16.3角的平分线 课件 2025-2026学年 冀教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角平分线的性质定理、逆定理及尺规作图，通过折纸活动引导学生探究角的对称性，衔接轴对称知识，以动手操作作为学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融合动手实践与逻辑推理，通过折纸发现性质、猜想证明逆定理，发展几何直观与推理意识。经典例题结合生活情境，如超市选址问题，培养应用意识，助力学生提升空间观念与问题解决能力，也为教师提供结构化教学流程与丰富素材。

数学冀教版八年级上册 1.进一步了解角平分线的定义，掌握角平分线的性质定理及其逆定理，能准确表述并运用定理解决简单几何问题，提升学生分析问题的能力． 2.学会用直尺和圆规作角平分线，明晰作图原理，规范作图步骤，培养学生的动手操作能力． 3.在探究角平分线性质定理及其逆定理和作图方法中，运用逻辑推理、操作实践，培养分析问题、解决问题的能力，发展空间观念． 难点 重点 角平分线的概念是什么？ 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线． O B C A 1 2 点到直线距离是什么？ 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作这个点到直线的距离． O P A B 线段是轴对称图形，那么角是轴对称图形吗？ 我们一起来探究吧 活动一：探究角平分线的性质定理 角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴． 在一张半透明纸上画出一个角，将纸对折，使这个角的两边重合．从中你能得出什么结论? O A B 活动一：探究角平分线的性质定理 按图所示的过程，将你画出的∠AOB依上述办法对折后，设折痕为直线OC；再折纸，设折痕为直线n，直线n与边OA，OB分别交于点D，E，与折线OC交于点P；最后将纸展开铺平，猜想线段PD与线段PE，线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系，并说明理由. O A B O C B（A） O C E（D） B（A） P n O A B C E D (1) (2) (3) (4) 活动一：探究角平分线的性质定理 事实上，∠AOB是轴对称图形，它的平分线OC所在的直线是对称轴.由折纸过程可知，PD＝PE，特别地，当折痕n与OB垂直时，可得出：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 下面就来证明折纸过程中发现的结论. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE. A O B C P D E 活动一：探究角平分线的性质定理 A O B C P D E 1 2 活动一：探究角平分线的性质定理 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1)角的平分线； (2)点在该平分线上； (3)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度. 定理的作用：证明线段相等. 活动一：探究角平分线的性质定理 几何语言： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD = PE. 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等. 活动二：探究角平分线性质定理的逆定理 角平分线的性质定理的逆定理是真命题还是假命题呢？ 写出角平分线的性质定理的逆命题. 01 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上. 根据这个逆命题的内容，画出图形. 02 A O B C P D E 结合图形，提出你对这个逆命题是 否正确的猜想. 03 猜想正确. 活动二：探究角平分线性质定理的逆定理 角平分线的性质定理的逆定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： (1)位置关系：点在角的内部； (2)数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 活动二：探究角平分线性质定理的逆定理 几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE， ∴点P 在∠AOB的平分线上. P A O B C D E 角平分线的性质定理的逆定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 活动三：探究尺规作角平分线 O A B 分析 活动三：探究尺规作角平分线 作法：如图， ①以点O为圆心、适当长为半径画弧， 分别交OA，OB于点D，E； ②分别以点D和点E为圆心，以适当长为半径，在∠AOB内部画弧，两弧相交于点C； ③作射线OC． 则射线OC即为所求． C O B A D E 活动三：探究尺规作角平分线 你能说明上述作法的道理吗？ 如图，连结CD，CE． 由作法可知，OD=OE，CD=CE，OC=OC， 所以△COD≌△COE(SSS)． 所以∠AOC=∠BOC(全等三角形的对应角相等) 即OC平分∠AOB． C O B A D E 经典例题 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，超市建在∠COD的平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知超市应建在线段AB的垂直平分线上，所以作出两线的交点即可. 分析 经典例题 E F 解：①作∠COD的角平分线OP； ②连接AB，作线段AB的垂直平分线EF； ③直线OP与EF交于点M． 所以点M就是所要求作的建立超市的位置． M P 此类题只需作角平分线和线段垂直平分线，它们的交点即为所求． 如图，AB//CD，PB，PC分别平分∠ABC，∠DCB，AD过点P，且与AB垂直. 求证： PA=PD． 证明：如图，作PE⊥BC于点E，因为AB∥CD(已知) 所以∠BAD+∠CDA=180°(两直线平行，同旁内角互补) 由AD⊥AB(已知)，知∠BAD=90°(垂直的定义) 所以∠CDA=180°-∠BAD=180°- 90°=90°， 即AD⊥CD(垂直的定义) 因为PB平分∠ABC(已知)，PA⊥AB，PE⊥BC 所以PA=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等） 同理，PD=PE，所以PA=PE=PD． 经典例题 C D B A E P 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC. 经典例题 分析 要证AD平分∠BAC，已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明△BDE和△CDF全等来完成． 经典例题 判定角平分线的两步： (1)找出角的两边的垂线段； (2)证明两条垂线段相等． 1.已知：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，求证：DE=DC. 教材 练习 A E B D C 证明：∵∠C = 90°， ∴DC⊥AC于点C， ∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于点E，DC⊥AC于点C， ∴DE= DC . 2.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：点D在∠A的平分线上. 教材 练习 B A C D E F 证明：因为AD平分∠BAC，且 OH⊥AC，OI⊥AB， 所以OH = OI(角平分线上的点到两边的距离相等) 同理，OF = OI， 所以OF=OH=OI，即交点到各边距离相等． 3.证明：三角形的两条角平分线的交点到各边的距离相等． 已知：在△ABC中，角平分线AD，BE交于点O，过O作OF⊥BC，OH⊥ AC，OI⊥AB．求证：OF=OH=OI． E B A D C O F H I 4.已知：如图，AB平分∠CAD，∠C=∠D=90°． 求证：BC=BD． A B C D 逆定理 性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 角的平分线 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 尺规作图 $