2.3《一元一次不等式与一次函数》第1课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一元一次不等式与一次函数的关系，通过情境启航提出问题，以y=2x-5图象为载体，从交点坐标引出方程解，再到射线区域确定不等式解集，搭建函数与方程、不等式的知识支架，衔接紧密。 其亮点是以数形结合为主线，通过兄弟赛跑等实际情境构建函数模型，培养几何直观与模型意识。协作破冰环节引导学生合作画图分析，教师示范结合表格与图象，帮助学生理解三者“数”与“形”的关联，提升学生数学思维，也为教师提供清晰的教学流程。

不等式与不等式组 第3节 一元一次不等式与一次函数 第1课时 新版北师大数学八年级数学下册 学习目标 1.通过观察一次函数图象，能确定对应的一元一次方程的解、一元一次不等式的解集 2.能根据实际问题的数量关系构建一次函数模型，借助函数图象解决实际问题 3.体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式在数与 形上的内在联系 教学设计的基本环节 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 问题:如何借助一次函数的图象，理解一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，并运用这些知识解决真实情境中的问题？ 你还记得画函数图象的一般步骤吗？ 列表、描点、连线 本节课我们将从新的角度，将函数、方程、不等式放在一起研究，感受数形结合的魅力 4 问题构建 观察y=2x−5的图象，找到图象与x轴的交点A，它的坐标是(2.5,0) (2.5,0) A 问题1:这个点的y值是多少？ y=0 追问1:当y=0时,对应的式子是什么？你有怎样的发现呢？ 对应的式子是2x−5=0,所以x=2.5是这个方程的解. 问题构建 追问2:依据前面的思路,若想求2x−5=1的解,你要在图象上找哪个点？ 观察图象,点B的坐标是(3,1),需要在图象上找到纵坐标等于1的点. 追问3:根据你找到的点，方程2x-5=1的解是多少？ 解是x=3,观察点B的横坐标就是方程2x-5=1的解. 问题构建 问题2:观察图象,它经过了哪几个象限？ 第一、三、四象限 追问1:第一象限内的图象是哪种线？这条线上的所有点横坐标有怎样的特点？找几个点试一试. 图象是一条不包含顶点的射线，所有点的横坐标都在x=2.5的右侧 追问2:只观察图象，对于不等式2x-5＞0，你能看出它的解集吗？ x＞2.5 问题构建 问题3:上一个问题中，图象上的y值都是正的，那图象上y值是负的部分对应的x范围是什么？对应的不等式是怎样的？ 图象是一条不包含顶点的射线，所有点的横坐标都在x=2.5的左侧，对应不等式2x-5＜0，不等式的解集可以直接看出是x＜2.5. 追问1：在你画的图上尝试描出y＞0和y＜0对应的射线，和你的同学比一比看谁画的更标准？ 图中蓝色射线代表y＞0； 图中红色射线代表y＜0； 两条射线都不包含端点. 问题构建 追问2:观察函数y=2x-5图象，当2x-5＞1时当对应的图象区域和x范围？ 图中蓝色射线代表y＞1； 图中红色射线代表y＜1； 两条射线都不包含端点. 追问3：如果y=−2x−5,那么当x取哪些值时，y<0？当x取哪些值时,y＞1？你是怎样求解的？ 方法一：代数法解不等式： -2x-5＜0，x＞； -2x-5＞1，x＜-3. 协作破冰 方法二：观察图象法： 图中蓝色射线代表y＞1，对应的x的值都在x=-3的左侧； 图中红色射线代表y＜0；对应的x的值都在x=-2.5的右侧； 两条射线都不包含端点. 问题4:简单总结你对同一表达式下的函数、一元一次方程、一元一次不等式的理解？ 函数描述变量关系；一元一次方程是函数值取特定值（如0）时的情况，其解对应函数与x轴交点横坐标；一元一次不等式的解集由函数图象在x轴上方或下方的x取值范围确定，三者紧密相关. 协作破冰 兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9m,然后自己才开始跑.已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m.列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题： 问题5:哥哥还没开始跑时（时间t=0秒）,弟弟已经提前跑了多少米？？ 9m 追问1:当时间t=1秒时：弟弟又跑了多少米？这时候弟弟的总路程是多少？哥哥跑了多少米？ 当t=1秒时，弟弟又跑了1×3=3m 弟弟的总路程：3+9=12m 哥哥跑了1×4=4m. 协作破冰 追问2:当t=3秒时，写出弟弟总路程、哥哥路程的计算过程？ 当t=3秒时，弟弟总路程：9+3×3=15m 哥哥路程：3×4=12m. 追问3:设跑步时间为t秒（t≥0）：弟弟的总路程=“提前跑的9米” +“t秒跑的路程”,请用t表示弟弟的路程（记为）,哥哥是从t=0开始跑的,每秒跑4米，请用t表示哥哥的路程（记为） ;(t≥0) 显然t满足一次函数关系， 的值随着t的值增大而增大； 和t满足正比例函数关系. 教师示范 追问4:算一算，t=5秒时， ？， ？（谁的路程远？）t=9秒时， ？， ？（谁的路程远？）t=10秒时， ？， ？（谁的路程远？） 时间 谁的路程远 t=5 24 20 弟弟 t=9 36 36 哥哥弟弟相同 t=10 39 40 哥哥 追问5:什么时候弟弟和哥哥的路程一样远？请用弟和哥的式子列出等式，并解出t的值 ，3t+9=4t t=9秒时，两人的距离相等，都是36m. 教师示范 追问6:这个等式9+3t=4t是一元一次方程,它的解t=9,对应函数的什么特点？ 当t=9时，两个函数值相等. 追问7:从表格能看出来:当t<9秒时,弟弟和哥哥哪个路程远？请用不等式表示这个关系.当t>9秒时，弟弟和哥哥哪个路程远？对应的不等式是什么？ 时间 谁的路程远 t=5 24 20 弟弟 t=9 36 36 哥哥弟弟相同 t=10 39 40 哥哥 当t<9秒时,弟弟路程远,9+3t＞4t； 当t>9秒时,哥哥路程远,9+3t＜4t 教师示范 追问8:从图象观察，结论是否一致？ (9,36) A 从图象可以看出，两函数图象交点坐标A(9,36),当t=9时，两人路程相等，都等于36m. 当x＞9时，哥哥超过了弟弟，一次函数图象位于正比例函数下方；当x＜9时，弟弟在哥哥前面，一次函数图象位于正比例函数图象上方. 巩固拓展 追问9:谁先跑过20m？谁先跑过100m? 代数方法： 3x+9=20,x=3.7秒；4x=20,x=5秒，所以弟弟先到达20m. 3x+9=100,x=30.3秒；4x=100,x=25秒,所以哥哥先到达20m. 图象分析法： 20m对应的时间弟弟用时较少. 36m两人用时相等 100m时对应的的时间可推测哥哥用时较少. (9,36) A 巩固拓展 回顾这一系列问题： “求路程相等的时刻” 用了什么？ “求谁的路程更远” 用了什么？ “求跑过某距离的时间” 用了什么？ （函数→方程） （函数→不等式） （函数→方程） 函数描述变量关系；一元一次方程是函数值取特定值（如0）时的情况，其解对应函数与x轴交点横坐标；一元一次不等式的解集由函数图象在x轴上方或下方的x取值范围确定，三者紧密相关. 当堂检测 1.如图，已知一次函数 的图象经过点 ，，那么关于的不等式 的 解集是( ) A B. C. D. 当堂检测 2.如图,甲、乙两名学生均沿同一方向在同一直线 上行走.， 分别表示甲、乙两名学生在行走 过程中离出发点的距离与行走时间 之间 的函数关系图象.试根据图象回答下列问题: （1）甲、乙两名学生中，谁的速度较快? 解:甲的速度较快. 当堂检测 （2）在什么时间段内，甲在乙的前面?在什么时 间段内，甲在乙的后面?在什么时间，甲、乙两 人相遇? 解:由图象可知，当时， ;当 时，;当时， . 在出发之后，甲在乙的前面；在出发 之前,甲在乙的后面；在 出发 时，甲、乙两人相遇. 当堂检测 3.一次函数的自变量和函数值 的部分对应值如 下表所示： 0 8 3 8 则关于的不等式 的解集是( ) C A. B. C. D. 反思总结 1.用一次函数图象解决一元一次方程、不等式问题时，图象上的 “交点”“某区域的直线”分别对应什么代数结论？ 2.解决实际中的“谁更优、谁更快”类问题，建立一次函数模型的核心步骤是什么？ 3.结合今天的例子，说说一次函数、一元一次方程、一元一次不等式三者在“数”（表达式）和“形”（图象）上是如何关联的？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第68页 第1题 二、素养类作业 课本第69页 第1题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $