精品解析：甘肃省张掖市某校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025年秋学期期末考试试卷 九年级数学 注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、精心选一选（共10小题，每题3分，共30分） 1. 在、、0、2这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，理解题意是解决本题的关键． 根据有理数的大小比较，直接可知，即可求解． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选B． 2. 据相关报道，2025年全球某电子产品市场规模将达到约美元，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法要求形式为，其中，为整数． 【详解】解： 故选：B． 3. 边长为的菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质．根据菱形四边相等，周长等于边长的4倍，即可求解． 【详解】解：∵菱形的四边相等，且边长为， ∴周长 故选：D． 4. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，掌握正弦值等于对边比斜边成为解题的关键． 根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故选：C． 5. 做重复实验：抛掷同一枚瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的频数为550次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（　　） A. 0.4 B. 0.45 C. 0.5 D. 0.55 【答案】D 【解析】 【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可． 【详解】∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的次数约为550次， ∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为=0.55； 故选D． 【点睛】本题主要考查概率的意义、等可能事件的概率，大量重复试验事件发生的频率约等于概率． 6. 已知、两点均在反比例函数的图象上，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后把代入反比例函数解析式，计算得出的值，即可得出答案． 【详解】解：把点的坐标代入，可得：， 解得：， 即， 把的坐标代入，可得：， 解得：． 故选：D 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，解本题的关键在熟练掌握利用待定系数法求出反比例函数解析式． 7. 已知的半径为，则点和的位置关系是（　　） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题的关键． 设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则当时，点在圆外；时，点在圆上；时，点在圆内．据此通过比较点A到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，，， ∴点A在外． 故选：B． 8. 如图，四边形内接于⊙O，若，则的度数是（ ） A. 75° B. 105° C. 110° D. 115° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补进行求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于⊙O，， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解题的关键． 9. 如图，的半径为5，弦，，垂足为点P，则CP的长等于（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，由垂径定理得，，由题意知，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由垂径定理得，， 由题意知， 由勾股定理得，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 10. 如图所示的是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处．已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ） A. 6m B. 8m C. 18m D. 24m 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程求解. 因为小明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答. 【详解】由题意可知， ， 即，解得． 故答案选：B. 二、细心填一填（共6小题，每题4分，共24分） 11. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解），可以先提公因式m，再根据平方差公式分解因式即可 【详解】 故答案为： 12. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝_____°． 【答案】35 【解析】 【分析】如图（见解析），连接AD，先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，由此即可得． 【详解】如图，连接AD ∵AB是⊙O的直径 ∴，即 又由圆周角定理得： ∵ ∴ 故答案为：35． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题关键． 13. ，则_____，，则_____． 【答案】 ①. ##35度 ②. ##30度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．利用正切函数和余弦函数的特殊值求解方程． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：，． 14. 将二次函数化为的形式为________. 【答案】； 【解析】 【分析】利用配方法整理即可得解； 【详解】解：（1）y=x2-2x+5=x2-2x+1+4 =（x-1）2+4， 故答案为：（x-1）2+4． 【点睛】本题考查了二次函数的三种形式的转化，二次函数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 15. 如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=______． 【答案】6． 【解析】 【分析】根据点P（6，3），可得点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入函数解析式分别求出点A的纵坐标和点B的横坐标，然后根据四边形OAPB的面积为12，列出方程求出k的值． 【详解】∵点P（6，3）， ∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3， 代入反比例函数得， 点A的纵坐标为，点B的横坐标为， 即AM=，NB=， ∵S四边形OAPB=12， 即S矩形OMPN-S△OAM-S△NBO=12， 6×3-×6×-×3×=12， 解得：k=6． 故答案为：6． 16. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④，⑤其中正确的结论是_____（只填序号） 【答案】①⑤##⑤① 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．抛物线的开口方向得到，由抛物线与轴的交点得到，然后根据对称轴得到，当时，，当时，，抛物线与轴有两个交点，据此求解进行判断． 【详解】解：由图可知：抛物线开口向上，则， 抛物线与轴交点在负半轴上，则， 对称轴为直线，则，即， ∴，故①正确，②错误， 由图象可知当时，，即，故③错误， 由图象可知当时，，即，故④错误， 由图象可知抛物线与轴有两个交点，即，故⑤正确 ∴正确的有①⑤， 故答案为：①⑤． 三、用心解一解（本题共11个小题，17、25、26题每题10分，19、22题每题7分，27题12分，18、20、21、23、24每题8分，共计96分） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根、特殊角的三角函数值和解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先计算乘方、立方根和特殊角的三角函数值，再算乘法，然后计算加减法即可； （2）运用配方法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解得。 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，分别解两个不等式，取两个解集的公共部分，在数轴上表示出解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 19. 在一个不透明的口袋里装有2个红球、1个黑球和1个白球，它们除颜色不同外其余都相同．从口袋中随机摸出2个球，请你用画树状图或列表法的方法，求摸到的两个球是一黑一白的概率． 【答案】． 【解析】 【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出摸到的两个球是一黑一白的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中摸到的两个球是一黑一白的结果数为， 所以摸到的两个球是一黑一白的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 20. 已知、、为的三边长，且，，求． 【答案】96 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质和勾股定理的逆定理，熟练掌握比例的有关性质是解题的关键． 通过比例关系求出三角形三边长，再根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，最后利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设， 则，，， ∵， ∴ 解得， ∴，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，直角边为a和b， ∴ ． 21. 在我市乡村振兴活动中，村委会办公楼外墙上有一幅电子显示屏每天上午在播放乡村宣传片，小丽同学在点A处，测得显示屏顶端D的仰角为，再向显示屏方向前进10米后，又在点B处测得显示屏顶端D的仰角为，已知观测点A、B和C离地面高度都为米，求显示屏顶端D点距离地面的高度．（计算结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，在中，利用锐角三角函数的定义可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：在中，， ， ， 在中， ， ， ， ， 解得：米， 观测点A、B和C离地面高度都为米， 显示屏顶端D点距离地面的高度为米． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，其中点坐标为． （1）试确定、的值； （2）求点的坐标． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及坐标与图形性质，利用了待定系数法，熟练掌握此方法是解本题的关键． （1）由A为两函数的交点，故将A的坐标代入一次函数解析式中，得到关于k的方程，求出方程的解得到k的值；将A的坐标代入反比例函数解析式中，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值； （2）由（1）求出的、的值，确定出一次函数和反比例函数解析式，联立即可求得点B的坐标． 【小问1详解】 解：为一次函数与反比例函数图象的交点， ∴将代入一次函数解析式得：， 解得：； 将代入反比例函数解析式得：， 解得：； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，， 一次函数，反比例函数， 联立 解得：或 的坐标为． 23. 如图，在中，是直径，是弦，，垂足为P，若．求的长． 【答案】8 【解析】 【分析】连接，求出的长，再根据垂径定理可得，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 24. 如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ （1）求BD的长； （2）求tanC的值． 【答案】（1）12；（2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数得出BD=12即可； （2）利用勾股定理得出AD=5，进而得出DC=8，利用三角函数解答即可． 【详解】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ ∴ 即 解得：BD＝12； （2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC， ∴AD＝5， ∴DC＝8， ∴tan∠C＝ 【点睛】此题考查解直角三角形问题，关键是根据三角函数得出BD的值． 25. 某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件． （1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函数解析式． （2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润． （3）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】（1）y=﹣10x2+1300x﹣30000；（2）550件， 8250元；（3）当x=65元，最大利润为12250元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据每售价为x元，由这种衬衣的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，列出函数关系式即可； （2）销售价为45元，即上涨了5元，所以，代入即可得月销售量和销售利润； （3）用配方法求出二次函数的最大值即可． 试题解析：（1）由题意可得：y=（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）] =﹣10x2+1300x﹣30000； （2）当x=45时，600﹣10（x﹣40）=550（件）， y=﹣10×452+1300×45﹣30000=8250（元）； （3）y=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250， 故当x=65（元），最大利润为12250元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值，得出y与x的函数关系是解题关键． 26. 问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，． 求证：． 问题2：如图②，在四边形中，，是上一点，，．求的值． 【答案】 问题1：证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． 问题2： 【解析】 【分析】问题1：先根据AAS证明，可得，，由此即可证得结论； 问题2：分别过点、作的垂线，垂足为、，由（1）可知，利用45°的三角函数值可得，，由此即可计算得到答案． 【详解】问题1：略 问题2：如图，分别过点、作的垂线，垂足为、． 由（1）可知， 在和中，， ∴，， ，． ∴，． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、解直角三角形，作出正确的辅助线并能利用解直角三角形的相关知识是解决本题的关键． 27. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为． （1）若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求点的坐标； （3）若点是抛物线的顶点，是否为直角？若是，请说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为，抛物线的解析式为 （2）点的坐标为 （3）是直角，理由如下： 由题意得，当时， ， ∴， ∴，，， ∴ ， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质、勾股定理的逆定理和两点间的距离，解题的关键是掌握待定系数法求函数的解析式． （1）根据抛物线的对称轴以及A点的坐标，可得B点的坐标，再根据A、B的坐标和对称轴，可求出a、b、c的值，即可得出抛物线的解析式，再把B点和C点的坐标代入直线中，求出m、n的值，即可得出一次函数的解析式； （2）设直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，再把代入直线的解析式中，即可求出点的坐标； （3）先求出点D坐标，再分别求出，进而根据勾股定理的逆定理求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为，， ， 将对称轴、点C和点A代入， 得， 解得：， 抛物线的解析式为， 把、代入直线， 得， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线与对称轴的交点为M，连接，如图， A，B两点关于对称轴对称，M在上， ， 则， ∴此时点到点的距离与到点的距离之和最小， 把代入直线得，， ， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期期末考试试卷 九年级数学 注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、精心选一选（共10小题，每题3分，共30分） 1. 在、、0、2这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 据相关报道，2025年全球某电子产品市场规模将达到约美元，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 边长为的菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 做重复实验：抛掷同一枚瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的频数为550次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（　　） A. 0.4 B. 0.45 C. 0.5 D. 0.55 6. 已知、两点均在反比例函数的图象上，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 已知的半径为，则点和的位置关系是（　　） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 不确定 8. 如图，四边形内接于⊙O，若，则的度数是（ ） A. 75° B. 105° C. 110° D. 115° 9. 如图，的半径为5，弦，，垂足为点P，则CP的长等于（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 10. 如图所示的是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处．已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ） A. 6m B. 8m C. 18m D. 24m 二、细心填一填（共6小题，每题4分，共24分） 11. 分解因式：_________． 12. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝_____°． 13. ，则_____，，则_____． 14. 将二次函数化为的形式为________. 15. 如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=______． 16. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④，⑤其中正确的结论是_____（只填序号） 三、用心解一解（本题共11个小题，17、25、26题每题10分，19、22题每题7分，27题12分，18、20、21、23、24每题8分，共计96分） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 19. 在一个不透明的口袋里装有2个红球、1个黑球和1个白球，它们除颜色不同外其余都相同．从口袋中随机摸出2个球，请你用画树状图或列表法的方法，求摸到的两个球是一黑一白的概率． 20. 已知、、为的三边长，且，，求． 21. 在我市乡村振兴活动中，村委会办公楼外墙上有一幅电子显示屏每天上午在播放乡村宣传片，小丽同学在点A处，测得显示屏顶端D的仰角为，再向显示屏方向前进10米后，又在点B处测得显示屏顶端D的仰角为，已知观测点A、B和C离地面高度都为米，求显示屏顶端D点距离地面的高度．（计算结果保留根号） 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，其中点坐标为． （1）试确定、的值； （2）求点的坐标． 23. 如图，在中，是直径，是弦，，垂足为P，若．求的长． 24. 如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ （1）求BD的长； （2）求tanC的值． 25. 某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件． （1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函数解析式． （2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润． （3）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 26. 问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，． 求证：． 问题2：如图②，在四边形中，，是上一点，，．求的值． 27. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为． （1）若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求点的坐标； （3）若点是抛物线的顶点，是否为直角？若是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $