第13讲 三角函数的性质及伸缩变换讲义（思维导图+6大知识点+10大题型+过关测试）-2025-2026学年高一数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

该高中数学讲义通过思维导图系统构建三角函数性质及伸缩变换的知识体系，将正弦余弦正切函数的图象性质、五点法作图、y=Asin(ωx+φ)的变换等6个知识点分层梳理，用框架图呈现从基础图象到综合变换的逻辑递进，明确重难点分布。 讲义亮点在于“题型-变式-综合”的三阶练习设计，如实际应用题型中筒车问题引导学生用数学眼光观察现实，综合性质题型通过函数零点与方程求解培养数学思维。例题与变式题适配不同层次学生，过关测试助力教师精准教学，提升复习效率。

第13讲 三角函数的性质及伸缩变换 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1、正弦函数、余弦函数的图象 4 知识点2、正弦函数、余弦函数的性质 5 知识点3、正切函数的图象 6 知识点4、用五点法作函数的图象 7 知识点5、函数中有关概念 7 知识点6、由得图象通过变换得到的图象 7 9 题型一：解不等式问题 9 题型二：周期性问题 11 题型三：奇偶性问题 12 题型四：单调性问题 14 题型五：定义域问题 16 题型六：值域问题 17 题型七：伸缩变换 18 题型八：由图像求解析式 20 题型九：实际应用问题 23 题型十：三角函数综合性质问题 26 05 过关测试 31 知识点1、正弦函数、余弦函数的图象 （1）正弦函数的图象． ①画点 在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为．在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点． ②画（）的图象 把轴上从到这一段分成等份，使的值分别为，，，，…，，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周等份，再按上述画点的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点．然后将这些点用光滑的曲线连接起来，即得（）的图象． ③（）的图象 由诱导公式一可知，函数，，且的图象，与函数，的图象形状完全一样．因此将函数，的图象不断向左、向右平行移动（每次个单位长度），就可以得到正弦函数，的图象（如下图）． 正弦函数的图象叫做正弦曲线． ④五点作图法 在函数，的图象上，有以下五个关键点： ，，，，． 画出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，可得到正弦函数的简图．这种作图的方法称为”五点作图法”． （2）余弦函数的图象 因为，所以可将正弦函数，的图象向左平移个单位长度即得余弦函数，的图象． 余弦函数，的图象叫做余弦曲线． 余弦函数，的图象上五个关键点是：，，，，． 知识点2、正弦函数、余弦函数的性质 （1）周期性 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有 ， 那么函数就叫做周期函数．非零常数叫做这个函数的周期． 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是． 余弦函数也是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是． （2）奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． （3）单调性 正弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到． 余弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到． （4）最大值与最小值 正弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值． 余弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值． 知识点3、正切函数的图象 正切函数的图象叫做正切曲线． 4、正切函数的性质 （1）定义域 正切函数的定义域为 （2）周期性 正切函数是周期函数，最小正周期是． （3）奇偶性 正切函数是奇函数． （4）单调性 正切函数在每一个开区间（）上都单调递增． （5）值域 正切函数的值域是实数集． 知识点4、用五点法作函数的图象 用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 知识点5、函数中有关概念 表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相． 知识点6、由得图象通过变换得到的图象 1、振幅变换： ，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅． 2、周期变换： 函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期． 3、相位变换： 函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）． 4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径 题型一：解不等式问题 【例1】（2025·高一·陕西渭南·期末）已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是三角形的一个内角，可得， 又因为，可得，即不等式的解集为. 故选：C. 【变式1-1】（2025·高一·湖南永州·期中）已知，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对，，结合的图象可知． 故选：C. 【变式1-2】（2025·高一·江西·月考）已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的最小正周期为，所以，得. 所以， 由得，得， 解得. 故选：A 【变式1-3】（2025·高一·辽宁大连·期末）已知函数（，，）在区间上单调，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ，， 在区间单调， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 故选：A. 题型二：周期性问题 【例2】（2025·高一·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】，且， ，分别为最大值点和最小值点， 又， ，，整理得， 又， ，，整理得，， 又， 的最小值为4. 故选：B 【变式2-1】（2025·高一·北京朝阳·期中）设函数．若对任意，都有成立，则的最小值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【解析】依题意得是的最小值，是的最大值，且最小正周期． 因此．(是最小正周期) 当时，，故选:B． 【变式2-2】（2025·云南昆明·一模）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的相邻对称中心的距离都是半个周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的周期相等， 则函数的周期，即，所以， 则， 令，故， 令，则， 故，解得， 因为，所以． 故选：D． 【变式2-3】（2025·高一·浙江杭州·期中）已知函数的最小正周期为，其中，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【解析】依题意，，因，则得. 故选：B. 题型三：奇偶性问题 【例3】（2025·高三·福建泉州·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则可能的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将函数的图象向左平移个单位， 得， 由题意为奇函数， 所以， 则， 结合选项可知：ABD不符合，C符合， 故选：C 【变式3-1】（2025·高一·陕西咸阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的图象向右平移， 得到， 由于偶函数，所以，即， 由于，所以取，得. 故选：A 【变式3-2】（2025·高一·北京·期中）“”是“函数为偶函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为， 由于函数为偶函数，则， 且， 所以， 所以对任意的恒成立，所以，， 由，可得， 所以，“”“”，但“”“”. 因此，“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3-3】（2025·高一·福建泉州·期中）把函数的图象向右平移a个单位长度后得到偶函数的图象，则a的最小正值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， 由（）得（），当时，a有最小正值为. 故选：D 题型四：单调性问题 【例4】（2025·高一·山东聊城·期末）函数，的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】因为. 由，，. 又，所以当时，可得. 所以所求函数的单调减区间为：. 故答案为： 【变式4-1】（2025·高一·上海·期末）函数，的严格减区间为 . 【答案】 【解析】，因， 则，注意到在上单调递减， 则，则严格递减区间为：. 故答案为： 【变式4-2】（2025·高一·上海浦东新·期末）函数的单调区间为 ． 【答案】 【解析】由，解得， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间. 故答案为：. 【变式4-3】（2025·高一·甘肃定西·期末）下列区间是函数单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 令，则， 由， 故选：C. 题型五：定义域问题 【例5】（2025·高一·河北邢台·月考）函数的定义域为 . 【答案】 【解析】对于函数，有，可得， 解得， 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 【变式5-1】（2025·高一·上海·期中）函数在上的定义域为 ． 【答案】 【解析】对于函数，令，又， 解得或， 所以函数在上的定义域为. 故答案为： 【变式5-2】（2025·高一·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为 【答案】 【解析】由题设有即，故， 故函数的定义域为. 故答案为： 【变式5-3】（2025·高一·山东烟台·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【解析】由题意，，所以，， 所以，， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 题型六：值域问题 【例6】（2025·高一·上海杨浦·期中）已知函数，则函数的最小值为 . 【答案】 【解析】在上单调递增， 故当时，函数取得最小值为. 故答案为： 【变式6-1】（2025·高一·辽宁·期末）函数在上的最大值为 . 【答案】 【解析】因为， 又，则， 所以当，即时取得最大值，即. 故答案为： 【变式6-2】（2025·高一·黑龙江大庆·期末）函数的值域为 . 【答案】 【解析】，， ， 设，，， 则转化为， 对称轴为，又在范围内， 在处，取最大值，且最大值为， 时，， 时，， ，的值域为. 故答案为：. 【变式6-3】（2025·高一·北京·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 令，可知，则，， 二次函数图象开口向下，对称轴为， 当，， 当，，即函数的值域为． 故答案为：. 题型七：伸缩变换 【例7】（2025·高一·安徽合肥·期末）将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度， 得到的图象； 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象， 故选：C. 【变式7-1】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·期末）把函数的图象向右平移个单位长度后，将所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数， 将函数所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数， 故选：C. 【变式7-2】（2025·高一·河南南阳·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移是个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【解析】因， 故可以将函数的图象向右平移个单位长度，即可得到函数的图象. 故选：A. 【变式7-3】（2025·高一·陕西渭南·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【解析】因为， 所以，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：A. 题型八：由图像求解析式 【例8】（2025·高一·浙江宁波·期末）已知函数（，，）的部分图象如下图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可得，， 所以，又由图， 所以，解得， 又，所以， 所以. 故选：A. 【变式8-1】（2025·高一·江苏南京·月考）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可知,,则 由图像根据五点法，当 时,对应得到, 即，因为，所以或， 当，验证单调递增区间： 令， 当时，为其一个增区间，由图象可得位于减区间上，矛盾， 所以. 故选：D 【变式8-2】（2025·高一·江苏镇江·月考）已知函数的部分图象如图所示，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知，，得，在的一个递减区间内， 则当时，，得，又, 当时，. 故选：C 【变式8-3】（2025·高一·北京·月考）已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】观察图象中的零点和最低点，可知，所以最小正周期，故， 将最低点代入可得，即， 由余弦函数的性质可知，又，所以取0，得， 所以,将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍， 由三角函数图象伸缩变换的规律可知. 故选：C. 题型九：实际应用问题 【例9】（2025·高一·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【解析】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误． 故选：D． 【变式9-1】（2025·高一·内蒙古包头·期末）已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点的初始位置在最低点，设点从最低点沿逆时针方向匀速转动， 在内所转过的角度为，则以为始边，为终边的角为， 因此点的纵坐标， 所以点离地面的高度. 故选：B 【变式9-2】（2025·高一·北京房山·期中）我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距约为（   ） （参考数据，，，，．） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，且天顶距，晷影长，得， 当晷影长度时，，所以. 故选：B 【变式9-3】（2025·高一·北京西城·期中）如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离与时间之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知大风车每旋转一周，根据周期的定义可知其周期. 由角速度与周期的关系，将代入可得：. 设. 因为大风车的半径为8m，最低点离地面2m，所以当翼片端点在最高点时，离地面的距离为；当翼片端点在最低点时，离地面的距离为2m. 当在最高点时，，此时取得最大值，即； 当在最低点时，，此时取得最小值，即. 联立方程组，将两式相加消去可得：，解得. 把代入，可得，解得. 所以此时函数为. 因为的初始位置在最低点，当时，，将，代入中，得到.即. 因为，且，所以，，取，则. 将代入中，可得. 则. 该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是. 故选：D. 题型十：三角函数综合性质问题 【例10】（2025·高一·福建莆田·期末）如图，是函数（，，）图象的一部分 (1)求函数的解析式； (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 【解析】（1）由图可得， 函数的最小正周期为，则， 所以，因为， 则，因为，所以，解得， 所以. （2）令，则 因为函数在区间上有且仅有两个零点 所以方程在有且仅有两个实根. 令，得或 所以方程的正根从小到大排列分别是 所以，解得 （3）由， 可得， 即， 即， 即，其中， 因为，则，令， 则有，则关于t的方程在上有解， 由可得， 令，则， 因为，在上均为减函数， 所以函数在上为减函数，且当趋向于时，趋向于正无穷大， 则，所以，解得， 故实数a的取值范围是. 【变式10-1】（2025·高一·天津北辰·月考）已知函数（）的最小正周期为， (1)求的值和函数的对称轴方程； (2)当时，求的最大值与最小值； (3)若，求的值． 【解析】（1）因为的最小正周期，所以，且，即得，所以， 令，，    解得，. 所以图象的对称轴方程为，. （2）由（1）知， 当时，. 可得， 当，即时，， 当，即时，； （3）由，知 ，即， ∴ 【变式10-2】（2025·高一·安徽合肥·期末）函数. (1)讨论函数在上的单调性； (2)若，求的值. 【解析】（1） 由，得 当时，即时，单调递减， 从而此时单调递增； 当时，即时，单调递增， 从而此时单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）可知，则 由，得 从而， 所以 【变式10-3】（2025·高一·甘肃嘉峪关·期中）设． (1)若，求的值； (2)求的最小正周期、最大值和最小值； (3)求的单调增区间． 【解析】（1）由，得， 整理得，则当时，；当时，不存在. （2）函数 ， 则函数的最小正周期； 当，时，即，时，函数取得最大值为； 当，时，即，时，函数取得最小值为. （3）令，，解得，， 所以的单调增区间是. 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若的图象关于对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，图象关于对称， ， ，解得， ， ，故A正确． 故选：A． 2．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·月考）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 【答案】B 【解析】由图象可知，，，因为，所以， 所以，而，则， 由图可知，所以，所以， A，图象向左平移个单位得到图象，不正确； B，由，可得， 则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确； C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确； D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确． 故选：B 3．（25-26高三上·天津·月考）关于函数的四个结论： ①最大值为； ②将的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到； ③在单调递增； ④图象的对称中心为，其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【解析】对于①， ， 所以，①错； 对于②，将的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， 可得到函数的图象，②错； 对于③，当时，， 所以函数在上单调递增，③对； 对于④，由可得， 因此函数的图象的对称中心为，④错. 故选：A. 4．（25-26高三上·安徽·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【解析】函数的图象向左平移个单位后， 得到的函数， 因为曲线关于直线对称， 所以，， 解得：，， 因为，令，得，所以的最小值是. 故选：B. 5．（25-26高三上·江苏·月考）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】正切函数的对称中心为， 令，则原函数化为， 当时，，此时，故对称中心的纵坐标， 横坐标满足：，，， 于是：， 当时，. 故选：A 6．（25-26高一上·江苏盐城·期中）将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】将函数的图像向右平移个单位长度， 得到， 若为奇函数，则，解得， 且，解得，， 可得的最小值是1，所以的最小值是. 故选：B. 7．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由图象可知：，， 由，又，所以. 所以， 因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②错误； 由，，， 所以函数的单调递增区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到的图象，故④错误． 故选：B． 8．（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知函数的图象向左平移个单位后与原来图象重合，当，且时，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】函数的图象向左平移个单位后的解析式为， 又平移后的函数图像与原来图像重合，所以， 所以，所以，又，所以， 所以， 当时，则， 又，且时，， 所以，所以， 所以 . 故选：B. 9．（多选题）（24-25高一上·江苏淮安·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 【答案】BC 【解析】函数中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A错误； 令得，则，解得， 所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：BC 10．（多选题）（22-23高一下·江西吉安·期中）已知函数的部分图象如图所示，其中，，将的图象向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则的解析式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设函数的最小正周期为T. 由题图及，利用勾股定理得，则，. 又由，得，且，得. 所以， 则. 故选：AD 11．（多选题）（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数，则（ ） A．的一个周期为 B．的图像关于中心对称 C．的最大值为2 D．在上的所有零点之和为 【答案】ABD 【解析】对于A，，所以A正确； 对于B，，所以B正确； 对于C，若最大值为2，则，， 当，，此时，，，故C不正确； 对于D，， 令得，所以或， 又，，， 所以或或或或， 解得或或或或，即所有零点之和为，故D正确． 故选：ABD． 12．（24-25高一上·福建莆田·期末）函数部分图象如图所示，则函数解析式为 .    【答案】 【解析】由图象可知：， 设函数的最小正周期为T，则，即， 且，则，解得， 所以， 又因为，且，则， 可得，解得， 所以. 故答案为：. 13．（22-23高一下·江西吉安·期中）如图，某地一天从早上6时至中午14时的温度变化曲线近似满足函数（其中）的关系式，其中点和分别是曲线的最低和最高点，则这段曲线的函数解析式为 . 【答案】 【解析】由图像可知，从时至时的曲线恰好是函数的半个周期， 得，； 又，解得； 由“五点作图”原理知，解得. 故这段曲线的函数解析式为， 故答案为：. 14．（25-26高一上·江苏盐城·期中）若不等式对恒成立，则 . 【答案】 【解析】当时，函数的零点为和， 当时，；当时，；当时，， 不等式对恒成立， 则函数满足，有， 解得，所以.     故答案为： 15．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的图象关于点对称． (1)若，求函数的最值及取最值时的的值； (2)若，且，求． 【解析】（1）函数 因为函数图象关于点对称，所以，即， 因为，所以，所以， 因为，所以， 所以当，即时，函数取最大值，且最大值为1， 当，即时，函数取最小值，且最小值为， （2）因为，即， 因为，所以，又，所以， 当时，则，与题意不符， 所以，有，所以 所以． 所以 ． 16．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增和递减区间； (2)求函数在上的值域． 【解析】（1） 由， 解得：，， 函数的单调递增区间为，， 由，， 解得： ， 函数的单调递减区间为，． （2）令，，则， ，， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 当时，， 当时，， ，即， 函数在上的值域为． 17．（25-26高一上·山东泰安·期中）已知函数． (1)求的单调递增区间和对称中心的坐标； (2)当，求的最值及此时的值． 【解析】（1）令， 解得， 所以的单调递增区间为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. （2）因为，所以， 不妨设， 当时，取最大值，的最大值为，此时，解得， 所以当时，取最大值， 当时，取最小值，的最小值为，此时，解得， 所以当时，取最小值． 所以当时，取最大值；当时，取最小值． 18．（25-26高三上·河南·月考）已知函数的图象关于点对称． (1)求； (2)若，求函数的最值及取最值时的的值； (3)若，且，求． 【解析】（1）， 因为函数的图象关于点成中心对称， 所以，即，因为，所以. （2），因为，所以， 所以当，即时，函数取最大值，且最大值为1， 当，即时，函数取最小值，且最小值为； （3）因为，即， 因为，所以， 若，则， 但，所以， 所以． 所以 ． 19．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知向量，，函数. (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值. 【解析】（1）依题意，， 由，得；由，得， 所以函数的对称轴为，对称中心为. （2）由，得，又， 所以函数的单调递增区间为：. （3）由（1）知，则， 令， 对，当时，恒成立， 即恒成立，亦即恒成立， 因此函数在上单调递减，由，得，， 由，解得， 于是，则，所以最大值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 三角函数的性质及伸缩变换 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1、正弦函数、余弦函数的图象 4 知识点2、正弦函数、余弦函数的性质 5 知识点3、正切函数的图象 6 知识点4、用五点法作函数的图象 7 知识点5、函数中有关概念 7 知识点6、由得图象通过变换得到的图象 7 9 题型一：解不等式问题 9 题型二：周期性问题 9 题型三：奇偶性问题 10 题型四：单调性问题 10 题型五：定义域问题 11 题型六：值域问题 11 题型七：伸缩变换 11 题型八：由图像求解析式 12 题型九：实际应用问题 13 题型十：三角函数综合性质问题 15 05 过关测试 17 知识点1、正弦函数、余弦函数的图象 （1）正弦函数的图象． ①画点 在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为．在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点． ②画（）的图象 把轴上从到这一段分成等份，使的值分别为，，，，…，，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周等份，再按上述画点的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点．然后将这些点用光滑的曲线连接起来，即得（）的图象． ③（）的图象 由诱导公式一可知，函数，，且的图象，与函数，的图象形状完全一样．因此将函数，的图象不断向左、向右平行移动（每次个单位长度），就可以得到正弦函数，的图象（如下图）． 正弦函数的图象叫做正弦曲线． ④五点作图法 在函数，的图象上，有以下五个关键点： ，，，，． 画出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，可得到正弦函数的简图．这种作图的方法称为”五点作图法”． （2）余弦函数的图象 因为，所以可将正弦函数，的图象向左平移个单位长度即得余弦函数，的图象． 余弦函数，的图象叫做余弦曲线． 余弦函数，的图象上五个关键点是：，，，，． 知识点2、正弦函数、余弦函数的性质 （1）周期性 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有 ， 那么函数就叫做周期函数．非零常数叫做这个函数的周期． 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是． 余弦函数也是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是． （2）奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． （3）单调性 正弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到． 余弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到． （4）最大值与最小值 正弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值． 余弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值． 知识点3、正切函数的图象 正切函数的图象叫做正切曲线． 4、正切函数的性质 （1）定义域 正切函数的定义域为 （2）周期性 正切函数是周期函数，最小正周期是． （3）奇偶性 正切函数是奇函数． （4）单调性 正切函数在每一个开区间（）上都单调递增． （5）值域 正切函数的值域是实数集． 知识点4、用五点法作函数的图象 用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 知识点5、函数中有关概念 表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相． 知识点6、由得图象通过变换得到的图象 1、振幅变换： ，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅． 2、周期变换： 函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期． 3、相位变换： 函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）． 4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径 题型一：解不等式问题 【例1】（2025·高一·陕西渭南·期末）已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高一·湖南永州·期中）已知，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高一·江西·月考）已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高一·辽宁大连·期末）已知函数（，，）在区间上单调，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型二：周期性问题 【例2】（2025·高一·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2-1】（2025·高一·北京朝阳·期中）设函数．若对任意，都有成立，则的最小值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【变式2-2】（2025·云南昆明·一模）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高一·浙江杭州·期中）已知函数的最小正周期为，其中，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 题型三：奇偶性问题 【例3】（2025·高三·福建泉州·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则可能的取值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高一·陕西咸阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·高一·北京·期中）“”是“函数为偶函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（2025·高一·福建泉州·期中）把函数的图象向右平移a个单位长度后得到偶函数的图象，则a的最小正值为（    ） A． B． C． D． 题型四：单调性问题 【例4】（2025·高一·山东聊城·期末）函数，的单调递减区间为 . 【变式4-1】（2025·高一·上海·期末）函数，的严格减区间为 . 【变式4-2】（2025·高一·上海浦东新·期末）函数的单调区间为 ． 【变式4-3】（2025·高一·甘肃定西·期末）下列区间是函数单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 题型五：定义域问题 【例5】（2025·高一·河北邢台·月考）函数的定义域为 . 【变式5-1】（2025·高一·上海·期中）函数在上的定义域为 ． 【变式5-2】（2025·高一·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为 【变式5-3】（2025·高一·山东烟台·期末）函数的定义域为 . 题型六：值域问题 【例6】（2025·高一·上海杨浦·期中）已知函数，则函数的最小值为 . 【变式6-1】（2025·高一·辽宁·期末）函数在上的最大值为 . 【变式6-2】（2025·高一·黑龙江大庆·期末）函数的值域为 . 【变式6-3】（2025·高一·北京·期中）函数的值域是 ． 题型七：伸缩变换 【例7】（2025·高一·安徽合肥·期末）将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·期末）把函数的图象向右平移个单位长度后，将所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·高一·河南南阳·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移是个单位长度 D．向左平移个单位长度 【变式7-3】（2025·高一·陕西渭南·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 题型八：由图像求解析式 【例8】（2025·高一·浙江宁波·期末）已知函数（，，）的部分图象如下图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·高一·江苏南京·月考）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·高一·江苏镇江·月考）已知函数的部分图象如图所示，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·高一·北京·月考）已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 题型九：实际应用问题 【例9】（2025·高一·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【变式9-1】（2025·高一·内蒙古包头·期末）已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·高一·北京房山·期中）我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距约为（   ） （参考数据，，，，．） A． B． C． D． 【变式9-3】（2025·高一·北京西城·期中）如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离与时间之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 题型十：三角函数综合性质问题 【例10】（2025·高一·福建莆田·期末）如图，是函数（，，）图象的一部分 (1)求函数的解析式； (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 【变式10-1】（2025·高一·天津北辰·月考）已知函数（）的最小正周期为， (1)求的值和函数的对称轴方程； (2)当时，求的最大值与最小值； (3)若，求的值． 【变式10-2】（2025·高一·安徽合肥·期末）函数. (1)讨论函数在上的单调性； (2)若，求的值. 【变式10-3】（2025·高一·甘肃嘉峪关·期中）设． (1)若，求的值； (2)求的最小正周期、最大值和最小值； (3)求的单调增区间． 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若的图象关于对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·月考）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 3．（25-26高三上·天津·月考）关于函数的四个结论： ①最大值为； ②将的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到； ③在单调递增； ④图象的对称中心为，其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（25-26高三上·安徽·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 5．（25-26高三上·江苏·月考）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏盐城·期中）将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 7．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知函数的图象向左平移个单位后与原来图象重合，当，且时，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 9．（多选题）（24-25高一上·江苏淮安·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 10．（多选题）（22-23高一下·江西吉安·期中）已知函数的部分图象如图所示，其中，，将的图象向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则的解析式是（    ）    A． B． C． D． 11．（多选题）（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数，则（ ） A．的一个周期为 B．的图像关于中心对称 C．的最大值为2 D．在上的所有零点之和为 12．（24-25高一上·福建莆田·期末）函数部分图象如图所示，则函数解析式为 .    13．（22-23高一下·江西吉安·期中）如图，某地一天从早上6时至中午14时的温度变化曲线近似满足函数（其中）的关系式，其中点和分别是曲线的最低和最高点，则这段曲线的函数解析式为 . 14．（25-26高一上·江苏盐城·期中）若不等式对恒成立，则 . 15．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的图象关于点对称． (1)若，求函数的最值及取最值时的的值； (2)若，且，求． 16．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增和递减区间； (2)求函数在上的值域． 17．（25-26高一上·山东泰安·期中）已知函数． (1)求的单调递增区间和对称中心的坐标； (2)当，求的最值及此时的值． 18．（25-26高三上·河南·月考）已知函数的图象关于点对称． (1)求； (2)若，求函数的最值及取最值时的的值； (3)若，且，求． 19．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知向量，，函数. (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $