专题03二元一次方程组寒假预习核心讲义（1）)(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题03二元一次方程组寒假预习核心讲义（1） · 锚定衔接：精准识别二元一次方程、方程组的定义及核心判定条件，搭建 “一元一次方程” 到 “二元一次方程” 的认知桥梁，实现从 “单未知数” 到 “双未知数” 的思维过渡。 · 聚焦核心：掌握二元一次方程（组）解的本质内涵，能规范完成 “解的检验” 操作，夯实后续方程组求解的基础逻辑（“满足所有方程” 的核心准则）。 · 渗透思想：初步感知 “消元” 这一核心解题思想，了解代入、加减消元的基本思路，建立 “化二元为一元、化未知为已知” 的转化思维，为新课重难点突破提前铺垫思维框架。 必备知识点梳理 1.二元一次方程及其相关定义 2.二元一次方程组的解法 3.三元一次方程组的初步解法 常考题型 精讲精炼 1.二元一次方程组的定义 2.二元一次方程的解 3.二元一次方程组的判定方法 4.二元一次方程组解的验证判定方法 5.已知二元一次方程组的解求参数 6.二元一次方程组的代入消元法 7.二元一次方程组的加减消元法 8.二元一次方程组的特殊解法 9.构造二元一次方程组的解题思路与应用 10.根据二元一次方程组的解的情况求参数 11.二元一次方程组的同解问题解法 12.二元一次方程组的错解复原问题 13.三元一次方程组的定义及解的概念 14.三元一次方程组的应用 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.二元一次方程定义及相关概念】 1.二元一次方程 定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：ax+by=c（a、b、c为常数，且a≠0，b≠0）。 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组值。 特点：一个二元一次方程有无数组解。 3.二元一次方程组 定义：由两个一次方程组成，且含有两个未知数的方程组。 一般形式：（、、、 不同时为 0）。 4.二元一次方程组的解 定义：同时满足方程组中所有方程的未知数的一组值。 特点：一个二元一次方程组有且只有一组解（特殊情况：无解或无数组解）。 检验方法：将一组值代入方程组的每个方程，若所有方程均成立，则为方程组的解。 【知识点02.二元一次方程组的解法(核心技能)】 核心思想：消元思想—— 将 “二元” 转化为 “一元”（化未知为已知）。 主要方法：代入消元法、加减消元法。 1.代入消元法 适用场景：方程组中某一方程的未知数系数为1或−1时，优先使用。 步骤： (1)变：从方程组中选一个方程，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数（例：由 x+y=3 得 y=3−x）； (2)代：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程；(3)解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； (4)回代：将求出的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值； (5)写：写出方程组的解。 易错提醒：代入时要代入未变形的那个方程，避免代入原方程导致恒等式。 2.加减消元法 适用场景：方程组中同一未知数的系数相等或互为相反数时，优先使用。 步骤： (1)化：将方程组中同一未知数的系数化为相等或互为相反数（利用等式的性质，给方程两边同乘一个数）； (2)加 / 减：若系数互为相反数，两方程相加消元；若系数相等，两方程相减消元，得到一元一次方程； (3)解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； (4)回代：将求出的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值； (5)写：写出方程组的解。 易错提醒：相减时要注意各项符号的变化 3.特殊情况：方程组的解的情况 方程组形式（以 为例） 解的情况 ​​ 一组解 无解 无数组解 【知识点03.三元一次方程组的初步解法(拓展内容)】 1.三元一次方程组定义：含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程组。 2.核心思想：消元思想—— 先消去一个未知数，转化为二元一次方程组，再消元转化为一元一次方程。 3.基本步骤： ① 第一次消元 ：选两个方程消去一个未知数（例：消去z），得到一个二元一次方程； ② 第二次消元 ：选另外两个方程消去同一个未知数（z），得到另一个二元一次方程； ③ 联立：将两个二元一次方程联立，解二元一次方程组； ④ 回代：将求出的两个未知数的值代入原方程，求出第三个未知数的值。 【题型1.二元一次方程的定义】 【典例】下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、方程中，含未知数的项的次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； B、方程中，含未知数的项的次数不都是1，不是二元一次方程，不符合题意； C、方程中，含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D、方程是二元一次方程，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】已知方程是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，代数式求值，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此列式求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【跟踪专练2】已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握方程含有2个未知数，且每个未知数的系数不等于0且次数等于1是解题的关键． 根据二元一次方程的定义得到关于m、n的方程组求解即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴，解得：． 故选D． 【题型2.二元一次方程的解】 【典例】已知方程，用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，通过移项将方程变形即可求解，掌握解二元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】二元一次方程在正整数范围内的解有（    ）组． A．3 B．4 C．5 D．无数 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解．由二元一次方程的特点逐一写出方程的正整数解从而可得答案． 【详解】解：∵，为正整数，， ∴或或或或， ∴正整数范围内的解有5个． 故选：C． 【跟踪专练2】.已知一个四位自然数N，它的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和对称数”，将这个四位自然数N的千位数字和百位数字互换，十位数字和个位数字互换，得到，规定．例如：，∵，∴是“和对称数”， ．又如：，∵，∴不是“和对称数”．则最小的“和对称数”为 ．已知A，B均为“和对称数”，其中， (，且a，b，m，n均为整数)，令，当K能被77整除时，则所有符合条件的A的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义，整式的加减，二元一次方程的解，根据新定义，求出最小的“和对称数”即可，根据题意分别表示出，，再由，能被77整除并结合，分类讨论． 【详解】解：由题意，最小的“和对称数”为； ，，，均为整数且为“和对称数”， ∴的千位、百位、十位、个位数字分别为， ，即， ， ， ， ，，，且均为整数且为“和对称数”， ∴的千位、百位、十位、个位数字分别为，， ， ，即， ， ， ， ， ， 能被77整除， ∴是的倍数， ∵，， ∴， ∴或或或； 当时， 当时，则，则，其余的都不符合题意； 当时，即， 当时，，则， 当时，，则，其余的都不符合题意； 当时，则， 当时，，则， 当时，，则，其余的不符合题意； 当时，即， 当时，，则，其余的不符合题意； 综上：为：3746，4756，6776，5766，7786，8796， ∴符合题意的的最大值为8796； 故答案为：1111，8796． 【题型3.二元一次方程组组的判定方法】 【典例】下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个一次方程组成，且含有两个未知数的整式方程叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：由二元一次方程组的定义可知，只有C选项中的方程组是二元一次方程组， 故选：C． 【跟踪专练1】下列说法中，正确的是（　　） A．是二元一次方程组 B．方程的解只有 C．方程的解必是方程组的解 D．由方程组可得出与之间关系是 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的相关概念，等式的性质；根据二元一次方程组的概念及解对各选项进行判断． 【详解】A、是二元二次方程组，故A选项错误． B、二元一次方程的解有无数个，故此项错误． C、方程组的解必是方程的解，故此项错误． D、， 得：，即，故此项正确． 故选：D． 【跟踪专练2】若是关于的二元一次方程组，则 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，， 或． 故答案为：或1． 【题型4.二元一次方程组解的验证判定方法】 【典例】写出一个解是的二元一次方程组： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据题意写出两个解为的二元一次方程，并把这两个方程组成方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴符合题意的二元一次方程组可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】若二元一次方程，的部分解分别为表1、表2： 表1： 5 2 4 18 表2： 2 6 4 则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解需同时满足两个方程，即寻找两个方程解集的公共解，找到两个方程的公共解是是解此题的关键．根据方程组的概念进行求解即可得． 【详解】解：由表格数据可得两个方程的公共解是， 则方程组的解为， 故选：A． 【跟踪专练2】写出一个解为的二元一次方程组为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程成为解题的关键． 直接根据二元一次方程组的定义写成方程组即可． 【详解】解：依题意，以为解的一个的二元一次方程组为． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型5.已知二元一次方程组的解求参数】 【典例】已知方程组的解为，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组解的定义及利用方程组的解求未知参数，解题的关键是理解方程组的解能使方程组中每个方程都成立，将解代入含未知参数的方程求解． 根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足其中每个方程，将代入含有的方程，得到关于的一元一次方程，求解该方程即可得到的值． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴该解满足方程， 将，代入 得：， 化简得：， 解得：， 故选：A． 【跟踪专练1】已知与都是方程的解，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是把x和y的值代入方程，建立关于a和b的二元一次方程组， 先根据题意列出方程组，再求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：；． 【跟踪专练2】若关于x，y的方程组的解为则等于（    ） A．1 B．4 C．9 D．25 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，代数式求值．解决本题的关键是理解二元一次方程组的解． 将、的值代入，可得关于、的二元一次方程组，解出、的值，代入代数式即可． 【详解】解：把代入方程组得 ， 解得： ． 故选：B． 【题型6.二元一次方程组的代入消元法】 【典例】已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是在二元一次方程中，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数．将x看作已知数，即可求解． 【详解】解：已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则， 故答案为：． 【跟踪专练1】解方程组时，将方程①代入②中消去y，所得方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代入消元法解方程，使用代入法，将方程①中的y表达式代入方程②，消去y后，展开并整理，即可作答． 【详解】解：∵解方程组时，将方程①代入②中消去y， ∴， 整理得， 故选：A． 【跟踪专练2】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据得到，解方程组，后代入计算即可． 本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，解方程组，熟练掌握实数的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵, ∴, ∴, ∴, 故答案为：． 【题型7.二元一次方程组的加减消元法】 【典例】解方程组时，由得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了加减消元法求解二元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：， 得， 故选：A． 【跟踪专练1】已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了加减消元法，代数式求值，解题的关键在于熟练掌握加减消元法． 将两个方程相减，即可得到的值． 【详解】解：， 得， ∴， 故答案为：1． 【跟踪专练2】已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B．7 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解，理解方程组的解是解答的关键． 通过将方程组的两个方程相减，得到与m的关系式，再代入已知条件求解m的值． 【详解】解：方程组， ，得： ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 故选：C． 【题型8.二元一次方程组的特殊解法】 【典例】某方程组的解为，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．把代入程组，求出，，再代入求出，再把x的值代入其中一个方程求出y即可． 【详解】解：把代入程组得： 把代入得： ①-②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解是， 故答案为： 【跟踪专练1】已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 先根据原方程组的解可知，再求出解即可. 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解是， 解得. 故选：B. 【跟踪专练2】若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解是 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用整体思想求解是关键．把和看作整体，可得，解方程组解即可得出答案． 【详解】解：若关于x，y的二元一次方程组的解是， 则关于x，y的二元一次方程组有， 关于x，y的二元一次方程组的解是． 故答案为：． 【题型9.构造二元一次方程组的解题思路与应用】 【典例】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任何数的绝对值与平方是非负数，两个非负数的和是0，则每个数等于0，即可得到关于x，y的方程组，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值与平方的非负性，解二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键． 【跟踪专练1】已知，，，，中每一个数值只能取，0，1中的一个，且满足，，则，，，，中数值取0的个数是 ． 【答案】829 【分析】本题考查的是解二元一次方程组．先设有p个x取1，q个x取，根据，可得出关于p，q的二元一次方程组，求出p，q的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：设有p个x取1，q个x取， 则有， 解得， ∴． ∴，，，，中数值取0的个数是829． 故答案为：829． 【跟踪专练2】对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组及新定义运算，理解新定义运算的规定是解决本题的关键．根据新定义运算建立方程组求解a、b的值，逐一验证各结论的正确性． 【详解】由得：，即； 由得：，即． 联立方程组： ， 解得：，，故结论①正确． ，即，解得，结论②正确． 方程的正整数解为： 时，； 时，， 共有2组解，结论③错误． 由得： ， ∴， 对所有成立，需，即，结论④错误． 综上，正确的结论为①、②，共2个， 故选B． 【题型10.根据二元一次方程组的解的情况求参数】 【典例】若关于，的二元一次方程组无解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组无解得出的值是解题的关键．方程组中的两个方程直接相减得到一元一次方程，根据方程组无解得到，即可求出的值． 【详解】解：， ，得， ， 关于，的二元一次方程组无解， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（　　） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法和整体思想是解题的关键．将方程组的两式相加得，进而发现与的关系，从而获解． 【详解】解：将二元一次方程组的两式相加，得， 又∵， ∴， 解得， 故选：A． 【跟踪专练2】关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先解方程组，二元一次方程组的解为正整数求出的值，再求和即可，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， 解得， ∵，为正整数， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：． 【题型11.二元一次方程组的同解问题解法】 【典例】已知关于，的方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先通过对所求方程组进行变形，利用整体代换，结合已知方程组的解来求解即可． 【详解】解：可化为： 方程组的解是， 中 解得： 方程组的解是 故答案为：． 【跟踪专练1】已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查二元一次方程组的解，用已知求未知，主要是熟练掌握解方程组． 根据两方程组的解相同，取出不含未知量的两个方程重组方程组，解方程得到解，再把解代入含有未知字母的方程组，解方程组即可． 【详解】解：解方程组 ，得 ， 上面方程组的解也是 的解，代入， 得 ， 解这个方程组，得 ． ∴， 故选：B 【跟踪专练2】已知方程组和有相同的解，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，平方根，解二元一次方程组，掌握二元一次方程组解的定义，平方根定义，解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据题意，可联立新的方程组：，利用加减消元法解方程组可得：，然后再把代入方程组，可得：，解得，把a，b的值代入，最后求平方根即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 把代入方程组，可得， 解得， 把代入，得， 的平方根为， 故答案为：． 【题型12.二元一次方程组的错解复原问题】 【典例】甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组看错系数问题，涉及解方程（组）、代数式求值等知识，根据题意，得到正确的方程求解即可得到答案．掌握二元一次方程组看错系数问题的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：甲将①中的看成了它的相反数解得，则②是正确的， ∴，且， 解得； 乙抄错②中的解得，则①是正确的， 即， ∴； 联立，解得， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：把甲的解代入方程可得：， 把乙的解代入方程可得：， 联立可得：， 解得：； 故选C． 【跟踪专练2】已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则 ， ． 【答案】 1 －3 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，解题关键是能正确得到，的值． 甲看错方程①中的，但其解满足方程②；乙看错方程②中的，但其解满足方程①；分别代入得到关于和的方程组，解之即可． 【详解】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，此解满足方程②， 代入得：，即． 乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，此解满足方程①， 代入得：，即． 联立方程组： 由④得， 代入③得：，即， 解得． 代入，得， 解得： 故答案为：，． 【题型13.三元一次方程组的定义及解的概念】 【典例】下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】已知单项式与是同类项，则 ， ， ． 【答案】 4 6 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，解三元一次方程组，根据相同字母的指数相同列方程组求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得． 故答案为：4，，6． 【跟踪专练2】在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程组的应用．根据题意，正确的列出三元一次方程组，是解题的关键．根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵等式中，当时，；当时，；当时，； ∴，解得：； 故选：B． 【题型14.三元一次方程组的应用】 【典例】现有A，B，C三箱橘子，其中A，B两箱共100个橘子，A，C两箱共102个橘子，B，C两箱共106个橘子，求每箱各有多少个橘子．在该问题中，若设A，B，C三个箱子中的橘子分别有x个、y个、z个，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查三元一次方程组的应用，理解题意是解题关键． 根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设A，B，C三个箱子中的橘子分别有x个、y个、z个， 根据题意得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组的解，根据方程解的概念将方程的解代入未抄错的方程中得出关于c的方程和得出关于a、b的方程组是解此题的关键．根据方程组的解的定义得到关于a、b、c的方程组，再进一步运用加减消元法求解，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意把代入原方程组，得， 把代入，得， 可组成方程组， 解得， 则． 故选：D． 【跟踪专练2】幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方--九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，这就是最早的幻方．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，现将、、、、2、4、6、8分别放入图中的圆圈中，使得内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数加减运算，方程的应用，合理设出未知数，找到列方程的等量关系是解决问题的关键．将四个“和”都设为同一个值，空白处数字为，根据内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图所示，将四个“和”都设为同一个值，空白处数字为，根据题意得： 外圆四数之和： ， 内圆四数之和：， 横向四数之和： ， 纵向四数之和：， 整理得： ①， ②， ③， ④， 由①④可得， 由②④可得，比小， 而没有填入的数只有， ∴ ， ∴． 故答案为：16． 1．下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（    ） ① ；② ； ③ ；④ ； ⑤   ；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的识别，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的定义． 利用二元一次方程组的定义来进行判断，即“由两个二元一次方程组成的方程组”，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：①，是分式，该选项不是二元一次方程组，不符合题意； ②，次数为2，该选项不是二元一次方程组，不符合题意； ③，含有3个未知数，该选项不是二元一次方程组，不符合题意； ④，该选项是二元一次方程组，符合题意； ⑤，该选项是二元一次方程组，符合题意； ⑥，该选项是二元一次方程组，符合题意； 故选：C． 2．若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，即是方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； 故选：B． 3．方程组的解为，则被■盖住的数分别是（   ） A．1， B．3，1 C．2，3 D． ，4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是理解二元一次方程组的解的意义，代入法求解． 把代入先求出y，再代入求出■即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴代入, 得， 解得， 把代入， 得， ∴被■盖住的数分别是1，． 故选：A． 4．若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查加减法解二元一次方程组，得，根据得到，即可求出﹒ 【详解】解： 得， ∵， ∴， 解得﹒ 故答案为：2 5．若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，方程组之间的关系，熟练掌握方程组之间的关系是解题的关键． 根据两方程组各方程间的关系，可得出方程组的解为，进而可得出结论． 【详解】解：∵关于x，y的方程组（a，b是常数）的解为， ∴方程组的解为，即． 故答案为：． 6．已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．根据相反数的定义，得到，将方程组加减消元，得到，进而求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程和方程中，求得，再将、代入，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；将变形，即可判断④结论． 【详解】解：， 得：， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，则， ∴，解得，①结论正确； 当时，方程组为，方程为， 解得： 将代入中，得：， 方程组的解是方程的解，②结论正确； 当时，， ， 解得：， 无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确； ，④结论不正确； 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：A． 7．已知方程组的解，的绝对值相等，则的值为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握方程组解的关系是解题的关键．方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 将方程组两式相加，得，根据，的绝对值相等，分两种情况，当时，，得到；当时，，得到，分别解之即可． 【详解】解：∵， ∴①②，得， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， 解得， 当时，， ∴， 解得． 故答案为：或． 8．小莹和小亮同时解关于，的方程组，小莹解得正确结果为，小亮因为抄错了，解得错误结果为，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入方程组得，再把代入方程组中第一个方程得，联立①②③，求出，，的值代入计算即可． 【详解】解：把代入方程组得， ∵是方程的一组解， ∴， 联立①②③，并解得， ∴， 故答案为：3． 9．已知中（，2，…，n）的数值只能取，0，1中的一个，且满足，，则的值为 ． 【答案】5929 【分析】本题主要考查了数字变化规律、二元一次方程的应用、乘方运算等知识，设个数有个，1有个，根据题意列出关于的二元一次方程并求解，即可确定个数中和1的个数，再计算，然后进行乘方运算即可． 【详解】解：当时，，当时，， 当时，， 设个数有个，1有个， ∵，， ∴，解得， ∴， ∴． 故答案为：5929． 10．“铺地锦”是《算法统宗》记载的一种乘法计算方法，因计算过程形如铺地锦而得名．如图1，计算，计算步骤为：（1）数位分解：将乘数326和53按数位拆分，分别写在网格的上方和右方；（2）逐位相乘：将326的每位数字乘以53的每位数字，每一步乘积结果的十位和个位分别记入小正方形相应的格子中．乘积结果小于10时，十位数字记为0；（3）分区域累加：从右往左沿斜线方向对乘积结果进行累加，累加结果逢十进一，并将结果分别写在网格的下方和左侧；（4）组合结果：沿网格左侧和下方按从上往下，再从左往右依次写出各个数字，结果即为17278．如图2，用“铺地锦”的方法计算，下列说法：①b的值小于3；②a的值为偶数；③；④．其中正确的个数是（   ） 图1                图2 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程的解的含义，由题意可得：，，其中，，都为整数，可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：如图， 由题意可得：，，其中，，都为整数， ∴，， 其中，，，不符合题意， 如图， ∴，，， ∴①b的值小于3；②a的值为偶数；③；④， ∴①②③④都正确； 故选：D 解答题 11．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能选择恰当的方法进行求解是解题的关键． （1）先用加减消元法求出，将代入①求出，即可求解； （2）原方程组可化为，将方程组的第二个方程化为，用代入消元法进行求解即可． 【详解】（1） 解：①得， ③， ②③得， ， 解得：， 将代入①得， ， 解得：， 原方程组的解为； （2）解：原方程组可化为， 由②得， ③， 将③代入①得， ， 解得：， 将代入③得， ， 原方程组的解为． 12．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可． 例：求二元一次方程的正整数解． 解：，． 、为正整数， 或． 【解决问题】 (1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______； (2)求方程的正整数解； (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 【答案】(1)11 (2) (3)共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，二元一次方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得是3的倍数，则是3的倍数，据此结合x的取值范围可得答案； （2）求出，根据x为正整数，得到是2的倍数，且y为正整数，据此求解即可； （3）设长为的绳子有段，长为的绳子有b段，由题意得，，求出该方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵为非负整数， ∴是3的倍数，且为非负数， ∴是3的倍数， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵x为正整数， ∴为正整数， ∴是2的倍数，且y为正整数， ∴当时，， ∴原方程的正整数解为； （3）解：设长为的绳子有段，长为的绳子有b段， 由题意得，， ∴， ∵b为正整数， ∴为正整数， ∴a是4的倍数，且a为正整数， 当时，， 当时，， ∴共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子． 13．解关于x，y的方程组时，甲正确地解出，乙因为把c抄错了，误解为，求a，b，c的值． 【答案】． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入求出，再将将代入，得，联立得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， 将代入，得：， 联立得：， 解得：， ∴． 14．已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】6 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将两个方程组重新组合是解题的关键． 首先根据两个方程组的解相同，先联立不含参数的方程求出方程组的解，再将解代入含参数的方程中，进而求出a，b的值，最后计算的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴可得方程组：，解得：， ∴可得方程组：，解得：， ∴． 15．已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解复原问题；甲看错了方程（1）中的 ，但其解满足方程（2）；乙看错了方程（2）中的 ，但其解满足方程（1）．分别代入对应方程求出 和 ，再解原方程组． 【详解】解：甲的解为 ，代入方程（2）得 解得： 乙的解为 ，代入方程（1）得 解得： 原方程组为 由 得 ， 代入另一方程得 解得： 代入 得 所以方程组的解为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题03二元一次方程组寒假预习核心讲义(1) 预习目标 ● 锚定衔接：精准识别二元一次方程、方程组的定义及核心判定条件，搭建 一元一次方程”到二元一次方程”的认知桥梁，实现从“单未知数”到双 未知数”的思维过渡。 。聚焦核心：掌握二元一次方程（组）解的本质内涵，能规范完成“解的检验， 操作，夯实后续方程组求解的基础逻辑（满足所有方程”的核心准则）。 渗透思想：初步感知“消元”这一核心解题思想，了解代入、加减消元的基 本思路，建立“化二元为一元、化未知为已知”的转化思维，为新课重难点突 破提前铺垫思维框架。 预习内容概览 必备知识 1.二元一次方程及其相关定义 2.二元一次方程组的解法 点梳理 3.三元一次方程组的初步解法 1.二元一次方程组的定义 2.二元一次方程的解 3.二元一次方程组的判定方法 4.二元一次方程组解的验证判定方法 5.已知二元一次方程组的解求参数 6.二元一次方程组的代入消元法 常考题型 7.二元一次方程组的加减消元法 8.二元一次方程组的特殊解法 精讲精炼 9.构造二元一次方程组的解题思路与 10.根据二元一次方程组的解的情况求 应用 参数 11.二元一次方程组的同解问题解法 12.二元一次方程组的错解复原问题 13.三元一次方程组的定义及解的概念 14.三元一 次方程组的应用 强化巩固 (15题) 题型通关 3 知识点梳理 【知识点01.二元一次方程定义及相关概念】 试卷第1页，共3页 1.二元一次方程 定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 般形式：ax+by=c(a、b、c为常数，且a0,b0)。 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组值。 特点：一个二元一次方程有无数组解。 3.二元一次方程组 定义：由两个一次方程组成，且含有两个未知数的方程组。 (ax+by=c 一般形式： ax+by=C (a、a2、b1、b2不同时为0)。 4.二元一次方程组的解 定义：同时满足方程组中所有方程的未知数的一组值。 特点：一个二元一次方程组有且只有一组解（特殊情况：无解或无数组解）。 检验方法：将一组值代入方程组的每个方程，若所有方程均成立，则为方程组的 解。 【知识点O2.二元一次方程组的解法（核心技能）】 核心思想：消元思想一一将“二元”转化为“一元”（化未知为已知）。 主要方法：代入消元法、加减消元法。 1.代入消元法 适用场景：方程组中某一方程的未知数系数为1或-1时，优先使用。 步骤 ()变：从方程组中选一个方程，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数（例： 由x+y=3得y=3-x); (2)代：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程： 3)解：解一元一次方程，求出一个未知数的值： ()回代：将求出的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值； (⑤写：写出方程组的解。 易错提醒：代入时要代入未变形的那个方程，避免代入原方程导致恒等式。 2.加减消元法 试卷第1页，共3页 适用场景：方程组中同一未知数的系数相等或互为相反数时，优先使用。 步骤 ()化：将方程组中同一未知数的系数化为相等或互为相反数（利用等式的性质， 给方程两边同乘一个数)； (2)加/减：若系数互为相反数，两方程相加消元；若系数相等，两方程相减消 元，得到一元一次方程； (3)解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； ()回代：将求出的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值； (⑤写：写出方程组的解。 易错提醒：相减时要注意各项符号的变化 3.特殊情况：方程组的解的情况 ax+by=c 方程组形式（以 ax+by=G为例) 解的情况 贵≠品 组解 贵=是≠号 无解 器-品=号 无数组解 【知识点O3.三元一次方程组的初步解法（拓展内容）】 1.三元一次方程组定义： 含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整 式方程组 2.核心思想：消元思想 先消去一个未知数，转化为二元一次方程组，再消 元转化为一元一次方程。 3.基本步骤： ①第一次消元：选两个方程消去一个未知数（例：消去z),得到一个二元一 次方程： ②第二次消元：选另外两个方程消去同一个未知数(z),得到另一个二元 次方程； ③联立：将两个二元一次方程联立，解二元一次方程组； 试卷第1页，共3页 ④回代：将求出的两个未知数的值代入原方程，求出第三个未知数的值。 常考题型精讲精练 【题型1.二元一次方程的定义】 【典例】下列方程中，是二元一次方程的是() A.xy=1 B.x2+y=1 C.x-y+z=0 D.2x=3y 【跟踪专练1】已知方程2x-3-(b-2)y=4是关于x,y的二元一次方程，则 a-2b= 【跟踪专练2】已知x2m-1-3y2”=-7是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是() m=1 m=1 m=1 m=2 A. C n=1 B n=2 3 D 3 n= 2 n=- 2 【题型2.二元一次方程的解】 【典例】已知方程x+y=2,用含x的代数式表示y，则y= 【跟踪专练1】二元一次方程x+2y=12在正整数范围内的解有()组. A.3 B.4 C.5 D.无数 【跟踪专练2】.己知一个四位自然数N,它的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字 与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和对称数”，将这个四位自然 数N的千位数字和百位数字互换，十位数字和个位数字互换，得到N',规定 F(N)=N+N' 101 例如：N=4536,4+5=3+6,.4536是“和对称数”， F(4536)=4536+5463-99.又如：N=2346,:2+3±4+6,2346不是和对称数.则 101 最小的“和对称数”为」 .已知A,B均为“和对称数”，其中A=1000a+10b+746, B=100m+n+2026(3≤a≤8,0≤b≤5,2≤m≤9,5≤n≤12，且a,b,m,n均为整数)，令 K=3FA)+2F(B),当K能被77整除时，则所有符合条件的A的最大值为 【题型3.二元一次方程组组的判定方法】 【典例】下列方程组中是二元一次方程组的是() -+y=4 4x+3y=6 B C. x+y=4 D x+y=5 x-y=1 2y+z=4 (x-y=1 x2+y2=13 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】下列说法中，正确的是() x-3y=9 A 是二元一次方程组 xy=2 x=3 B.方程x+3y=6的解只有 y=1 C.方程2x-y=3的解必是方程组 2x-y=3 的解 3x+y=1 D.由方程组 x+m=-4 y-3=m 可得出x与y之间关系是x+y=-1 x-(m-1)y=5 【跟踪专练2】若 xm+(n-3)xy=3 是关于x,y的二元一次方程组，则m”= 【题型4.二元一次方程组解的验证判定方法】 【典例】写出一个解是 少=4的二元一次方程组： x=-1 【跟踪专练1】若二元一次方程ax+by=p,mx+y=9的部分解分别为表1、表2： 表1： 3 5 2 18 表2： -2 -1 -6 ax+by=p 则方程组 的解为() mx+ny=q x=-2 x=5 A. B x=6 C. D. y=4 y=-6 y=18 -1 x=2 【跟踪专练2】写出一个解为 少=1的二元一次方程组为 试卷第1页，共3页 【题型5.已知二元一次方程组的解求参数】 y=3x-5 x=1 【典例】己知方程组 y=2x+m 的解为 y=-2’则m的值为() A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 x=2 x=6 【跟踪专练1】己知 y=-1 都是方程ax+y=b的解，则a=,b=一 3mx-y=n x=1 【跟踪专练2】若关于x,y的方程组 的解为 则(m-n)2等于() 2x+ny =m A.1 B.4 C.9 D.25 【题型6.二元一次方程组的代入消元法】 【典例】已知二元一次方程4x-y=1,用含x的代数式表示y,则y= y=x+1① 【跟踪专练1】解方程组 3x+2y=7@时，将方程①代入②中消去，所得方程正确的是() A.3x+2x+2=7B.3x+2x+1=7 C.3x+x+1=7 D.3x-2x-2=7 【跟踪专练2】若x+y-3+√2x-y=0,则x-y的值为 【题型7.二元一次方程组的加减消元法】 【典例】解方程组 x-y=2① x+y=10② 时，由②+①得() A.2x=12 B.2y=8 C.-2x=12 D.-2y=8 x+7y=16 【跟踪专练1】已知二元一次方程组 5x+3y=20' 则x-y的值为 3x-y=4m+1 【跟踪专练2】己知关于x,y的二元一次方程组 x+y=2m-5的解满足x-y=4,则m的 值为() A.-1 B.7 C.1 D.2 【题型8.二元一次方程组的特殊解法】 【典例】某方程组 a,x+y=G的解为 x=3 a,x+y=C2 y=-2' 则方程组 ax-y=4+2c的解是 a,x-y=az+2c2 试卷第1页，共3页 2x-3y=13 x=8.3 【跟踪专练1】己知方程组 3r+5y=30.g的解是 y=1.2' 则方程组 2(x+2)-3(y-1)=13 3(x+2+5(y-1)=30.9 的解是（) x=8.3 x=6.3 A. B. y=1.2 y=2.2 x=10.3 x=10.3 C. D. y=2.2 y=0.2 【跟踪专练2】若关于x,y的二元一次方程组 a,x+hy=G的解是 x=2 y=-2’ 则关于x,y ax+bay=c2 的二元一次方程组 a(x-)+h+2)=9的解是 a2x-1+b2y+2)=c2 【题型9.构造二元一次方程组的解题思路与应用】 【典例】已知2x-4+(2y+10)2=0,则() x=2 x=0 x=2 x=-2 A. B. C. y=1 y=-3 y=-5 y=-7 【跟踪专练1】已知x1,2,x,…,x225中每一个数值只能取-2,0,1中的一个，且满 足x+x2+…+x2025=-1759,x2+x+x+…+x025=4151,则X1,X3,X3,…,x2025中数 值取0的个数是一 【跟踪专练2】对x、y定义一种新运算T,规定：T(x,y)=ax+by-5(其中a、b均为非零 常数).例如T(0,1=a×0+b×1-5=b-5,若T(2,3)=2,T(1,-4)=-7,则下列结论：① 2.6;②若Tm,0=0,则m三”：③若Tm,n=0,则mn有且仅有1组证 解；④若T(kx,y)=T(ky,x)对任意有理数x、y都成立，则k=1.其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【题型10.根据二元一次方程组的解的情况求参数】 y=2x-1 【典例】若关于x,y的二元一次方程组 y=ar+2无解，则a的值是】 试卷第1页，共3页 4x+2y=5k-4, 【跟踪专练1】若关于，y的二元一次方程组 2x+4y=5 的解满足x+y=1,则k的值 为() A.1 B.0 C.2 D.-1 2x+1y=15 【跟踪专练2】关于x,y的二元一次方程组 的解为正整数，则所有满足条件 x-2y=0 的整数m之和是_一 【题型11.二元一次方程组的同解问题解法】 ax+by =m x=-4 【典例】己知关于x,y的方程组 y=3，则方程组 的解是 cx+dy=n a(x+5+by-1=2m c(x+5)+d(y-1)=2n 的解是一 [2x+y=5mx-y=1 【跟踪专练1】已知关于x,y的方程组 -y=和2a+3动v=2的解相同，则ab的值是 () A.-1 B.0 C.1 D.2 5x+2y=3「x-2y=3 【跟踪专练2】己知方程组 ,和 有相同的解，则a+4b的平方根 ax+5y=4 5x+by= 是 【题型12.二元一次方程组的错解复原问题】 ax+by=2① 【典例】甲、乙两人共同解方程组 cx-3y=4②，甲将①中的b看成了它的相反数解得 1乙抄错2中的c解科-子则：-b+c x=1 x=2 x=1 【跟踪专练1】甲、乙两人同求方程x-by=7的整数解，甲正确的求出一个解为 y=-1' =2则a、b的值分别为() x=1 乙把ax-by=7看成m+=1,求得一个解为 试卷第1页，共3页 [a=2 a=5 「a=13 a=-6 A. B. 1b=5 1b=2 C. b=6 b=13 ax+by=4,① 【跟踪专练2】己知关于x,y的方程组 现甲看错了①中的a,得到方程组的 ax-by=-5.② 2乙看错了②中的6，得到方程组的解为 x=1 x=1 解为 则a= y=-1 【题型13.三元一次方程组的定义及解的概念】 【典例】下列是三元一次方程组的是() 3 2x=5 +y-z=-2 x+y-2=7 x+y=2 A. x2+y=7 B x-y+z=9 C. xy+x=2 x-y-x=-5 x+y+z=6 x+2z=4 x-y=-3 y-z=3 【跟踪专练1】已知单项式-8a3r+b2c+w*:与2ab2x-'c6是同类项，则x=一， y=,=一 【跟踪专练2】在等式y=ax2+bx+c中，当x=0时，y=-5;当x=-1时，y=0;当x=2 时，y=3;求a,b,c的值为() A.a=-2,b=3,c=-5 B.a=3,b=-2,c=-5 C.a=-5,b=-2,c=3 D.a=-5,b=3,c=-2 【题型14.三元一次方程组的应用】 【典例】现有A,B,C三箱橘子，其中A,B两箱共1O0个橘子，A,C两箱共102个橘子， B,C两箱共106个橘子，求每箱各有多少个橘子.在该问题中，若设A,B,C三个箱子中 的橘子分别有x个、y个、z个，则可列方程组为一· ax+by=2 x=1 【跟踪专练1】小亮和小明两人在解方程组{ cx-3y=-2 时，小亮正确解得 y=-1’小明因 x=2 抄错c,解得 y=-6'则a+b+c的值为() A.3 B.-3 C.2 D.-2 【跟踪专练2】幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方-九宫 格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等， 试卷第1页，共3页 这就是最早的幻方.如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，现将-7、-5、-3、-1、2、4、6、 8分别放入图中的圆圈中，使得内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，则 x-2y= 8 6 -5 04 常考题型精讲精练 1.下列六个方程组中，是二元一次方程组的有() 1 +y=1 y=9 x-y=2 x+12y=4 x=2 ①{x ；② 7x-9y=5 ；⑤ 16x-6y=-9 (x+2=16；③ 2-3y=4:④ y=3 ⑥ x=y-3 x+1=4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.若 少=一，是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为() x=2 x+3y=5 2x-y=5 A. B. x+y=1 x+y=1 x=2y C. x=y-3 D. x=3y+1 y+2x=5 3.方程组 x+2y=■ x=3 2x-y=7的解为 y=■' 则被■盖住的数分别是() A.1,-1 B.3,1 C.2,3 D.-1,4 2x+y=1+2m 4.若关于x,y的方程组 的解满足x-y=3,则m的值为」 2y+x=4-m 4(x+1)+3a(x-2y)=16 5.若关于x,y的方程组 b(r+1)+20x-2)=15的解为 一5则方程组 x=3 4x+3ay=16 -br+2y=15的 试卷第1页，共3页