精品解析：江苏省镇江市扬中市外国语中学2025-2026学年 上学期九年级数学十二月月考试卷

九年级数学作业 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是：（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦相等 D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 4. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 5. 已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 7. 如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径．下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 且 D. 9. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如果，方程的两个不相等的实数根，满足，那么抛物线的顶点在（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解题过程，请将答案直接填写在横线上） 11. 2025年，一场集结江苏省13座城市的足球联赛火爆全网．徐州市6月份作为主场城市在比赛期间接待游客数约21万人次，随着苏超热度席卷全国，到8月份徐州市在主场比赛期间接待游客数已增长到约49.77万人次，求徐州市平均每月主场比赛期间接待游客数的增长率．设徐州市平均每月主场比赛接待游客数增长率为x，可列方程得________． 12. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是________． 13. 已知圆锥的高是，底面圆半径为2，则该圆锥的侧面展开图面积为______． 14. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是 _____． 15. “温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳”．近年来，邳州市通过大棚种植技术（如图1），大力推进农业现代化转型．小华家有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为8米，则大棚的最高处到地面的距离为________米． 16. 已知点、，若点M在抛物线上运动，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，请在指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 19. 尺规作图： （1）如图1，作已知圆的一条直径； （2）如图2，作等边三角形，使其是的内接三角形． （要求：仅用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹．） 20. 已知二次函数． （1）用配方法将其化成顶点式________，顶点坐标是________； （2）选取适当数据填入下表，并在如图所示平面直角坐标系内描点，画出该函数图像； x … … y … … （3）结合该二次函数图像，直接写出方程的根________； （4）若该抛物线上两点、的横坐标满足，则与的大小关系为________． 21. 小王想从甲、乙两家快递公司中选一家做快递员，为了解这两家公司快递员的收入情况，小王从两家公司各抽取名快递员的月收入进行了一项抽样调查，利用收集的数据绘制成如图所示统计图：根据以上统计图，对数据进行分析如表： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差 甲公司 乙公司 （1）直接写出表格中，的值： ， ； （2）计算乙公司名快递员月收入的方差； （3）根据表格，小王应选哪家快递公司做快递员？说明理由． 22. 如图，已知抛物线经过两点，与轴交于点． （1）求抛物线解析式和顶点坐标； （2）观察图象； ①当时，直接写出的取值范围； ②点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 23. 露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 24. 如图，二次函数与x轴交于点和，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式和直线的表达式； （2）若点D为二次函数的顶点，点E是y轴上一动点，连接，当的周长最小时，求点E坐标； （3）将（1）中的二次函数图象平移，使其顶点与坐标原点重合，再将图象绕坐标原点逆时针旋转得到抛物线G，若抛物线G与直线交于M，N两点，点P是抛物线G上位于直线左侧一个动点，连接，求的面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学作业 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如 (a、b、c是常数，)的函数，叫做二次函数进行分析即可． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意； B、当时，是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母中含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理． 【详解】 如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为. 故选：A 【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键． 3. 下列说法正确的是：（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦相等 D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系及三角形外外心的知识．根据垂径定理、圆周角定理及确定圆的条件，结合各选项进行判断即可． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法不正确； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法不正确； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法不正确； D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故原说法正确． 故选：D． 4. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，对称轴为，当时，函数图象开口向上，当时，函数图象开口向下，即可进行解答． 【详解】解：A、∵， ∴函数图象开口向下，故A正确，不符合题意； B、对称轴是直线，故B正确，不符合题意； C、顶点坐标为，故C正确，不符合题意； D、∵函数图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故D不正确，符合题意． 5. 已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的增减性的应用，计算对称轴，比较点与对称轴的距离大小，结合性质判断即可． 【详解】∵抛物线，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远的点的函数值越大， ∵， ∴， 故选B． 6. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，根据中位数的定义求解可得． 【详解】解：依题意“■”该数据在30~40之间，则这组数据的中位数为， ∴“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数． 故选：C． 7. 如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径．下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长和圆锥侧面展开图的认识，根据圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长，可求得结果，解题的关键是计算出侧面展开图的圆心角． 【详解】解：设大圆的半径为，则小圆半径为， ∴圆锥的底面圆周长为， 圆锥侧面展开图扇形的弧长为， ∴， ∴扇形圆心角等于， 只有选项D符合题意， 故选：D． 8. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据对称性可求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得，对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点的坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵函数开口向下， ∴当或时， ， ∴不等式的解集是或， 故选：B． 9. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，解决本题的关键是确定、的符号，进而判断二次函数的开口方向及对称轴位置，选择正确答案． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， 二次函数图象的开口向下，二次函数的对称轴， 对称轴应在轴的左侧． 故选：A． 10. 如果，方程的两个不相等的实数根，满足，那么抛物线的顶点在（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，由根与系数的关系可得，则，再由判别式可推出，根据顶点坐标公式可得顶点坐标为，据可得答案． 【详解】解：∵方程的两个不相等的实数根，满足， ∴， ∴， ∵， ∵方程的两个不相等的实数根，， ∴，即， ∵， ∴， ∵抛物线的顶点坐标为，且， ∴抛物线的顶点在第四象限， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解题过程，请将答案直接填写在横线上） 11. 2025年，一场集结江苏省13座城市的足球联赛火爆全网．徐州市6月份作为主场城市在比赛期间接待游客数约21万人次，随着苏超热度席卷全国，到8月份徐州市在主场比赛期间接待游客数已增长到约49.77万人次，求徐州市平均每月主场比赛期间接待游客数的增长率．设徐州市平均每月主场比赛接待游客数增长率为x，可列方程得________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程． 设平均每月增长率为x，从6月到8月经过两个月增长，利用连续增长模型列出方程即可． 【详解】设平均每月增长率为x，6月份接待游客数为21万人次， 则7月份接待游客数为万人次， 8月份接待游客数为万人次， 根据题意，8月份接待游客数为49.77万人次， 因此可得方程， 故答案为：． 12. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数平移，二次函数顶点式的图象及性质，根据平移规律，直接求出新抛物线的顶点坐标． 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为， 向左平移1个单位，顶点横坐标变为； 向下平移2个单位，顶点纵坐标变为． 故平移后抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 13. 已知圆锥的高是，底面圆半径为2，则该圆锥的侧面展开图面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要是考查了圆锥的侧面积的求法，根据圆锥的轴载面是直角三角形，利用勾股定理可得母线长l，由圆锥的侧面展开图面积为，直接代数可得结果． 【详解】解：∵圆锥的高是，底面圆半径为2， ∴圆锥的母线长， ∴该圆锥的侧面展开图面积为． 故答案为：． 14. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是 _____． 【答案】36°##36度 【解析】 【分析】先利用正多边形的性质求出∠AED度数、再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O， ∴AE=ED，∠AED==108°， ∴∠ADE =∠EAD =（180°-108°）=36°， 故答案为：36°． 【点睛】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住正多边形的内角和公式． 15. “温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳”．近年来，邳州市通过大棚种植技术（如图1），大力推进农业现代化转型．小华家有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为8米，则大棚的最高处到地面的距离为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出解析式是解决本题的关键．根据题意写出点坐标，利用待定系数法求解析式，再计算出函数的最值即可求解． 【详解】解：根据题意，点A的坐标为，点B的坐标为， 将A，B两点坐标代入， 则， 解得：， ， ∵， ∴当时，y有最大值为， 则大棚的最高处到地面的距离为米， 故答案为：． 16. 已知点、，若点M在抛物线上运动，则的最小值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质与图象，解题关键是找出抛物线上的点到点B的距离的特点． 设点，用含m代数式表示，可得点M到点B的距离与点M到直线的距离相等，进而求解． 【详解】解：设点M的横坐标为m，则点，即点M到x轴距离为， ∴点M到直线的距离为， ∵， ∴点M到点B的距离与点M到直线的距离相等， ∵点A横坐标为， ∴当点M为直线与抛物线的交点时，最小， 如图，设直线与直线交点， ∴最小值为，． 故答案为： 6． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，请在指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 移项得， 配方得， 即， 直接开平方得， ∴，； 【小问2详解】 移项得， 因式分解得， ∴或， ∴，． 18. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子， ∴选中“乒乓球”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种， ∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是． 19. 尺规作图： （1）如图1，作已知圆的一条直径； （2）如图2，作等边三角形，使其是的内接三角形． （要求：仅用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹．） 【答案】（1） 直径如图所示； （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了用无刻度直尺作图，等边三角形的判定与性质，度角对的弦是直径，垂径定理，同弧对的圆周角相等等知识，理解并掌握对应知识点是解题的关键． （1）法一：在圆中作弦，作弦的垂直平分线交圆于点C和点D，连接即可； 法二：在圆中作弦，过点F作弦的垂线交圆于点G，连接即可； （2）法一：在中作直径，作半径的垂直平分线交圆于点B和点C，连接，即可； 法二：在中作直径，以D为圆心，为半径作交于点B和点C，连接，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知二次函数． （1）用配方法将其化成顶点式________，顶点坐标是________； （2）选取适当数据填入下表，并在如图所示平面直角坐标系内描点，画出该函数图像； x … … y … … （3）结合该二次函数图像，直接写出方程的根________； （4）若该抛物线上两点、的横坐标满足，则与的大小关系为________． 【答案】（1）， （2） x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 描点，作图如下： （3）， （4） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握列表，描点，连线，正确的画出函数图象，是解题的关键． （1）将一般式转化为顶点式即可； （2）列表描点连线，画出函数图象即可； （3）根据图象与轴的交点可直接写出方程的根； （4）利用二次函数的增减性，进行判断即可． 【小问1详解】 解：，顶点为； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）列表图象可知，抛物线与轴交点为， 所以的根为，； 故答案为：，； 【小问4详解】 由图象可知，当，随的增大而增大， ， ． 故答案为：． 21. 小王想从甲、乙两家快递公司中选一家做快递员，为了解这两家公司快递员的收入情况，小王从两家公司各抽取名快递员的月收入进行了一项抽样调查，利用收集的数据绘制成如图所示统计图：根据以上统计图，对数据进行分析如表： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差 甲公司 乙公司 （1）直接写出表格中，的值： ， ； （2）计算乙公司名快递员月收入的方差； （3）根据表格，小王应选哪家快递公司做快递员？说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 选甲公司，理由如下： 因为甲、乙两家快递公司平均数相差不大，但是甲公司的中位数、众数都大于乙公司，且甲公司的方差小，更稳定， 所以小王应选甲公司做快递员收入会较高． 【解析】 【分析】本题考查了数据的分析，熟练掌握数据分析中平均数、众数、中位数、方差的定义以及意义是解题的关键． （1）根据平均数、中位数的定义进行解答即可； （2）根据加权平均数和方差公式即可得出答案； （3）根据平均数、中位数、众数和方差的意义进行选择即可． 【小问1详解】 解：， 乙公司的中位数（千元）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：乙公司名快递员月收入的平均数为：， 则； 【小问3详解】 解：略． 22. 如图，已知抛物线经过两点，与轴交于点． （1）求抛物线解析式和顶点坐标； （2）观察图象； ①当时，直接写出的取值范围； ②点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1），顶点坐标为； （2）①；②或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）①根据二次函数的性质分别求出和时的函数值即可求解； ②求出，进而根据三角形的面积求出的纵坐标，再代入函数解析式即可求解； 本题考查了待定系数法求出二次函数的解析式，二次函数性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：（）∵抛物线经过两点， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 ①， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， ∴当时，当时，有最小值为，当时，， ∴当时，的取值范围为； ②， ∴， ， ∴， 即， ∴， ∴或， ∵抛物线顶点坐标为， ∴ 当时，， 解得，， ∴或． 23. 露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 【答案】[建立模型]；[运用模型]张；[分析计算] 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平面直角坐标系，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答． [分析计算]设抛物线函数关系式为，根据“且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子”，建立不等式，即可作答． 【详解】解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度 ∴ 设抛物线函数关系式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 即； [运用模型]∵，且椅子高度，宽度 ∴ 解得 则的距离为2； ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张； [分析计算]依题意，设抛物线函数关系式为， ∵且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子 ∴即刚好经过点点， ∴ ∴经过点 即当时，即 解得． ∴的最小值为． 24. 如图，二次函数与x轴交于点和，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式和直线的表达式； （2）若点D为二次函数的顶点，点E是y轴上一动点，连接，当的周长最小时，求点E坐标； （3）将（1）中的二次函数图象平移，使其顶点与坐标原点重合，再将图象绕坐标原点逆时针旋转得到抛物线G，若抛物线G与直线交于M，N两点，点P是抛物线G上位于直线左侧一个动点，连接，求的面积最大值． 【答案】（1）二次函数的表达式为，直线的表达式为 （2） （3）最大值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象及性质，待定系数法求二次函数和一次函数解析式，已知自变量值求函数值，周长问题最值，旋转性质等． （1）把点A和点B的坐标代入即可求出二次函数表达式，令时，，即可求出，后设直线的解析式为，将点B和点C的坐标代入即可求出直线的表达式； （2）将二次函数一般式配方成顶点式即，利用共线时周长最小，求出此时直线的解析式为，继而求出本题答案； （3）先求出平移后的二次函数表达式为，后求出旋转后的直线表达式为， 再过点作直线轴交直线于点Q，设，则，再利用函数代数式将表示出来，后利用二次函数最值即可求出本题答案． 【小问1详解】 解：把点A和点B的坐标代入得：，解得：， ∴二次函数的表达式为， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，把点B和点C的坐标代入得： 解得： ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：由， ∴， 如图，作点B关于y轴对称点，则， 由对称可知：， ∴的周长，当且仅当三点共线时取等， ∵点B和点D为定点， ∴线段为定长， 则当三点共线时，的周长有最小值，此时点E为直线与y轴的交点， 由可知：直线的解析式为， 令，得， ∴； 【小问3详解】 解：∵，将二次函数的图象平移，使其顶点与坐标原点重合， ∴平移后的二次函数表达式为， ∵M，N为绕坐标原点逆时针旋转后抛物线上的两点，且M，N在直线上， 记旋转前M，N的对应点为， ∴在直线绕坐标原点顺时针旋转后的图象上， ∵点，绕坐标原点顺时针旋转后对应点为， 设直线绕坐标原点顺时针旋转后的表达式为， 将代入得：，解得： ∴旋转后的直线表达式为， 联立，解得：，， ∴，， ∵P为旋转后抛物线上M，N左侧动点， ∴旋转前P的对应点在上且在直线上方，， 过点作直线轴交直线于点Q， ， 设，则， ∴， ∴， ， ， ， 当时，有最大值， ∴最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $