5.4.3正切函数的性质与图象（思维导图+3大知识点+11大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

本讲义聚焦正切函数的性质与图象核心知识点，系统梳理正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性及正切函数型的性质，构建从基础概念到11类应用题型（如定义域、对称性、周期性等）的学习支架，形成完整知识脉络。 资料含思维导图助力知识结构化，通过题型分类、方法总结与变式练习，培养学生数学思维的推理能力与数学语言的表达能力，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

5．4．3 正切函数的性质与图象 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 知识点梳理 5 知识点一：正切函数的图象 5 知识点二：正切函数的性质 5 知识点三、正切函数型的性质 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：定义域问题 7 题型二：对称性问题 9 题型三：周期性问题 11 题型四：单调性问题 12 题型五：最值与值域问题 14 题型六：奇偶性问题 16 题型七：图像问题 18 题型八：解不等式问题 21 题型九：比大小 24 题型十：求参数的范围与最值问题 26 题型十一：综合问题的应用 28 知识点一：正切函数的图象 1、正切函数，且，图象： 知识点二：正切函数的性质 1、定义域： 2、值域： 由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线． 3、周期性：周期函数，最小正周期是 4、奇偶性：奇函数，即． 5、单调性：在开区间，内，函数单调递增 知识点诠释： 1、观察正切函数的图象还可得到：点是函数，，且的对称中心，正切函数图象没有对称轴 2、正切函数在开区间，内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数． 知识点三、正切函数型的性质 1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得． 2、值域： 3、单调区间： （1）把“”视为一个“整体”； （2）时，函数单调性与的相同（反）； （3）解不等式，得出范围． 4、周期： 题型一：定义域问题 【例题1】（2025·高一·浙江宁波·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 则函数的定义域为 故选：A. 【例题2】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 所以函数的定义域是. 故选：A. 【方法技巧与总结】 求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象求得解集． 【变式1】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意， 所以的定义域是. 故选：D 【变式2】（2025·高一·湖北·期末）已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知函数的定义域为，对于，则有. 解得. 因为函数的定义域为，所以对于，有. 正切函数的周期是，在上单调递增，且，. 所以，. 解不等式，可得，即。； 解不等式，可得. 当时，；当时，. 综合前面两步，取与和的公共部分. 与的公共部分为；与的公共部分为. 所以函数的定义域为. 故选：B. 【变式3】（2025·高一·山西晋中·开学考试）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】令，解得：，， 定义域为，. 故选：C. 题型二：对称性问题 【例题3】（2025·高一·湖南·期末）函数图象的对称中心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，解得， 所以函数图象的对称中心坐标为. 故选：C. 【例题4】（2025·高一·江西南昌·期末）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 则由，，可得函数的图象的对称中心的横坐标为，， 又，所以当时，取的最小值， 故选：C 【方法技巧与总结】 正切曲线与轴的交点及其渐近线与轴的交点都是正切曲线的对称中心，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 【变式4】已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 【变式5】（2025·高一·江西鹰潭·期末）曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数的图象可知曲线的图象如下图： 因此对称轴方程满足，即可得， 所以对称轴方程为. 故选：A 【变式6】若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是，即， 又，则时最小，最小值是，即． 故选：C 题型三：周期性问题 【例题5】（2025·高一·四川雅安·期末）函数的最小正周期是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以函数的最小正周期为. 故选：A. 【例题6】函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】由题意可知该函数的周期为，所以， f(x)＝tan 2x，所以 故选：D 【方法技巧与总结】 一般地，函数的最小正周期为，常常利用此公式来求周期． 【变式7】函数与函数的最小正周期相同，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数与函数的最小正周期相同，因此=,选A 【变式8】已知函数（）的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是 A．0 B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意,可知,所以,即, 所以, 故选:A 【变式9】下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A中， 故是最小正周期为的偶函数，不符合题意，A错误； B中的最小正周期，且， 故是最小正周期为的奇函数，B正确； C中是偶函数，但不是周期函数，其图象大致如下： 不符合题意，C错误； D中是周期为的奇函数，D错误. 故选：B. 题型四：单调性问题 【例题7】（2025·浙江宁波·三模）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由的最小正周期为，的最小正周期为，A、D不符； 由在上单调递增，C不符； 以为最小正周期，且在区间上单调递减，B符合. 故选：B 【例题8】函数的（   ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．单调递减区间是 D．单调递增区间是 【答案】C 【解析】由可知，，所以的单调递减区间为． 【方法技巧与总结】 求函数（，，都是常数）的单调区间的方法 若，由于在每一个单调区间上递增，故可用“整体代换”的思想，令，，解得的范围即可． 若，可利用诱导公式先把的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可． 【变式10】（2025·陕西渭南·二模）下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A中，选项B中，选项C中，选项D中，排除AB， 时，，递减，则递增， 时，，递增，则递减， 故选：C． 【变式11】（2025·陕西榆林·模拟预测）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得：. 故选：C. 【变式12】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以函数的单调递增区间为. 故选:B. 题型五：最值与值域问题 【例题9】求函数，的值域. 【解析】因为，令，可得， 因为二次函数在上单调递增，故. 因此，函数，的值域为. 【例题10】（2025·高一·辽宁沈阳·期中）函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式组的解集． 【解析】（1）∵最小正周期为，∴，又∵，∴， 又∵，∴． （2）∵，∴当时，， ∴函数在上的值域为. （3）∵，∴， ∴，其中，∴， 即不等式的解集为． 【方法技巧与总结】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质． 【变式13】求函数的值域. 【解析】因为，所以 令则 当即时， 当即时， 故所求函数的值域为 . 【变式14】求函数的最大值和最小值. 【解析】①当时，； ②时，， 由可知， 当且仅当，即时等号成立，∴. ③当时，， 由知，当且仅当,故，即. 综上，的最大值为，最小值为. 【变式15】函数在上的最大值和最小值分别为和，求a，b的值． 【解析】当时，在上单调递增，故 ，即，解得. 当时，在上单调递减，故 ，即，解得. 故 题型六：奇偶性问题 【例题11】若函数为奇函数，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】因为函数为奇函数,所以 由得,, 即,所以, 解得,,因为,取,得,所以的最小值为. 故答案为: 【例题12】（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，且，则 . 【答案】 【解析】由，， 设函数，， 则， 即函数为奇函数，则， 所以， 则，即. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 奇函数，即． 【变式16】已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为的图象关于原点中心对称， 所以，又，故的最小值为． 故答案为：. 【变式17】（2025·高一·上海·期末）已知函数，若，则 ． 【答案】 【解析】因为，且，所以， 所以，所以， 所以 . 故答案为：. 【变式18】已知为奇函数，且m满足不等式，则m的值为 ． 【答案】或或 【解析】函数的定义域为，而该函数为奇函数， 则当时，，即，解得， 经检验当时，函数为奇函数， 由，得，因此或或， 所以m的值为或或. 故答案为：或或 题型七：图像问题 【例题13】与函数的图象不相交的一条直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，令，得， 令，得，令，得，令，得， 令，得，结合选项得函数的图象的一条渐近线为直线， 即直线与函数的图象不相交． 故选：C． 【例题14】（2025·湖北武汉·模拟预测）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得， 设函数的最小正周期为，则， 由题意得，解得，故，得，即， 的图象过点，即， ∵，则， ∴，解得． ∴ ∴. 故选：A 【方法技巧与总结】 作正切型函数图象应注意的问题 作的图象一般是先作出其在一个周期内的图象，由于在一个周期内是单调函数，不需要使用五点法，直接利用单调性作图即可． 【变式19】（2025·山东·模拟预测）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得， 设函数的最小正周期为，则， 由题意可得：，解得， 故，可得， 即， 可知的图象过点，即， ∵，则， ∴，解得. 故选：A. 【变式20】定义在区间上的函数与的图像交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为定义在区间上的函数与的图像交点为， 所以，，两式相除可得即， 所以， 解得或（舍去）， 故选：C 【变式21】直线与函数的图像相交，则相邻两交点间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线与函数的图像相交，根据正切函数的图像可知，相邻交点间的距离是一个周期，周期. 故选：C 题型八：解不等式问题 【例题15】不等式，的解集为 . 【答案】 【解析】根据题意，作出函数的图象，如图所示，由，可得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【例题16】（2025·高一·陕西西安·期末）已知定义在上的函数，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】设，，定义域为关于原点对称， 所以为奇函数． 因为，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增． 因为不等式，即得， 所以，所以， 因为函数的定义域为，所以且， 所以，又函数在区间上单调递增， 由得，，解得 故答案为：. 【方法技巧与总结】 整体法，再利用图像解决． 【变式22】（2025·高一·广东清远·期中）若是斜三角形的一个内角，则函数的定义域为 . 【答案】 【解析】的定义域需要满足，故， 因此或， 故定义域为， 故答案为： 【变式23】已知，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由可得， 又因为在上单调递增，且， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式24】已知定义在上的函数，则不等式的解集是 . 【答案】 【解析】令，函数定义域为，关于原点对称， 又，则函数是奇函数， 又函数和在上都单调递增，则函数在上单调递增， 不等式， 因此，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： 题型九：比大小 【例题17】设实数，，，，则（    ）． A．在这四个数中，至少存在两个数，，满足 B．在这四个数中，至少存在两个数，，满足 C．在这四个数中，至多存在两个数，，满足 D．在这四个数中，至多存在两个数，，满足 【答案】B 【解析】将平均分为三个小区间，每个小区间的长度是． 由，，，知这四个数中至少有两个数在同一小区间上， 即，则， 故选：B． 【例题18】（2025·高一·云南保山·期末）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，；，； 又，所以，， 故选:A． 【方法技巧与总结】 比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． 【变式25】（2025·高一·北京西城·期中）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 由正弦函数的单调性得，，即， 又，，所以，即， 所以， 故选：B． 【变式26】（2025·高一·北京海淀·期中）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，由正弦函数性质得在上单调递减， 则，故A错误， 对于B，由余弦函数性质得， ，则，故B错误， 对于C，由诱导公式得， 且在上单调递减， 得到，即，故C正确； 对于D，由正切函数性质结合诱导公式得， ，得到，故D错误. 故选：C 【变式27】（2025·高一·四川成都·期中）若锐角满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D．以上说法均不对 【答案】B 【解析】锐角满足，又在上单调递增， 所以， 对于：在上单调递减，所以，故错误； 对于：在上单调递增，所以，故正确； 对于：，由不等式的性质可得，故错误. 故选：. 题型十：求参数的范围与最值问题 【例题19】已知函数在内是减函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵已知函数在内是减函数, ∴函数在内是单调增函数， ∴，解得，经检验，满足题意. ∴的取值范围是． 故答案为：. 【例题20】已知函数,若，且在区间内有最大值，无最小值，则 ． 【答案】,, 【解析】由题设可得是函数的对称轴，且取得最大值，即，， 又因为在区间只有最大值没有最小值，即， 所以，由题， 故：，解得：， 所以取时，， 故答案为：． 【方法技巧与总结】 已知正切函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解． 【变式28】（2025·湖南·模拟预测）直线与函数的图像的相邻两个交点的距离为．若在上单调递增，则m的最大值为 ． 【答案】1 【解析】因为直线与函数的图像的相邻两个交点的距离为一个周期，∴，∴，∴．由，得，∴在上单调递增，故，解得，又，∴m的最大值为1． 故答案为：1 【变式29】若函数最小正周期为T，且，则正整数最大值为 ． 【答案】3 【解析】由三角函数的周期性及其求法可得：， ， 正整数， 正整数的最大值是3． 故答案为：3． 【变式30】（2025·高一·全国·课前预习）已知函数在单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，，又因为在上单调递增，结合正切函数的单调性得，解得， 的取值范围为． 故答案为：. 题型十一：综合问题的应用 【例题21】（2025·高一·湖北荆州·期末）已知函数 的图象关于点 对称. (1)求的单调递增区间; (2)求不等式 的解集. 【解析】（1）由题意知，的图象关于点对称， ， 即． ， 故． 令， 得， 即． 函数的单调递增区间为． （2）由（1）知，． 由， 得， 即． 不等式的解集为. 【例题22】函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称． (1)求的单调区间； (2)求不等式的解集． 【解析】（1）由题意知，函数的最小正周期为， 因为，所以，所以 因为函数的图象关于点对称， 所以，，即，， 因为，所以，故． 令，，得，， 所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区间． （2）由（1）知，．由， 得，， 即，   所以不等式的解集为：. 【变式31】已知函数，，其中． (1)当时，求函数的最大值和最小值； (2)求函数在区间上单调时的取值范围． 【解析】（1）当时，函数，而， 则当时，，当时，， 所以函数的最大值和最小值分别为和. （2）函数图象的对称轴为， 依题意，或，解得或， 又，解得或， 所以的取值范围是. 【变式32】（2025·高一·全国·单元测试）已知函数，其中为三角形的一个内角，且． (1)求函数的解析式及定义域； (2)求函数的单调区间及图象的对称中心． 【解析】（1），则，得或， 又为三角形内角，所以，故， 则． 令，得， 即函数的定义域为； （2）令，解得， 即函数的单调递减区间为，无单调递增区间， 令，得，故的图象的对称中心为. 【变式33】已知函数在区间上单调． (1)求的最大值； (2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围． 【解析】（1）当时，可得， 因为函数在区间上单调， 则满足，解得，故的最大值为1． （2）由函数， 可得图象的对称中心满足，整理得， 其图象在区间上至少有两个对称中心，则， 因为在区间上至少有两个不同的解，所以至少存在两个值使， 所以至少有两个取值，所以， 综上可得，的取值范围为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．4．3 正切函数的性质与图象 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 知识点梳理 5 知识点一：正切函数的图象 5 知识点二：正切函数的性质 5 知识点三、正切函数型的性质 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：定义域问题 7 题型二：对称性问题 7 题型三：周期性问题 8 题型四：单调性问题 9 题型五：最值与值域问题 10 题型六：奇偶性问题 11 题型七：图像问题 11 题型八：解不等式问题 13 题型九：比大小 13 题型十：求参数的范围与最值问题 14 题型十一：综合问题的应用 14 知识点一：正切函数的图象 1、正切函数，且，图象： 知识点二：正切函数的性质 1、定义域： 2、值域： 由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线． 3、周期性：周期函数，最小正周期是 4、奇偶性：奇函数，即． 5、单调性：在开区间，内，函数单调递增 知识点诠释： 1、观察正切函数的图象还可得到：点是函数，，且的对称中心，正切函数图象没有对称轴 2、正切函数在开区间，内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数． 知识点三、正切函数型的性质 1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得． 2、值域： 3、单调区间： （1）把“”视为一个“整体”； （2）时，函数单调性与的相同（反）； （3）解不等式，得出范围． 4、周期： 题型一：定义域问题 【例题1】（2025·高一·浙江宁波·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【例题2】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象求得解集． 【变式1】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·高一·湖北·期末）已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·高一·山西晋中·开学考试）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型二：对称性问题 【例题3】（2025·高一·湖南·期末）函数图象的对称中心坐标为（    ） A． B． C． D． 【例题4】（2025·高一·江西南昌·期末）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 正切曲线与轴的交点及其渐近线与轴的交点都是正切曲线的对称中心，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 【变式4】已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5】（2025·高一·江西鹰潭·期末）曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6】若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型三：周期性问题 【例题5】（2025·高一·四川雅安·期末）函数的最小正周期是（  ） A． B． C． D． 【例题6】函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 【方法技巧与总结】 一般地，函数的最小正周期为，常常利用此公式来求周期． 【变式7】函数与函数的最小正周期相同，则 A． B． C． D． 【变式8】已知函数（）的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是 A．0 B． C． D． 【变式9】下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 题型四：单调性问题 【例题7】（2025·浙江宁波·三模）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【例题8】函数的（   ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．单调递减区间是 D．单调递增区间是 【方法技巧与总结】 求函数（，，都是常数）的单调区间的方法 若，由于在每一个单调区间上递增，故可用“整体代换”的思想，令，，解得的范围即可． 若，可利用诱导公式先把的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可． 【变式10】（2025·陕西渭南·二模）下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式11】（2025·陕西榆林·模拟预测）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式12】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 题型五：最值与值域问题 【例题9】求函数，的值域. 【例题10】（2025·高一·辽宁沈阳·期中）函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式组的解集． 【方法技巧与总结】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质． 【变式13】求函数的值域. 【变式14】求函数的最大值和最小值. 【变式15】函数在上的最大值和最小值分别为和，求a，b的值． 题型六：奇偶性问题 【例题11】若函数为奇函数，则的最小值为 . 【例题12】（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，且，则 . 【方法技巧与总结】 奇函数，即． 【变式16】已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为 ． 【变式17】（2025·高一·上海·期末）已知函数，若，则 ． 【变式18】已知为奇函数，且m满足不等式，则m的值为 ． 题型七：图像问题 【例题13】与函数的图象不相交的一条直线是（    ） A． B． C． D． 【例题14】（2025·湖北武汉·模拟预测）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 作正切型函数图象应注意的问题 作的图象一般是先作出其在一个周期内的图象，由于在一个周期内是单调函数，不需要使用五点法，直接利用单调性作图即可． 【变式19】（2025·山东·模拟预测）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【变式20】定义在区间上的函数与的图像交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式21】直线与函数的图像相交，则相邻两交点间的距离是（    ） A． B． C． D． 题型八：解不等式问题 【例题15】不等式，的解集为 . 【例题16】（2025·高一·陕西西安·期末）已知定义在上的函数，则不等式的解集是 ． 【方法技巧与总结】 整体法，再利用图像解决． 【变式22】（2025·高一·广东清远·期中）若是斜三角形的一个内角，则函数的定义域为 . 【变式23】已知，且，则的取值范围为 ． 【变式24】已知定义在上的函数，则不等式的解集是 . 题型九：比大小 【例题17】设实数，，，，则（    ）． A．在这四个数中，至少存在两个数，，满足 B．在这四个数中，至少存在两个数，，满足 C．在这四个数中，至多存在两个数，，满足 D．在这四个数中，至多存在两个数，，满足 【例题18】（2025·高一·云南保山·期末）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． 【变式25】（2025·高一·北京西城·期中）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式26】（2025·高一·北京海淀·期中）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式27】（2025·高一·四川成都·期中）若锐角满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D．以上说法均不对 题型十：求参数的范围与最值问题 【例题19】已知函数在内是减函数，则的取值范围是 ． 【例题20】已知函数,若，且在区间内有最大值，无最小值，则 ． 【方法技巧与总结】 已知正切函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解． 【变式28】（2025·湖南·模拟预测）直线与函数的图像的相邻两个交点的距离为．若在上单调递增，则m的最大值为 ． 【变式29】若函数最小正周期为T，且，则正整数最大值为 ． 【变式30】（2025·高一·全国·课前预习）已知函数在单调递增，则的取值范围为 ． 题型十一：综合问题的应用 【例题21】（2025·高一·湖北荆州·期末）已知函数 的图象关于点 对称. (1)求的单调递增区间; (2)求不等式 的解集. 【例题22】函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称． (1)求的单调区间； (2)求不等式的解集． 【变式31】已知函数，，其中． (1)当时，求函数的最大值和最小值； (2)求函数在区间上单调时的取值范围． 【变式32】（2025·高一·全国·单元测试）已知函数，其中为三角形的一个内角，且． (1)求函数的解析式及定义域； (2)求函数的单调区间及图象的对称中心． 【变式33】已知函数在区间上单调． (1)求的最大值； (2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $