专题2.6 计算题（12题型48题）【题型专训】-【鼎力期末】2025-2026学年高一上学期物理期末综合复习

鼎力物理 https://shop.xkw.com/650102 人教版(2019) 专题2.6 计算题题型专训 目录 题型一 小船过河问题 2 题型二 平抛运动基本规律的应用 6 题型三 平抛运动与斜面相结合的问题 10 题型四 斜抛运动 13 题型五 牛顿第二定律的两类基本问题 17 题型六 有关牛顿第二定律的连接体问题 21 题型七 传送带动力学问题 26 题型八 板块动力学问题 30 题型九 共点力的平衡问题 34 题型十 共点力平衡的临界极值问题 39 题型十一 追及相遇问题 44 题型十二 多过程问题 48 题型一 小船过河问题 1．2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立75周年，同时也纪念中国大运河申遗成功10周年。已知小船在静水中的速度为4m/s，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为d=200m，水流速度为3m/s，方向与河岸平行，求： (1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？ (2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？船头指向与对岸夹角为多少？ 【答案】(1)50s，250m (2)，船头指向与对岸夹角满足 【详解】（1）当小船以静水中的速度垂直河岸过河时，渡河时间最短，则有 小船的合速度大小为 则小船的位移大小为 （2）由于船在静水的速度大于水流速度，所以小船可以垂直达到正对岸，此时合速度方向垂直河岸，合速度大小为 则对应的渡河时间为 设船头指向与对岸夹角为，则有 2．两河交汇形成更宽的河流，在交汇处，由于河床底部沉积状态不同从而形成不同流速的两个区域，如图所示，河两岸间距为，平行河岸中间分成宽度相同的两个区域I、Ⅱ。I区域水速大小，Ⅱ区域水速大小，方向均平行河岸向右，如图所示。小船相对静水速度大小一直是，B点为对岸上的点，且A、B连线与河岸垂直。小船从A点开始渡河，求： (1)小船以最短时间过河所用的时间； (2)小船以最短时间过河到达对岸的位置离B的距离； (3)小船要到达对岸的B点，且所用路程最短，该情况下小船过河的最短路程。 【答案】(1)100s (2)300m (3)400m 【详解】（1）船头正对对岸过河时用时最短，过I区域有                                 过Ⅱ区域有                                    总时间 （2）则小船最后在B点下游的位置离B的距离为 （3）为了能到B点，小船在I区域应向上游方向航行到I、Ⅱ分界线位置在图中C点，在Ⅱ区域时，由于，当船头方向与合速度垂直时位移有最小值，设对应船速度方向与上游夹角为，合速度与岸夹角为，轨迹从C到B，在I水域，，船合速度可以指向任一方向，若轨迹从A指向C时，过河路程最小，且刚好到对岸B位置，设与岸夹角为，CB连线与中线夹角为 由几何关系有                    在I水域，合速度指向C，C在AB连线对称轴上，过河路程为                    3．2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立75周年，同时也纪念中国大运河申遗成功10周年。已知小船在静水中的速度为，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为，水流速度为，方向与河岸平行，求： (1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？ (2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？ (3)若河水因涨水导致水流速度变为，小船在静水中的速度为不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？ 【答案】(1)50s，250m (2) (3)300m， 【详解】（1）当船以静水中的速度垂直河岸过河时，渡河时间最短，如下图所示 最短时间为 这时小船的合速度为 此种情况下小船过河的位移为 （2）船在静水的速度大于水流速度，那么最短位移为河宽，如图所示 这种情况下，小船的合速度为 当过河位移最短时过河的时间为 （3）若水流速度为 则 此种情况下过河如图所示 当船头方向即方向与合速度方向垂直时，渡河位移最短，大小为 这种情况下，小船的合速度为 过河时间为 4．小船在静水中的速度大小与时间t的关系如图甲所示，河水的流速与小船离河岸的距离d的变化关系如图乙所示，河岸平直。取。求： （1）小船渡河的最短时间； （2）在小船以最短时间渡河的情况下，小船渡河的最大速度及其与河岸下游的夹角。 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）设船头与河岸的夹角为，由图乙知，河宽为，则小船渡河的时间 当时，即当船头垂直河对岸行驶时，小船渡河的时间最短，小船渡河的最短时间 （2）当河水的流速最大（设为）时，小船渡河的速度最大，有 其中 解得 小船渡河的最大速度与河岸下游的夹角满足 解得 题型二 平抛运动基本规律的应用 5．一平台上固定一个发射装置，能将小球以的速率从平台边缘O点水平向右射出，O点与竖直墙壁MN间的水平距离，OO'连线水平，小球与竖直墙壁MN只发生一次碰撞，不计空气阻力和小球的大小，求： (1)小球从O点抛出到撞击墙壁的时间； (2)小球撞击墙壁的位置与O'点的高度差； (3)小球撞击墙壁时的速度大小和方向。 【答案】(1)1s (2)5m (3)；与水平方向成45°角 【详解】（1）小球从O点抛出到撞击墙壁的时间为 （2）小球撞击墙壁的位置与O'点的高度差为 （3）撞击墙壁时的竖直分速度 撞击墙壁时速度 撞击墙壁时速度v与水平方向的夹角 解得，速度与水平方向成45°角。 6．2024年11月12日开幕的珠海航展上，乙型空天战机“白帝”的展出引发了众多航天爱好者的热切关注，在某次实践活动中，某小组同学利用AI自动驾驶航模模拟了一场战斗场景。“白帝”空天战机正在的“高空”以的速度在水平方向做匀速直线运动，发现下方水平距离为处有一“飞舰”正在水平地面上以的速度同向匀速前行，战机立即释放一颗“空空导弹”进行攻击。已知时导弹相对战机无初速度释放，释放后立即启动自带推进器提供水平方向的加速度，推进器在时停止工作，导弹只在重力作用下继续运动。若导弹的有效击中范围为落地点周围以内，战机、导弹和“飞舰”均看成质点，不计空气阻力，，试求： (1)导弹落地前瞬间的速度大小和方向； (2)判断“飞舰”是否被有效击中，并说明理由； (3)若“飞舰”在时侦测到导弹攻击，立即从“飞舰”上发射一颗初速度大小为（相对于地面）的导弹进行拦截，假设拦截导弹发射后只在重力作用下运动，且与对方导弹发生撞击视为拦截成功，则拦截导弹的初速度与水平方向的夹角应为多少？ 【答案】(1)，与水平方向夹角满足 (2)被有效击中，导弹落地点与“飞舰”的水平距离为 (3) 【详解】（1）导弹释放后的速度大小为，做曲线运动，在水平方向先做匀加速直线运动，后做匀速直线运动，竖直方向做自由落体；根据运动学规律在竖直方向 解得 落地前瞬间，竖直方向有 水平方向有 故落地前瞬间的速度大小为 与水平方向夹角满足 （2）根据（1）中分析可知，导弹在整个过程中的水平位移为 飞舰在这段时间内做匀速运动， 此时导弹落地点距离“飞舰”为 在导弹的有效击中范围以内，故“飞舰”被有效击中。 （3）设拦截导弹的发射初速度与水平方向夹角为，并在发射后拦截成功，在时，导弹与“飞舰”在水平方向间距为 竖直方向间距为 若要拦截成功，水平方向需要满足 竖直方向需要满足 联立上式可解得 7．“打水漂”是很多学生喜欢玩的一种游戏，如图所示，将一薄石片从高处以速度水平抛出，石片与水面接触后，水平分速度方向不变、竖直分速度反向，水平和竖直分速度大小均减半。重力加速度取，忽略空气阻力及石片与水接触的时间，求： (1)石片从抛出到第一次弹起到达最高点的时间 (2)石片从第一次弹起到第二次与水面接触的水平射程。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）石片抛出后 解得t1=0.4s 与水面接触后，竖直和水平速度大小减半 石片弹起后运动到最高点时间为 石片从抛出到第一次弹起到达最高点的时间 （2）第一次弹起后水平速度 石片从第一次弹起到第二次落水运动时间为 水平射程 联立以上各式解得 8．某公园的台阶如图甲所示，已知每级台阶的水平距离，高度，台阶的侧视图如图乙所示，虚线AB恰好通过每级台阶的顶点。某同学将一小球置于最上面台阶边缘的A点，并沿垂直于台阶边缘将其以初速度v水平抛出，空气阻力不计。 (1)若要使小球恰好撞到第1级台阶的平台边缘顶点上，求小球初速度v为多大？ (2)若要使小球第一次碰到台阶只能碰在第4级台阶的平台上，且又不撞到顶点，求小球初速度v的取值范围？ (3)若小球可直接击中B点，求此种情况下小球从抛出开始到离虚线AB最远时所经历的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）要使小球恰好撞到第1级台阶的平台边缘顶点上，   得 （2）要使小球第一次碰到台阶只能碰在第4级台阶的平台上，最近的临界情况就是撞在第3级台阶的顶点，则， 得 最远的临界情况就是撞在第4级台阶的顶点，则， 得 不撞到顶点，小球初速度为 （3）若小球可直接击中点，则有， 得 当小球的速度平行与AB时，小球离虚线最远，则 且 得 题型三 平抛运动与斜面相结合的问题 9．跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台。如图所示，其中为助滑区，水平部分为起跳台，与间平滑连接。可视为质点的运动员从点由静止自由滑下，在滑雪道上获得较高速度后从点沿水平方向以的初速度飞出落在足够长的着陆坡上的点。运动过程中忽略摩擦和空气阻力，山坡可看成倾角为的斜面，取重力加速度。求： (1)点到点的位移大小； (2)运动员从点飞出何时离斜面最远？离斜面最远处的距离是多少？ (3)运动员在空中离斜坡最远处的速度。 【答案】(1)75m (2)1.5s，9m (3) 【详解】（1）从点到点有 解得运动时间 点到点的位移大小 （2）垂直斜面方向速度为零时离斜面最远，有 解得 离斜面最远处的距离 （3）运动员在空中离斜坡最远处的速度 10．如图所示，跑酷运动员（视为质点）从距水平地面高的平台边缘以的水平速度跳出，一段时间后，刚好垂直落在倾角为的斜面的中点上，然后跑酷运动员从该点立即调整姿态沿水平方向再次跳出，恰好落到了斜面底端。不计空气阻力，取重力加速度大小，，求： (1)斜面底端与平台边缘的水平距离； (2)跑酷运动员调整姿态后沿水平方向跳出的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据平抛运动规律有 竖直位移大小 斜面底端与平台边缘的水平距离 解得 （2）设跑酷运动员调整姿态后沿水平方向跳出的速度大小为，在空中运动的时间为 在竖直方向上有 水平方向上有 由几何关系有 解得 11．如图所示，一小球从平台上抛出，恰好无碰撞地落在临近平台的一倾角的光滑斜面上并下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h=0.8m，斜面高度H=7.2m，不计空气阻力，重力加速度g取，，求： (1)小球落在斜面上时竖直方向速度vy与水平方向速度vx分别是多少； (2)小球沿光滑斜面下滑的时间t是多大。 【答案】(1)； (2)t=1s 【详解】（1）小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，所以 由竖直方向自由落体运动的规律有 解得， （2）球沿斜面下滑的初速度为 加速度 斜面长度 由匀加速直线运动公式 解得t=1s 12．2025年哈尔滨亚洲冬季运动会是继北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会。跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一，跳台滑雪赛道如图甲所示，其简化图如图乙所示，跳台滑雪赛道由光凊助滑道、着陆坡、减速停止区三部分组成，助滑道高度差。比赛中运动员从点由静止下滑，运动到点后水平飞出，落在着陆坡的点，着陆坡的倾角，重力加速度大小，忽略空气阻力影响，求： (1)运动员从点水平飞出的速度大小； (2)运动员从点飞出后离斜面最远时的速度大小； (3)运动员从点飞出后离斜面最远的距离和此过程中沿斜面方向的距离。 【答案】(1)20m/s (2)25m/s (3)9m，30.75m 【详解】（1）运动员从A到B的过程，由机械能守恒定律 得m/s （2）运动员在离斜面最远时速度方向与斜面平行，则有 得m/s （3）将运动员的运动分解为垂直于斜面的匀变速直线运动和平行于斜面的匀加速直线运动。 垂直于斜面方向有 得m 到最高点时运动时间s 平行于斜面方向有 得m 题型四 斜抛运动 13．甲图是篮球运动员正在进行投篮训练的示意图，某次投篮情景如图乙，A是篮球的投出点， B是篮球的投入点。已知篮球在A点的初速度为，与水平方向的夹角为，AB连线与水平方向的夹角为，重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)篮球在飞行过程中距A点的最大高度h； (2)离AB连线最远时的速度大小v； (3)AB之间的距离s。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）篮球在飞行过程中距 A点的最大高度为 （2）离AB连线最远时，篮球速度与AB平行，由于篮球在水平方向上做匀速直线运动，则 得 （3）水平方向 竖直方向 又 得 AB间距离为 得 14．滑雪比赛场地如图甲，可简化为如图乙所示的示意图。在比赛的空中阶段可将运动员视为质点，运动员从倾角为α＝30°的斜面顶端O点以v0＝20 m/s的初速度飞出，初速度方向与斜面的夹角为θ＝60°，图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，A为轨迹的最高点，B为轨迹上离斜面最远的点，C为过B点作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。求： (1)运动员从A点运动到B点的时间。 (2)O、C两点间的距离。 【答案】(1)1s (2)40m 【详解】（1）A为轨迹的最高点，说明运动员在A点速度方向水平向右，设O到A时间为t1，由斜抛运动规律，竖直方向上有 解得t1＝1s 运动员从O到B过程，将运动分解为沿斜面向下方向和垂直斜面向上方向，到B点时速度方向平行于斜面向下。 垂直斜面方向的速度为 v1＝v0sin θ， 垂直斜面方向的加速度为a1＝g cos α 根据速度-时间公式，有 解得t2＝2 s 则运动员从A点运动到B点的时间Δt＝t2－t1＝1s （2）解法一：设运动员落在斜面的D点，由垂直斜面方向运动对称性可得运动员从O到B与B到D所用时间相等，平行于斜面方向，速度为v2＝v0cos θ 加速度为a2＝g sin α 根据位移-时间公式，有xOD＝v2·2t2＋a2（2t2）2 运动员在水平方向做匀速直线运动，C为OD中点，则x＝xOD 代入数据解得x＝40 m 解法二：运动员在水平方向做匀速直线运动，有xOB＝v0cos （θ－α）t2 由几何关系可得 解得x＝40m 15．投沙包游戏规则为：参赛者站在离得分区域边界AB一定的距离外将沙包抛出，每个得分区域宽度为d=0.15m，根据沙包停止点判定得分。如图某同学以大小为v0=5m/s、方向垂直于AB且与水平地面夹角为53°的初速度斜向上抛出沙包，出手点距AB的水平距离L=2.7m，距地面的高度h=1m。落地碰撞瞬间竖直方向速度减为零，水平方向速度减为原来的，落地后沙包滑行一段距离，最终停下。已知沙包与地面的动摩擦因数μ=0.25，sin53°=0.8，cos53°=0.6，取重力加速度大小g=10m/s2，空气阻力不计。求： (1)沙包从抛出点到最高点的时间t和在最高点的速度v； (2)沙包从出手点到落地点的水平距离x； (3)该同学投沙包得多少分。 【答案】(1)， (2)3m (3)8分 【详解】（1）由题意可知，初速度竖直方向的分速度大小为 沙包从抛出点到最高点，即竖直分速度减小到零的时间为 在最高点的速度为水平分速度，为 （2）设沙包从抛出到落地的时间为，则 解得 沙包在水平方向做匀速直线运动，则 （3）落地后，沙包的速度为 此后沙包做匀减速运动，根据牛顿第二定律 解得 则，匀减速的位移大小为 则沙包从抛出到停止，水平总位移为 即沙包停止由左数第4个格内，所以该同学投沙包得8分。 16．消防队正在进行消防演练。如图所示，消防车出弹口与高楼着火处的连线与水平面的夹角，、间的高度差为。重力加速度大小为，不计空气阻力，将从出弹口射出的灭火弹（图中未画出）视为质点。 (1)若灭火弹恰好垂直击中处，求灭火弹从出弹口射出时的速度大小； (2)若灭火弹击中处时的速度方向恰好垂直向下，求灭火弹从出弹口射出时的速度大小及其方向与的夹角的正切值。 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）根据逆向思维可知，灭火弹从到的运动为平抛运动，设灭火弹在空中运动的时间为，有 灭火弹从出弹口射出时的竖直分速度大小 灭火弹从出弹口射出时的水平速度大小 又 联立解得 （2）将灭火弹从到的运动分解为沿方向的匀减速直线运动和垂直方向的类竖直上抛运动，设灭火弹在空中运动的时间为，灭火弹从出弹口射出时，在垂直方向的分速度大小 根据逆向思维可知，沿方向有灭火弹从出弹口射出时，在方向的分速度大小又联立解得经分析可知解得 题型五 牛顿第二定律的两类基本问题 17．如图所示，水平平台长为，平台端与长度为的由特殊材料制成的斜面平滑连接（物体通过端的速度大小不变，方向改变），斜面倾角为，在平台端放上质量为的物块，并给物块施加与水平方向成角的斜向下推力后，物块由静止开始运动。已知物块与平台间的动摩擦因数为，重力加速度，，。 (1)求物块由运动到所用的时间； (2)物块运动到端后，撤去推力，物块沿斜面加速下滑。若从端下滑到端的时间为，求物块与斜面间的动摩擦因数。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以物块为研究对象，根据牛顿第二定律可得 解得加速度为 根据运动学公式可得 解得物块由a运动到b所用的时间为 （2）物块运动到b端时速度为 又 代入数据解得 在斜面上，根据牛顿第二定律可得 解得物块与斜面间的动摩擦因数为 18．滑草是一项使用滑草车沿倾斜草地滑行的运动，深受青年人喜爱。图甲为某滑草运动场地，图乙为其中一条滑道的示意图，滑道由倾角的滑道和水平滑道、组成，其中为助跑跑道，通过一定的加速可以使人和滑草车在点获得一定的初速度沿滑道下滑。为安全起见，园区要求游客加速至点的速度不超过。水平滑道末端点装有一弹性墙，滑草车撞击后获得一等大反向的速率，、两点之间是滑草车回收区。已知，，，滑草车与各接触面的动摩擦因数均为0.5，滑草车经过滑道交接处速度大小不变，不计滑草车的大小。 (1)滑草车从点静止下滑，求经过点时的速度大小； (2)滑草车从点静止下滑，在段速度减到0时距离弹性墙多远？ (3)要求滑草车最终能停在回收区，求游客加速至点的最大速度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）滑草车从点静止下滑，滑草车在段，根据牛顿第二定律     解得 根据运动学公式可得 解得滑草车经过点时的速度大小 （2）滑草车在段，根据牛顿第二定律 解得加速度大小为 根据运动学公式可得 解得 可知滑草车在段速度减到0时与弹性墙的距离为 （3）在第（2）问中b点初速度为0，滑草车在段滑行的路程 滑草车停在回收区；随着b点初速度越来越大，滑草车在段滑行的路程越来越大，因为滑草车与弹性墙撞击后等速反弹，所以在段，可认为滑草车一直做匀减速直线运动；当滑草车与弹性墙撞击后刚好停止在d点时，滑草车在段滑行的路程为 滑草车在段有 在段有 联立解得 综上分析可知，要求滑草车最终能停在回收区，游客加速至点的最大速度为。 19．某滑雪爱好者在练习滑雪。钢架雪车所经过的一段赛道如图所示，长12m水平直道AB与长20m的倾斜直道BC在B点平滑连接，斜道与水平面的夹角为30°。运动员从A点由静止出发，推着雪车匀加速到B点时速度大小为6m/s，紧接着快速俯卧到车上沿BC匀加速下滑（图2所示），到C点共用时6.0s。若雪车（包括运动员）可视为质点，始终在冰面上运动，其总质量为110kg，重力加速度g取，求雪车（包括运动员） (1)在直道AB上的加速度大小； (2)过C点的速度大小； (3)在斜道BC上运动时受到的阻力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设雪车在直道AB段加速度大小为，根据位移速度公式可得 解得 （2）在AB上运动时间为 从B点到C点，根据匀变速直线运动位移时间公式可得 其中 联立解得 过C点的速度大小为 （3）设斜道BC上运动时受到的阻力大小为，根据牛顿第二定律可得 解得 20．无人配送车已在很多城市运营了。我们衢州市政府也正在抓紧实施融入“新时代”。如图所示，一辆无人配送车以的速度匀速行驶在平直路面上。已知配送车的总质量为，电机产生的牵引力恒为。 (1)求此时配送车受到的阻力的大小。 (2)若关闭配送车的电机，此后仍保持不变，求其在通过的位移。 (3)若配送车匀速行驶过程中，发现前方处有一静止站立的行动不便的老年人，配送车立即关闭电机并启动制动装置，此后仍保持不变。要使配送车不撞上老年人，制动装置产生的额外阻力至少需要多大? 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由平衡条件可知 （2）若关闭配送车的电机，此后仍保持不变，根据牛顿第二定律可得 解得加速度大小为 由运动学公式可得 解得 可知配送车在前已经停止运动，所以配送车在通过的位移为 （3）由运动学公式可得 解得加速度大小为 根据牛顿第二定律可得 解得制动装置产生的额外阻力至少为 题型六 有关牛顿第二定律的连接体问题 21．如图所示，质量的物体B放在固定的水平平台最左端，通过细绳跨过光滑的定滑轮与质量的物体A相连接，连接B的细绳水平，细绳拉直时用手托住A使其由静止释放。已知A下落时的加速度大小，B与平台之间的动摩擦因数，物体A、B均可视为质点，平台足够高，不计空气阻力。 (1)求当地重力加速度的大小及细绳拉力的大小； (2)A下落时切断细绳，为保证不冲出平台，求平台的长度应满足的条件。 【答案】(1)， (2)不小于 【详解】（1）在A下落过程中，对A受力分析，根据牛顿第二运动定律，有 同理，对B受力分析，有 联立解得， （2）切断细绳时，B滑行的距离 则此时B的速度大小 设切断细绳后B做匀减速运动的加速度大小为，有 切断细绳后B继续滑行的距离 B的总位移 联立解得 故平台的长度应不小于。 22．如图甲，轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端与物块A连接，在物块A上叠放物块B，A、B两物块的质量均为，弹簧的劲度系数为，两物块均处于静止状态。现给物块B一竖直向上的拉力作用，使物块B从静止开始向上做加速度大小为的匀加速直线运动，两物块运动的图象如图乙，重力加速度为，弹簧始终在弹性限度内，求： (1)系统处于静止状态时，弹簧的压缩量； (2)A、B两物块分离前，拉力大小随时间变化的函数关系式； (3)从静止开始到A、B两物块分离经历的时间及两物块分离时的速度大小。 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）系统处于静止状态时，对AB整体有 解得 （2）设从静止开始在拉力作用下向上运动的位移为，对AB整体有 因为 解得 （3）设两物块从静止开始运动到分离向上运动的位移为，对A有 解得 因为， 联立解得， 23．如图所示，质量为的正方体木箱静止在水平地面上，木箱边长为，木箱顶板中心用长为的轻绳悬挂一质量为的铁球，木箱内表面光滑，木箱与水平地面间的动摩擦因数为0.25。现用水平向右的拉力拉木箱，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取。求： (1)要拉动木箱．水平拉力的最小值； (2)缓慢增大水平拉力，且要铁球不会碰撞木箱左侧壁，水平拉力的最大值； (3)一段时间后由于绳子断裂，铁球从左侧壁落到地板上且不反弹，当木箱的速度达到时撤去拉力，铁球经多长时间运动到木箱的右侧？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）要拉动木箱，拉力要大于等于最大静摩擦力，则有 解得 （2）当铁球贴近木箱左侧壁时，设轻绳与竖直方向的夹角为，根据几何关系可得 对铁球，根据牛顿第二定律可得 对铁球和木箱整体，根据牛顿第二定律可得 联立解得 （3）当撤去拉力时，对木箱由牛顿第二定律得 根据运动学公式可得， 又 联立解得 24．如图所示，固定在水平面的斜面倾角为，两个小物块A、B用轻绳相连，轻绳倾斜部分与斜面平行，轻绳绕过斜面顶端的轻质小滑轮，滑轮与轮轴之间的摩擦不计，A物块锁定于斜面底部，B物块离地面高度为。已知A物块的质量为，B物块的质量为，A物块与斜面间的动摩擦因数，重力加速度为，，。时刻，解除A物块的锁定状态，当B物块落地瞬间轻绳断裂，A沿斜面运动至最高点时恰好未与滑轮相撞，求： (1)B物块落地前瞬间的速度v的大小； (2)斜面的长度L及A从时刻起到返回斜面底端所需时间t。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）（1）根据题意，设B物块下落过程中绳子的拉力为，由牛顿第二定律，对B物块有 对A物块有 联立解得 B物块落地前做匀加速直线运动，则有 解得B物块落地前瞬间的速度大小为 （2）根据题意可知，绳断前，A的运动时间为 绳断后，A上滑过程，根据牛顿第二定律有 解得 A上滑到顶端的时间为 上滑的距离为 则斜面的长度为 A下滑过程有 解得 下滑过程根据运动学公式可得 解得下滑到底端的时间为 则A从时刻起到返回斜面底端所需时间 题型七 传送带动力学问题 25．如图所示，长度的水平传送带距离地面高度，以速度向右运动，小物块质量（物块可看作质点），以初速度滑上传送带，物块与传送带之间动摩擦因数，物块从传送带右端离开作平抛运动落到地面上。求： (1)物块在传送带上运动时间。 (2)物块落地点与传送带右端的水平距离。 (3)若传送带速度可调，使物块落地点最远，传送带速度应该满足什么条件。 【答案】(1)2.5s (2)4m (3) 【详解】（1）物块在传送带上运动加速度为，则 解得 加速运动到速度与传送带相等时间为，位移，则 解得     一起匀速运动时间，则 （2）平抛运动时间，则 解得 水平距离 （3）物块落地点最远，平抛初速度最大，物块在传送带一直加速运动达到速度，则   使物块落地点最远，传送带速度大于等于 26．某学校食堂要将学生的餐盘送到洗碗池中，设计的图纸可以简化为下图。倾斜滑轨长度为，与水平面成角，轨道底端B与水平传送带平滑衔接。传送带长度为，餐盘与传送带之间的动摩擦因数为，将餐盘从轨道顶端A无初速度的释放。解答下列问题。餐盘可视为质点（取，重力加速度）。 (1)若传送带静上不动，餐盘滑到传送带上的开始阶段加速度为多少？ (2)若传送带静止不动，要是餐盘滑到传送带C点时速度恰好为零，则倾斜轨道与餐盘之间的动摩擦系数为多少？ (3)若已知餐盘与倾斜轨道之间的动摩擦系数为。餐盘洗好后，无初速度的放在传送带的C点。若传送带的速度可以任意调节，问能否使餐盘重新回到倾斜轨道的A点？请说明详细的理由。 【答案】(1)2 m/s2 (2) (3)餐盘不能重新回到倾斜轨道的A点 【详解】（1）餐盘滑到传送带上开始做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有 m/s2 （2）餐盘滑到传送带C点时速度恰好为零，由运动学位移速度公式得 餐盘沿斜面向下滑动时，由运动学位移速度公式得 根据牛顿第二定律得 解得 （3）若餐盘在传送带上一直匀加速到B点，由运动学位移速度公式得 餐盘沿斜面向上滑动时，根据牛顿第二定律得 m/s2 餐盘沿斜面向上减速到零的位移为： m<4 m 餐盘不能重新回到倾斜轨道的A点。 27．如图所示，煤矿有一长度的传送带与水平面夹角，传送带以的速率逆时针转动。在传送带上端A点由静止释放一个黑色煤块，煤块运动到传送带下端B点并离开传送带，煤块在传送带上留下一段黑色痕迹。已知煤块与传送带之间的动摩擦因数，，g取。 (1)画出煤块刚放上传送带时的受力图，并求出煤块刚放到传送带上时的加速度； (2)求煤块在传送带上运动的时间； (3)煤块从A运动到B的过程中传送带上形成黑色痕迹的长度。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）对煤块受力分析，如图所示 由牛顿第二定律得 解得 （2）煤块匀加速到与传送带速度相等的过程有 解得 该过程煤块通过的位移为 因 故速度相等后，煤块与传送带一起做匀速直线运动，有 解得 煤块在传送带上运动的时间 （3）只有加速阶段会产生黑色痕迹，加速阶段传送带的位移为 传送带上形成黑色痕迹的长度 解得 28．如图所示，倾斜传送带与水平面间的夹角，正以恒定的速度顺时针转动，主动轮、从动轮的大小可忽略不计。现在其底端处有一物体（可视为质点）以速度沿斜面方向冲上传送带，物体到达传送带顶端的速度刚好为零（到达顶端后立即被取走），物体与传送带间的动摩擦因数，重力加速度取10m/s2，，。求： (1)物体与传送带等速前、后物体的加速度； (2)传送带底端到顶端的距离； (3)如果物体可以在传送带上留下划痕，试求传送带上的划痕长度。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）物体冲上传送带之后做减速运动，设其速度减小到等于传送带的传送速度之前加速度大小为，则有 式中为物体质量，解得 当物体的速度等于时，由于 所以物体继续做减速运动 设继续减速阶段物体加速度大小为，且历时，速度减为0，则有 解得 （2）第一阶段物体的位移大小为，有 解得 第二阶段物体位移大小为，则有 传送带底端到顶端的距离 （3）共速前物体相对传送带向上的位移，设第一阶段历时，则有 解得 位移 根据 可得 共速后物体相对传送带向下的位移， 由于，则划痕长度为 题型八 板块动力学问题 29．如图甲所示，光滑水平地面上有一质量为M、长度L=1m的长木板，质量为m的小物块（可视为质点）静置在长木板的最右端，小物块与长木板间的动摩擦因数为。在长木板上施加水平向右的外力F，长木板的加速度a随外力F的变化关系如图乙所示。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求小物块的质量m和动摩擦因数； (2)若施加水平向右的外力F为恒力，大小为8N，求力F至少作用多长时间可使得小物块滑离长木板。 【答案】(1)1kg，0.2 (2)0.5s 【详解】（1）由图像可知当F小于4N时物块和木板一起加速运动，则由牛顿第二定律 由图像可得 当F大于4N时物块与木板产生相对滑动，则对木板由牛顿第二定律 当F=4N时a=2m/s2即 当F=8N时a=6m/s2即 联立解得M=1kg，m=1kg，μ=0.2 （2）若施加水平向右的外力F为恒力，此时物块相对木板产生滑动，物块的加速度为 木板的加速度为 设当力F作用时间为t时撤去外力，此时物块的速度 木板的速度 物块相对木板滑动的距离 此后木板做匀减速运动，木板的加速度大小变为 设再经过时间t＇当两者共速，则 解得 此过程物块相对木板滑动的距离 若此时物块恰滑离木板，则由 解得 30．如图甲所示，木板B静止在水平桌面上，一质量m=3kg的物块A（可视为质点）从木板的左端沿木板上表面水平冲上木板。A和B经过1s达到同一速度，之后共同减速直至静止，A和B的v-t图像如图乙所示，重力加速度g=10m/s2。 (1)求A与B上表面之间的动摩擦因数μ1及B与水平桌面间的动摩擦因数μ2。 (2)求B的质量M。 (3)若A、B静止时，在A的右端施加一水平向右、大小为36N的力F，求A的加速度大小。 【答案】(1)0.2，0.1 (2)1kg (3)10m/s2 【详解】（1）由题图乙可知，A在0~1s内的加速度 对A，由牛顿第二定律得-μ1mg=ma1 解得μ1=0.2 由题图乙知，A、B在1s~3s内的加速度 对A、B整体，由牛顿第二定律得-μ2（m+M）g=（m+M）a3 解得μ2=0.1 （2）由题图乙可知，B在0~1 s内的加速度 对B，由牛顿第二定律得μ1mg-μ2（m+M）g=Ma2 代入数据解得M=1kg （3）当力F作用于A时，假设A、B不发生相对滑动，对A、B整体，根据牛顿第二定律，有F-μ2（m+M）g=(m+M）a' 解得 因为B的最大加速度a2=2m/s2，所以假设不成立，故A、B会发生相对滑动，则力F作用于A时，对A，有F-μ1mg=maA 解得aA=10m/s2 31．如图所示，质量为M=1kg木板A静止在水平面上，A与水平面间的动摩擦因数为μ1=0.1。在A的左端放置一质量m=1kg的铁块B（可视为质点），B与A间的动摩擦因数为μ2=0.3。t=0时用一水平向右的恒力F=9N作用在B上，设滑动摩擦力等于最大静摩擦力，取g=10m/s2。 (1)求A与B各自的加速度大小； (2)若t1=1s后撤去力F，此后的运动过程中B刚好不从A上掉落，求木板A的长度。 【答案】(1)1m/s2，6m/s2 (2)5.625m 【详解】（1）地面对木板A的滑动摩擦力大小为 A、B间滑动摩擦力大小为 对A，由牛顿第二定律可得 解得 对B，由牛顿第二定律可得 解得 （2）t1=1s内A的位移大小为 B的位移大小为 A相对B滑行的位移为 t1=1s时，A的速度大小为 B的速度大小为 撤去力F，A做匀加速运动，加速度不变，B做匀减速运动，加速度大小为 设经时间t2，A、B达到共同速度v，共速后AB一起以相同加速度减为零，有 解得， t2时间内A相对B滑行的位移为 B刚好不从A上掉落，则木板A的长度为 32．如图所示，倾角的足够长光滑斜面固定在水平面上，斜面上放一长、质量的薄木板，木板的最右端叠放一质量的小物块，物块与木板间的动摩擦因数。对木板施加沿斜面向上的恒力F，使木板由静止开始沿斜面向上做匀加速直线运动。设物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。 (1)为使物块不滑离木板，求恒力F应满足的条件； (2)若恒力，求物块在薄木板上滑行的时间及在整个过程中向上滑行的最大距离。 【答案】(1) (2)1s，0.6m 【详解】（1）以物块和木板整体为研究对象，由牛顿第二定律得 对物块有 刚好不滑动时 两者一起加速，由牛顿第二定律得 联立解得 （2）因，所以物块能够滑离木板，对木板，由牛顿第二定律可得 对物块，由牛顿第二定律可得 设物块滑离木板所用时间为t，木板的位移   物块的位移 物块与木板的分离条件为 联立以上各式解得 物块滑离木板时的速度 在斜面上滑行时的加速度大小 根据运动学公式有 物块向上滑行的最大距离 题型九 共点力的平衡问题 33．随着我国新农村建设不断深入，越来越多的农民住进了楼房，大家在喜迁新居的时候遇到了搬运大件家具的困难。如图所示，一农户正在用自己设计的方案搬运家具到二楼，他用一悬挂于房檐A点的小电机通过轻绳1拉动家具缓慢上升，为避免家具与墙壁碰撞，需要一人站在地面上用轻绳2向外侧拖拽，绳1与绳2始终在同一竖直面内。某时刻绳1与竖直方向夹角为，绳2与竖直方向夹角为，已知家具质量为50kg，人的质量为80kg（g取）求此时： (1)绳1与绳2的拉力大小； (2)该人受到地面的支持力和摩擦力大小。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）对家具受力分析，如图甲所示，由平衡条件得 ， 解得， （2）对人受力分析，如图乙所示，由平衡条件得 ， 其中 解得， 34．轻质杆两端分别固定有质量分别为、的、两个小球，置于光滑球面碗内处于静止状态，A球与圆心点的连线与竖直方向的夹角为，球与圆心连线与竖直方向的夹角为，如图所示。求： (1)A、B两球对碗面压力的大小之比； (2)两球的质量与之比。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对A、B两球受力分析，如图所示 则，对A球，在力的矢量三角形中，根据正弦定理可得 对B球，在力的矢量三角形中，根据正弦定理可得 联立，可得 即碗面对两球的支持力之比为，根据牛顿第三定律可知，A、B两球对碗面压力的大小之比为。 （2）对A球，在力的矢量三角形中，根据正弦定理可得 对B球，在力的矢量三角形中，根据正弦定理可得 联立，可得 35．如图所示，倾角、质量的斜面体C静置于水平桌面上，顶端固定有一轻质光滑定滑轮。物块A悬于轻绳、的结点处，段绳水平，固定在墙上。段绳与竖直方向的夹角，并绕过定滑轮与斜面体上质量的物块B相连。B与C间的动摩擦因数，与地面间的动摩擦因数。整个装置始终处于静止状态。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，取。求： (1)A的质量取多大，可使B、C间的摩擦力恰好为零； (2)当A的质量时，C受到地面的摩擦力的大小； (3)A的质量的取值范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设绳OQ的拉力为，对物块B分析有 解得 对节点O分析，有 解得 （2）将ABC看作整体，受到绳OP的拉力，ABC整体的重力，地面对其的支持力，地面对C的摩擦力。 装置处于静止状态，水平方向有 对节点O分析，有 解得 （3）假设C不滑动，当A的质量最大时，B受到的静摩擦力沿斜面向下且最大，对B分析，沿斜面方向有 对结点O分析，竖直方向有 解得 当A的质量最小时，B受到的摩擦力沿斜面向上且达到最大，有 解得 将ABC看作整体，当C相对于地面刚要滑动时，设A的质量为，地面对C的最大摩擦力为 要保持整个系统静止，则有 对O有 解得 综上可知，保持整个系统始终静止，物块A的质量大小取值范围为 36．为了庆祝传统佳节，人们喜欢悬挂灯笼增添节日氛围。如图所示，用轻质细绳将6盏灯笼依次悬挂起来，为了追求美感，整个装置左右完全对称，平衡时最左、最右两细绳与竖直方向的夹角均为，相邻两灯笼的结点间水平距离均相等，每盏灯笼的质量均为，重力加速度大小为。求： (1)最左、最右两侧细绳中的拉力大小； (2)“高”与“级”两盏灯笼间细绳中的拉力大小； (3)设“杭”与“州”两盏灯笼结点的高度差为，“级”与“中”两盏灯笼结点的高度差为，求。 【答案】(1) (2)3mg (3) 【详解】（1）将六个灯笼看成一个整体，其受到六个灯笼的重力，最左与最右侧细绳中的拉力，且细绳中的拉力大小均为T，以水平和竖直方向建立直角坐标系，水平方向有 竖直方向有 解得 （2）将“高”及左侧的两个灯笼共计三个灯笼看成一个整体，对这个整体进行受力分析，其受到最左侧细绳的拉力T，三个灯笼的重力3mg以及“高”与“级”两盏灯笼间细绳中的拉力大小F，在水平方向有 竖直方向有 解得 （3）对“杭”灯笼受力分析，设“杭”与“州”两盏灯笼之间的细绳与竖直方向的夹角为，细绳上的拉力为，两灯笼之间的距离为，水平方向有 竖直方向有 又因为 对“级”灯笼受力分析，设 “级”与“中”两盏灯笼之间的细绳与竖直方向的夹角为，细绳上的拉力为，两灯笼之间的距离结合题意可知为，水平方向有 竖直方向有 又因为 解得 题型十 共点力平衡的临界极值问题 37．在竖直墙壁的左侧水平地面上，放置一个边长为a，质量为M＝2kg的正方体ABCD，在墙壁和正方体之间放置一半径为R＝1m，质量为m的光滑球。正方体和球均保持静止，如图所示，球的球心为O，OB与竖直方向的夹角为，正方体的边长，正方体与水平地面的动摩擦因数为。（已知重力加速度，，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，结果可保留根号） (1)若，求立方体对球的弹力和竖直墙壁对球的弹力； (2)若，保持球的半径不变，只增大球的质量，为了不让正方体出现滑动，求球质量的最大值； (3)改变正方体到墙壁之间的距离，当正方体右侧面BA到墙壁之间距离小于某个值d时，无论球质量为多大（保持球的半径不变），球和正方体始终处于静止状态，且球未接触地面，求d值。 【答案】(1)8N， (2)4kg (3) 【详解】（1）对球受力情况如图所示 根据平衡条件知立方体对球的弹力 竖直墙壁对球的弹力 （2）对整体受力分析 根据平衡条件知， 为了不让正方体出现滑动，有 联立得 球质量的最大值 （3）当正方体右侧面BA到墙壁之间距离小于某个值d时，设OB与竖直方向夹角为，根据 即 无论m多大都能保持静止状态，则 则临界值 38．《吕氏春秋》记载，“腊月二十四，掸尘扫房子”。每逢春节来临，家家户户都要打扫卫生，有着“除尘布新”的美好寓意。如图所示，某同学通过拖把对质量的拖头施加斜向上的推力，使拖头沿玻璃竖直向上做匀速直线运动。已知推力与玻璃平面的夹角为，拖头与玻璃间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，。 (1)求推力的大小； (2)若改变推力，使拖头恰好不沿玻璃下滑，求推力的最小值以及此时与玻璃平面夹角的正弦值。（可用根号及分式表示） 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）拖头沿玻璃竖直向上做匀速直线运动，根据平衡条件可得， 又 联立解得推力的大小为 （2）若改变推力，使拖头恰好不沿玻璃下滑，设推力与玻璃平面的夹角为，根据平衡条件可得， 又 联立可得 其中 可得当时，推力具有最小值，且大小为 此时推力与玻璃平面夹角的正弦值为 39．如图所示，倾角为的斜面与水平面始终保持相对静止，斜面上有质量的物体A，物体A恰好能沿斜面匀速下滑。设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，当地重力加速度（已知），则： (1)求此情境下斜面对物体A支持力的大小； (2)求物体A与斜面间的动摩擦因数μ； (3)若对物体A施加一个沿斜面向上的推力F，使物体A沿斜面向上做匀速运动，求推力F的大小； (4)若对物体A施加一个与斜面方向成某一角度的拉力F，使物体A沿斜面向上做匀速运动，求拉力F的最小值及方向。（可能用到的公式：；，其中 ） 【答案】(1)80N (2)0.75 (3)120N (4)96N，与竖直方向成16°斜向上，或与斜面间夹角成37°斜向上。 【详解】（1）以物块为对象，垂直斜面方向根据受力平衡可得支持力 （2）以物块为对象，沿斜面方向根据受力平衡可得 又 联立可得 （3）物体A沿斜面向上做匀速运动，根据受力平衡可得 又 联立可得 （4）设F与斜面间夹角为α，对物块进行受力分析如图所示 根据，， 联立解得 即 其中， 解得 F与斜面间夹角为。 40．如图所示，倾角为θ、质量为M的斜面体A置于水平地面上，在斜面体和竖直墙面之间放置一质量为m的光滑球B，斜面体受到水平向右的外力F，整体始终处于静止状态。已知sinθ=0.8，cosθ=0.6，重力加速度为g。 (1)求墙面对球B的弹力的大小； (2)若斜面体受到水平向右的外力F大小为mg，求此时斜面体受到的水平地面摩擦力的大小和方向； (3)若斜面体与水平地面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为了使整体处于静止状态，求水平向右的外力F的大小范围。 【答案】(1) (2)，方向水平向右 (3) 【详解】（1）研究B球，由共点力的平衡条件有 ， 解得 （2）研究A、B整体，设斜面体受到的摩擦力为f，则由共点力的平衡条件有 解得 摩擦力大小为，方向水平向右。 （3）斜面体受到的最大静摩擦力 ①水平向右的外力最大（设为）时，斜面体有向右运动的趋势，由平衡条件有 解得 ②水平向右的外力最小（设为Fmin）时，斜面体可能有向左运动的趋势 （a）当时 则 （b）当时 则 题型十一 追及相遇问题 41．某高速公路同一直线车道上有同向匀速行驶的小汽车和货车，货车在前，小汽车在后，小汽车的速度，货车的速度，小汽车驾驶员由于查看导航路线，在小汽车与货车之间的距离时才发现货车，小汽车立即刹车做匀减速直线运动，加速度大小，货车仍以匀速行驶，两车可视为质点。 (1)假设两车不相撞，求经多长时间小汽车和货车的速度相等； (2)通过计算分析两车是否会相撞； (3)如果小汽车在开始刹车的同时给货车发信号，货车经反应时间后立即做匀加速直线运动，加速度大小，求两车间的最小距离。 【答案】(1)4s (2)不会相撞 (3)24m 【详解】（1）根据速度公式有 解得 （2）刹车时，小汽车的位移 解得 刹车时，货车的位移 解得 则有 可知，两车不会相撞。 （3）设经过二者距离最近，此时两者速度相等，则有 解得 在内，小汽车的位移 在内，货车的位移 两车间的最小距离 解得 42．两同学用安装有蓝牙设备的玩具小车A、B进行实验，两车均可视为质点，如图所示，t＝0时，A、B两车同时沿两条相距的平行直线轨道从同一起跑线向同一方向运动。A车始终以的速度做匀速直线运动，B车从静止开始以的加速度做匀加速直线运动，t＝2s后开始做匀速直线运动，已知两蓝牙小车自动连接的直线最大距离L＝5m求： (1)从0时刻到两车第一次刚好断开连接的时间； (2)整个运动过程中，两车能够保持连接的总时间Δt。 【答案】(1)1s (2)5s 【详解】（1）两车间的垂直间距3m，蓝牙连接的最大距离，因此沿运动方向的距离差 需满足，解得 A 车（匀速）： B 车（0~2s 匀加速）：，位移差 解得（另一解t=0不合题意，舍去） （2）阶段 1（0~2s）：B 匀加速，2s 末速度，位移； A 车位移，位移差（对应距离 5m，处于断开边缘）。 阶段 2（）：B 匀速（），A 仍匀速（6m/s），B 开始追赶 A，位移差逐渐减小 位移差随时间变化：。 当后，B 超过 A，位移差变为。 当时，再次达到最大距离 5m： 因此，保持连接的第二阶段是， 保持连接的总时间：。 43．随着社会发展，汽车已进入千家万户，交通安全成为现代社会的重要问题。在乡村平直公路上，甲、乙两车（均视为质点）在同一车道内沿同一方向行驶，忽略其他车辆影响。时刻，甲车正以速度匀速行驶，司机发现前面有险情，立即以加速度大小做匀减速直线运动。此时在甲的后方距离为处的乙车，正以速度、加速度大小做匀加速直线运动。乙车司机发现甲车刹车后，在时开始以大小为（未知）的加速度做匀减速直线运动，以避免与甲车相撞。求： (1)甲、乙两车在0-3s时间内位移大小分别为多少； (2)若两车最终同时停止且恰好不相撞，两车初始距离的大小； (3)若两车初始距离为5.5m，为了避免两车相撞，乙车刹车时的加速度应满足的条件。 【答案】(1)、 (2) (3) 【详解】（1）甲、乙两车在前3s的时间内位移大小分别为 ， （2）甲、乙两车在时的间距为 此时甲、乙两车的速度分别为， 甲车3s后的运动时间为 甲车位移 乙车位移 甲、乙两车且恰好不相遇 两车初始之间距离的大小 （3）甲、乙两车在时的间距为 此时乙车落后，但速度大于甲车，故当二者共速时有最小间距，则共速时相对位移应小于等于7m， 设3s后共速需时间为，则 得， 则 得应该满足的关系式 44．如图1所示为某次交通安全测试的示意图，长＝10m、速度＝36km/h的货车距离人行道＝35m，一列长度为＝4m的行人距离路口＝3m，速度大小＝1m/s。道路宽度＝9m，人行道宽度＝5m，为保障行人安全，规定车辆和行人不能同时出现在人行道上。（答案可以用分数表示） (1)若货车保持匀速行驶，能否按规定通过人行道？（选填“能”或“不能”） (2)若货车立即以恒定加速度减速，求加速度大小需满足的条件； (3)若货车立即以恒定加速度加速，求加速度的最小值； (4)如图2所示为货车侧视图，可视为质点的货箱距车尾＝8m，若货车以（3）问的最小加速度加速通过人行道后立即匀速行驶，分析说明货箱是否会从货车上掉落。已知货箱能达到的最大加速度为3，且货箱与车厢底板发生相对滑动时货箱加速度等于3。 【答案】(1)不能，见解析 (2) (3) (4)货箱会掉落，见解析 【详解】（1）货车出现在人行道时间 解得 行人出现在人行道时间 解得 故3.5s~5s货车和行人同时出现在人行道上，不符合规定。故若货车保持匀速行驶，不能按规定通过人行道。 （2）行人刚离开人行道时 此时车头恰到人行道 解得 此时，不合题意。 车头到达人行道时恰刹停 解得，故货车加速度 （3）行人刚要进入人行道时 货车车尾刚离开人行道 解得 （4）汽车离开人行道时速度 相对运动时间 货车位移 货箱位移 相对位移，故货箱会掉落。 题型十二 多过程问题 45．为提高运行效率，许多高速公路入口处都安装了电子不停车收费（ETC）系统，如图1所示。甲、乙两辆车同时均以的初速度及相同的加速度从减速带（距离收费通道左端距离为30m）开始减速，分别通过同一座收费站的人工收费通道和ETC通道，甲车从减速带到通过人工收费通道并加速到过程的速度-时间图像如图2所示。乙车先减速至初速度的一半后匀速通过ETC通道（长度），之后保持此速度继续前行等待甲车。求： (1)甲、乙两辆汽车从减速带开始运动至收费通道右端所用的时间差； (2)若甲车通过收费通道后保持原来加速度继续加速去追乙车，试判断甲车追上乙车时是否超速。（该路段限速） 【答案】(1) (2)甲车追上乙车时的速度约为，大于，因此这时甲车已经超速 【详解】（1）由图2中的数据计算出两车减速时的共同加速度为 甲车减速阶段经过的位移为图2中左侧三角形的面积 减速阶段所用时间为 由知甲车完成减速后到达了人工收费通道的中点，之后停车缴费，再加速运动行驶到达人工收费通道出口，最终离开收费通道。 甲车停车缴费所用时间为 由图2知甲车加速运动行驶的加速度为 由位移时间关系推导出甲车在人工通道中加速行驶所用时间为 甲车从减速带至收费通道右端所用时间 乙车减速至初速度的一半所用时间 乙车减速至初速度的一半所经位移 乙车匀速通过ETC通道的时间为 乙车从减速带开始运动至收费通道右端所用时间 甲、乙两辆汽车从减速带开始运动至收费通道右端所用的时间差为 （2）令甲车和乙车离开收费通道到甲车追上乙车所用时间分别为和；甲车和乙车经过减速带到甲车追上乙车的过程中，甲车和乙车行驶的总时间分别为和 由题意 即 代入已知数据得 令其为①式；甲车和乙车行驶的位移分别为和 由题意 即 代入已知数据得 令其为②式，联立①式和②式解出， 甲车追上乙车时的速度为 因 因此甲车追上乙车时已经超速。 46．为确保校园道路安全，某中学门外路段设置了如图所示的橡胶减速带。一汽车正以的速度行驶在该路段，在离减速带处该车开始做匀减速直线运动，结果以的速度通过减速带，通过后立即以的加速度加速到原来的速度。汽车可视为质点，减速带的宽度忽略不计。求： (1)汽车减速时的加速度； (2)减速阶段所用的时间； (3)由于减速带的存在，该汽车通过这段距离多用的时间。 【答案】(1)大小为，方向与初速度相反。 (2) (3) 【详解】（1）汽车初速度，根据运动学公式 其中，，可得汽车减速时的加速度为，方向与初速度相反。 （2）根据速度公式可得 代入数据可得 （3）汽车减速阶段的时间为，位移为，加速到原来的速度的时间为 加速位移为 总时间为 若没有减速带，总时间为 可知由于减速带的存在，该汽车通过这段距离多用的时间 47．我国正在研发高铁到站上下列车新方式，现行方式为减速到站，停车上下客，再加速驶离。在某一段平直的铁路上，一列以324km/h高速行驶的列车某时刻开始匀减速行驶，5min后恰好停在某车站，并在该车站停留4min；随后匀加速驶离车站，经过8.1km后恢复到原速324km/h。求： (1)列车减速和加速阶段时的加速度大小； (2)列车从开始刹车到恢复原速过程中的平均速度； (3)如果列车不减速，而以匀速通过该路段，可以节约多少时间？ 【答案】(1)0.3m/s2， (2)30m/s (3)480s 【详解】（1）减速的加速度大小 加速过程 可得加速的加速度 （2）加速的时间 停留的时间 减速的位移 整个过程的平均速度 （3）若不减速，匀速通过的时间 节约时间 48．如图所示为某快递公司利用机器人运送、投递包裹的场景，机器人将其水平托盘上的包裹由静止送至指定投递口，停止运动后缓慢翻起托盘，让包裹滑入投递口。其启动和制动过程可视为匀变速直线运动，允许的加速度最大值为，当托盘倾角增大到时，包裹恰好开始下滑，如简化图所示。现机器人要把一质量的包裹沿直线运至相距的投递口处，在运送中包裹与水平托盘始终保持相对静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)包裹与水平托盘的动摩擦因数； (2)若机器人运行的最大速度，则机器人由静止运行至投递口（恰好静止）所需的最短时间t； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）包裹恰好下滑时，根据共点力平衡条件有 解得 （2）整个运送过程经历匀加速、匀速、匀减速三个过程，匀加速、匀减速过程， 匀速过程 匀速运动的时间为 最短时间 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $鼎力物理 https://shop.xkw.com/650102 人教版(2019) 专题2.6 计算题题型专训 目录 题型一 小船过河问题 2 题型二 平抛运动基本规律的应用 3 题型三 平抛运动与斜面相结合的问题 4 题型四 斜抛运动 6 题型五 牛顿第二定律的两类基本问题 7 题型六 有关牛顿第二定律的连接体问题 9 题型七 传送带动力学问题 10 题型八 板块动力学问题 12 题型九 共点力的平衡问题 13 题型十 共点力平衡的临界极值问题 15 题型十一 追及相遇问题 16 题型十二 多过程问题 18 题型一 小船过河问题 1．2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立75周年，同时也纪念中国大运河申遗成功10周年。已知小船在静水中的速度为4m/s，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为d=200m，水流速度为3m/s，方向与河岸平行，求： (1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？ (2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？船头指向与对岸夹角为多少？ 2．两河交汇形成更宽的河流，在交汇处，由于河床底部沉积状态不同从而形成不同流速的两个区域，如图所示，河两岸间距为，平行河岸中间分成宽度相同的两个区域I、Ⅱ。I区域水速大小，Ⅱ区域水速大小，方向均平行河岸向右，如图所示。小船相对静水速度大小一直是，B点为对岸上的点，且A、B连线与河岸垂直。小船从A点开始渡河，求： (1)小船以最短时间过河所用的时间； (2)小船以最短时间过河到达对岸的位置离B的距离； (3)小船要到达对岸的B点，且所用路程最短，该情况下小船过河的最短路程。 3．2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立75周年，同时也纪念中国大运河申遗成功10周年。已知小船在静水中的速度为，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为，水流速度为，方向与河岸平行，求： (1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？ (2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？ (3)若河水因涨水导致水流速度变为，小船在静水中的速度为不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？ 4．小船在静水中的速度大小与时间t的关系如图甲所示，河水的流速与小船离河岸的距离d的变化关系如图乙所示，河岸平直。取。求： （1）小船渡河的最短时间； （2）在小船以最短时间渡河的情况下，小船渡河的最大速度及其与河岸下游的夹角。 题型二 平抛运动基本规律的应用 5．一平台上固定一个发射装置，能将小球以的速率从平台边缘O点水平向右射出，O点与竖直墙壁MN间的水平距离，OO'连线水平，小球与竖直墙壁MN只发生一次碰撞，不计空气阻力和小球的大小，求： (1)小球从O点抛出到撞击墙壁的时间； (2)小球撞击墙壁的位置与O'点的高度差； (3)小球撞击墙壁时的速度大小和方向。 6．2024年11月12日开幕的珠海航展上，乙型空天战机“白帝”的展出引发了众多航天爱好者的热切关注，在某次实践活动中，某小组同学利用AI自动驾驶航模模拟了一场战斗场景。“白帝”空天战机正在的“高空”以的速度在水平方向做匀速直线运动，发现下方水平距离为处有一“飞舰”正在水平地面上以的速度同向匀速前行，战机立即释放一颗“空空导弹”进行攻击。已知时导弹相对战机无初速度释放，释放后立即启动自带推进器提供水平方向的加速度，推进器在时停止工作，导弹只在重力作用下继续运动。若导弹的有效击中范围为落地点周围以内，战机、导弹和“飞舰”均看成质点，不计空气阻力，，试求： (1)导弹落地前瞬间的速度大小和方向； (2)判断“飞舰”是否被有效击中，并说明理由； (3)若“飞舰”在时侦测到导弹攻击，立即从“飞舰”上发射一颗初速度大小为（相对于地面）的导弹进行拦截，假设拦截导弹发射后只在重力作用下运动，且与对方导弹发生撞击视为拦截成功，则拦截导弹的初速度与水平方向的夹角应为多少？ 7．“打水漂”是很多学生喜欢玩的一种游戏，如图所示，将一薄石片从高处以速度水平抛出，石片与水面接触后，水平分速度方向不变、竖直分速度反向，水平和竖直分速度大小均减半。重力加速度取，忽略空气阻力及石片与水接触的时间，求： (1)石片从抛出到第一次弹起到达最高点的时间 (2)石片从第一次弹起到第二次与水面接触的水平射程。 8．某公园的台阶如图甲所示，已知每级台阶的水平距离，高度，台阶的侧视图如图乙所示，虚线AB恰好通过每级台阶的顶点。某同学将一小球置于最上面台阶边缘的A点，并沿垂直于台阶边缘将其以初速度v水平抛出，空气阻力不计。 (1)若要使小球恰好撞到第1级台阶的平台边缘顶点上，求小球初速度v为多大？ (2)若要使小球第一次碰到台阶只能碰在第4级台阶的平台上，且又不撞到顶点，求小球初速度v的取值范围？ (3)若小球可直接击中B点，求此种情况下小球从抛出开始到离虚线AB最远时所经历的时间。 题型三 平抛运动与斜面相结合的问题 9．跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台。如图所示，其中为助滑区，水平部分为起跳台，与间平滑连接。可视为质点的运动员从点由静止自由滑下，在滑雪道上获得较高速度后从点沿水平方向以的初速度飞出落在足够长的着陆坡上的点。运动过程中忽略摩擦和空气阻力，山坡可看成倾角为的斜面，取重力加速度。求： (1)点到点的位移大小； (2)运动员从点飞出何时离斜面最远？离斜面最远处的距离是多少？ (3)运动员在空中离斜坡最远处的速度。 10．如图所示，跑酷运动员（视为质点）从距水平地面高的平台边缘以的水平速度跳出，一段时间后，刚好垂直落在倾角为的斜面的中点上，然后跑酷运动员从该点立即调整姿态沿水平方向再次跳出，恰好落到了斜面底端。不计空气阻力，取重力加速度大小，，求： (1)斜面底端与平台边缘的水平距离； (2)跑酷运动员调整姿态后沿水平方向跳出的速度大小。 11．如图所示，一小球从平台上抛出，恰好无碰撞地落在临近平台的一倾角的光滑斜面上并下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h=0.8m，斜面高度H=7.2m，不计空气阻力，重力加速度g取，，求： (1)小球落在斜面上时竖直方向速度vy与水平方向速度vx分别是多少； (2)小球沿光滑斜面下滑的时间t是多大。 12．2025年哈尔滨亚洲冬季运动会是继北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会。跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一，跳台滑雪赛道如图甲所示，其简化图如图乙所示，跳台滑雪赛道由光凊助滑道、着陆坡、减速停止区三部分组成，助滑道高度差。比赛中运动员从点由静止下滑，运动到点后水平飞出，落在着陆坡的点，着陆坡的倾角，重力加速度大小，忽略空气阻力影响，求： (1)运动员从点水平飞出的速度大小； (2)运动员从点飞出后离斜面最远时的速度大小； (3)运动员从点飞出后离斜面最远的距离和此过程中沿斜面方向的距离。 题型四 斜抛运动 13．甲图是篮球运动员正在进行投篮训练的示意图，某次投篮情景如图乙，A是篮球的投出点， B是篮球的投入点。已知篮球在A点的初速度为，与水平方向的夹角为，AB连线与水平方向的夹角为，重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)篮球在飞行过程中距A点的最大高度h； (2)离AB连线最远时的速度大小v； (3)AB之间的距离s。 14．滑雪比赛场地如图甲，可简化为如图乙所示的示意图。在比赛的空中阶段可将运动员视为质点，运动员从倾角为α＝30°的斜面顶端O点以v0＝20 m/s的初速度飞出，初速度方向与斜面的夹角为θ＝60°，图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，A为轨迹的最高点，B为轨迹上离斜面最远的点，C为过B点作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。求： (1)运动员从A点运动到B点的时间。 (2)O、C两点间的距离。 15．投沙包游戏规则为：参赛者站在离得分区域边界AB一定的距离外将沙包抛出，每个得分区域宽度为d=0.15m，根据沙包停止点判定得分。如图某同学以大小为v0=5m/s、方向垂直于AB且与水平地面夹角为53°的初速度斜向上抛出沙包，出手点距AB的水平距离L=2.7m，距地面的高度h=1m。落地碰撞瞬间竖直方向速度减为零，水平方向速度减为原来的，落地后沙包滑行一段距离，最终停下。已知沙包与地面的动摩擦因数μ=0.25，sin53°=0.8，cos53°=0.6，取重力加速度大小g=10m/s2，空气阻力不计。求： (1)沙包从抛出点到最高点的时间t和在最高点的速度v； (2)沙包从出手点到落地点的水平距离x； (3)该同学投沙包得多少分。 16．消防队正在进行消防演练。如图所示，消防车出弹口与高楼着火处的连线与水平面的夹角，、间的高度差为。重力加速度大小为，不计空气阻力，将从出弹口射出的灭火弹（图中未画出）视为质点。 (1)若灭火弹恰好垂直击中处，求灭火弹从出弹口射出时的速度大小； (2)若灭火弹击中处时的速度方向恰好垂直向下，求灭火弹从出弹口射出时的速度大小及其方向与的夹角的正切值。 题型五 牛顿第二定律的两类基本问题 17．如图所示，水平平台长为，平台端与长度为的由特殊材料制成的斜面平滑连接（物体通过端的速度大小不变，方向改变），斜面倾角为，在平台端放上质量为的物块，并给物块施加与水平方向成角的斜向下推力后，物块由静止开始运动。已知物块与平台间的动摩擦因数为，重力加速度，，。 (1)求物块由运动到所用的时间； (2)物块运动到端后，撤去推力，物块沿斜面加速下滑。若从端下滑到端的时间为，求物块与斜面间的动摩擦因数。 18．滑草是一项使用滑草车沿倾斜草地滑行的运动，深受青年人喜爱。图甲为某滑草运动场地，图乙为其中一条滑道的示意图，滑道由倾角的滑道和水平滑道、组成，其中为助跑跑道，通过一定的加速可以使人和滑草车在点获得一定的初速度沿滑道下滑。为安全起见，园区要求游客加速至点的速度不超过。水平滑道末端点装有一弹性墙，滑草车撞击后获得一等大反向的速率，、两点之间是滑草车回收区。已知，，，滑草车与各接触面的动摩擦因数均为0.5，滑草车经过滑道交接处速度大小不变，不计滑草车的大小。 (1)滑草车从点静止下滑，求经过点时的速度大小； (2)滑草车从点静止下滑，在段速度减到0时距离弹性墙多远？ (3)要求滑草车最终能停在回收区，求游客加速至点的最大速度。 19．某滑雪爱好者在练习滑雪。钢架雪车所经过的一段赛道如图所示，长12m水平直道AB与长20m的倾斜直道BC在B点平滑连接，斜道与水平面的夹角为30°。运动员从A点由静止出发，推着雪车匀加速到B点时速度大小为6m/s，紧接着快速俯卧到车上沿BC匀加速下滑（图2所示），到C点共用时6.0s。若雪车（包括运动员）可视为质点，始终在冰面上运动，其总质量为110kg，重力加速度g取，求雪车（包括运动员） (1)在直道AB上的加速度大小； (2)过C点的速度大小； (3)在斜道BC上运动时受到的阻力大小。 20．无人配送车已在很多城市运营了。我们衢州市政府也正在抓紧实施融入“新时代”。如图所示，一辆无人配送车以的速度匀速行驶在平直路面上。已知配送车的总质量为，电机产生的牵引力恒为。 (1)求此时配送车受到的阻力的大小。 (2)若关闭配送车的电机，此后仍保持不变，求其在通过的位移。 (3)若配送车匀速行驶过程中，发现前方处有一静止站立的行动不便的老年人，配送车立即关闭电机并启动制动装置，此后仍保持不变。要使配送车不撞上老年人，制动装置产生的额外阻力至少要多大? 题型六 有关牛顿第二定律的连接体问题 21．如图所示，质量的物体B放在固定的水平平台最左端，通过细绳跨过光滑的定滑轮与质量的物体A相连接，连接B的细绳水平，细绳拉直时用手托住A使其由静止释放。已知A下落时的加速度大小，B与平台之间的动摩擦因数，物体A、B均可视为质点，平台足够高，不计空气阻力。 (1)求当地重力加速度的大小及细绳拉力的大小； (2)A下落时切断细绳，为保证不冲出平台，求平台的长度应满足的条件。 22．如图甲，轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端与物块A连接，在物块A上叠放物块B，A、B两物块的质量均为，弹簧的劲度系数为，两物块均处于静止状态。现给物块B一竖直向上的拉力作用，使物块B从静止开始向上做加速度大小为的匀加速直线运动，两物块运动的图象如图乙，重力加速度为，弹簧始终在弹性限度内，求： (1)系统处于静止状态时，弹簧的压缩量； (2)A、B两物块分离前，拉力大小随时间变化的函数关系式； (3)从静止开始到A、B两物块分离经历的时间及两物块分离时的速度大小。 23．如图所示，质量为的正方体木箱静止在水平地面上，木箱边长为，木箱顶板中心用长为的轻绳悬挂一质量为的铁球，木箱内表面光滑，木箱与水平地面间的动摩擦因数为0.25。现用水平向右的拉力拉木箱，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取。求： (1)要拉动木箱．水平拉力的最小值； (2)缓慢增大水平拉力，且要铁球不会碰撞木箱左侧壁，水平拉力的最大值； (3)一段时间后由于绳子断裂，铁球从左侧壁落到地板上且不反弹，当木箱的速度达到时撤去拉力，铁球经多长时间运动到木箱的右侧？ 24．如图所示，固定在水平面的斜面倾角为，两个小物块A、B用轻绳相连，轻绳倾斜部分与斜面平行，轻绳绕过斜面顶端的轻质小滑轮，滑轮与轮轴之间的摩擦不计，A物块锁定于斜面底部，B物块离地面高度为。已知A物块的质量为，B物块的质量为，A物块与斜面间的动摩擦因数，重力加速度为，，。时刻，解除A物块的锁定状态，当B物块落地瞬间轻绳断裂，A沿斜面运动至最高点时恰好未与滑轮相撞，求： (1)B物块落地前瞬间的速度v的大小； (2)斜面的长度L及A从时刻起到返回斜面底端所需时间t。 题型七 传送带动力学问题 25．如图所示，长度的水平传送带距离地面高度，以速度向右运动，小物块质量（物块可看作质点），以初速度滑上传送带，物块与传送带之间动摩擦因数，物块从传送带右端离开作平抛运动落到地面上。求： (1)物块在传送带上运动时间。 (2)物块落地点与传送带右端的水平距离。 (3)若传送带速度可调，使物块落地点最远，传送带速度应该满足什么条件。 26．某学校食堂要将学生的餐盘送到洗碗池中，设计的图纸可以简化为下图。倾斜滑轨长度为，与水平面成角，轨道底端B与水平传送带平滑衔接。传送带长度为，餐盘与传送带之间的动摩擦因数为，将餐盘从轨道顶端A无初速度的释放。解答下列问题。餐盘可视为质点（取，重力加速度）。 (1)若传送带静上不动，餐盘滑到传送带上的开始阶段加速度为多少？ (2)若传送带静止不动，要是餐盘滑到传送带C点时速度恰好为零，则倾斜轨道与餐盘之间的动摩擦系数为多少？ (3)若已知餐盘与倾斜轨道之间的动摩擦系数为。餐盘洗好后，无初速度的放在传送带的C点。若传送带的速度可以任意调节，问能否使餐盘重新回到倾斜轨道的A点？请说明详细的理由。 27．如图所示，煤矿有一长度的传送带与水平面夹角，传送带以的速率逆时针转动。在传送带上端A点由静止释放一个黑色煤块，煤块运动到传送带下端B点并离开传送带，煤块在传送带上留下一段黑色痕迹。已知煤块与传送带之间的动摩擦因数，，g取。 (1)画出煤块刚放上传送带时的受力图，并求出煤块刚放到传送带上时的加速度； (2)求煤块在传送带上运动的时间； (3)煤块从A运动到B的过程中传送带上形成黑色痕迹的长度。 28．如图所示，倾斜传送带与水平面间的夹角，正以恒定的速度顺时针转动，主动轮、从动轮的大小可忽略不计。现在其底端处有一物体（可视为质点）以速度沿斜面方向冲上传送带，物体到达传送带顶端的速度刚好为零（到达顶端后立即被取走），物体与传送带间的动摩擦因数，重力加速度取10m/s2，，。求： (1)物体与传送带等速前、后物体的加速度； (2)传送带底端到顶端的距离； (3)如果物体可以在传送带上留下划痕，试求传送带上的划痕长度。 题型八 板块动力学问题 29．如图甲所示，光滑水平地面上有一质量为M、长度L=1m的长木板，质量为m的小物块（可视为质点）静置在长木板的最右端，小物块与长木板间的动摩擦因数为。在长木板上施加水平向右的外力F，长木板的加速度a随外力F的变化关系如图乙所示。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求小物块的质量m和动摩擦因数； (2)若施加水平向右的外力F为恒力，大小为8N，求力F至少作用多长时间可使得小物块滑离长木板。 30．如图甲所示，木板B静止在水平桌面上，一质量m=3kg的物块A（可视为质点）从木板的左端沿木板上表面水平冲上木板。A和B经过1s达到同一速度，之后共同减速直至静止，A和B的v-t图像如图乙所示，重力加速度g=10m/s2。 (1)求A与B上表面之间的动摩擦因数μ1及B与水平桌面间的动摩擦因数μ2。 (2)求B的质量M。 (3)若A、B静止时，在A的右端施加一水平向右、大小为36N的力F，求A的加速度大小。 31．如图所示，质量为M=1kg木板A静止在水平面上，A与水平面间的动摩擦因数为μ1=0.1。在A的左端放置一质量m=1kg的铁块B（可视为质点），B与A间的动摩擦因数为μ2=0.3。t=0时用一水平向右的恒力F=9N作用在B上，设滑动摩擦力等于最大静摩擦力，取g=10m/s2。 (1)求A与B各自的加速度大小； (2)若t1=1s后撤去力F，此后的运动过程中B刚好不从A上掉落，求木板A的长度。 32．如图所示，倾角的足够长光滑斜面固定在水平面上，斜面上放一长、质量的薄木板，木板的最右端叠放一质量的小物块，物块与木板间的动摩擦因数。对木板施加沿斜面向上的恒力F，使木板由静止开始沿斜面向上做匀加速直线运动。设物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。 (1)为使物块不滑离木板，求恒力F应满足的条件； (2)若恒力，求物块在薄木板上滑行的时间及在整个过程中向上滑行的最大距离。 题型九 共点力的平衡问题 33．随着我国新农村建设不断深入，越来越多的农民住进了楼房，大家在喜迁新居的时候遇到了搬运大件家具的困难。如图所示，一农户正在用自己设计的方案搬运家具到二楼，他用一悬挂于房檐A点的小电机通过轻绳1拉动家具缓慢上升，为避免家具与墙壁碰撞，需要一人站在地面上用轻绳2向外侧拖拽，绳1与绳2始终在同一竖直面内。某时刻绳1与竖直方向夹角为，绳2与竖直方向夹角为，已知家具质量为50kg，人的质量为80kg（g取）求此时： (1)绳1与绳2的拉力大小； (2)该人受到地面的支持力和摩擦力大小。 34．轻质杆两端分别固定有质量分别为、的、两个小球，置于光滑球面碗内处于静止状态，A球与圆心点的连线与竖直方向的夹角为，球与圆心连线与竖直方向的夹角为，如图所示。求： (1)A、B两球对碗面压力的大小之比； (2)两球的质量与之比。 35．如图所示，倾角、质量的斜面体C静置于水平桌面上，顶端固定有一轻质光滑定滑轮。物块A悬于轻绳、的结点处，段绳水平，固定在墙上。段绳与竖直方向的夹角，并绕过定滑轮与斜面体上质量的物块B相连。B与C间的动摩擦因数，与地面间的动摩擦因数。整个装置始终处于静止状态。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，取。求： (1)A的质量取多大，可使B、C间的摩擦力恰好为零； (2)当A的质量时，C受到地面的摩擦力的大小； (3)A的质量的取值范围。 36．为了庆祝传统佳节，人们喜欢悬挂灯笼增添节日氛围。如图所示，用轻质细绳将6盏灯笼依次悬挂起来，为了追求美感，整个装置左右完全对称，平衡时最左、最右两细绳与竖直方向的夹角均为，相邻两灯笼的结点间水平距离均相等，每盏灯笼的质量均为，重力加速度大小为。求： (1)最左、最右两侧细绳中的拉力大小； (2)“高”与“级”两盏灯笼间细绳中的拉力大小； (3)设“杭”与“州”两盏灯笼结点的高度差为，“级”与“中”两盏灯笼结点的高度差为，求。 题型十 共点力平衡的临界极值问题 37．在竖直墙壁的左侧水平地面上，放置一个边长为a，质量为M＝2kg的正方体ABCD，在墙壁和正方体之间放置一半径为R＝1m，质量为m的光滑球。正方体和球均保持静止，如图所示，球的球心为O，OB与竖直方向的夹角为，正方体的边长，正方体与水平地面的动摩擦因数为。（已知重力加速度，，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，结果可保留根号） (1)若，求立方体对球的弹力和竖直墙壁对球的弹力； (2)若，保持球的半径不变，只增大球的质量，为了不让正方体出现滑动，求球质量的最大值； (3)改变正方体到墙壁之间的距离，当正方体右侧面BA到墙壁之间距离小于某个值d时，无论球质量为多大（保持球的半径不变），球和正方体始终处于静止状态，且球未接触地面，求d值。 38．《吕氏春秋》记载，“腊月二十四，掸尘扫房子”。每逢春节来临，家家户户都要打扫卫生，有着“除尘布新”的美好寓意。如图所示，某同学通过拖把对质量的拖头施加斜向上的推力，使拖头沿玻璃竖直向上做匀速直线运动。已知推力与玻璃平面的夹角为，拖头与玻璃间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，。 (1)求推力的大小； (2)若改变推力，使拖头恰好不沿玻璃下滑，求推力的最小值以及此时与玻璃平面夹角的正弦值。（可用根号及分式表示） 39．如图所示，倾角为的斜面与水平面始终保持相对静止，斜面上有质量的物体A，物体A恰好能沿斜面匀速下滑。设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，当地重力加速度（已知），则： (1)求此情境下斜面对物体A支持力的大小； (2)求物体A与斜面间的动摩擦因数μ； (3)若对物体A施加一个沿斜面向上的推力F，使物体A沿斜面向上做匀速运动，求推力F的大小； (4)若对物体A施加一个与斜面方向成某一角度的拉力F，使物体A沿斜面向上做匀速运动，求拉力F的最小值及方向。（可能用到的公式：；，其中 ） 40．如图所示，倾角为θ、质量为M的斜面体A置于水平地面上，在斜面体和竖直墙面之间放置一质量为m的光滑球B，斜面体受到水平向右的外力F，整体始终处于静止状态。已知sinθ=0.8，cosθ=0.6，重力加速度为g。 (1)求墙面对球B的弹力的大小； (2)若斜面体受到水平向右的外力F大小为mg，求此时斜面体受到的水平地面摩擦力的大小和方向； (3)若斜面体与水平地面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为了使整体处于静止状态，求水平向右的外力F的大小范围。 题型十一 追及相遇问题 41．某高速公路同一直线车道上有同向匀速行驶的小汽车和货车，货车在前，小汽车在后，小汽车的速度，货车的速度，小汽车驾驶员由于查看导航路线，在小汽车与货车之间的距离时才发现货车，小汽车立即刹车做匀减速直线运动，加速度大小，货车仍以匀速行驶，两车可视为质点。 (1)假设两车不相撞，求经多长时间小汽车和货车的速度相等； (2)通过计算分析两车是否会相撞； (3)如果小汽车在开始刹车的同时给货车发信号，货车经反应时间后立即做匀加速直线运动，加速度大小，求两车间的最小距离。 42．两同学用安装有蓝牙设备的玩具小车A、B进行实验，两车均可视为质点，如图所示，t＝0时，A、B两车同时沿两条相距的平行直线轨道从同一起跑线向同一方向运动。A车始终以的速度做匀速直线运动，B车从静止开始以的加速度做匀加速直线运动，t＝2s后开始做匀速直线运动，已知两蓝牙小车自动连接的直线最大距离L＝5m求： (1)从0时刻到两车第一次刚好断开连接的时间； (2)整个运动过程中，两车能够保持连接的总时间Δt。 43．随着社会发展，汽车已进入千家万户，交通安全成为现代社会的重要问题。在乡村平直公路上，甲、乙两车（均视为质点）在同一车道内沿同一方向行驶，忽略其他车辆影响。时刻，甲车正以速度匀速行驶，司机发现前面有险情，立即以加速度大小做匀减速直线运动。此时在甲的后方距离为处的乙车，正以速度、加速度大小做匀加速直线运动。乙车司机发现甲车刹车后，在时开始以大小为（未知）的加速度做匀减速直线运动，以避免与甲车相撞。求： (1)甲、乙两车在0-3s时间内位移大小分别为多少； (2)若两车最终同时停止且恰好不相撞，两车初始距离的大小； (3)若两车初始距离为5.5m，为了避免两车相撞，乙车刹车时的加速度应满足的条件。 44．如图1所示为某次交通安全测试的示意图，长＝10m、速度＝36km/h的货车距离人行道＝35m，一列长度为＝4m的行人距离路口＝3m，速度大小＝1m/s。道路宽度＝9m，人行道宽度＝5m，为保障行人安全，规定车辆和行人不能同时出现在人行道上。（答案可以用分数表示） (1)若货车保持匀速行驶，能否按规定通过人行道？（选填“能”或“不能”） (2)若货车立即以恒定加速度减速，求加速度大小需满足的条件； (3)若货车立即以恒定加速度加速，求加速度的最小值； (4)如图2所示为货车侧视图，可视为质点的货箱距车尾＝8m，若货车以（3）问的最小加速度加速通过人行道后立即匀速行驶，分析说明货箱是否会从货车上掉落。已知货箱能达到的最大加速度为3，且货箱与车厢底板发生相对滑动时货箱加速度等于3。 相对位移，故货箱会掉落。 题型十二 多过程问题 45．为提高运行效率，许多高速公路入口处都安装了电子不停车收费（ETC）系统，如图1所示。甲、乙两辆车同时均以的初速度及相同的加速度从减速带（距离收费通道左端距离为30m）开始减速，分别通过同一座收费站的人工收费通道和ETC通道，甲车从减速带到通过人工收费通道并加速到过程的速度-时间图像如图2所示。乙车先减速至初速度的一半后匀速通过ETC通道（长度），之后保持此速度继续前行等待甲车。求： (1)甲、乙两辆汽车从减速带开始运动至收费通道右端所用的时间差； (2)若甲车通过收费通道后保持原来加速度继续加速去追乙车，试判断甲车追上乙车时是否超速。（该路段限速） 46．为确保校园道路安全，某中学门外路段设置了如图所示的橡胶减速带。一汽车正以的速度行驶在该路段，在离减速带处该车开始做匀减速直线运动，结果以的速度通过减速带，通过后立即以的加速度加速到原来的速度。汽车可视为质点，减速带的宽度忽略不计。求： (1)汽车减速时的加速度； (2)减速阶段所用的时间； (3)由于减速带的存在，该汽车通过这段距离多用的时间。 47．我国正在研发高铁到站上下列车新方式，现行方式为减速到站，停车上下客，再加速驶离。在某一段平直的铁路上，一列以324km/h高速行驶的列车某时刻开始匀减速行驶，5min后恰好停在某车站，并在该车站停留4min；随后匀加速驶离车站，经过8.1km后恢复到原速324km/h。求： (1)列车减速和加速阶段时的加速度大小； (2)列车从开始刹车到恢复原速过程中的平均速度； (3)如果列车不减速，而以匀速通过该路段，可以节约多少时间？ 48．如图所示为某快递公司利用机器人运送、投递包裹的场景，机器人将其水平托盘上的包裹由静止送至指定投递口，停止运动后缓慢翻起托盘，让包裹滑入投递口。其启动和制动过程可视为匀变速直线运动，允许的加速度最大值为，当托盘倾角增大到时，包裹恰好开始下滑，如简化图所示。现机器人要把一质量的包裹沿直线运至相距的投递口处，在运送中包裹与水平托盘始终保持相对静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)包裹与水平托盘的动摩擦因数； (2)若机器人运行的最大速度，则机器人由静止运行至投递口（恰好静止）所需的最短时间t； 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $