16.2　线段的垂直平分线第1课时 课件 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质定理及应用，课堂导入通过回顾线段垂直平分线定义和线段轴对称性，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生从已有认知过渡到定理探究。 其亮点在于以性质定理为核心，通过例题（如三角形中线段等量关系证明）和最短路径问题（将军饮马），培养学生的推理能力与几何直观。课堂小结提炼“化折为直”方法，规范几何语言表达，助力学生形成数学思维，也为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

第1课时　 线段垂直平分线的性质定理 第十六章　16.2　线段的垂直平分线 初中数学冀教版（2024）八年级上册 1.会进行线段垂直平分线的性质定理的证明. 2.理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质定理.(重点) 3.理解并能求解最短路径问题.(难点) 学习目标 课堂引入 1.什么叫作线段的垂直平分线？ 垂直且平分一条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 2.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 线段是轴对称图形，对称轴是它的垂直平分线. 4 一、线段垂直平分线的性质定理 知识梳理 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 . 几何语言： 如图，∵直线l垂直平分AB，点P在l上， ∴PA=PB. 相等 例1 如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE. (1)求证：AB=EC； 证明　∵EF垂直平分AC， ∴AE=EC， ∵AD⊥BC，BD=DE， ∴AB=AE， ∴AB=EC. 例1 如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE. (2)若△ABC的周长为18 cm，AC=8 cm，求DC长. 解　∵△ABC的周长为18 cm， ∴AB+BC+AC=18 cm， ∵AC=8 cm， ∴AB+BC=10 cm， ∵AB=EC，BD=DE， ∴DC=DE+EC=BE+EC+AB=(BC+AB)=5(cm)， ∴DC的长为5 cm. 跟踪训练1 (1)如图，在△ABC中，BC=10 cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于22 cm，则AC的长度等于 A.10 cm B.12 cm C.22 cm D.32 cm √ 解析　∵△BCE的周长等于22 cm， 即BC+BE+EC=22 cm，BC=10 cm， ∴BE+EC=22-BC=22-10=12(cm)， ∵AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E， ∴AE=BE， ∴AC=AE+EC=BE+EC=12 cm. (2)如图，在△ABC中，直线l垂直平分边BC，分别交AC，BC于点E，D，连接BE.若AC=13，AE=7，则BE的长为　　.  解析　∵直线l垂直平分边BC，分别交AC，BC于点E，D， ∴EB=EC，∵AC=13，AE=7， ∴EC=AC-AE=6， ∴BE=6. 6 10 二、最短路径问题 例2 (课本P126例1)如图，古诗描述了一位将军在观望烽火之后，从山脚A处出发，到河边饮马，再回到宿营地B处的活动过程.那么怎样选择饮马地点，才能使路程最短？ 解　分析如图1，将河岸抽象为直线l，问题便转化为在直线l上选取一点P，使得线段PA与PB的和最短. 如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连 接A'B，交直线l于点P，则AP+BP最短. 例2 (课本P126例1)如图，古诗描述了一位将军在观望烽火之后，从山脚A处出发，到河边饮马，再回到宿营地B处的活动过程.那么怎样选择饮马地点，才能使路程最短？ 解　理由如下： ∵点A，A'关于直线l对称， ∴直线l为线段AA'的垂直平分线， ∴AP=A'P(线段垂直平分线的性质定理). ∴AP+BP=A'P+BP=A'B(等量代换). 例2 (课本P126例1)如图，古诗描述了一位将军在观望烽火之后，从山脚A处出发，到河边饮马，再回到宿营地B处的活动过程.那么怎样选择饮马地点，才能使路程最短？ 解　如图3，在直线l上任取一点P'，连接AP'，BP'，A'P'， 则A'P'+BP'≥A'B(两点之间线段最短)， 即AP'+BP'=A'P'+BP'≥A'B=AP+BP. ∴AP+BP最短. 反思感悟 学会利用轴对称和线段的垂直平分线的性质定理解决“将军饮马”的最短距离问题. 跟踪训练2 (1)如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应位于 A.点A处 B.点B处 C.点C处 D.点D处 √ 解析　作点N关于直线l的对称点E，连接ME，交直线l于点P，连接PN，如图， ∴NE的垂直平分线为直线l， ∴PN=PE， ∴PM+PN=PM+PE≥ME，即点P与点C重合. (2)如图，直线l是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，E是直线l上任意一点，且AC=5，BC=8，AB=6，则△AEC的周长的最小值为 A.6 B.8 C.11 D.13 解析　如图，连接BE， ∵直线l是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足， ∴AE=BE， ∴△AEC的周长为AE+EC+AC=BE+EC+AC≥BC+AC=8+5=13. √ 课堂小结 1.如图，DE是线段AC的垂直平分线，连接AD，CD，若AD=2 cm，AE=1.5 cm，则△ACD的周长为 A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm √ 解析　∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD，AE=CE， ∵AD=2 cm，AE=1.5 cm， ∴CD=AD=2 cm，CE=AE=1.5 cm， ∴△ACD的周长为AE+CE+AD+CD=1.5+1.5+2+2=7(cm). 课堂练习 2.如图，在△ABC中，DE垂直平分AB.若AD=4，BC=3CD，则BC的长为 A.5 B.6 C.7 D.8 解析　∵DE垂直平分AB， ∴BD=AD=4， 又∵BC=3CD， ∴BC=BD=×4=6. √ 课堂练习 3.如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=4，∠C=90°，∠B>∠A.在AC上有一点D，恰好在AB的垂直平分线上. (1)求△ABC的面积； 解　S△ABC=·BC·AC=×4×8=16. 课堂练习 3.如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=4，∠C=90°，∠B>∠A.在AC上有一点D，恰好在AB的垂直平分线上. (2)连接BD，求△BCD的周长. 解　如图，连接BD. ∵点D在线段AB的垂直平分线上， ∴BD=AD， ∴△BCD的周长为BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=8+4=12. 课堂练习 谢谢 $