专题02无理数与实数寒假预习核心讲义)(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

专题02无理数与实数寒假预习核心讲义 · 类比有理数，轻松掌握实数基本概念（相反数、绝对值等），培养推理能力； · 理解实数与数轴的一一对应关系，建立数形结合思维； · 分清有理数与无理数，能迁移有理数运算规则解决实数简单计算； · 感受数系扩充的逻辑，主动思考探究，提升分析问题的意识。 必备知识点 梳理 1.无理数的概念 2.实数的概念与分类 3.实数与数轴的关系 4.实数的相关性质 5.实数的运算 5.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.无理数的概念与基本特征 2.无理数的大小估算 3.无理数整数部分的相关计算技巧 4.实数的分类 5.实数的核心性质 6.实数与数轴的对应关系及应用 7.实数大小比较的常用方法与技巧 8.实数的混合运算 9.程序设计与实数运算 10.新定义下的实数运算 11.实数运算的实际应用 12.与实数相关的规律题 强化巩固 题型通关 (14题) 【知识点01.无理数的概念】 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.无理数的常见类型 类型 1：开方开不尽的数，如 、、、−等； 类型 2：特定的无限不循环小数，如圆周率 π（π=3.1415926⋯），以及与 π 相关的数，如 2π、π−1 等； 类型 3：有规律但不循环的无限小数，如 0.1010010001⋯（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 3.注意事项 带根号的数不一定是无理数，如 =2、​=3 是有理数； 无理数不一定带根号，如 π 没有根号，但属于无理数。 【知识点02.实数的概念与分类】 1.实数定义：有理数和无理数统称为实数。 2.实数的两种分类 按定义分： 有理数：包含整数和分数，可表示为有限小数或无限循环小数。 无理数：仅指无限不循环小数，常见例子如、π、0.1010010001…（相邻1之间依次多1个0） 按正负分： 正实数：正有理数+正无理数 0：既不是正数也不是负数，属于有理数范畴。 负实数：负有理数+负无理数 【知识点03.实数与数轴的关系】 1.核心结论：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点一一对应。 2.几何意义：在数轴上，不仅可以表示有理数，还可以表示无理数。 【知识点04.实数的相关性质】 设 a 为任意实数，则： 1.相反数：a 的相反数是 −a。特别地，0 的相反数是 0； 2.绝对值：∣a∣=； 3.倒数：若 a0，则 a 的倒数是 . 特别地，0 没有倒数； 【知识点05.实数的运算】 1.运算法则：实数的加、减、乘、除、乘方运算，与有理数的运算法则完全相同。 2.运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。 3.运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，对实数同样适用。 4.近似计算：当遇到无理数且需要计算结果时，可以取无理数的近似值（通常取小数点后两位），再进行计算。 【知识点06.易错点提醒】 1.混淆 “带根号的数” 和 “无理数”：带根号的数不一定是无理数 2.忽略 “实数与数轴一一对应”：误认为数轴上的点只能表示有理数，实际上无理数也能在数轴上找到对应的点。 3.绝对值运算出错：计算含无理数的绝对值时，要先判断符号，再去绝对值符号。4.运算律滥用：实数运算中，只有同类二次根式才能合并， 【题型1.无理数的概念与基本特征】 【典例】下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数．根据无理数的定义依次判断即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数； B、是有限小数，属于有理数； C、，其中是无理数，故为无理数； D、是整数，属于有理数； 故选：C． 【跟踪专练1】有一个数值转换器，流程如图：当输入的值为36时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解． 【详解】解：由题意得，的算术平方根是6，6不是无理数， 6的算术平方根是，是无理数， 则输出． 故答案为：． 【跟踪专练2】下列各数中，，，，，，，无理数的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根、立方根，无理数的定义．根据无理数的定义（无限不循环小数），逐个判断各数类型即可． 【详解】解：∵是分数，有理数； 是无限不循环小数，无理数； 是无理数； 是有限小数，有理数； ，整数，有理数； 0是整数，有理数； 是无理数； ∴无理数有3个， 故选：A． 【题型2.无理数的大小估算方法】 【典例】写出一个介于3和4之间的一个无理数： ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的定义和取值范围，掌握知识点是解题的关键． 考虑无理数的定义和取值范围，选择3和4之间的平方根或圆周率等常见无理数． 【详解】解：无理数是无限不循环小数．由于，，因此、、、、、都是介于3和4之间的无理数． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，在数轴上对应的点可能是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，数轴上实数的特点．先估算得到，再根据数轴的特点判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴在数轴上对应的点可能点Q， 故选：D． 【跟踪专练2】若是两个连续的整数，且，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法得出，结合题意可得，，代入求和即可． 【详解】解：， ，即， 是两个连续的整数，且， ，， ， 故答案为：9． 【题型3.无理数整数部分的相关计算技巧】 【典例】介于两个连续的整数与之间，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算及代数式求值，熟练掌握算术平方根的概念是解答本题的关键． 先估算出的值的范围，然后即可进行解答． 【详解】解：∵， ， ∴， 介于两个连续的整数与之间， ∴，， ∴， 故选：A． 【跟踪专练1】已知的整数部分为a，小数部分为b，则 ， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 先求出的取值范围，再求出，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：，. 【跟踪专练2】若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，实数的运算，夹逼法求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选B． 【题型4.实数的分类】 【典例】在实数、、、中，是无理数的为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．根据无理数的定义即可解答． 【详解】解：在实数、、、中，是无理数的为． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类和实数与数轴的对应关系，解题的关键是掌握实数的有关基础知识． 根据实数的分类，实数与数轴的对应关系对选项逐个判断即可． 【详解】解：A，实数包括正实数、负实数和零，零既不是正实数也不是负实数，选项错误，符合题意； B，正实数包括正有理数和正无理数，选项正确，不符合题意； C：实数与数轴上的点一一对应，每个实数都有唯一对应的点，选项正确，不符合题意；； D：数轴上的每个点都有唯一对应的实数，选项正确，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了无理数，整数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握以上定义． 利用无理数，整数，非负数的定义，确定个数，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：无理数为：，得； 整数为：6，0，得； 非负数为：，，，，0，，得； ∴， 故答案为：9． 【题型5.实数的核心性质】 【典例】下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案． 【详解】解：和2均大于0，是正数，0既不是正数也不是负数，，是负数， 故选：D ． 【跟踪专练1】 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，实数的性质．根据负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质和绝对值的性质． 先根据数轴推出，进而得到，据此可得，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 故答案为：B． 【题型6.实数与数轴的对应关系及应用】 【典例】如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点处，此时它的直径与数轴平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为，那么点所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数与数轴，根据圆的周长，结合数轴特点进行分析即可求解． 【详解】解：半径为1的半圆， ∴直径为2，半圆的周长为， ∵根据题中滚动方式半圆滚动了直径的长度和半圆周长的长度， ∴此时半圆滚动的长度为， ∴点所表示的数是 ． 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，数轴上，，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用数轴上的点表示实数及数轴上两点间的距离．掌握数轴上两点间的距离是解题的关键．求出的距离，再求出点C所表示的数． 【详解】解：设点C所表示的数是m， 数轴上，A、B两点对应的实数分别是和， ，点C在点A的右侧， 点C所对应的实数是． 故选：D． 【跟踪专练2】实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值，立方根和算术平方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型7.实数大小比较的常用方法与技巧】 【典例】比较2，，的大小，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数大小的比较，掌握实数比较大小的方法是解决本题的关键．先把2写成，再比较被开方数得结论． 【详解】解：， ，即 故选：A． 【跟踪专练1】比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，由可得，利用夹逼法得到，即得，进而得到，即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，，它们在数轴上的位置对应点A，B（如图），下列说法错误的是（    ） A．A，B之间的整数有三个 B． C． D．A，B之间最小的无理数是 【答案】D 【分析】本题考查了实数的绝对值性质、平方比较法的应用、数轴上整数的识别及无理数的基本特征，解题的关键是通过平方运算比较无理数绝对值的大小，结合整数范围和无理数的无限性逐一验证选项． 先明确、，利用“若正数，则”推导、的取值范围；选项A通过确定和所在的整数区间，找出两点间的整数；选项B计算和，直接比较大小；选项C根据（正数）、（负数），结合正数大于负数判断；选项D依据无理数的无限性，说明A、B之间不存在最小无理数． 【详解】解：已知，． A、因，且，故； 又，，故． 因此A、B之间的整数为，共三个，此选项符合题意； B、因，，故，此选项符合题意； C、（正数），（负数），正数大于负数，故，此选项符合题意； D、A、B之间的无理数有无数个（如，满足），不存在最小的无理数，此选项不符合题意； 故选：D． 【题型8.实数的混合运算】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，先化简各表达式，然后再进行计算即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离公式，数轴上对称点表示的数的关系，实数的运算，正确掌握数轴上对称点表示的数的计算方法是解题的关键．先计算的长，再根据对称的性质得到，即可求得点C表示的数． 【详解】解：∵数轴上A，B两点表示的数分别是2和， ∴， ∵点B关于点A的对称点为点C， ∴， ∴点C表示的数是， 故选：B． 【跟踪专练2】规定用符号表示一个实数m的整数部分，表示一个实数m的小数部分，例如：，，按此规定的值为 【答案】/ 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．分别估算，的大小后即可求得，，然后将它们相加即可． 【详解】解：，， ，， ，， ，， 原式， 故答案为： 【题型9.程序设计与实数运算】 【典例】如图，是一个计算程序，若输入x的值为64，则输出y的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的计算以及无理数的判断．解题的关键是按照计算程序的步骤，依次对输入值进行运算并判断结果是否为无理数，直至得到输出结果． 输入后，先求其立方根并判断是否为无理数；若不是，再求该结果的算术平方根并判断；若仍不是，继续按程序循环求立方根并判断，直至得到无理数作为输出． 【详解】解：输入， 第一步：求64的立方根，，是有理数，不输出； 第二步：求4的算术平方根，，2是有理数，不输出； 第三步：求2的立方根，是无理数，输出y． 故答案为：． 【跟踪专练1】有一个数值转换器，流程如下： 当输入的为256时，输出的是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了流程图与实数运算，算术平方根，以及无理数，掌握无理数的概念是解题关键．根据流程图计算算术平方根，再根据无理数判断即可得到答案． 【详解】解：当输入的为256时， 是有理数， 是有理数， 是有理数， 是无理数， 即输出的是， 故选：A． 【跟踪专练2】小明学习了“实数”这一章的知识后，设计了一个如图示的运算程序．    按照上述运算程序，当时， ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数的运算，根据运算程序确定出输出结果即可．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：当时， 得：， ∴． 故答案为：． 【题型10.新定义下的实数运算】 【典例】如果规定符号“※”的意义是：，例如：，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，理解规定符号“※”的意义，根据公式，代值求解即可得到答案，理解规定符号“※”的意义是解决问题的关键． 【详解】解：规定符号“※”的意义是：， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（　　） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，根据，得，再解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，熟练掌握整式的运算法则进行化简是解题的关键，根据已知得出，根据整式的运算法则进行化简，再代入求出即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ． 故答案为：9． 【题型11.实数运算的实际应用】 【典例】已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 【详解】解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 【跟踪专练1】已知，则实数x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的计算，绝对值方程的解法，掌握若，则或是解题的关键． 根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：由绝对值的性质，可得 或． 解这两个方程，得或． 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 【题型12.与实数相关的规律题】 【典例】已知整数满足下列条件：，，，， 依此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律；根据条件求出前几个数的值，再分情况，当是奇数时，结果等于 ；是偶数时，结果等于；然后把的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：时， ， ， ， 通过观察前面计算出的项， 可以发现：当 为偶数时，， 当为奇数时，， ∵是奇数， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，由题意得，第n行有n个数，且第k个数为，则可求出前n行一共有个数，数45是第2025个数，再确定数45在第64行，而偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列，据此可确定数45的位置，则可得到答案． 【详解】解：由题意得，第n行有n个数，且第k个数为， ∴前n行一共有个数， ∵， ∴数45是第2025个数， ∵， ∴数45在第64行， ∵奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列， ∴45在第64行第个数， ∴数45所在的位置可表示为， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点，处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，熟练运用实数的运算是解题的关键． 由题意可得，则表示的数为，表示的数为，则，然后依次表示，，即可找到规律求解． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得； ； ； ； ； ， 故答案为：． 1．已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 【答案】，， 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数和无理数的定义，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握实数的分类及有理数和无理数的定义是解题的关键． 根据有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数进行分类即可． 【详解】解：， 由题意可得， 整数有：， 分数有：， 无理数有：， 故答案为：，，． 2．下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 3．比较大小： 填“>，<或=” 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握几种常见的比较实数大小的方法． 先把两个数通分，然后把根号外的系数变成它的平方，移到根号内，通过比较被开方数的大小比较分子的大小，进而比较这两个数的大小即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 故答案为： 4．如图，数轴上点为线段的中点，，两点表示的数分别为和，则点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数与数轴，正确表示出的长是解题关键． 直接利用已知得出，进而求出的长，进而得出答案． 【详解】解：，两点表示的数分别为和， ． 点为线段的中点， ． ． 点在原点的左边， 点所表示的数为． 故答案为：． 5．如图，在数轴上，被墨迹覆盖的实数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系．关键是明确数轴上的点表示的数的大小，估计无理数的取值范围． 根据题意得出被墨迹覆盖的实数在到之间，再根据每个选项中的范围进行判断． 【详解】解： 被墨迹覆盖的实数在到之间， ∴在到之间，选项A不符合题意； ∵， ∴被墨迹覆盖的实数不可能是，故B符合题意； ∵， ∴C、D选项不符合题意； 故选：B． 6．有一个数值转换器，计算程序如图所示，当输入的x为16时，则输出的y的值是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，有理数，无理数的定义．根据数值转换器，输入进行计算即可． 【详解】解：第1次计算得：，而4是有理数， 第2次计算得：，而2是有理数， 第3次计算得：，是无理数， 故输出的y的值是， 故选：D． 7．设、是有理数，且满足等式则 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了实数的性质、利用平方根解方程，熟练掌握实数的性质是解题的关键．对等式整理得，结合、是有理数得出，，解出的值即可解答． 【详解】解：， ， 、是有理数， ，， 解得：或，， 当时，， 当时，， 综上所述，或 故答案为：1或． 8．已知x是的整数部分，y是的小数部分，且，则的值为（　　） A．2 B． C．0或4 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了确定无理数的整数部分和小数部分，再根据非负数的和为零，求出a、b，然后把确定的值代入计算即可解决问题. 【详解】解：∵x是的整数部分，y是的小数部分，且 ∴ ， ∵ ∴， 解得：， ∴原式 ∴是0或4. 故选：C. 9．【规定】一列数中任意相邻的三个数满足，则这个数列为“漂亮数列”． 如下结论：①若是“漂亮数列”，则； ②若不论取何值，数列都是“漂亮数列”，则； ③若数列…，…是“漂亮数列”，则． 其中正确的是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，整式加减的应用，解题关键是理解新定义运算． 根据“漂亮数列”意义直接解可以判断①； 根据“漂亮数列”意义列出式子求得可以判断②； 根据“漂亮数列”意义列，由得出，代入，求出可以判断③． 【详解】解：①由题意得：； ②数列是“漂亮数列”， ， 不论取何值，数列都是“漂亮数列”， ，解得：， ； ③数列是“漂亮数列”， ， ∴， ， 解得：或−2． ∴正确的是①②， 故选：B． 10．设，，且，则 【答案】1 【分析】此题主要考查了分式的加减，充分利用这个关系，对中的a、b都用c进行替换即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，则，，均为正数， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 11．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）先计算绝对值、算术平方根、乘法，再将结果进行加减运算； （2）先去掉括号，再化简即可； （3）先分别计算立方根、算术平方根，再依次进行加减运算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握先算开方、绝对值，再算乘除，最后算加减是解题的关键． 12．阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握估算的方法是解题的关键； （1）根据夹逼法可得，进而求解； （2）结合（1）题可得，进而可得x、y的值，进而求解． 【详解】（1）解：因为，即， 所以， 所以的整数部分是4，小数部分是； （2）解：因为， 所以， 所以的整数部分，小数部分， 所以． 13．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 【答案】(1)3，2 (2) 【分析】此题考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可； （2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：，其中，为有理数，为无理数， ∴， ∴； （2）解：∵，，为有理数，为无理数， ∴， 解之，得． 则． ∴的平方根是． 14．如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点． (1)在数轴上，把点向左平移4个单位长度得到点，求点表示的数； (2)在（1）的条件下，若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数； (3)在（2）的条件下，若点从点向点以每秒3个单位长度运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动．问当点运动2026秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在点的左侧，理由见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，实数的加减运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离即可求解； （2）根据相反数的定义即可求解； （3）根据题意，得出运动 2026秒时，在点左侧 2 个单位长度，即表示的数为，进而判断所表示的数的大小，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数是，把点向左平移 4 个单位长度得到点， ∴B点表示的数为； （2）解：∵C点表示的数是所表示数的相反数， ∴C点表示的数为； （3）解：， ， ∴P运动 2026秒时，在点左侧个单位长度，即表示的数为． 因为表示的数是， ， ， ，即， ∴ P在点的左侧． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题02无理数与实数寒假预习核心讲义 1 预习目标 ● 类比有理数，轻松掌握实数基本概念（相反数、绝对值等），培养推理能 力； 理解实数与数轴的一一对应关系，建立数形结合思维： 分清有理数与无理数，能迁移有理数运算规则解决实数简单计算； ● 感受数系扩充的逻辑，主动思考探究，提升分析问题的意识。 预习内容概览 必备知识点 1.无理数的概念 2.实数的概念与分类 梳理 3.实数与数轴的关系 4.实数的相关性质 5.实数的运算 5.易错点提醒 1无理数的概念与基本特征 2.无理数的大小估算 3.无理数整数部分的相关计算技巧 4.实数的分类 常考题型 5.实数的核心性质 6.实数与数轴的对应关系及应用 精讲精炼 7实数大小比较的常用方法与技巧 8.实数的混合运算 9.程序设计与实数运算 10.新定义下的实数运算 11.实数运算的实际应用 12.与实数相关的规律题 强化巩固 (14题) 题型通关 3 知识点梳理 【知识点01.无理数的概念】 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.无理数的常见类型 类型1：开方开不尽的数，如2、5、5、V万等： 试卷第1页，共3页 类型2：特定的无限不循环小数，如圆周率元（元=3.1415926…），以及与元相 关的数，如2元、元-1等； 类型3：有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001…（相邻两个1之间依 次多1个0)。 3.注意事项 带根号的数不一定是无理数，如V4=2、V⑨=3是有理数： 无理数不一定带根号，如元没有根号，但属于无理数。 【知识点02.实数的概念与分类】 1.实数定义：有理数和无理数统称为实数。 2.实数的两种分类 按定义分： 有理数：包含整数和分数，可表示为有限小数或无限循环小数。 无理数：仅指无限不循环小数，常见例子如V2、π、0.1010010001…（相邻1 之间依次多1个0) 按正负分： 正实数：正有理数+正无理数 0:既不是正数也不是负数，属于有理数范畴。 负实数：负有理数+负无理数 【知识点03.实数与数轴的关系】 1.核心结论：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每 一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点一一对应。 2.几何意义：在数轴上，不仅可以表示有理数，还可以表示无理数。 【知识点04.实数的相关性质】 设a为任意实数，则： 1.相反数：a的相反数是-a。特别地，0的相反数是0： aa>0 0(a=0 2.绝对值： a -a<0 试卷第1页，共3页 3.倒数： 若a≠0，则a的倒数是三.特别地，0没有倒数； 【知识点05.实数的运算】 1.运算法则： 实数的加、减、乘、除、乘方运算，与有理数的运算法则完全相同 2.运算顺序： 先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减：有括号的先算括号里面 的。 3.运算律： 加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，对实数同样适 用。 4.近似计算：当遇到无理数且需要计算结果时，可以取无理数的近似值（通常取 小数点后两位)，再进行计算。 【知识点06.易错点提醒】 1.混淆“带根号的数”和“无理数”：带根号的数不一定是无理数 2.忽略“实数与数轴一一对应”：误认为数轴上的点只能表示有理数，实际上无 理数也能在数轴上找到对应的点。 3绝对值运算出错：计算含无理数的绝对值时，要先判断符号，再去绝对值符号。 4.运算律滥用：实数运算中，只有同类二次根式才能合并， 常考题型精讲精练 【题型1.无理数的概念与基本特征】 【典例】下列各数中，是无理数的是() A.2 B.0.1010010001 C.⑧ D.0 3 【跟踪专练1】有一个数值转换器，流程如图：当输入x的值为36时，输出y的值 是 是 输入x 取算术平方根 是否无理数 输出y 否 【跟踪专练2】下列各数中号，31414114,5,016,8,0，子无理数的个数 7 有( 试卷第1页，共3页 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【题型2.无理数的大小估算方法】 【典例】写出一个介于3和4之间的一个无理数： (只需写出一个) 【跟踪专练1】如图，√5在数轴上对应的点可能是() M N P.O -3-2-10123 A.点M B.点N C.点P D.点Q 【跟踪专练2】若m,n是两个连续的整数，且m<√24<n,，则m+n的值为」 【题型3.无理数整数部分的相关计算技巧】 【典例】5+！介于两个连续的整数a与b之间，则2a+b的值是() 2 A.4 B.5 C.6 D.7 【跟踪专练1】已知6+V13的整数部分为a,小数部分为b,则a=一，b= 【跟踪专练2】若6+√5的整数部分是m,小数部分是n,则n-m为() A.V5-10 B.10-V5 C.√5-6 D.6-√5 【题型4.实数的分类】 【爽例】在实数子0、头、314中，是无程数的为 【跟踪专练1】下列说法错误的是() A.实数可分为正实数和负实数两类 B.正实数包括正有理数和正无理数 C.实数在数轴上都有唯一对应的点D.数轴上任一点都有唯一对应的实数 【跟家专练2】下面各数：0.123，(-15,3141,6,2号，0,0102，-2，共中无理数 的个数为x,整数的个数为y,非负数的个数为z,则x+y+z=一 【题型5.实数的核心性质】 【典例】下列各数中为负数的是() A.5 B.0 C.2 D.-1 【跟踪专练1】1-V2= 【跟踪专练2】如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简(a-b)-a的结 试卷第1页，共3页 果是() a 0b产 A.a B.b C.2a-b D.b-2a 【题型6.实数与数轴的对应关系及应用】 【典例】如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点0处，此时它的直径与数轴 平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为O, 那么点O所表示的数是 【跟踪专练1】如图，数轴上，AB=AC,A,B两点对应的实数分别是和-1，则点C 所对应的实数是（) B A -10 √3 A.1+5 B.2+5 C.23-1 D.25+1 【跟踪专练2】实数a,b在数轴上对应点A,B的位置如图，化简 la+b-万-a-b)2=一 B A b 0 a 【题型7.实数大小比较的常用方法与技巧】 【典例】比较2，√5，√万的大小，正确的是() A.2<V5<7B.2<√7<V5 C.5<√7<2 D.V7<2<V5 【跟踪专练1】比较大小：5-」 2 4 (填>“<“或=)· 【跟踪专练2】已知a=-√3，b=√2，它们在数轴上的位置对应点A,B(如图)，下列说 法错误的是() A 试卷第1页，共3页 A.A,B之间的整数有三个 B.la> C.-ax-b D.A,B之间最小的无理数是√2 【题型8.实数的混合运算】 【典例】计算：--5-8=」 【跟踪专练1】数轴上A,B两点表示的数分别是2和√5，点B关于点A的对称点为点C, 则点C所表示的数是() A.2+5 B.4-5 C.25-2 D.3-V5 【跟踪专练2】规定用符号[m表示一个实数m的整数部分，{m表示一个实数m的小数部 分，例如：3.14=3，{3.14=0.14，按此规定[i+2]+{7+1的值为 【题型9.程序设计与实数运算】 【典例】如图，是一个计算程序，若输入x的值为64，则输出y的结果为 输入x 求立方根 是否为无理数 是，输出 否 求算术平方根 否 是否为无理数 【跟踪专练1】有一个数值转换器，流程如下： 输入x 取算术平方根是无理数输出y 是有理数 当输入的x为256时，输出的y是() A.√2 B.5 C.22 D.4 【跟踪专练2】小明学习了“实数”这一章的知识后，设计了一个如图示的运算程序. 输入x值/→取x的平方 →取立方根 输出y值←一取算术平方根←-取倒数 按照上述运算程序，当x=8时，y= 【题型10.新定义下的实数运算】 试卷第1页，共3页 【典例】如果规定符号“※”的意义是：a※b=aa-b,例如：4※1=4×4-1=12，那么 2※3的值为· 【跟踪专练1】在实数范围内定义运算“口”：a☆b=2a+3b-1,例如： 1☆2=2×1+3×2-1=7.如果2☆x=1,则x的值是() 2 A.-1 B.- C.0 D.3 a 【跟踪专练2】若规定符号 的意义是： ab =ad-bc,则当m3-7m-6=0时， cd m 1-3 的值为 1-2m m-2 【题型11.实数运算的实际应用】 【典例】已知mina,b,c表示取三个数中最小的数，例如：min{1,2,3=1,当 mm,=名时，则x的值为() B. C. 1 D. 256 【跟踪专练1】已知x-1=V10,则实数x的值为」 【跟踪专练2】如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一 共需要一个图2这样的杯子.（单位：cm)(温馨提示：'：=r2,h) 2a 图1 图2 【题型12.与实数相关的规律题】 【典例】己知整数a,a2:a…,an满足下列条件：a1=0,a2=-a1+1,a,=-a2+2, a,=-a,+3,a,=-a,+4,…,依此类推，则a223的值为】 【跟踪专练1】如图数阵是按一定规律排成的.规定：从上往下第α行，同时在该行，从左 试卷第1页，共3页 往右第b个数所在的位置用数对(a,b)表示，如：数22所在的位置可表示为4,2)，则数 45所在的位置可表示为() 25 652 722310 A.(63,54 B.(63,10 C.64,55 D.(64,9 【跟踪专练2】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把√2表示在数轴上点，A处， 记A右侧最近的整数点为B,以点B为圆心，AB,为半径画半圆，交数轴于点A,记4右 侧最近的整数点为B,以点B为圆心，A,B,为半径画半圆，交数轴于点A,如此继续，则 AB的长为 0 1 A B A2 B2 A3 强化巩固题型通关 1.已如下列实数：①0，②5，@y4,④5，⑤321，⑧2 ,其中整数有： 2 6 分数有： ，无理数有： (只需填写序号) 2.下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝 对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是±1；⑤带根号的数都是无理数.其中正确的是」】 (填序号). 3.比较大小： 2 （填，或） 3 4.如图，数轴上点A为线段BC的中点，A,B两点表示的数分别为-2和√7，则点C所表 示的数为 C A0B→ 5.如图，在数轴上，被墨迹覆盖的实数不可能是() 试卷第1页，共3页 -322-10 A.-2.5 B.-V3 C.-5 D.6 6.有一个数值转换器，计算程序如图所示，当输入的x为16时，则输出的y的值是() 是无理数 输入x 取算术平方根 输出y 是有理数 A.4 B.5 C.25 D.√5 7.设m、n是有理数，且满足等式m2+3n+n√2+5√2=21则m+n=_ 8.已知x是V⑧的整数部分，y是⑧的小数部分，且Va-1)2+2b2-2=0,则 √2ax+b8-y)的值为() A.2 B.-2 C.0或4 D.2或-2 9.【规定】一列数中任意相邻的三个数a,b,c满足c=ab+2a-b,则这个数列为“漂亮数列”. 如下结论：①若0,1，-1,2，d是“漂亮数列”，则d=-6; ②若不论m取何值，数列m,n,p都是“漂亮数列”，则p=2; ③若数列..x,y,2,2x,.是“漂亮数列”，则y=1. 其中正确的是() A.① B.①② C.②③ D.①②③ 10.设2016a3=2017b3=2018c3,abc>0,且 111 2016a2+2017b2+2018c2=2016+2017+2018,则-++-= a b c 11.计算： 01-51+(6×号 (2)2V2+√5-(5-2). -6-4 63 64 12.阅读理解：我们知道√2是无理数，无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分不 可能全部写出来，小乐同学用√2-1来表示√2的小数部分，并给出了理由：因为12<2<2 ,所以1<√2<2，则√2的整数部分为1，小数部分为√2-1，事实上，小乐同学的方法是 试卷第1页，共3页 正确的，请解答： (1)√19的整数部分是，小数部分是 (2)若7-√19的整数部分是x,小数部分是y,求x-y的值. 13.我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无 理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果kx+b=0,其中k、b为有理 数，x为无理数：那么必然有k=0,且b=0,据此，解决下列问题. ()如果(m-3)√2+2-n=0,其中m、n为有理数，则m= Il= 2如果(n-2V23+2m=8,其中m、n为有理数，求3m-n的平方根. 14.如图，数轴上A点表示的数是√7，P是数轴上一动点. A -5-4-3-2-1012345 (1)在数轴上，把A点向左平移4个单位长度得到B点，求B点表示的数； (2)在(1)的条件下，若C点表示的数是B所表示数的相反数，求C点表示的数； (3)在(2)的条件下，若P点从A点向B点以每秒3个单位长度运动，到达B点后又向A运 动，到达A后再向B运动，如此往复运动.问当P点运动2026秒时，P点与C点的位置有 什么关系？请说明理由. 试卷第1页，共3页