精品解析：内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题

2025～2026学年第一学期末质量抽样监测 数学（八年级） 注意事项： 1.本试卷共6页，19小题，满分100分，考试时间90分钟. 2.本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上做答，答在本试卷上的答案无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡分别封装一并上交. 一、选择题（本题包括8道小题，每小题3分，共24分.每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的字母用2B铅笔涂黑.） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 2. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA=12米，OB=7米，则A，B间的距离不可能是（　　） A. 5米 B. 7.5米 C. 10米 D. 18.9米 5. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A. 141414 B. 141315 C. 131413 D. 151415 7. 学习了重心并研究确定重心位置后，小明知道了在平面直角坐标系中，若三个顶点坐标分别为，则的重心的坐标为 ．如图，在平面直角坐标系中，点D，E，F的坐标分别为，对于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉；如图，P是的中点，连接．的重心在线段上； 淇淇：的重心的坐标为． A. 只有嘉嘉的正确 B. 只有淇淇的正确 C. 嘉嘉、淇淇的都正确 D. 嘉嘉、淇淇的都不正确 8. 如图，，点是射线上定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题包括4道小题，每小题3分，共12分．将答案直接填在答题卡对应题的横线上．） 9. 计算：（1）______；（2）______；（3）______． 10. 在学习了《探索三角形全等的条件》后，小龙编了这样一个题目：“如图，已知，，，求证：．”老师说他的已知条件给多了，你帮他去掉一个已知条件：______．（写出一个即可） 11. 请你观察图形，不再添加辅助线，依据图形面积之间的关系，便可得到一个非常熟悉的公式，写出这个公式______． 12. 如图，在中，，平分，交于点，且，若，，则______（用含和的代数式表示） 三、解答题（本大题共6小题，共59分．每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤．） 13. （1）计算：； （2）化简：． （3）解分式方程：． 14. 如图，点D在上，，交于点F，，，． （1）证明：； （2）若，求的度数． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）的面积是_______； （2）已知与关于y轴对称，与关于x轴对称，请在坐标系中画出和； （3）在y轴有一点P，使得周长最短，请画出点P的位置（保留画图的痕迹）． 16. 设表示两位数，如：当时，表示82；数学兴趣小组研究的平方规律，依次计算发现个位上数字是2的两位数平方的规律： 第1个等式， 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按照以上规律，完成下列问题： （1）写出第5个等式：________． （2）写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明． 17. 某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程时间是甲队的1.5倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为700元．根据以上信息，求： （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 18. 【问题提出】我们知道；三角形全等的判定方法有：“”，如果两个三角形有两边和一个角对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？小明受到书本第34页的探究活动的启发，进行了如下探究． 【初步思考】不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为直角、钝角、锐角三种情况进行探究． 【深入探究】 （1）第一种情况：当是锐角时，如图1，在和中，，，，和______全等（填写一定或不一定）．如果一定全等，请证明；如果不一定全等，请用尺规作，使和不全等． （2）第二种情况：当是直角时，小明查阅资料发现：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成斜边、直角边或HL）． 如图2，在和中，，，，可知和______全等（填写一定或不一定）． （3）第三种情况：当是钝角时，≌． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，小明由（2）受到了启发，很快证出了≌．请聪明的你完成小明的推理过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期末质量抽样监测 数学（八年级） 注意事项： 1.本试卷共6页，19小题，满分100分，考试时间90分钟. 2.本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上做答，答在本试卷上的答案无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡分别封装一并上交. 一、选择题（本题包括8道小题，每小题3分，共24分.每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的字母用2B铅笔涂黑.） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、它不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意对给出的各个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A. ，故A错误； B. ，故B错误； C. ，故C错误； D. ，故D正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查的是同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，整式的加减，合并同类项等有关知识． 4. 如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA=12米，OB=7米，则A，B间的距离不可能是（　　） A. 5米 B. 7.5米 C. 10米 D. 18.9米 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可以求得AB的取值范围，即可进行判断． 【详解】解：由题意可知， ∴， 即：， ∴A选项不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，重点在于利用三边关系求得第三边取值范围． 5. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质和等边对等角，由作图方法可知垂直平分，再由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角可得答案． 【详解】解：由作图方法可知垂直平分， ∴， ∴， 根据现有条件无法得到，，， 故选：D． 6. 在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A. 141414 B. 141315 C. 131413 D. 151415 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键． 对多项式先进行因式分解，再代值求出各因式值，然后组合成密码． 【详解】， 当时，，，， 密码可能为14、13、15的组合，即141315． 故选：B． 7. 学习了重心并研究确定重心位置后，小明知道了在平面直角坐标系中，若三个顶点坐标分别为，则的重心的坐标为 ．如图，在平面直角坐标系中，点D，E，F的坐标分别为，对于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉；如图，P是的中点，连接．的重心在线段上； 淇淇：的重心的坐标为． A. 只有嘉嘉的正确 B. 只有淇淇的正确 C. 嘉嘉、淇淇的都正确 D. 嘉嘉、淇淇的都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形重心的定义，掌握三角形的重心是三角形的三条中线的交点是解题的关键． 根据重心的定义可得判定嘉嘉的说法，根据小明知道的方法可判定淇淇的说法，据此即可解答． 【详解】解：∵三角形的重心是三角形的三条中线的交点， ∴的重心在线段上，即嘉嘉的说法正确； ∵的重心的坐标为，即， ∴淇淇的说法正确． ∴嘉嘉、淇淇的都正确． 故选C． 8. 如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为腰时，当为底时，分别画出图形，即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 当为底时，为等腰三角形， 满足条件的点共有个， 故选：D． 二、填空题（本题包括4道小题，每小题3分，共12分．将答案直接填在答题卡对应题的横线上．） 9. 计算：（1）______；（2）______；（3）______． 【答案】 ①. ②. 1 ③. 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂和分式的乘方运算，熟知相关计算法则是解题的关键。 （1）任何非零数的负整数指数幂等于其正整数指数幂的倒数，据此求解即可； （2）任何非零数的零次幂等于1，据此求解即可； （3）分式的乘方法则，分式的乘方等于分子和分母分别乘方，据此求解即可． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：1； （3）根据分式的乘方法则，． 故答案为： 10. 在学习了《探索三角形全等的条件》后，小龙编了这样一个题目：“如图，已知，，，求证：．”老师说他的已知条件给多了，你帮他去掉一个已知条件：______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴条件多余， 或者：∵，， ∴， ∴条件多余 或者：∵，， ∴， ∴条件多余 故答案为：（或或）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 11. 请你观察图形，不再添加辅助线，依据图形面积之间的关系，便可得到一个非常熟悉的公式，写出这个公式______． 【答案】 【解析】 【分析】根据最大的正方形面积等于两个长方形面积加上两个较小的正方形面积进行求解即可． 【详解】解：由题意得，最大正方形面积为，较大的正方形面积为，最小的正方形面积为，两个长方形面积之和为， ∵最大的正方形面积等于两个长方形面积加上两个较小的正方形面积， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，正确表示出各部分图形的面积是解题的关键． 12. 如图，在中，，平分，交于点，且，若，，则______（用含和的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理、所对的直角边是斜边的一半，准确分析计算是解题的关键． 过点作，根据角平分线的性质可得，，再根据，得到，即可得到，可求出，求出计算即可． 【详解】解：过点作于点， 平分，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案是． 三、解答题（本大题共6小题，共59分．每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤．） 13. （1）计算：； （2）化简：． （3）解分式方程：． 【答案】（1）；（2）；（3）原分式方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算，分式的除法运算，解分式方程，正确计算是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的运算法则求解即可； （2）先把除法变成乘法，再把对应分式的分子和分母分解因式，最后约分即可得到答案； （3）先把原方程去分母化整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：， 方程两边同乘，得， 去括号得， 解得， 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解． 14. 如图，点D在上，，交于点F，，，． （1）证明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由SAS证，即可解答． （2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到，由等腰的性质和三角形内角和定理求得，最后根据邻补角的定义解答． 本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 ， . 在与中， 【小问2详解】 由（1）知，， 则. ，， . . . 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）的面积是_______； （2）已知与关于y轴对称，与关于x轴对称，请在坐标系中画出和； （3）在y轴有一点P，使得周长最短，请画出点P的位置（保留画图的痕迹）． 【答案】（1）4 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，运用网格求三角形的面积，作轴对称的图形，两点之间线段最短，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用割补法进行列式计算，即可作答． （2）根据关于轴对称的点的特征，找出点，然后依次连接，得；根据关于轴对称的点的特征，找出点，然后依次连接，得，即可作答． （3）因为的周长，则由（2）得出，故，即当共线时，根据两点之间线段最短，则的周长最短，即连接，与轴相交于一点，即点的位置，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， 的面积是4； 故答案为：4； 【小问2详解】 解：和如图所示． 【小问3详解】 解：连接，与y轴相交于点，如图所示， 的周长， 则由（2）得出， ， 即当共线时，根据两点之间线段最短， 则的周长最短． 16. 设表示两位数，如：当时，表示82；数学兴趣小组研究的平方规律，依次计算发现个位上数字是2的两位数平方的规律： 第1个等式， 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按照以上规律，完成下列问题： （1）写出第5个等式：________． （2）写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知平方等于乘以的积加上4，据此写出第5个等式即可 （2）根据（1）的规律写出第n个等式，再利用完全平方公式把等式左边展开，利用单项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开即可证明结论． 【小问1详解】 解：由题意得，第5个等式为 【小问2详解】 解：猜想，证明如下： ∵左边， 又∵右边， ∴左边右边， ∴． 17. 某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为700元．根据以上信息，求： （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 【答案】（1）甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天 （2）①从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队；②从资金角度，学校应选择能在暑假内完成且费用合理的甲工程队 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”，列出分式方程，解方程即可； （2）①根据（1）中的结果比较即可解答；②根据（1）中的结果求出甲单独完成，乙单独完成的费用比较，再结合暑假时间即可解答． 【小问1详解】 解：设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队天， 由题意：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 则（天）， 答：甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天； 【小问2详解】 解：①由（1）知甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天， ， ∴甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成， 从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队； ②若甲单独完成，其费用为：（元）， 若乙单独完成，其费用为：（元）， ， ∴从资金的角度考虑，学校应选择甲工程队，且甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成． 综上，从资金角度，学校应选择能在暑假内完成且费用合理的甲工程队． 18. 【问题提出】我们知道；三角形全等的判定方法有：“”，如果两个三角形有两边和一个角对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？小明受到书本第34页的探究活动的启发，进行了如下探究． 【初步思考】不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为是直角、钝角、锐角三种情况进行探究． 【深入探究】 （1）第一种情况：当是锐角时，如图1，在和中，，，，和______全等（填写一定或不一定）．如果一定全等，请证明；如果不一定全等，请用尺规作，使和不全等． （2）第二种情况：当是直角时，小明查阅资料发现：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成斜边、直角边或HL）． 如图2，在和中，，，，可知和______全等（填写一定或不一定）． （3）第三种情况：当是钝角时，≌． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，小明由（2）受到了启发，很快证出了≌．请聪明的你完成小明的推理过程． 【答案】（1）不一定，作图见详解 （2）一定 （3）证明见详解 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，涉及尺规作图及邻补角定义等知识，读懂题意，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理即可判定，再由尺规作图，以点为圆心、为半径，作交边于点即可得到答案； （2）当是直角时，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成斜边、直角边或），直接结合条件判定即可得到答案； （3）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于，如图所示，先判定，得到；进而判定，得到，从而得证． 【小问1详解】 解：根据三角形全等的判定方法：“”， 在和中，，，，和不一定全等； 如图所示： 则即为所求； 故答案为：不一定； 【小问2详解】 解：当是直角时，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成斜边、直角边或），如图所示： 在和中，，，，由判定，可知和一定全等， 故答案为：一定； 【小问3详解】 解：过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于，如图所示： ， 由，可得， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $