精品解析：2026届四川省字节精准教育联盟高三一模数学试题

秘密★启封并使用完毕前【考试时间：2026年1月10日07:40~09:40】 字节精准教育联盟 2026年普通高等学校招生全国统一考试·第二阶段学情调研测试 数学试题 川北版·（一轮结束） ★考生注意★ 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.考试结束后，只交回答题卡. 5.考试范围：请参照2026届绵阳二诊考试范围. ◈预祝你们考试成功◈ 一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分. 1. 一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】利用这些数据可以分别计算出平均数、中位数、众数、方差，再加以比较即可. 【详解】由这组数据：2，5，2，3，可得，平均数是3，中位数是2.5，众数是2， 方差是， 加入数据3后，平均数是3，中位数是3，众数是2和3， 方差是， 所以不发生变化的是平均数， 故选：A. 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用复数的除法运算化简z，再利用复数的几何意义求复数对应的点. 【详解】由已知得，∴z在复平面内对应的点的坐标为， 该点在第四象限. 故选：D 3. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解即可. 【详解】集合，，所以. 故选：B 4. 已知集合，集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解分式不等式，求得集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】由可得且，解得或， 即或，又， 故. 故选：D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理即得． 【详解】由题可得，， 试题. 故选：C． 6. 若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程确定准线，再应用几何法求圆截直线所得弦长即可. 【详解】由可变形为，其准线方程，圆心到的距离为1， 所以直线截所得的弦长为． 故选：B 7. 已知等差数列公差不为0，记其前n项和为，若，，则正整数k的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件求得，进而求出通项公式，再结合前前n项和公式列出方程求解即得. 【详解】设等差数列公差为，由，得，解得， ，，， 因此，整理得，解得. 故选：B 8. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和差正切公式得到，再结合余弦二倍角公式即可求解. 【详解】解析：，可化为， 即，即，解得， 又. 故选：B. 二、多选题：共3小题，每小题6分，全选得满分，漏选得部分分，错选得0分，满分18分. 9. 记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，，故，为等比数列；B选项，计算出，故，为等差数列，B正确；C选项，计算出，，C错误；D选项，，满足，D正确. 【详解】A选项，由题意得，故， 其中，故为等比数列，A正确； B选项，，故， 又，故是等差数列，B正确； C选项，，， ，其中，故不是等比数列，C错误； D选项，，故， 故，所以为等比数列，D正确. 故选：ABD 10. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 在区间上单调递减 C. 当且仅当 D. 轴是曲线的一条切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可判断A选项，再结合导数可判断函数单调性，进而可判断最值与切线情况，即可判断BCD选项. 【详解】 A选项：由已知函数为上的奇函数，且当时，， 所以当时，，则， 所以，A选项正确； B选项：易知函数， 当时，，则， 设，则， 可知当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 则当时，，单调递减，当时，，单调递增， 结合奇函数性质可知，函数在和上单调递减，在和上单调递增，B选项错误； C选项：由函数单调性与奇偶性可知，当时，，当时，， 所以当时，，C选项错误； D选项：由函数单调性与奇偶性可知函数图像如图所示， 可知当时，函数取得极值，此时切线方程为，即为轴，D选项正确； 故选：AD. 11. 已知双曲线E与焦点在y轴上的椭圆C的离心率之积为1，点是其公共点，若双曲线E的渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线E的实轴长为2 B. 椭圆C的离心率为 C. 椭圆C的长轴长为 D. 椭圆C与双曲线E的焦距相同 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据渐近线得出离心率，再根据点在双曲线上计算判断A；再根据离心率之积计算判断B；再计算实轴及焦距判断CD. 【详解】因为双曲线E的渐近线方程为，则双曲线所以椭圆的离心率为，B选项正确； 设双曲线方程为，双曲线过，所以，所以，实轴长为，焦距为，A选项错误； 椭圆的离心率为，所以， 设椭圆方程为，椭圆也过，所以，所以，长轴长为，焦距为，C选项正确，D选项错误. 故选：BC. 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知平面向量，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直求得，由模的坐标运算公式求解即可. 【详解】已知平面向量，，若，则,解得， 所以. 故答案为：. 13. 函数的图象在处的切线方程是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，求出函数在处的切线斜率，进而可得切线方程. 【详解】由已知，得，所以， 所以所求切线方程为，即. 故答案为：. 14. 如图，在四面体ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，，以D为球心，1为半径作球，则该球的球面与面ABC（三角形及其内部）的交线长度为___． 【答案】 【解析】 【分析】先求出到平面的距离，判断球体与各个面的相交情况，再计算求解即可. 【详解】∵DA，DB，DC两两垂直，， ∴， 所以是边长为的等边三角形， 所以边长为的等边三角形的高为：， 所以， 设到平面的距离为，， ∵， 所以， 解得，则， 所以以为球心，为半径的球与面的交线为一个圆，且圆的半径为， 所以交线长度为：. 故答案为：. 四、解答题：共5小题，15题13分，16-17题每小题15分，18-19题每小题17分，共77分. 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在上的最值． 【答案】（1）， （2）最大值2，最小值 【解析】 【分析】（1）化简的解析式，由此求得的最小正周期，利用整体代入法求得的单调递减区间. （2）根据三角函数最值的求法来求得在上的最值. 【小问1详解】 因为 所以函数的最小正周期，. 由，得：， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以当，即时，， 所以，即时，. 16. 如图，椭圆C：的离心率为，左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，椭圆上有一动点D（异于A，B），点E为线段的中点，点O为坐标原点.直线与直线相交于点M.已知面积有最大值为. （1）当点M坐标为时，求； （2）证明：. 【答案】（1） （2）证明：设直线AD：，与椭圆C方程联立得，， 又，故，则，， 又，故直线的斜率， 所以，故. 【解析】 【分析】（1）利用题干中的条件先求出椭圆的方程，再设点E的坐标，利用D点在椭圆上即可求出点E坐标，利用两点间的距离公式即可求得结果. （2）设出直线的方程，与椭圆联立得到各个点坐标，利用斜率相乘等于即可证明结论. 【小问1详解】 由题意得，，，解得，， 故椭圆C的方程为. 当点M坐标为时，， 设，则. 代入椭圆方程得解得或0（舍去），即， 又，故. 【小问2详解】 略 17. 图一，四边形是边长为2的菱形，且，点为的中点，现将沿直线折起，形成如图二的四棱锥，点为的中点. （1）求证：平面； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小. 【答案】（1）证明如下： 在图二中，取线段的中点为，连接和， 由点为的中点，得且， 又四边形是边长为2的菱形，点为的中点， 所以 且， 则且， 所以四边形为平行四边形，因此， 又平面平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取线段的中点为，利用线面平行的判定推理得证. （2）根据给定条件，结合三棱锥的体积计算证得平面，再建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法求出面面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在图一中，由菱形的边长为2，，得都是正三角形， 而点为的中点，则有， 则， 设四棱锥的高为， 其体积为，解得， 即点到平面的距离为1，而， 因此平面，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 由平面，得为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则，而，解得， 所以平面与平面的夹角的大小为. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）若为函数的极小值点，求a的取值范围． （3）曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 不存在，理由如下． 假定曲线上存在两个不同的点关于y轴对称，设其坐标分别为，，， 则有，即， 化简得． 令，则， 由知函数在上单调递增， 由得，即，这与矛盾， 所以曲线上不存在两个不同的点关于y轴对称. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）按值取正负零分别讨论在0左右两侧值的正负而得解； （3）假定曲线存在两个不同的点关于轴对称，转化为曲线上存在两个不同的点关于轴对称，利用导数判断单调性即可得解. 【小问1详解】 ，，， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ， ①若，则，单调递增，无极值，不符合题意． ②若，则当时，，，所以不可能为极小值点，不符合题意． ③若，令，则， 当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减， 则，又，当时，． 若，则， 当时，，当时，，所以为函数的极小值点，符合题意． 若，因为在上单调递增，的值从增到0， 所以直线与曲线在上的图象有公共点，即存在使得， 当时，，即， 所以存在，使得当时，， 当时，，此时为函数的极小值点，符合题意． 综上，. 【小问3详解】 略 19. 设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列． （1）已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式； （2）已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值； （3）证明：不存在“等比关联数列”． 【答案】（1） （2） （3） 当时，假设的各项从小到大排列，此时数列有项， 则，，，， 因为是等比数列，所以，即，所以． 设的公比为，则，所以， 所以，， 剩余四项为，，，， 又公比，所以，，是连续三项，因此是第4项或第7项， 当时，，所以，即，不符合题意； 当时，，所以，即，不符合题意； 因此当时，不存在“等比关联数列”． 【解析】 【分析】（1）根据定义计算出的前三项，即可写出等比数列的通项公式； （2）先计算出及的项数，再由的公比为，写出确定的，进而求出，再分两种情况讨论的可能性，从而得到使的前3项成等比数列的所有可能情况，进而求出概率； （3）先计算出的项数，再由的公比为，写出确定的，进而求出，再求出确定的，推理出，，是连续三项，从而推理出是第4项或第7项，进而分两种情况讨论即可得证. 【小问1详解】 因为，，， 由定义可知，， 故数列的通项公式为； 【小问2详解】 因为中4项均不相同，所以有种，有项， 假设，则，，，． 设的公比为，则， 又数列的第三项，第四项， 或第三项，第四项， 所以， 且，得，且， 或， 且，得，且， 这两种情况，不能同时成立，使得的前3项为等比数列有4种情况， 故． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启封并使用完毕前【考试时间：2026年1月10日07:40~09:40】 字节精准教育联盟 2026年普通高等学校招生全国统一考试·第二阶段学情调研测试 数学试题 川北版·（一轮结束） ★考生注意★ 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.考试结束后，只交回答题卡. 5.考试范围：请参照2026届绵阳二诊考试范围. ◈预祝你们考试成功◈ 一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分. 1. 一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知等差数列公差不为0，记其前n项和为，若，，则正整数k的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 8. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，全选得满分，漏选得部分分，错选得0分，满分18分. 9. 记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 10. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 在区间上单调递减 C. 当且仅当 D. 轴是曲线的一条切线 11. 已知双曲线E与焦点在y轴上的椭圆C的离心率之积为1，点是其公共点，若双曲线E的渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线E的实轴长为2 B. 椭圆C的离心率为 C. 椭圆C的长轴长为 D. 椭圆C与双曲线E的焦距相同 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知平面向量，，若，则______． 13. 函数的图象在处的切线方程是____________． 14. 如图，在四面体ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，，以D为球心，1为半径作球，则该球的球面与面ABC（三角形及其内部）的交线长度为___． 四、解答题：共5小题，15题13分，16-17题每小题15分，18-19题每小题17分，共77分. 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在上的最值． 16. 如图，椭圆C：的离心率为，左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，椭圆上有一动点D（异于A，B），点E为线段的中点，点O为坐标原点.直线与直线相交于点M.已知面积有最大值为. （1）当点M坐标为时，求； （2）证明：. 17. 图一，四边形是边长为2的菱形，且，点为的中点，现将沿直线折起，形成如图二的四棱锥，点为的中点. （1）求证：平面； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）若为函数的极小值点，求a的取值范围． （3）曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值；若不存在，说明理由． 19. 设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列． （1）已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式； （2）已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值； （3）证明：不存在“等比关联数列”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $