精品解析：辽宁省新民市2025-2026学年上学期期末考试八年级数学试题

新民市2025—2026学年度上学期期末学生学业水平测试试卷八年级数学 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 估算的值在(    ) A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 2. 点在x轴上，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若一次函数的图象平移后经过原点，则下列平移方式正确的是（ ） A. 向左平移4个单位 B. 向右平移4个单位 C. 向下平移4个单位 D. 向上平移4个单位 4. 若是关于x，y的二元一次方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 5. 一组数据：6，7，9，6，9，10，11，6．则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 9和7.5 B. 6和7 C. 6和8 D. 6和7.5 6. 如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（　　） A. 50° B. 65° C. 75° D. 80° 7. 在一次芭蕾舞比赛中，甲，乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的位女演员身高的折线统计图如下．则甲，乙两团女演员身高的方差大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 若一次函数与图象的交点坐标为，则解为的方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，甲车提前出发，以的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为，甲车行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法：①甲车提前出发，乙车出发后追上甲车；②乙车行驶的速度是；③A、B两地相距；④甲车比乙车晚到；其中正确的个数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，一副三角尺按如图方式摆放．若直线，，则的度数为 ___． 12. 若，则的值为______． 13. 实数的平方根是______． 14. 如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点，分别落在点，的位置，与交于点，如图，再将三角形沿折叠，点落在点的位置．若，则______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，位于第二象限内的点的横坐标为，连接AB，BC，AC．若，那么的面积是_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 列二元一次方程组解应用题： 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用20分钟．他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分，他从家到学校的路程是3350米．求小明骑自行车和步行的时间分别为多少分钟？ 18. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 19. 如图，在中，，，分别是边上点（不与端点重合），与相交于点，连接．若，．求证：． 20. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题： （1）在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点； （2）若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点，并连接，得到， ①求的面积． ②点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． 21. 某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100分）分别是95分，94分，88分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分之和．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：评委给甲同学打分的条形统计图： 信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图： 信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表： 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 78 8 n 乙 86 9 10 丙 87 m 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： 　　分， 　　分； （2）在面试中，如果评委给某位同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：甲、乙、丙三位同学中，评委对 　　的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； （3）按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学． 22. 【问题初探】如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围； （1）我们可以用如下方法解决问题：延长到点E，使，连接，可以判定_________，所以_________，在中，可求出的取值范围是_________，则中线的取值范围是_________； 【类比分析】 （2）如图2，的直角顶点与直角边的中点重合，连接，若，，，求的长． 方法迁移】 （3）如图3，将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中的直角顶点与的中点重合，边和边交于点，边和边交于点，连接．请判断线段，线段和线段的等量关系，并说明理由． 23. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图像与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，． ①直接写出_____，_____； ②点的坐标_____； （2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，若，是直线上的动点，点在轴上的坐标为，动点坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是_____（直接写出答案即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新民市2025—2026学年度上学期期末学生学业水平测试试卷八年级数学 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 估算的值在(    ) A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】由可知56，即可解出． 【详解】∵， ∴56， 故选C． 【点睛】此题主要考查了无理数的估算，掌握无理数的估算是解题的关键． 2. 点在x轴上，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在x轴上的点纵坐标为0求出m的值，进而可求出点P的坐标． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了在x轴上点的坐标特点，熟知在x轴上的点纵坐标为0是解题的关键． 3. 若一次函数的图象平移后经过原点，则下列平移方式正确的是（ ） A. 向左平移4个单位 B. 向右平移4个单位 C. 向下平移4个单位 D. 向上平移4个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数平移问题，掌握一次函数平移的性质是解题的关键． 【详解】解：要平移后经过原点，只需将函数的图象向下平移4个单位． 故选：C． 4. 若是关于x，y的二元一次方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、解一元一次方程等知识点．根据二元一次方程的解的定义把x、y的值代入方程，得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：把代入关于x、y的二元一次方程中， 可得：， 解得． 故选：B． 5. 一组数据：6，7，9，6，9，10，11，6．则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 9和7.5 B. 6和7 C. 6和8 D. 6和7.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【详解】解：∵从小到大排列此数据为：6，6，6，7，9，9，10，11，数据6出现的次数最多， ∴众数为6，中位数为 故选：C． 6. 如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（　　） A. 50° B. 65° C. 75° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得：BG∥AF，可得∠FAE=∠BED=50°，再根据折叠的性质，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：BG∥AF， ∴∠FAE=∠BED=50°， ∵AG为折痕， ∴ ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了图形的折叠，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等；图形折叠前后对应角相等是解题的关键． 7. 在一次芭蕾舞比赛中，甲，乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的位女演员身高的折线统计图如下．则甲，乙两团女演员身高的方差大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差，根据折线统计图结合数据波动小者即可判断求解，理解方差的意义是解题的关键． 【详解】解：由折线统计图可知，甲的数据波动更小，乙的数据波动更大，甲比乙更稳定， ∴， 故选：． 8. 若一次函数与的图象的交点坐标为，则解为的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此是联立两直线函数解析式所组方程组的解．由此可判断出正确的选项． 【详解】解：一次函数y=3x+6与y=2x-4的图象交点坐标为（a，b）， 则是方程组的解，即的解． 故选C 【点睛】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 9. 如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线性质和三角形三边关系，先根据垂直平分线的性质得到，然后根据解题即可． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值是4， 故选：B． 10. 甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，甲车提前出发，以的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为，甲车行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法：①甲车提前出发，乙车出发后追上甲车；②乙车行驶的速度是；③A、B两地相距；④甲车比乙车晚到；其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键．根据函数图象和甲车行驶的速度，可得甲车1小时行驶的路程为，由此即可判断①；根据在乙出发后追上甲，结合甲的速度即可判断②；根据乙车的速度，然后根据乙车在甲车出发6小时后到达B地，求出两地的距离即可判断③；根据乙到达B地时，甲距离B地还有，求出甲车比乙车晚到的时间，即可判断④． 【详解】解：∵甲车的速度为， ∴根据函数图象可知，甲车先出发， ∵根据函数图象可知，甲出发后，乙追上甲， ∴甲车提前出发，乙车出发后追上甲车，故①正确； 乙车的速度为：，故②正确； 根据图可知，乙出发后，到达B点， ∴A，B两地相距，故③正确； 根据图可知，乙车到达B地时，甲车距离B地还有， ∴甲车比乙车晚到的时间为：，故④正确； 综上分析可知：正确的有4个， 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，一副三角尺按如图方式摆放．若直线，，则的度数为 ___． 【答案】##10度 【解析】 【分析】根据已知得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值．根据非负数的性质可求出的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ∴， 解得：，， ， 故答案为：0． 13. 实数的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和平方根的概念，解题的关键是先求出的值，再求其平方根． 先计算的结果，再根据平方根的定义求出该结果的平方根． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 故答案为： 14. 如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点，分别落在点，的位置，与交于点，如图，再将三角形沿折叠，点落在点的位置．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，先根据，求出的度数, 进而可得出和的度数，根据和三角形的内角和可得的度数，再由折叠的性质可得，掌握知识点的应用是解题关键. 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由折叠可得:， ∴， 故答案为：. 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，位于第二象限内的点的横坐标为，连接AB，BC，AC．若，那么的面积是_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线等分三角形的面积及平行线的性质，熟练运用三角形的中线等分三角形的面积是解答本题的关键．过点C作，则，先证明，得到，得到，再证明，得到，得到，继而可得，再结合题目条件，利用三角形面积公式求出，继而得解； 【详解】过点C作，则， 又， 又点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为 ， ∴， 故答案为：16 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答； （2）利用加减消元法进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 17. 列二元一次方程组解应用题： 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用20分钟．他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分，他从家到学校的路程是3350米．求小明骑自行车和步行的时间分别为多少分钟？ 【答案】骑自行车的时间为15分钟，步行的时间为5分钟 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系列出方程跟组是解答本题的关键．设小明骑自行车的时间为x分钟，步行的时间为y分钟，利用路程＝速度×时间，结合小明到校所用时间及从家到学校的路程，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小明骑自行车的时间为x分钟，步行的时间为y分钟， 根据题意得：， 解得：． 答：小明骑自行车的时间为15分钟，步行的时间为5分钟． 18. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1）绳子的总长度为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 19. 如图，在中，，，分别是边上的点（不与端点重合），与相交于点，连接．若，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定及性质．根据，推出，得到，由此可得结论． 【详解】是的一个外角（已知）， （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）. （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 20. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题： （1）在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点； （2）若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点，并连接，得到， ①求的面积． ②点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，割补法求三角形的面积，一次函数的应用． （1）点A和B的坐标确定原点O并建立平面直角坐标系即可； （2）①利用割补法计算即可； ②根据轴对称的性质作关于轴的对称点，连接交轴于点，进而可得，此时最小，再待定系数法求的解析式，进而求得点的坐标． 【小问1详解】 解：根据和，确定原点O并建立平面直角坐标系如图所示： 【小问2详解】 解：①． ②如图，作关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴ ∴，此时最小， 设直线的解析式为， 代入，得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 21. 某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100分）分别是95分，94分，88分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分之和．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：评委给甲同学打分的条形统计图： 信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图： 信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表： 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 78 8 n 乙 86 9 10 丙 87 m 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： 　　分， 　　分； （2）在面试中，如果评委给某位同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：甲、乙、丙三位同学中，评委对 　　的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； （3）按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学． 【答案】（1）8.5，8 （2）丙 （3）乙 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，条形统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数和众数的定义可得答案； （2）根据方差的意义解答即可； （3）根据加权平均数公式计算即可． 【小问1详解】 解：把丙的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8，9，故中位数， 由条形统计图可知甲的得分的最多的是8分，故众数； 故答案为：8.5，8； 【小问2详解】 由题意可知，甲的数据在5和10之间波动，乙的数据在6和10之间波动，丙的数据在8和10之间波动，所以评委对丙同学的评价更一致； 故答案：丙； 【小问3详解】 甲的综合成绩为：（分）， 乙的综合成绩为：（分）， 丙的综合成绩为：（分）， ， 所以综合成绩最高的是乙． 故答案为：乙． 22. 【问题初探】如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围； （1）我们可以用如下的方法解决问题：延长到点E，使，连接，可以判定_________，所以_________，在中，可求出的取值范围是_________，则中线的取值范围是_________； 【类比分析】 （2）如图2，的直角顶点与直角边的中点重合，连接，若，，，求的长． 【方法迁移】 （3）如图3，将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中的直角顶点与的中点重合，边和边交于点，边和边交于点，连接．请判断线段，线段和线段的等量关系，并说明理由． 【答案】（1），，，； （2）； （3），详见解析． 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了中线的性质与判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理的运用，垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用求出，即可求出，再利用两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，求出的取值范围，进而求出的取值范围； （2）延长至点F，使，连接，利用求出，得到，，三点共线，进而求出长； （3）理由：延长至点，使，连接，，利用求出，再利用勾股定理求出，进而得到垂直平分，即可得出． 【详解】解：延长到点E，使，连接，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， ； （2）解：延长至点F，使，连接， ， ∵D为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，，三点共线， ， ， ，， 垂直平分， ； （3）解：， 理由：延长至点，使，连接，， ∵D为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ，， 垂直平分， ， ． 23. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图像与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，． ①直接写出_____，_____； ②点的坐标_____； （2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，若，是直线上的动点，点在轴上的坐标为，动点坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是_____（直接写出答案即可）． 【答案】（1）①8，6；② （2）不变， （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解；②过点作轴，垂足为，证明，由全等三角形的性质可得，，即可求解； （2）当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，过点作轴，垂足为，证明，由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）过点作轴于，过点作于，证明，可分两种情况讨论，由全等三角形的性质得，，进而可得点的坐标，然后将点的坐标代入求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：①当时，直线解析式为， 令，则，即， 令，则有， 解得，即， ，． 故答案为：8，6； ②过点作轴，垂足为，如下图， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案：； 【小问2详解】 解：当的取值变化时，的面积是定值，，理由如下： 如下图，过点作轴，垂足为， 则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当的取值变化时，的面积是定值，； 【小问3详解】 解：当时，如下图，过点作轴于，过点作于， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线，将点的坐标代入， 可得，， 解得， ∴，， ∴点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作于， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线，将点的坐标代入， 可得， 解得， ∴，， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质、坐标与图形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图像及性质，正确作出辅助线构造全等三角形解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $