年12月1日全面实施电动车新国标的相关规定，全面禁售旧国标车，聚焦车辆安全性能升级.据调查拥有电动车的家庭中，的家庭只拥有电动车，的家庭既有电动车也有其他交通工具.对于每个家庭，若只拥有电动车则记1分，若同时拥有其他交通工具则记2分.假设各家庭是否拥有其他交通工具相互独立，且视调查频率为概率. （1）从被调查家庭中随机抽取3户，记这3户的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）从被调查家庭中随机抽取n（）户，记这n户的合计得分恰为 的概率为，求. 【答案】（1） 【小问1】x 3 4 5 6 P ； （2）. 【解析】 【分析】（1）运用二项分布的知识求解即可； （2）利用错位相减法解决“等差数列等比数列”的求和模型. 【小问1详解】 由题意知，每个家庭“只有电动车”的概率为，“既有电动车又有其他交通工具”的概率为.则X的可能取值为3，4，5，6. ，， ，， 所以X的分布列为 x 3 4 5 6 P 所以. 【小问2详解】 因为这户的合计得分为 分，所以其中恰有 户为“既有电动车又有其他交通工具”，其余户均为“只有电动车”. 所以， 设， 即 ①， 则 ②， ① ②得， 即，所以， 即. 18. 已知椭圆（）的离心率为，过椭圆C上一点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于异于点 的两点. （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线必过定点，并求出该定点坐标； （3）过点 作 ，点为垂足，判断点是否在某个定圆上，并说明理由；若存在，求出该圆方程. 【答案】（1） （2） 如图，设点，， ，，即，① 当直线的斜率存在时，设方程为 ， 代入椭圆方程消去并整理得： 由韦达定理得，，② 根据，，代入①整理可得： 将②代入， 整理化简得， 不在直线上，，， 于是的方程为，所以直线过定点. 当直线的斜率不存在时，可得， 代入 得，结合，解得或 （舍去）， 此时直线过点. （3） 点在定圆上，.理由如下： 因为 于点，且定点在直线上，所以. 又点为两个定点，线段 长度为定值. 故点在以线段为直径的圆上. 由中点坐标公式得圆心坐标为，由两点间距离公式得半径为， 故圆的方程为. 【解析】 【分析】（1）结合题意建立方程组求出基本量，进而得到椭圆方程即可. （2）对的斜率是否存在进行分类讨论，再结合直线与椭圆相交的相关性质得到方程，进而求解定点即可. （3）结合题意先确定在定圆上，再求出圆心和半径，进而得到圆的方程即可. 【小问1详解】 由题意可得， 又，解得，. 所以椭圆的方程为 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）当 时，求函数的单调区间； （2）当 时，，求实数a的取值范围； （3）设，证明：. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为. （2） （3） 证明：取，则，总有成立， 令，则，，， 故即对任意的恒成立. 所以对任意的，有， 整理得到：， 故 故不等式成立. 【解析】 【分析】（1）求导，通过 ， 即可求解； （2）构造函数，求导，再令，再求导，得到，通过和和两类情况讨论即可求解； （3）由（2）取，得，再令，得到进而得到 ，即可求证. 【小问1详解】 当 时，，则， 当时， ，当时， ， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 设，则，又， 设，则， 若，则，因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有 ， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 下证：对任意 ，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故 总成立，即在上为减函数， 所以. 当，且 时，， 则， 所以在上为减函数，所以. 综上，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长安区2026届高三第一次模拟考试 数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 2. 从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：95，90，71，76，85，88，72，91，92，65（单位：分），则这10名同学数学成绩的第70百分位数是（ ） A. 90 B. 91 C. 90.5 D. 91.5 3. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 记为等差数列的前n项和.已知，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 13 D. 15 6. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知平面向量，，，满足，，，则（ ） A. B. 或 C. 5 D. 5或 8. 已知函数的定义域为，且，，则（） A. 1 B. 0 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知棱长为2的正方体中，分别为，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 棱锥的体积为 D. 与平面所成角的正切值为 10. 下列说法正确的为（ ） A. B. 已知， ，且，则 C. 函数为偶函数，则 D. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 11. 已知函数，有两个零点，则下列结论正确的是（） A. 当时， B. C. 若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为______. 13. 直线： 与直线：交于点，则的取值范围为_________. 14. 如图，已知是圆锥 的轴截面， ，分别为，的中点，过点 且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有. （1）求角A； （2）若D为BC中点，且，求面积的最大值. 16. 如图，在四棱锥 中，底面为矩形，平面 平面，M为 中点，过点A作 的垂线交 于点N，交于点E. （1）证明：平面； （2）若 ，，求平面与平面所成角的余弦值. 17. 2025年12月1日全面实施电动车新国标的相关规定，全面禁售旧国标车，聚焦车辆安全性能升级.据调查拥有电动车的家庭中，的家庭只拥有电动车，的家庭既有电动车也有其他交通工具.对于每个家庭，若只拥有电动车则记1分，若同时拥有其他交通工具则记2分.假设各家庭是否拥有其他交通工具相互独立，且视调查频率为概率. （1）从被调查家庭中随机抽取3户，记这3户的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）从被调查家庭中随机抽取n（）户，记这n户的合计得分恰为 的概率为，求. 18. 已知椭圆（）的离心率为，过椭圆C上一点作两条互相垂直的直线，与椭圆 分别交于异于点的两点. （1）求椭圆 的方程； （2）求证：直线必过定点，并求出该定点坐标； （3）过点作 ，点为垂足，判断点是否在某个定圆上，并说明理由；若存在，求出该圆方程. 19. 已知函数. （1）当 时，求函数的单调区间； （2）当时，，求实数a的取值范围； （3）设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $