精品解析：山东省济宁市2025-2026学年高三上学期期末质量检测数学试题

2025-2026学年度第一学期高三质量检测 数学试题 2026.01 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名，考生号，座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名，考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上. 2.选择题答案必须使用铅笔《按填涂样例》正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用铅笔作答，字体工整、笔迹清晰. 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.保持卡清洁，不折叠，不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对数函数的定义域求出集合，然后根据交集的定义求出结果. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算及复数的基本概念求解. 【详解】由得， 所以的虚部为， 故选：B. 3. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立. 【详解】当，时，， 则当时，有，解得，充分性成立； 当，时，满足，但此时，必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知向量，，在网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图得到坐标，根据向量的加法法则和向量模的计算公式求解. 【详解】如图，建立直角坐标系，则， 所以， 所以， 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先应用两角和差余弦公式计算化简得出，最后应用二倍角正切公式计算求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 则. 故选：D. 6. 设双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，若，且焦点到渐近线的距离为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得是等边三角形.，根据已知可得，进而可得，可求得，进而可求双曲线的方程. 【详解】又因为以为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为， 所以，又因为，所以，，所以是等边三角形. 又双曲线渐近线方程为，即，焦点， 所以焦点到渐近线的距离为，所以， 所以可得，所以，所以，解得， 所以，所以双曲线的方程为.\ 故选：C. 7. 在正方体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后根据已知条件列出各个点的坐标，然后求出的坐标，然后根据四点共面列出方程组，进而求出结果. 【详解】如图所示，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，因为为的中点，，， 所以. 所以. 因为，，，四点共面，所以， 得到，解得. 故选：A. 8. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性化简，再由对数的性质比较大小，根据导数求出函数的单调性得解. 【详解】因为的定义域为，且， 所以函数是偶函数， 又，所以是以为周期的周期函数， 所以， ， ， ，即， 因为，， 所以，综上可知， 因为， 所以当时，，则，单调递减. 所以，即. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：和圆：，则（ ） A. 当时，直线过圆心 B. 存在实数，使得直线与圆相切 C. 直线被圆截得的最长弦长为 D. 直线被圆截得的最短弦长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知可求得圆心，半径，直线过定点，进而逐项计算可判断结论. 【详解】由圆：，得， 所以圆的圆心，半径. 当时，直线方程为，又， 所以直线过圆心，故A正确； 当时，，所以直线过定点， 又， 所以在圆内，故不存在实数，使得直线与圆相切，故B错误； 直线过圆心时，直线被圆截得的最长弦长为，故C正确； 当直线，直线被圆截得的最短弦长为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 直线是曲线的一条对称轴 D. 的图象向右平行移动个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数 【答案】ABD 【解析】 分析】利用三角恒等式化简函数解析式，对于A，根据解析式求值；对于B，利用整体思想，结合复合函数单调性；对于C，利用整体思想，根据余弦函数对称性；对于D，根据函数图象变换，结合余弦函数奇偶性；可得答案. 【详解】化简函数解析式可得， 对于A，，故A正确； 对于B，当时，，易知函数在上单调递减， 在区间上单调递减,故B正确； 对于C，当时，，由函数的对称中心为， 则点是函数图像上的一个对称中心，故C错误； 对于D，函数向右平移个单位得， 由，且定义域为，则函数是偶函数，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，为圆锥底面上任意一点，为圆锥外接球的球心，为球面上一点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 球的体积为 C. 点的轨迹长度为 D. 的最大值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，利用圆锥的侧面积公式求解；选项B，求出圆锥的高，设球的半径为，在中，利用勾股定理得到，解出，利用球的体积公式求解；选项C，将整理得到，设，则有①，在中，利用余弦定理得到，整理得到②，②代入①后解得，即，则有的轨迹是以为球心，为半径的球面与球的交线，且此交线为圆，设圆的半径为，两个球心与的距离为，球的半径为，在中，由勾股定理得到③，在中，由勾股定理得到④，③代入④后解得⑤，⑤代入③后解得， 利用圆的周长公式求出点的轨迹长度；选项D，为圆锥底面上任意一点，底面圆的圆心为，则的最大值为. 【详解】选项A，圆锥的底面圆半径为，母线长为， 圆锥的侧面积为，故选项A正确； 选项B，圆锥的高，设球的半径为， 由图可知，，， 在中，，，， 球的体积为，故选项B正确； 选项C，，， ，，， ， 设， 则有①， 在中，， ，，，②， ②代入①，得，解得， ，， 的轨迹是以为球心，为半径的球面与球的交线，且此交线为圆， 设圆半径为，两个球心与的距离为，球的半径为， 在中，，， ③， 在中，，， ，④， ③代入④，得，解得⑤， ⑤代入③，得，解得， 点的轨迹长度为，故选项C错误； 选项D，为圆锥底面上任意一点，底面圆的圆心为， 要使最大，则，又，， 的最大值为，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和，若，则公差________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式计算求解. 【详解】因为为等差数列的前项和，由， 则 则公差. 故答案为：2. 13. 已知函数，若函数为奇函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由求出，，设，则为奇函数，求出，由得到关于的等式，解得的值，从而得解. 【详解】， ， 设， 为奇函数，为奇函数， ， ， ， ， ， 对于任意的恒成立， ，， . 故答案为：. 14. 已知椭圆：，曲线：，曲线与椭圆在第一象限内有两个交点，，若的斜率为，则椭圆的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题设结合点差法可得，进而得到，即可求解. 【详解】设， 则，即， 又，两式相减得， 则， 所以，则，即， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，分别为的内角，，的对边，且. （1）求； （2）若的面积为，边上的高为3，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合和差角公式即可求解， （2）根据面积公式以及余弦定理即可求解. 【小问1详解】 根据条件， 由正弦定理，得， 即，即， 因为在中，，所以， 又因为，所以 【小问2详解】 因为的面积为，所以，得 由，即，所以. 由余弦定理，得，即， 化简得，所以，即， 所以. 16. 记为正项数列前项和，已知. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据和的关系结合题设可得，，，进而得到是首项为3，公差为3的等差数列，进而求解即可； （2）结合（1）及题设可得，进而根据错位相减法求解即可. 【小问1详解】 因为， 当时，，解得或（舍去）； 当时，，所以， 则，即， 因为为正项数列，则，即， 所以是首项为3，公差为3的等差数列， 则. 【小问2详解】 因为， 所以，则，即， 所以，① 所以，② 由①②得， ， 所以. 17. 如图，四棱锥中，，，，点在棱上. （1）证明：平面平面； （2）若，平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再由面面垂直的判定定理得证； （2）证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可. 【小问1详解】 取中点，连接， 则且， 四边形为平行四边形， ，， ，又，，平面， 平面，平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 连接交于点，则，连接， 平面，平面，平面平面， ，， 取中点，连接，则， 又平面，平面， ，，平面， 连接，则，， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，，得，， 所以，，，，， 所以，，， 设平面的法向量，则，即， 解得，令，则，所以平面的一个法向量， 记直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于点，，当直线垂直轴时，点的坐标为. （1）求的方程； （2）求的最小值； （3）若点在抛物线外，线段的垂直平分线与相切，求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得抛物线焦点坐标，根据垂直直线上点的性质，建立方程，可得答案； （2）分斜率存在与不存在两种情况，建立方程，写出韦达定理，结合基本不等式，可得答案； （3）设出动点坐标，分情况设出线段所在直线的方程，从而求出中垂线的直线方程，联立抛物线方程，根据根的存在性，可得答案. 【小问1详解】 由题意知：，直线垂直轴时，点的坐标为 则，解得，所以的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 与抛物线方程联立得，，消去并化简得： 设，，且，则，因为， 所以，当且仅当取得等号. 当直线的斜率不存在时，，所以. 综上，的最小值为9. 【小问3详解】 设，则中点坐标为， 当时，的垂直平分线平行轴，不会与抛物线相切，所以 所以存在斜率为， ①当时， 的垂直平分线方程为，即， 与抛物线方程联立得，，消去并化简得： 因为线段的垂直平分线与相切 所以 ， ， 所以或（舍） ②当时，点坐标为，线段的垂直平分线与相切，满足条件. 所以点的轨迹方程为. 19. 已知函数. （1）若直线：是曲线的一条切线，求的值； （2）若函数有三个零点，设为，，且. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设直线与曲线相切于点，利用函数在处的导数为直线的斜率，列出方程组求解即可； （2）（i）根据题意进行参变分离得到，然后构造函数，结合函数的单调性和图象的变化趋势即可解得；（ii）由（i）可得，；换元后构造函数，，求导后判断函数的最值即可证得. 【小问1详解】 依题意，，设直线：与曲线相切于点， 则，解得，；所以的值为； 【小问2详解】 （i）令，则； 设，则， 由，得或；由，得； 所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取得极小值；当时，取得极大值； 又当时，；当时，且，大致图象如图； 若函数有三个零点，即函数与的图象有三个交点， 则，即实数的取值范围是； （ii）因为，为函数的零点，所以，； 由（i）知，；所以，，， 所以； 因为，所以，所以； 令，则；令，，则， 由，得；由，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减； 所以，所以，即当时，； 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高三质量检测 数学试题 2026.01 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名，考生号，座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名，考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上. 2.选择题答案必须使用铅笔《按填涂样例》正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用铅笔作答，字体工整、笔迹清晰. 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.保持卡清洁，不折叠，不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则虚部为（ ） A B. C. D. 3. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，，在网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A. 8 B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 设双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，若，且焦点到渐近线的距离为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，为中点，，，若，，，四点共面，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：和圆：，则（ ） A. 当时，直线过圆心 B. 存在实数，使得直线与圆相切 C. 直线被圆截得的最长弦长为 D. 直线被圆截得的最短弦长为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 直线是曲线的一条对称轴 D. 的图象向右平行移动个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数 11. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，为圆锥底面上任意一点，为圆锥外接球的球心，为球面上一点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥侧面积为 B. 球的体积为 C. 点的轨迹长度为 D. 的最大值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和，若，则公差________. 13. 已知函数，若函数为奇函数，则________. 14. 已知椭圆：，曲线：，曲线与椭圆在第一象限内有两个交点，，若的斜率为，则椭圆的离心率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，分别为内角，，的对边，且. （1）求； （2）若的面积为，边上的高为3，求. 16. 记为正项数列的前项和，已知. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 17. 如图，四棱锥中，，，，点在棱上. （1）证明：平面平面； （2）若，平面，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于点，，当直线垂直轴时，点的坐标为. （1）求的方程； （2）求的最小值； （3）若点在抛物线外，线段的垂直平分线与相切，求点的轨迹方程. 19. 已知函数. （1）若直线：是曲线的一条切线，求的值； （2）若函数有三个零点，设为，，且. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $