专题02 二次函数5考点（期中真题汇编，天津专用）九年级数学上学期人教版

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02二次函数 ☆5大高频考点概览 考点01二次函数的定义与图像性质 考点02二次函数图像的平移 考点03二次函数与不等式和一元二次方程 考点04二次函数的实际应用 考点05二次函数与几何综合 目目 考点01 二次函数的定义与图像性质 1.(24-25九上天津河东四片区期中)若二次函数y=(m+2)x2+3x+m2-4的图象经过原点，则m为（) A.0 B.2 C.-2 D.±2 2.(24-25九上·天津河东四片区·期中)在抛物线y=2x2上的点是() A.(1,4) B.（2,8) C.(3,9) D.(0,2 3.(24-25九上·天津五区联考期中己知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： -1 0 2 3 0 m 有以下几个结论： ①抛物线y=ax2+b.x+c的开口向下； ②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1; ③方程ax2+bx+c=0的根为0和m; ④当y>0时，x的取值范围是x<0或x>2. 其中正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 4.(24-25九上·天津河北区·期中)已知二次函数y=2(x-1)+m的图象上有三个点，坐标分别为A(2,y)、 B(3,y2)、C(-4,y),则y,,⅓的大小关系是() 1/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.>y2>3B.y2>y1>y3 C.y3>y>y2 D.y3>y2>y 5.(24-25九上·天津静海区实验中学期中)若二次函数y=-x2+6x+c的图象经过点A-1,),B(2,y2), C(5,),则，2，的大小关系正确的为() A.y1>y3>y2B.y2>y3>乃 C.y>y2>y3 D.y2>y>y3 6.(24-25九上·天津部分区·期中已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： 0 1 2 3 y 0 m 3 有以下结论： ①抛物线y=ax2+bx+c的开口向上： ②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1; ③方程ax2+bx+c=0的根为0和m; ④当y>0时，x的取值范围是x<0或x>2.其中正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 7.(24-25九上天津河东四片区·期中)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A(3,0),二次 函数图象的对称轴是直线x=1,有下列结论错误的是() VA A.b2>4ac B.ac<0 C.2a-b=0 D.a-b+c=0 8.(24-25九上·天津河西区期中)己知函数y=-x2+2x-1,下列结论正确的是() A.当x<1时，y随x的增大而增大 B.当x>2时，y随x的增大而增大 C.当-2<x<2时，y随x的增大而减小D.当x>-1时，y随x的增大而减小 9.(24-25九上·天津和平区期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0，c>1)的图象与x 2/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 轴的一个交点坐标为-2,0)，对称轴为直线x=1. 有下列结论： ①a-b+c<0; ②若点(-3，)，(2，)，(6⅓)均在该二次函数图象上，则y<<y2: ③方程ax2+bx+c-1=0的两个实数根为x1,x2,且x<2,则-2<x1<x2<4; ④若m为任意实数，则am2+bm+c≤-9a. 其中，正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 10.(24-25九上天津南开区·期中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向下，与x轴交于点(-3,0)， 其对称轴为直线x'有下列结论 ①abc>0; ②3a+c>0; ③当x<0时，y随x的增大而增大； ④对于任意非零实数m,若x,x,(x<x,)为方程ax+3)(x-2)+m2=0的两个根，则x<-3且：>2.其中， 正确结论的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.(2425九上天津五区联考·期中)已知二次函数y=x2-4x+3. (1)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)求二次函数的图象与x轴的交点坐标； (3)当x≤1时，y随x增大而（填“增大”或“减小”）· 目目 考点02 二次函数图像的平移 1.(24-25九上·天津静海区·期中)函数y=-2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析 式是() A.y=-2(x-1)2+2 B.y=-2(x-1)2-2 3/14 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 C.y=-2(x+1)2+2 D.y=-2(x+1)2-2 2.(24-25九上·天津河西区·期中)抛物线y=(x-22可以看作是将抛物线y=x2() A.向左平移2个单位得到的 B.向右平移2个单位得到的 C.向上平移2个单位得到的 D.向下平移2个单位得到的 3.(24-25九上·天津南开区期中)关于二次函数y=(x+1)-3,下列说法正确的是() A.图象的顶点为1，-3 B.图象可由抛物线y=(x+1)向下平移3个单位长度得到 C.图象的对称轴为直线y=-1 D.当自变量x取-1时，函数有最大值3 4.(24-25九上·天津河北区期中)抛物线y=3x2经过平移得到抛物线y=3(x+1)2-2,平移的方法是(） A.向左平移1个，再向下平移2个单位 B.向右平移1个，再向下平移2个单位 C.向左平移1个，再向上平移2个单位 D.向右平移1个，再向上平移2个单位 5.(24-25九上·天津五区联考期中)将抛物线y=x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得 到的抛物线的解析式为：（) A.y=(x+3)2-2 B.y=(x+3)2+2 C.y=(x-3)+2 D.y=(x-3)-2 6.(24-25九上·天津西青区杨柳青第四中学期中)将抛物线y=4x2向上平移3个单位长度，所得解析式是 7.(24-25九上·天津西青区当城中学·期中)抛物线y=-2x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个 单位长度，所得图象的顶点坐标为 8.(24-25九上·天津红桥区·期中)己知二次函数y=-x2+4x的图象为抛物线C. (1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当-1≤x≤1时，求该二次函数的函数值y的取值范围： (3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向下平移4个单位长度后，所得抛物线为C,请直接写出抛物 4/14 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 线C的函数解析式 目目 考点03 二次函数与不等式和一元二次方程 1.(24-25九上·天津北辰区期中)己知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么方程ax2+bx+c=0的解是 () 4 A.-3,-1B.-3,0 C.-1,0 D.3,0 2.(24-25九上·天津部分区·期中)已知一元二次方程ax2+bx+c=0的两实数根为-1和5，则抛物线 y=ax2+bx+c的对称轴为. 3.(24-25九上·天津北辰区·期中)若二次函数y=-x2+4mx(m为常数)，当自变量x的值满足-2<x≤1时， 与其对应的函数值y的最大值为5，则m的值为 4.(24-25九上·天津静海区运河学校·期中已知抛物线y=ax2+b.x+c的图象如图所示，则一元二次方程 ax2+bx+c=4的解为_一，当y<0时，x的取值范围为__ -o13 5.(24-25九上·天津河西区·期中)抛物线y=x口-x-2与y轴的交点的坐标为一· 6.(24-25九上·天津西青区当城中学·期中)若二次函数y=kx2-x+2的图象与x轴有两个公共点，则k的取 值范围是 7.(24-25九上·天津北辰区·期中)己知函数y=x2+mx+4的图像与x轴只有一个交点，且对称轴在y轴的左 5/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 侧，则n的值为 8.(24-25九上天津南开区·期中)已知二次函数y=mx2+x+n(m,n为常数，m≠0)，其图象与x轴交 于点A,B(A在B的左侧)，与y轴交于点C0 3 顶点为D,且图象的对称轴为直线x=1. -4-3-2-10 1234 -I 2 3 4 (1)求二次函数解析式及顶点D的坐标； (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出三次函数y=mx2+x+n的图象； (3)连接AC,BC,根据图象直接回答问题： ①ABC面积为 ； ②关于x的方程x2+x+n=3的解为 ③若该二次函数图象上有两点(？月和0小，则为—为（从符号<，≤之，>，=巾选择 一个填空)； ④当-1<x<2时，则y的取值范围是 0 2 3 ? -2 y=- + -2.5 0 3-2 2 3-2 0 -2.5 9.(23-24九上·天津静海区翔宇力仁学校期中已知二次函数y=x2+4x+3. 6/14 扇学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 4 5-43-2-1,012345x 2 (1)图象的顶点坐标为：- (2)抛物线与x轴交点坐标为- (3)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象： (4)当y<0时，x的取值范围是-： (5)当-4<x<0时，y的取值范围是- 10.(24-25九上·天津实验中学滨海育华学校期中)已知二次函数y=-x2+2x+3. 3 -4-3-2-10 1234 (1)求该二次函数的顶点坐标和对称轴： (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数y=-x2+2x+3的图象（五点法)： (3)结合函数图象，直接写出当-1≤x≤2时，y的取值范围. 目目 考点04 二次函数的实际应用 1.(2425九上·天津实验中学滨海育华学校期中)如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨 度为4.9m,当水面宽4m时，拱顶离水面2m.有下列结论： ①该抛物线的解析式为：y=-2.45x2; ②当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m: 7/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ③当水面下降2m时，水面宽度增加了4V2-4m. 其中，正确结论的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 2.(24-25九上·天津河西区期中)某种商品的价格是200元，准备进行两次降价，若每次降价的百分率都是 x,两次降价后的价格y(元)随每次降价的百分率的变化而变化，则y与x之间的关系式为() A.y=(1-x)2 B.y=200(1-x)2 C.y=-200x+200 D.y=200(1+x)2 3.(24-25九上·天津北辰区第三学区·期中)赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其 解析式为y=- 5r.当水面离桥拱顶的高度D0为4m时，水面宽度AB为一一 D 4.(24-25九上·天津河东四片区·期中飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s) 的函数解析式是s=-1.52+30t.飞机着陆后滑行_m才能停下来 5.(24-25九上·天津河东四片区·期中)某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时，每星期可卖出300 件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，解答下列问 题： (1)若设每件降价x元，则每件商品利润 元，每星期可售出 件；（用含x的代数式表示） (2)若每星期售出商品的利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (3)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 6.(24-25九上·天津河北区·期中)某商场购进一批单价为10元的日用品，若按每件20元的价格销售，每月 能卖出20件，若按每件30元的价格销售，每月能卖出10件.假定每月销售件数y(件)与价格x（元/件) 8/14 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 之间满足一次函数， (1)试求y与x之间的函数关系. (2)在不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？ 7.(24-25九上·天津西青区当城中学期中)某水果商店销售一种进价40元/千克的优质水果，若售价为50元 /千克，则一个月可售出500千克：若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克. (1)填写下表：设每千克水果涨价x元，利润为y元 每件商品涨价 售价（元/千克） 51 52 53 销量（千克） 490 480 470 (2)当售价为多少时，所获得的利润最大？最大利润是多少？ 每件商品涨价 售价（元/千克） 51 52 53 50+x 销量（千克） 490 480 470 500-10x 8.(24-25九上·天津五区联考期中)某商品经销商通过网络直播平台推销某商品，将每件进价为80元的该 商品按每件100元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品在原售价的基础上每件每 降价1元，其销量可增加10件 (1)求商场经营该商品原来一天可获利润 兀； (2)设该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元. ①求y与x之间的函数关系式： ②该商品每件售价多少元时，商场可获得最大利润？ 目目 考点05 二次函数与几何综合 1.(24-25九上·天津西青区杨柳青第二中学期中)已知ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.当 ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？ (1) ；（填“存在”或“不存在”) (2)如果存在，求出其最小周长；如果不存在，请给予说明. 9/14 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 2.(24-25九上天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)一块三角形材料如图所示：∠A=30°，∠C=90°， AB=12.用这块材料剪出一个矩形CDEF,其中，点D,E,F分别在BC,AB,AC上. D ①当AE=3时，矩形CDEF的面积是」 ②当矩形CDEF面积为83时，AE的长为 ③矩形CDEF面积的最大值是」 3.(24-25九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)在平面直角坐标系中，O为原点，△0AB是等腰 直角三角形，∠0BA=90°，点A4,0,点B在第一象限，点Q在边OB(点Q不与点O,B重合)，过点 Q作QP⊥OA,交OA于点P,将线段QP绕点Q逆时针旋转90°得到线段QM,点P的对应点为M,连接 PM,设△PQM与△OAB重合部分面积为S,OP=t. B 图① 图② (1)如图①，若重合部分为△PQM,试用含t的式子表示S,S= ； (2)如图②，若重合部分为四边形PQEF,与边AB交于点E,F,试用含t的式子表示S,S=,此 时S的最大值是一 4.(24-25九上·天津红桥区期中已知抛物线y=x2+bx+c(b,c为常数)与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两 点，与y轴相交于点C. (1)求该抛物线的解析式： (2)若P是该抛物线上一点， 10/14 专题02 二次函数 5大高频考点概览 考点01 二次函数的定义与图像性质 考点02 二次函数图像的平移 考点03二次函数与不等式和一元二次方程 考点04 二次函数的实际应用 考点05 二次函数与几何综合 地 城 考点01 二次函数的定义与图像性质 1．(24-25九上·天津河东四片区·期中)若二次函数的图象经过原点，则为（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件． 根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出m的值，再根据二次项系数不能为零对m进行取舍． 【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式， 得，整理得， 解得， ∵该函数为二次函数， ∴， ∴， ∴． 故选：B 2．(24-25九上·天津河东四片区·期中)在抛物线上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线上的点的坐标满足二次函数的解析式，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，，当时，，当时，， ∴在抛物线上的点是； 故选B． 3．(24-25九上·天津五区联考·期中)已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … 有以下几个结论： ①抛物线的开口向下； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和m； ④当时，x的取值范围是或． 其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质．根据表格中的、的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质求解可得． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将、、代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 由知抛物线的开口向上，故①错误； 抛物线的对称轴为直线，故②错误； 当时，，解得或， 方程的根为0和2，故③错误； 当时，，由函数图象解得或，故④正确； 故选：B． 4．(24-25九上·天津河北区·期中)已知二次函数的图象上有三个点，坐标分别为、、，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，由二次函数解析式可得出该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为直线，结合二次函数以及三点横坐标距离对称轴的距离远近顺序即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式， ∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为直线． ∵、、为二次函数的图象上三个点， 且三点横坐标距离对称轴的距离远近顺序为： 、、， ∴三点纵坐标的大小关系为：． 故选：D． 5．(24-25九上·天津静海区实验中学·期中)若二次函数的图象经过点，，，则的大小关系正确的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线的计算，二次函数增减性是解题的关键． 根据题意可得，图象开口向下，且对称轴直线为，则离对称轴越远，函数值越小，由此即可求解． 【详解】解：二次函数， ∵， ∴图象开口向下，且对称轴直线为， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， 故选：C ． 6．(24-25九上·天津部分区·期中)已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x ⋯ 0 1 2 3 ⋯ y ⋯ 3 0 m 3 ⋯ 有以下结论： ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和m； ④当时，x的取值范围是或．其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【详解】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线，故②错误； 抛物线的顶点坐标是，有最小值，故抛物线的开口向上，故①正确； 由抛物线关于直线对称知，当时，或，故方程的根为0和2，故③错误； 当时，x的取值范围是或，故④正确， 故选C． 7．(24-25九上·天津河东四片区·期中)如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，有下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线与轴有两个交点即可判断A；根据抛物线开口向上，与轴交于负半轴即可判断B；由二次函数图象的对称轴是直线即可判断C；求出二次函数与轴的另一个交点为即可判断D． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴，即，故A正确，不符合题意； ∵抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∴，故B正确，不符合题意； ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴，故C错误，符合题意； ∵二次函数过点，二次函数图象的对称轴是直线， ∴二次函数与轴的另一个交点为， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 8．(24-25九上·天津河西区·期中)已知函数下列结论正确的是（   ） A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据的以及对称轴，得出当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，即可作答． 【详解】解：∵ ∴，对称轴， 即开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 故选：A． 9．(24-25九上·天津和平区·期中)已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线． 有下列结论： ①； ②若点均在该二次函数图象上，则； ③方程的两个实数根为，且，则； ④若m为任意实数，则． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，依据题意，由抛物线经过，对称轴为直线，得出，再结合二次函数的性质可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断②，由抛物线的对称性可得抛物线与轴交点坐标，从而判断③，由时取最大值可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ， 故①错误； ， 抛物线开口向下． 又点，，均在该二次函数图象上，且点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小， ， 故②错误； ∵二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线 ∴另一个交点坐标为， 方程可以看成与的交点，函数大致图象如下： ∴由图可得， 故③正确； ∵对称轴为直线，抛物线开口向下． ∴抛物线最大值为， 若为任意实数，则， ， 故④正确． 综上，正确的有③④． 故选：B． 10．(24-25九上·天津南开区·期中)二次函数的图象开口向下，与轴交于点，其对称轴为直线，有下列结论： ①； ②； ③当时，随的增大而增大； ④对于任意非零实数，若为方程的两个根，则且．其中，正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查根据二次函数图像判断各个式子的值，解题的关键是根据图像判断各项系数与0的关系，结合对称轴及与x轴交点确定方程的解．由开口方向确定a，由与y轴交点判c，由对称轴及a判b，结合对称轴及的点即可判a，c关系，根据交点即对称性即可判方程的根，即可得到答案； 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，得， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误； ∵抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线， ∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， ∴该函数的解析式可以为， 当时，，即， ∴当对应的x的值一个小于，一个大于2， ∴对于任意非零实数，若为方程的两个根，则且，故④正确； 故选：C． 11．(24-25九上·天津五区联考·期中)已知二次函数． (1)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)求二次函数的图象与x轴的交点坐标； (3)当时，y随x增大而______（填“增大”或“减小”）． 【答案】(1)对称轴是直线，顶点坐标为； (2)与x轴的交点坐标为，； (3)减少 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，与坐标轴的交点问题、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）将题目中的函数解析式化为顶点式即可求得二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）令，可求出与x轴的交点坐标； （3）根据二次函数的图象开口向上，以及对称轴是直线可得x的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴这个二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：当时，即， 解得：，， 与x轴的交点坐标为，； （3）解：∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∵对称轴是直线， ∴当时，随增大而减少． 故答案为：减少． 地 城 考点02 二次函数图像的平移 1．(24-25九上·天津静海区·期中)函数先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左加右减，上加下减；根据此规律即可求解． 【详解】解：函数先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是； 故选：B． 2．(24-25九上·天津河西区·期中)抛物线可以看作是将抛物线（   ） A．向左平移2个单位得到的 B．向右平移2个单位得到的 C．向上平移2个单位得到的 D．向下平移2个单位得到的 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，求出平移前后两个抛物线的顶点坐标，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律判断点的平移方式即可得到答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵点是由点向右平移2个单位得到的， ∴抛物线可以看作是将抛物线向右平移2个单位得到的， 故选：B． 3．(24-25九上·天津南开区·期中)关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的顶点为 B．图象可由抛物线向下平移个单位长度得到 C．图象的对称轴为直线 D．当自变量取时，函数有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数平移，最值，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，即可解答，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、图象的顶点为，原选项错误，不符合题意； 、图象可由抛物线向下平移个单位长度得到，原选项正确，符合题意； 、图象的对称轴为直线，原选项错误，不符合题意； 、当自变量取时，函数有最小值，原选项错误，不符合题意； 故选：． 4．(24-25九上·天津河北区·期中)抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（　　） A．向左平移个，再向下平移个单位 B．向右平移个，再向下平移个单位 C．向左平移个，再向上平移个单位 D．向右平移个，再向上平移个单位 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，由抛物线，得到顶点坐标为，而平移后抛物线的顶点坐标为，根据顶点坐标的变化寻找平移方法，解题的关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为；抛物线，的顶点坐标， 顶点坐标的平移规则是：先向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移的方法是向左平移个单位，再向下平移个单位， 故选：． 5．(24-25九上·天津五区联考·期中)将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为：(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换．根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”，即可得到答案． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得：， 故选：A． 6．(24-25九上·天津西青区杨柳青第四中学·期中)将抛物线向上平移3个单位长度，所得解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握图象的平移法则是关键．根据抛物线的平移法则解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度得到． 故答案为：． 7．(24-25九上·天津西青区当城中学·期中)抛物线的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的顶点坐标为 【答案】 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，解决本题的关键是熟记“左加右减，上加下减”． 按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式，即可求出顶点坐标． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到解析式：， 故所得抛物线的顶点坐标为：． 故答案为：． 8．(24-25九上·天津红桥区·期中)已知二次函数的图象为抛物线C． (1)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当时，求该二次函数的函数值的取值范围； (3)将抛物线先向左平移个单位长度、再向下平移个单位长度后，所得抛物线为，请直接写出抛物线的函数解析式． 【答案】(1)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】（）把二次函数解析式转化为顶点式即可求解； （）根据二次函数的性质解答即可求解； （）根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，；当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）解：∵抛物线先向左平移个单位长度、再向下平移个单位长度后，所得抛物线为， ∴抛物线的函数解析式为， 即． 地 城 考点03 二次函数与不等式和一元二次方程 1．(24-25九上·天津北辰区·期中)已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（      ） A．， B．，0 C．，0 D．3，0 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，找出抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．根据抛物线与x轴交点的横坐标，即可得方程的解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为与， ∴的两根为：，． 故选：A． 2．(24-25九上·天津部分区·期中)已知一元二次方程的两实数根为和5，则抛物线的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系．根据函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，从而可得答案． 【详解】解：函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根， ∵方程的两个根为和5， ∴的图象与x轴的交点的横坐标为和5， 则对称轴为直线， 故答案为：直线． 3．(24-25九上·天津北辰区·期中)若二次函数(m为常数)，当自变量 x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为5，则m 的值为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分，和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 当时，即时，在中，随的增大而减小， ∴当∴当时，函数的值最大， 即， 解得， ∵， 故； 当时，即， 当时，的最大值为， ∴， 解得：或， 经检验或不符合题意，舍去， 当时，即， 在中，随的增大而增大， ∴当时，函数的值最大， 即， 解得，符合题意； 综上，的值为， 故答案为：． 4．(24-25九上·天津静海区运河学校·期中)已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为 ，当时，的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象与x轴的交点，正确理解不等式和函数的关系是解题的关键． 根据函数图象中的数据，即可求解． 【详解】解：由函数图象可知，该函数的顶点坐标是，即当时，， 故一元二次方程的解为； 该函数与轴的交点为和， 故当时，轴的取值范围为或， 故答案为：；或． 5．(24-25九上·天津河西区·期中)抛物线与y轴的交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．令，可确定抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：令，得，故抛物线与y轴交于． 故答案为：． 6．(24-25九上·天津西青区当城中学·期中)若二次函数的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次函数的图象与x轴交点个数的问题，得出且是解题关键．二次函数的图象与x轴有两个交点即相当于一元二次方程有两个不同的实数根，由此利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且 故答案为：且． 7．(24-25九上·天津北辰区·期中)已知函数的图像与轴只有一个交点，且对称轴在轴的左侧，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数与轴的交点个数与其对应一元二次方程根的判别式直间的关系是解题的关键．根据题意可得，得到关于的方程，从而求出，再根据函数的对称轴在轴的左侧，求出，即可求解． 【详解】解：函数的图像与轴只有一个交点， ， 解得：， 函数的对称轴在轴的左侧， ， 解得：， ， 故答案为：． 8．(24-25九上·天津南开区·期中)已知二次函数（，为常数，），其图象与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，顶点为，且图象的对称轴为直线． (1)求二次函数解析式及顶点的坐标； (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出三次函数的图象； (3)连接，，根据图象直接回答问题： 面积为______； 关于的方程的解为______； 若该二次函数图象上有两点和，则______（从符号，，，，中选择一个填空）； 当时，则的取值范围是______． 【答案】(1)二次函数解析式为，顶点的坐标为； (2)画图见解析； (3)；，；；． 【分析】（）利用待定系数法求解析式即可； （）通过画函数图象方法即可求解； （）通过面积公式直接求解即可； 根据图象分析即可求解； 通过图象上的点离对称轴越远则的值越小即可求解； 根据图象分析即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式， 【详解】（1）解：∵与轴交于点，图象的对称轴为直线， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为， 由， ∴顶点的坐标为； （2）解：列表：      描点，连线，如图， （3）解：如图， ∴面积为：， 故答案为：； 根据图象可知， ∴点关于得对称点为， ∴关于的方程的解为，； 由二次函数解析式为，，对称轴为直线， 则图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵， ∴， 故答案为：； 根据图象可知： 当时，则的取值范围是， 故答案为：． 9．(23-24九上·天津静海区翔宇力仁学校·期中)已知二次函数． (1)图象的顶点坐标为： ； (2)抛物线与x轴交点坐标为 ； (3)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (4)当时，x的取值范围是 ； (5)当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)， (3)见解析 (4) (5) 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）利用配方法化简即可； （2）令，然后求解即可； （3）用“五点法”取值描点连线即可求解； （4）、（5）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意，由， ∴该抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． （2）解：由题意，令， ∴或． ∴该抛物线与x轴的交点为，． 故答案为：，． （3）解：由题意，由抛物线， ∴抛物线的对称轴是直线． 令，则， ∴抛物线与y轴交于点． 又该抛物线与x轴的交点为，， 故作图如下． （4）解：由题意，由结合（3）的图象， ∴图象在x轴下方部分对应的自变量即为所求． ∴． 故答案为：． （5）解：由题意，当时， ∵当时，， 当时，． 当时，y取最小值为， 又结合（3）所作图象， ∴当时，． 故答案为：． 10．(24-25九上·天津实验中学滨海育华学校·期中)已知二次函数． (1)求该二次函数的顶点坐标和对称轴； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象（五点法）； (3)结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 【答案】(1)二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质、图象绘制以及利用图象求函数值的取值范围，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式、五点法绘图步骤以及函数的增减性． （1）通过将二次函数解析式化为顶点式来求顶点坐标和对称轴； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）结合画出的函数图象，根据自变量范围确定函数值的取值范围． 【详解】（1）解： ， 根据二次函数顶点式，其顶点坐标为，对称轴为直线． 所以该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：求与轴交点：令，即，变形为，因式分解得， 解得， 所以与轴交点为和． 求与轴交点：令，则， 所以与轴交点为． 找顶点：由（1）知顶点为． 再找一个对称点：根据对称轴，与对称的点，横坐标为，纵坐标不变为3，即点， 所以选取的五个点为，在平面直角坐标系中描出这五个点， 然后用平滑曲线连接起来，就得到二次函数的图象． （3）解：由图可知，的取值范围是． 地 城 考点04 二次函数的实际应用 1．(24-25九上·天津实验中学滨海育华学校·期中)如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m； ③当水面下降2m时，水面宽度增加了m． 其中，正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 故①错误； 当水面宽度为时，即，把代入得： ． 原来水面宽时，则水面下降的高度为， 所以②正确． 当水面下降时，即，把代入得： ，则，解得，此时水面宽度为， 原来水面宽，水面宽度增加了， 所以③正确． 综上，正确结论②③，共2个， 故选：C． 2．(24-25九上·天津河西区·期中)某种商品的价格是200元，准备进行两次降价，若每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则y与x之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，列出函数关系式即可求解． 【详解】解：若每次降价的百分率都是x，由题意得 ， 故选：B． 3．(24-25九上·天津北辰区第三学区·期中)赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为．当水面离桥拱顶的高度为时，水面宽度为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．根据题意可得的纵坐标为，把代入解析式确定的坐标，进而求得的长即可解答． 【详解】解：根据题意的纵坐标为， 把代入，得， ，， ．即水面宽度为． 故答案为：． 4．(24-25九上·天津河东四片区·期中)飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．飞机着陆后滑行 才能停下来． 【答案】150 【分析】本题考查了二次函数的应用，把二次函数解析式转化为顶点式，求出二次函数的最大值即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，有最大值为， ∴飞机着陆后滑行才能停下来， 故答案为：． 5．(24-25九上·天津河东四片区·期中)某商品的进价为每件元．当售价为每件元时，每星期可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件，在确保盈利的前提下，解答下列问题： (1)若设每件降价元，则每件商品利润________元，每星期可售出________件；（用含的代数式表示） (2)若每星期售出商品的利润为元，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)，； (2)，； (3)降价元时，利润最大且为元． 【分析】（）根据题意列出代数式即可； （）根据题意找出等量关系列式计算即可得； （）根据二次函数的性质进行解答即可得； 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找出等量关系和掌握二次函数的性质． 【详解】（1）解：设每件降价元，则每件商品利润（元）， 每星期可售出件， 故答案为：，； （2）解：由（）得每件商品利润元，每星期可售出件， ∴每星期售出商品的利润， ∵降价要确保盈利， ∴， 解得； （3）解：由， ∵， ∴当时，每星期利润最大，为元， 答：当降价元时，利润最大且为元． 6．(24-25九上·天津河北区·期中)某商场购进一批单价为10元的日用品，若按每件20元的价格销售，每月能卖出20件，若按每件30元的价格销售，每月能卖出10件．假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数． (1)试求y与x之间的函数关系． (2)在不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售价格定为25元时，才能使每月的利润最大，每月的最大利润是225元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用和二次函数的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设每月利润为w，根据题意得出函数解析式，求二次函数最值即可． 【详解】（1）解：设， 把和代入，得， 解得， ∴； （2）解：设每月利润为w，由题意得， ∴当时，P取得最大值，最大值为225， 答：销售价格定为25元时，才能使每月的利润最大，每月的最大利润是225元． 7．(24-25九上·天津西青区当城中学·期中)某水果商店销售一种进价40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． (1)填写下表：设每千克水果涨价x元，利润为y元 每件商品涨价 1 2 3 x 售价（元/千克） 51 52 53 销量（千克） 490 480 470 (2)当售价为多少时，所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)当售价70元时，月最大利润为9000元． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系，并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质． （1）根据售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克，填写表格和列代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销售量，再建立y与x的关系式，利用二次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：如表所示： 每件商品涨价 1 2 3 … 售价（元/千克） 51 52 53 … 销量（千克） 490 480 470 … （2）解：设总利润为元， 由（1）得月利润为：， 即， 当时，月利润y最大，最大值为：9000； ∴此时售价为：元， 答：当售价70元时，月最大利润为9000元． 8．(24-25九上·天津五区联考·期中)某商品经销商通过网络直播平台推销某商品，将每件进价为80元的该商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品在原售价的基础上每件每降价1元，其销量可增加10件． (1)求商场经营该商品原来一天可获利润______元； (2)设该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元． ①求y与x之间的函数关系式； ②该商品每件售价多少元时，商场可获得最大利润？ 【答案】(1)2000 (2)①；②该商品每件售价5元时，商场可获得最大利润 【分析】本题考查了二次函数的应用，解答关键是将实际问题转化为二次函数求解，注意配方法求二次函数最值的应用． （1）根据“总利润每件的利润每天的销量”可得； （2）①根据“总利润每件的利润每天的销量”列出函数表达式即可求解； ②运用二次函数性质即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：商场经营该商品原来一天可获利润（元） 故答案为：2000． （2）①依题意得： ∴y与x之间的函数关系式为 ②∵，且 ∴当时，商店所获利润最大为2250元． 即：该商品每件售价5元时，商场可获得最大利润． 地 城 考点05 二次函数与几何综合 1．(24-25九上·天津西青区杨柳青第二中学·期中)已知中，边的长与边上的高的和为．当面积最大时，是否存在其周长最小的情形？ （） ；（填“存在”或“不存在”） （）如果存在，求出其最小周长；如果不存在，请给予说明． 【答案】（）存在；（） 【分析】（）根据题意判断即可； （）设的面积为，的长为，求出与的函数关系，可得当时，即，BC边上的高也为时，面积最大，如图，过点作直线平行于，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值； 本题考查了二次函数的性质，勾股定理，轴对称最短线段问题，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解；（）当面积最大时，存在其周长最小的情形， 故答案为：存在； （）设的面积为，的长为， 则， ∵， ∴当时，即，BC边上的高也为时，面积最大， 如图，过点作直线平行于，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， 由对称性得，，， ∴， 当点不在线段上时，由三角形三边关系可得，的周长， 当点在线段上时，即点与重合，这时 的周长， 即可知当点与重合时，的周长最小， 由作图可知，， ∴， ∴的最小周长， ∴存在周长最小的情形，最小周长为． 2．(24-25九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)一块三角形材料如图所示：，，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在上． ①当时，矩形的面积是 ． ②当矩形面积为时，AE的长为 ． ③矩形面积的最大值是 ． 【答案】 4或8 【分析】①先求出，，，，进而得，由此可得出矩形的面积； ②设，则，由勾股定理得：，由（1）可知，则，再根据矩形面积为，得，，据此解得，，进而可得的长； ③设，矩形面积为S，由②可知，则当时，S为最大，最大值为，由此即可得出答案． 【详解】解：①在中，，，， ∴， 由勾股定理得：， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴矩形的面积是：， 故答案为：； ②设，则， 由勾股定理得：， 由（1）可知：， ∴， ∵矩形面积为， ∴， ∴， 解得：，， 当时，， 当时，， 综上所述：的长为4或8， 故答案为：4或8； ③设，矩形面积为S， 由②可知：， ∴当时，S为最大，最大值为， 即矩形面积的最大值是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，二次函数的性质，勾股定理，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，二次函数的最值，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 3．(24-25九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，点A，点B在第一象限，点Q在边OB（点Q不与点O，B重合），过点Q作，交于点P，将线段绕点Q逆时针旋转得到线段，点P的对应点为M，连接．设与重合部分面积为S，． （1）如图①，若重合部分为，试用含t的式子表示S， ； （2）如图②，若重合部分为四边形，与边交于点E，F，试用含t的式子表示S， ，此时S的最大值是 ． 【答案】 【分析】（1）过点B作于点G，过点M作于点N，可得，由即可求解函数关系式，再求出点M落在上时的值，即可求出取值范围； （2）由，分别表示，代入化简，得到关于t的二次函数解析式，再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：过点B作于点G，过点M作于点N，如图， 是等腰直角三角形， , 点， ， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， 则， 由旋转得，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ， 而， 四边形为平行四边形， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． ∴， 故答案为：； （2）解：①当时，如图， ， ． 由（1）知：四边形为平行四边形，为等腰直角三角形， ，． 为等腰直角三角形， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ． 用含t的式子表示， ∴， ∵，， ∴当时，的最大值是， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了二次函数求最值，等腰直角三角形的性质，点的坐标的意义，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度，和用线段的长度表示点的坐标是解题的关键． 4．(24-25九上·天津红桥区·期中)已知抛物线（为常数）与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若是该抛物线上一点， ①当点在轴上方，且时，求点的坐标； ②当点在下方，且取得最大值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）①先求出点坐标，再求出，进而可求出，设点的纵坐标为，表示出，最后根据面积关系列出方程即可求解；②如图，过点作轴于点，交于点，设点，利用待定系数法求出直线的函数解析式，进而求出点坐标，可得，最后根据得到与的二次函数解析式，根据二次函数性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入函数解析式得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：①当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设点的纵坐标为，则， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，， ∴点的坐标为或； ②如图，过点作轴于点，交于点， 设点，直线的函数解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴． 5．(24-25九上·天津实验中学滨海育华学校·期中)如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，． 第二象限内有一点P在抛物线上运动，交线段于点E． (1)求抛物线的解析式及点A，C的坐标； (2)设的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及S的最大值； (3)是否存在点P，使点E是的中点． 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 【答案】(1)，， (2)，最大值为 (3)不存在这样的点P，使得点E为中点 【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可； (2) 先确定直线的解析式为：．设，则，则， 根据题意，得到三角形的面积为，利用二次函数的最值解答即可． (3)不妨设，则，代入，构造方程，利用根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，． ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴，， 根据题意， 解得， 故． （2）解：过点P作轴，交直线于点M， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的面积最大，且最大值为． 此时． （3）解：不妨设，则， 代入，得， 整理，得， 由， 故方程无实数解， 故不存在这样的点P，使得点E为中点． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求三角形的面积的最值，一元二次方程根的判别式应用，面积分割法，熟练掌握抛物线的最值，根的判别式是解题的关键． 6．(24-25九上·天津滨海新区大港油田第一中学·期中)如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标并计算的周长；若不存在，请说明理由； (3)设点在第四象限，且在抛物线上，当的面积最大，求此时点的坐标．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)存在，，的周长为 (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）连接，交直线于点，则此时的周长最小，求得直线的解析式为，得出，勾股定理求得即可求解； （3）过点作轴，交于点，设，则，由的面积为，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入， 解得： ∴此抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接，交直线于点， ∵关于直线对称， ∴， 的周长为，此时的周长最小， ∵，令，得， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长的最小值为：； （3）解：如图，过点作轴，交于点，设，则， ∴的面积为 ， 当时，的面积最大 当时， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合，面积问题，线段问题，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．(24-25九上·天津北辰区第三学区·期中)如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，其中，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点（）在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； (3)在（2）中面积取最大值的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，最大，且最大值为 (3)，， 【分析】本题考查二次函数，待定系数法求解析式，面积问题，平行四边的性质与判定； （1）根据待定系数法求解即可； （2）过点作轴，交于点，过点作，得，从而得到，根据为等腰直角三角形，再结合二次函数的解析式，得到，最后结合二次函数的图形性质即可得到面积的最大值； （3）根据不同的情况展开讨论，通过全等三角形的性质计算出点的横坐标，再根据二次函数的解析式计算出纵坐标即可． 【详解】（1）解：∵过点，， ∴ ， 解方程组得， ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点，过点作，垂足为， ∵，，， ∴ ∵， ∴, ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴当时，最大，且最大值为； （3）解：∵当时，， ∴点， ∵， ∴抛物线的对称轴为， 当时，， 解得， ∴点， ∴， 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， 由题意得， ∵， ∴、、、构成的四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 综上所述，符合条件的点N的坐标为：，，． 8．(24-25九上·天津南开区·期中)抛物线的顶点坐标为，与轴从左到右依次交于，两点，抛物线与轴交于点．定点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴，交直线于点，设点的横坐标为． (1)直接写出抛物线和直线的解析式； (2)当时，求的值； (3)连接，，记的面积为． ①求的最大值和此时点的坐标； ②在①的情况下，连接，线段与轴交于点．若，分别是线段和线段上的点，且始终满足，连接，．直接写出的最小值，及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)①当时，S有最大值为，此时点P的坐标为；②的最小值为，此时 【分析】（1）根据顶点式即可求出抛物线解析式，设直线的解析式为，把D的坐标代入求解即可； （2）用m表示出点P、E的纵坐标，然后结合已知得出关于m的方程，解之即可； （3）①根据割补法求出S，然后根据二次函数的性质求解即可； ②过O作，截取，过作轴于H，过作轴于G，连接，证明，可求出，，证明，得出，则，故当、N、F三点共线时，最小，最小值为，证明，可求出，，，，，求出直线、的解析式，然后联立方程组求出N的坐标，求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由题意知， ∵轴， ∴， ∵点在直线下方的抛物线上， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴m的值为或； （3）解：①当P在D的左下方时，即如图， ， ∴当时，S随m的增大而增大， 又， ∴当时，S有最大值，为； 当P在D的右下方时，即，如图， ， ∴当时，S有最大值为， ∵， 综上，当时，S有最大值为，此时点P的坐标为； ②如图，过O（在左侧）作，截取，过作轴于H，过作轴于G，连接， 则，，， ∴， 对于，令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当、N、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，此时． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形、全等三角形是解题的关键． 9．(24-25九上·天津河北区·期中)已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及的周长；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点使的周长最小，最小值为 (3)点M坐标为或时， 【分析】本题考查二次函数的与几何图形的综合题，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键， （1）根据条件给出抛物线与轴的交点，，把点代入即求得的值，进而得到函数解析式； （2）根据题意可得点A、B关于对称轴对称，故有，则，所以当C、P、B在同一直线上时，最小，利用、、坐标求、的长，求直线解析式，把代入即求得点的坐标； （3）由可得；当两三角形以为底时，高相等，即点和点到直线距离相等，若点在点上方，则有，由点坐标求直线解析式，即得到直线解析式，把直线解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点坐标； 若点在点下方，则此时所在的直线到直线的距离等于第一情况时到的距离，故可用平移的方法来求此时点的坐标 【详解】（1）解：已知抛物线与x轴相交于，两点，把点A，点B的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：在抛物线的对称轴上存在一点P，使得的周长最小；理由如下： 如图1，连接，    ∵抛物线解析式为， ∴以对称轴直线上， ∵点P在抛物线对称轴直线上，点A、B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵当C、P、B在同一直线上时，最小， ∵、、， ∴，， ∴最小， 设直线解析式为， 把点B代入得：， 解得：， ∴直线：， ∴， ∴点使的周长最小，最小值为； （3）解：存在满足条件的点M，使得；理由如下： ∵， ∴当以为底时，两三角形等高， ∴点C和点M到直线距离相等， ①若点M在点P上方，如图2，    ∴， ∵，，设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线：， ∴直线解析式为：， ∵， 解得：（即点C），， ∴点M坐标为； ②若点M在点P下方，如图3，    则点M所在的直线，且直线l到的距离等于直线到的距离， ∴直线：向下平移2个单位得即为直线l的解析式， ∵， 解得：或， ∵点M在x轴上方， ∴， ∴点M坐标为， 综上所述，点M坐标为或时，． 10．(24-25九上·天津河东区·期中)如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点直线与拋物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求地物线的解析式； (2)若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值； (3)若点是轴上的点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为，． (3)的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）如图1中，过点作轴交于点．设，则．根据，所以的值最大值时，的面积最大，求出的最大值即可． （3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，设交轴于点，则，作点关于的对称点，设交轴于点，则，分别求出直线，直线的解析式即可解决问题． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、两点， 解得： 抛物线的解析式为， （2）∵点，在抛物线上， ∴ ∴， 直线经过、 设直线的解析式为， 则， 解得，， 直线的解析式为； 如图1中，过点作轴交于点．设，则． ， 的值最大值时，的面积最大， ， ， 时，的值最大，最大值为，此时的面积的最大值为，． （3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，分别过点作轴的垂线，垂足分别为， ∴，， ∴，，， ∴ ∴ 又∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴， 在与中， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴， 设交轴于点，则， ， 设直线的解析式为 ∴ 解得： 直线的解析式为，当时， ， 作点关于的对称点， 设直线的解析式为 ∴ 解得： 则直线的解析式为， 设交轴于点，则，当时， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题． 11．(24-25九上·天津五区联考·期中)如图，抛物线经过A，B，C三点．已知点B的坐标为，且． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的值． 【答案】(1)， (2) (3)最大值为， 此时点 【分析】（1）根据点B的坐标得出，则，即可得出点的坐标，结合当时，，可得点C的坐标； （2）将，，代入，利用待定系数法即可求解； （3）先求出直线的解析式，过点P作y轴的平行线交于点H，设点，则点，利用勾股定理可得，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴； （2）将，，代入得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为：； （3）设直线函数表达式为：， 将点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H， ∵， ∴， ∵轴， ∴， 则， 由，得， 设点，则点， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，其最大值为， 此时点． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数，勾股定理，用二次函数关系表示是解题的关键． 12．(24-25九上·天津和平区·期中)抛物线（a，b为常数，）的顶点为，与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m（m是常数）． (1)求抛物线的解析式和点A的坐标； (2)若直线与相交于点N，当时，求点M的坐标； (3)若将点M绕着原点O顺时针旋转得到点，点，当面积最小时，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，进而由图象与y轴的交点求解a值，进而求解即可； （2）先求得直线的表达式为，根据题意，，，由解方程求得m值即可； （3）将绕着原点O顺时针旋转得到，连接交与Q，利用等腰三角形的性质可得，过作于K，过Q作于S，证明得到；过M作于E，过N作轴于F，证明得到，，设，则，，，利用中点坐标公式可求得，则有，推出，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（a，b为常数，）的顶点为， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，，解得，且， ∴抛物线的解析式为， 当时，由得，， ∴； （2）解：设直线的表达式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 根据题意，，，且， ∴， ∵， ∴，即， 解得，（舍去）， 当，， ∴点M的坐标为； （3）解：由于抛物线的开口向上，顶点坐标为， ∴点在x轴的上方， 如图，将绕着原点O顺时针旋转得到，连接交与Q， 则为的平分线，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 过作于K，过Q作于S， ∴， ∴， ∴， ∴； 过M作于E，过N作轴于F， 则，又， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴，又点， ∴， ∴当时，有最大值，此时， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形、旋转的性质、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，综合性强，有难度，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 13．(24-25九上·天津西青区杨柳青第二中学·期中)已知抛物线经过点．与轴交于点，其对称轴为直线． (1)求此抛物线对应的函数解析式； (2)求此抛物线的顶点坐标； (3)若是抛物线上点与点之间的动点（不包括点），求面积的最大值．并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的面积最大值为，点的坐标为 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）把（）所得函数解析式转化为顶点式即可求解； （）如图，设点，过点作轴于点交于点，求出点坐标，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，进而求出点坐标，即可得到的长，最后根据求出与的函数关系式，根据函数的性质解答即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的顶点式，二次函数的几何应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （3）解：如图，设点，过点作轴于点交于点， ∵， ∴， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴，     ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为，此时点的坐标为． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $