重庆市西南大学附属中学校2026届高三上学期1月定时检测数学试卷

西南大学附中高2026届高三上1月定时检测 数 学 试 题 (满分:150 分; 考试时间:120 分钟) 注意事项: 1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题时, 必须使用 2B 铅笔填涂; 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写; 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。 3. 考试结束后，将答题卡交回(试题卷学生保存，以备评讲)。 一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的. 1. 复数 的虚部为( ) A. 1 B. D. 2. 已知向量 ，且 ，则实数 为( ) A. -3 B. 3 C. 4 D. -4 3. 函数 的最大值为( ) A. B. +1 C. D. 3 4. 如图,已知正四棱锥 的所有棱长均相等， 为棱 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 5. 西大附中第 25 届缤纷节期间，甲、乙、丙、丁 4 名志愿者被派往三个会场参加志愿者服务， 每名志愿者都必须分配，每个会场至少分配 1 名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个会场， 则不同的分配方案共有( ) A. 30 种 B. 36 种 C. 42 种 D. 56 种 6. 记等比数列 的前 项和为 ,数列 的前 项和为 ,且满足 ,若 ，则 公比 ( ) A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 7. 已知 ，且 ，则下列不等式不正确的是( ) A. B. C. D. 8. 已知函数 ,若 ,且 , 若 ,则满足条件的点 在平面直角坐标系中构成的图像为( ) A. 圆 B. 双曲线 C. 一个点 D. 不存在 二、多选题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是( ) A. 若事件 与事件 相互独立, ,则 B. 若样本数据 的方差为 10,则数据 的方差为 90 C. 一个盒子中有 3 个黑球, 2 个白球, 1 个红球, 不放回地抽取两次, 每次抽一个球, 则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D. 1, 2, 3, ……, 2024, 2025, 2026 这 2026 个数的上四分位数是 507 10. 如图，在正四棱柱 中， ， ，点 为线段 上一动点， 则下列说法正确的是( ) A. 直线 平面 B. 三棱锥 的体积为定值 C. 若 为线段 中点，则 与 垂直 D. 三棱锥 外接球的体积为 11. 已知抛物线 的焦点为 ，经过点 的直线交抛物线 于 ， 两点，则下列说法中正确的有( ) A. 点 的坐标为 B. 若点 在第一象限，且 ，则直线 的斜率为 C. D. 过点 作抛物线 的两条切线,切点分别为 ,若点 为 的曲线段 上任意一点,则 面积的最大值为 三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 的展开式中 的系数为_____(用数字作答). 13. 已知圆 ，点 为直线 上一动点，过点 向圆 引两条切线 、 ，点 、 为切点，则直线 经过定点_____. 14. 在正项数列 中， ， ，记 . 整数 满足 ，则数列 的前 项和为_____. 四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图是函数 一个周期内的图象,把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍, 纵坐标不变; 再将所得的图像向右平移 个单位长度,得到函数 的图象. (1)求函数 的解析式; (2)在 中，若 ， ，当 ，求 . 16. 近期甲型H3N2流感来袭，医学研究表明，如果每天温差太大，人们受风寒刺激极易受凉感冒，自身抵抗力就会变弱。易受流感病毒侵袭，特别是对于学生及老年人群体更需保暖和多加防范。我校数学建模社团成员共同研究了一天昼夜温差的大小与我校患流感就诊人数多少之间的关系, 他们记录了某周周一至周六的温差, 并到校医室查阅了这六天中每天学生新增流感就诊的人数，得到数据如下: 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 昼夜温差 (℃) 4 7 8 9 14 12 新增流感就诊人数 (位) 参考数据: (1)已知第一天新增流感就诊的学生中有 3 位男生，从第一天新增的流感就诊学生中随机抽取 2 位,其中男生人数记为 ,若抽取的 2 人中至少一位女生的概率为 ,求 的分布列和数学期望; (2)已知两个变量 与 之间的样本相关系数 ,请用最小二乘法求出 关于 的经验回归方程 ，据此估计昼夜温差为 时，我校新增流感就诊的学生人数. 参考公式: 17. 在平面直角坐标系 中,已知动点 到点 的距离和 到直线 的距离之比是常数 . (1)求动点 的轨迹 的方程； (2)过点 的动直线 (斜率 存在) 与曲线 交于 两点，在 轴上存在点 ， 使得 ,试问 是否为定值,若是，求出 的值; 若不是,请说明理由. 18. 如图,四棱锥 中,底面 为矩形, , ,侧面 为正三角形,且平面 平面 为棱 上一点, ,平面 交棱 于点 。 (1) 求证: ; (2)当 时，点 关于平面 的对称点为 ，求 点到平面 的距离. (3) 求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值. 19. 已知函数 . (1)若 ，求函数 在区间 上的单调区间； (2)若 ，函数 在区间 的零点从小到大依次构成数列 ； (i) 证明: 函数 在区间 有唯一零点,且 ; (ii) 令 ,判断并证明数列 的单调性. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高三上1月考数学参考答案 2 3 只 J 6 7 8 9 10 11 A D B B A C D O BC AC ABD 12.-32 13. 22\ 14. 11 5 33 23 4.B【详解】设F,G分别为PD,AB的中点，连接EF,FG,DG, 由于E为棱PC中点，故EF IIDC,EF=DC, 2 而DCIIAB,.DC=AB,故EFIIAB,.EF=)AB,即EFIIGB,EF=GB, 故四边形GBEF为平行四边形，则BE/IFG,BE=FG, 则异面直线BE与PD所成角即为∠DFG或其补角： 由题意，设△PBC为边长为2的正三角形，E为棱PC中点，故BE=√B,即FG=√5， 四边形ABCD为正方形，边长为2，故DG=√AD2+AG=√22+1P=√5，而DF=1, 故在ADFG中，cOS∠DFG= DF2+FG2-DG2+()5 5 2DF×FG 2x1×V3 6 由于异面直线所成布的范国为0月，故异面直线BE与PD所成角的余弦值为 5.A【详解】根据题日：4人必须分为11+2的组合共有C子C.C种分组， 同时去掉甲乙同组的 A 情况，再分配到3个对应会场有A种分法，共有 A=30种方案。 A 6.C【详解】记{a,}前2026项的奇数项和与偶数项和分别为S奇，S偶。则 g=.5Si=2025 S奇S奇 7.D【详解】因为a>0,b>0,且a+b=1, 由基本不等式可得b≤(a+b} (2 }(当且仅当a=b时取等号)，A正确： 由基本不等式知a+b a2+b2 ≤V2 ,则 a2+b2 2 即a2+b≥号（当且仅当a=力时取等号）.B正确： 由题得+，11+12 ab+11-bb+11-b2, 由己知0<b<1.故0，所议>2，放+>2，C正确 a b+1 由基本不等式可得a+6。+bT 2≤V2=V2' 即√a+√b≤√2（当且仅当a=b时取等号），D错误.故选：D. 第1 8.C【详解】考虑函数F(x)=xg(x),则F'(x)=xg'(x)+g(x)=f'(x+),则 f(x+1)=F(x)+C,其中C为一常数，令x=0得1=f(①)=FO)+C=C,故 f(x+1)=F(x)+1三f(x)=F(x-1)+1,即f(x)由F(x)右移1个单位，上移1个单位得到，又易得F(x) 为单调递增的奇函数，故f(x)单调递增且以①，1)为对称中心。则 f(a2-1)+f(b2+3)=2→a2-1+b2+3=2→a2+b2=0,选C 9.BC【详解】选项A:若事件A与事件B相互独立，P(A)=0.4,P(B)=0.3, 则P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A⌒B)=0.4+0.3-0.4×0.3=0.58,故A错误： 选项B:因为样本数据x,x2,，·,x的方差为10，则数据3x1-1,3x2-1,·,3x6-1的方差为32×10=90， 故B正确： C选项：因为不放回抽取，事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”不可能同时发生，是互斥事 件，故C正确； D选项：上四分位数为第75百分位数，2026×0.75=1519.5，所以这2026个数的上四分位数是1520， 故D错误.故选：BC. 10.AC【详解】A选项：连接AB、BD、如图所示， 在正四棱柱ABCD-ABCD中，BBDD,BB,=DD,所以四边形BBDD为平行四边形， 所以BDUBD,因为BD丈平面BCD,BDC平面BCD,BD∥平面BCD,同理可证AD∥平面BCD, 因为AD⌒BD=D,AD、BDc平面ABD,所以平面ABD∥平面BCD, D 因为PBC平面AB,D,所以PB∥平面BCD,故A正确： B选项：因为AD,∥平面BCC,P∈AD, 所以点P到平面BCC的距离等于点A到平面BCC的距离， 放y9=5他分2x2x2-45,放B唱 32 3 C选项：以DA,DC,DD为y,z轴建系，B(2,2,0),C1(0,2,2V2,C0,2,0),Q(2,2,V2),则C1B= (2,0,-2V2),C0=(2,0,V②)，C1B.C0=0,则CQ1C1B,且CQ1AB,则CQ1面ABC1D1,因为C1PC 面ABC1D1,则CQ⊥C1P,故C正确： D选项：三棱锥C-ABD外接球等价于三棱锥C-BCD外接球，则外接球半径 R=YAB+AD+A 2 -4+4+8_号2，因此三棱锥C-ABD外接球体积为号，放D错误 32 2 11ABD【详解】A选项：抛物线C的焦点为F 因为p=2,故焦点为F(1,0),故A正确： B选项：因为点A在第一象限，且AF=2BF,设倾斜角为8，则AF=,P 卫 1-c0s8 1+c0s8 。A=2BFL,可得c0s9=则斜率k=2V2放B正确： C选项：若直线AB与x轴重合，此时，直线AB与抛物线只有一个公共点，不合题意， 所以，直线AB不与x轴重合，设直线AB的方程为x=y+1, x=my+l 联立 y2=4x ，得y2-4y-4=0,则△=16m2+16>0, 由韦达定理可得y2=4,则比=星.空=1，所以0A:0B=6+y2=-3,故C错误： 44 由题，线段MN即为切点弦，则直线MN的方程为y=2x-4, 页，共4页 y=2x-4 联立 y2=4x 可得x2-5x+4=0,则△=9，所以，MN=1+22.6=35, 设点T的横坐标为t,由题意可知，抛物线C在点T处的切线与直线y=2x-4平行， 设抛物线C在点T处的切线方程为y=2x+m, y=2x+m 联立 y2=4x 可得y2-2y+2m=0,则△=4-8m=0,解得m=】 此时，有)2-2+1=0，解得y1,则即点r得 -1-4 所以，点T到直线MW距离的最大值为2 95, 5 10 巴，AMN面积的最大值为M95=35×95-22,故D正确 2104 32 12. 5 【详解】 2x- 的适项公式为=C2旷()C2(写 令4-3r=1, 则r=1,则x系数为cx2写 13 【群】度》，则以0P为有径的的方程为，分〔-生-+心：@ 又圆C:x2+y2=2,② ①-②可得直线1AB:bx+(化+3)y-2=0,即b(x+y)+3y-2=0, x+y=0 x=- 22 联立 3y-2=0' 解得 .直线AB经过定点 3'3 y= 11 14. 23 【详解】因为a=1,a+1-a=1,所以{}是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a所=1+(n-1)×1=n,又因为an>0,所以an=Vn, 1 √n+l-n 1 所以b,Nn+Wa+i+WWa+n+n(a+a+i+)a+1+' 因为2023=lg102023<1g102023+1)<1g102024=2024,2024=lg102024<lg(102024+1)<lg102025=2025, 整数m满足1g1023+1)<m<1g102024+1）,所以m=2024, 11 1111 1 6,}的前2024项和为5：1+i2+i2+13+15+14+1V2024+1V2025+1 十…十 第2页 1111 1+145+123 15.【答案】(1)g(x)=2sin(3x+经(2)4C=V7. 【解析1(1)由图象可知：A=2,=×总=景-（司)-司所以w=3. 又因为最高点是(-，2)，所以-)×3+9=2kπ+受k∈乙， 即0=+2k,kEZ. 又因为0<p<元，所以k=0,p=经，所以fy=2sin(3x+翠) 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变， 得到函数y=2sin(x+孕的图象。 再将得到的函数图象向右平移受个单位长度得到 2 9()=2sin[(x-9+9=2sinx+9的图象， 六g(x)=2sin(x+: (2)因为g(B)=2sim(B+)=V3,所以sim(B+)=. 又B∈(0，，所以B+c(G,),所以B+受所以B= 由余弦定理，得AC2=22+32-2×2×3×cos5=7,所以AC=V7. 16【答案】Qx的分布列见解析：B(X)=美 (2)31 【解析】1)因为1-美=是所以2 1 y10-1-12, 所以y1y1-1)=72,解得y1=9,即第一天新增患感冒而就诊的学生有9位，其中男生3位，女生6 位，则随机变量X的可能取值为0,1,2，且X服从超几何分布，其中N=9,M=3,n=2, Px-0)-等-意P0x=)--号-京Px=2)-盖-立 X的分布列为 X 0 2 5 1 1 P 12 2 12 X的数学期望为E(C)=0×品+1×+2×立= (2)因为∑5=54，所以=9，所以∑-=64， ∑4-0y-)∑4：-0y-) 由于r 16 1 层2可 (8x17) 所以空4--列=8x16, 共4页 6 所以6士DD 8×16=2, 6 4 64 2 因为∑=3463， -r-2+6--6-2. i=1 i=1 i=1 i=1 解得)=23，所以a=)-bt=23-2×9=5,所以9=2t+5, 当t=13时，夕=26+5=31， 据此估计昼夜温差为13℃时，我校新增流感就诊的学生人数为31 17.解：(1)由已知得： Vx-)2+y2 1 ,化简可得： x-4 2 即动点E的轨迹方程为： 43 IPMINMsinZPMN PM (2)因为 S.PNM= OMNM-sinZOMN OM' 所以sin∠PMN=sin∠QMN,即∠PMN=∠QMN,所以kpw+kow=O, 显然过点P的动直线不与x轴重合，故设直线方程为x=my+n(m≠O), 设P(x,),Q(x,y2),M(t,0), x=my+n 联立三+芝-1可得(3m+4)y+6mw+(3m2-12)=0. 43 △>0，即3n2-n2+4>0时 由韦达定理得y+》2= 6mn 3n2-12 3m2+4’y= 3m2+4 因为km+kgm=0,所以》+业=0， x-t x-t 即 一+2—=0， my+n-t my2+n-t 整理得2yy2+(n-t)(y+y2)=0, 所以2m3-12+n-)6m-0, 3m2+4 3m2+4 化简得n2-4-n(n-t)=0, 即nt=4. 18.解：(1)证明：，ABCD为矩形 .BC//AD .'BC丈平面PAD,ADC平面PAD .BC//平面PAD 又BCC平面BCFE,平面BCFE∩平面PAD=EF ∴.BC/IEF (2)取BC中点O,AD中点M,连接PO,OM, ,·侧面PBC为正三角形 ∴.PO⊥BC ,·平面PBC⊥平面ABCD且交线为BC,POc平面PBC ∴.PO⊥平面ABCD .·矩形ABCD,O、M分别为BC、AD中点 ∴.OM⊥BC ∴.OB,OM,OP三线两两垂直，故以O为原点建系如图， 则B(2,0,0),A(2,2,0),C(-2,0,0),D(-2,2,0),P(0,0,25) 当元=时，E1,15),BC=(4,0,0),BE=(-11,5) 设平面BCE的法向量n=(x,y,z) n:BC=0「-4x=0 由 -BE=0得{-x+y+52=0取n=0,5-.P0=kn=0,5k,-k 得 ·点P关于平面BCE的对称点为Q, 设0中点为，则ow=0p+号P00号25-刘 由n0N=3k+5k-25=0,k=5,P0=03,-5 2 2 CD=(0,2,0),CP=(2,0,2√3) 设平面PCD的法向量m=(a,b,c) nCD=0,「2b=0 n.CP=0得{2a+2W5c=0取m=50,-D 由 得 PO.m 设Q点到平面PCD的距离为d,则d 2 (3)BE=BP+PE=BP+2PA=(2-2,21,2N5-2N3),BD=(-4,2,0) 设平面BED的法向量u=(p,q,r) n.BD=0,「-4p+2q=0 由 (2x-2)p+22g+(25-25r=0取u=(5-V5,2W成-2W5,3-) 得 n·BE=0 CD=(0,2,O),设直线CD与平面BED所成角为0， 23(-1) 则sin6=cos(u,cD= 12(1-1)2 V15(元-1)2+(3元-1)2 V15(元-1)2+(3元-1)2 令t=1-入∈(0,1)，则入=1-t C .sin0= 12r2 12t2 3 152+(2-3t7V242-121+4 当子即入写时8子 第3页，共4页 19解折：（1)k=2,f()=an-2x,f(=1 -2, cos2x 令f)>0,得-<x<-元或F<x<7:令f)<0,得-严<x< 44 2 4 所以f()单调递增区间为 ππ ππ ππ 24 和 4'2 单调递减区间为 44 (2)k=1,f(x)=tanx-x,f(x)= -1≥0且不恒为0，f(x)在 0 单调递增，所以对 cOS-x xf>f=0.f在0 无点对e0 有tanx>x。f(x)在区间 neN单调递增， fm网）=-r<0,X→r+2f)→+n π 故f(x)在区间 nπ，nπ+ 2 n∈N有唯一零点an，f(a,)=tand-an=0 ma.列=m8,=4<a=ma,且a,+不、a∈a-1x分a）x+号 .an+π<an+1’ (ii){bn}单调递减，证明如下：令x,=an-nr, 要证bn>bnt1,即证an+1-an>an+2-an+1, 即证，a+1-(n+1)π-(a,-nx)>a+2-(n+2)π-[an1-n+1)π]， 即证1一光>X2-X1,即正X<X 2 又、x∈0，分，放只精证f心)<f化） 2 2 f(x)=f(a,-n)=tan(d,-n)-(a,-n)=nn, f)=n+lr,f2)=n+2)r。f化H)=f2)+f） 故只需证fx2)+f(x,)>2f(心2，+) 令M0=f+f)2f2X0<<x<,f在0号 单调递增， 则a闲=f)f生空)0.h闭在怎到 单调递增，.h(x)>h(x)=0 x+2)=f(0x+2)+fx)-2f2+)>0 .bn}单调递减。 第4页， 共4页