16.3角的平分线 教学设计 2025-2026学年 冀教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦角的平分线的性质定理、逆定理及尺规作图，通过复习角平分线概念、点到直线距离，以“角是否为轴对称图形”设问，衔接轴对称知识，搭建探究支架。 特色在于“动手操作-推理验证-实际应用”一体化设计，折纸活动培养几何直观（数学眼光），全等证明发展推理能力（数学思维），超市选址例题强化应用意识（数学语言）。助力学生提升空间观念与逻辑推理，为教师提供可操作的探究式教学范例。

第十六章 轴对称和中心对称 16.3角的平分线   一、教材分析 《角的平分线》是冀教版初中数学八年级上册第十六章《轴对称和中心对称》第三节的内容，承接了轴对称图形的性质，是对“线段垂直平分线”知识的延伸，既深化了全等三角形的应用，又为后续学习三角形内心、角平分线的实际应用奠定基础，是连接几何理论与生活实践的关键纽带，在整个初中几何知识体系中起承上启下的作用．   二、学情分析 八年级学生已掌握角的定义、全等三角形判定定理（SSS、AAS）及点到直线距离等基础概念，具备初步的几何推理和动手操作能力，但对“从具体操作抽象出几何定理”“用逻辑推理证明性质”的过程仍存在困难，且在实际问题中运用角平分线性质解决问题的能力有待提升．   三、学习目标 1.进一步了解角平分线的定义，掌握角平分线的性质定理及其逆定理，能准确表述并运用定理解决简单几何问题，提升学生分析问题的能力． 2.学会用直尺和圆规作角平分线，明晰作图原理，规范作图步骤，培养学生的动手操作能力． 3.在探究角平分线性质定理及其逆定理和作图方法中，运用逻辑推理、操作实践，培养分析问题、解决问题的能力，发展空间观念．   四、教学重难点 重点：进一步了解角平分线的定义，掌握角平分线的性质定理及其逆定理，能准确表述并运用定理解决简单几何问题，提升学生分析问题的能力 难点：学会用直尺和圆规作角平分线，明晰作图原理，规范作图步骤，培养学生的动手操作能力   五、教学过程 · 复习回顾 1．角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线． 2． 点到直线距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作这个点到直线的距离． 线段是轴对称图形，那么角是轴对称图形吗？ 我们一起来探究吧！ 师生活动：教师提问角平分线概念和点到直线距离的定义，展示对应图形引导学生回忆；随后抛出“角是否为轴对称图形”的问题，引发学生思考与简短讨论． 设计意图：通过回顾旧知，唤醒学生已有知识储备，为探究角平分线的轴对称性及后续性质做好铺垫，同时以问题激发学生的探究兴趣． 师生活动：教师提出问题，引发学生思考. 设计意图：通过提问的方式带领学生回顾所学知识，为本节课的学习做好知识铺垫. · 探究新知 活动一：探究角平分线的性质定理 在一张半透明纸上画出一个角，将纸对折，使这个角的两边重合．从中你能得出什么结论? 角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴． 按图所示的过程，将你画出的∠AOB依上述办法对折后，设折痕为直线OC；再折纸，设折痕为直线n，直线n与边OA，OB分别交于点D，E，与折线OC交于点P；最后将纸展开铺平后，猜想线段PD与线段PE，线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系，并说明理由. 师生活动：教师引导学生动手折纸（任意画角并对折使两边重合），观察展开后的痕迹；学生分组操作、分享发现，教师总结得出“角是轴对称图形，角的平分线所在直线是对称轴”的结论． 设计意图：通过动手操作，让学生从直观体验中抽象出角的轴对称性质，培养直观想象素养，同时增强学生的参与感，为后续探究角平分线性质打下基础． 事实上，∠AOB是轴对称图形，它的平分线OC所在的直线是对称轴.由折纸过程可知，PD＝PE，特别地，当折痕n与OB垂直时，可得出：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 下面就来证明折纸过程中发现的结论. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE. 证明：∵OC是∠AOB的平分线（已知）， ∴∠1=∠2（角平分线的概念） ∵PD⊥OA，PE⊥OB，（已知） ∴∠PDO=∠PEO=90°（垂线的概念） 在△PDO和△PEO中， ∵ ∠1=∠2（已证）， ∠PDO=∠PEO=90°（已证）， OP=OP（公共边）， ∴ △PDO△PEO(AAS). ∴ PD＝PE(全等三角形对应边相等). 师生活动：教师引导学生利用三角形全等对折纸过程中发现的结论进行证明． 师小结： 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1)角的平分线； (2)点在该平分线上； (3)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度. 定理的作用：证明线段相等. 几何语言： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD = PE. 师强调： 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. 设计意图：让学生从直观体验上升到理论，培养学生严谨的学习态度． 活动二：探究角平分线性质定理的逆定理 思考：角平分线的性质定理的逆定理是真命题还是假命题呢？ 1.写出角平分线的性质定理的逆命题. 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上. 2.根据这个逆命题的内容，画出图形. 3.结合图形，提出你对这个逆命题是否正确的猜想. 猜想正确. 师生活动：教师通过提问的方式引导学生得到角平分线性质定理的逆命题，并猜想它的正确性. 师小结： 角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： (1)位置关系：点在角的内部； (2)数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE， ∴点P 在∠AOB的平分线上. 设计意图：通过“写出逆命题 - 画图 - 猜想”的过程，引导学生经历完整的数学探究流程，培养学生的逻辑推理能力以及严谨的科学态度. 活动三：探究尺规作角平分线 已知∠AOB，你能用尺规作出它的平分线吗？ 分析：如果能找到∠AOB的平分线上一点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线.由于角平分线把角分成两个相等的角，因此可以通过作两个全等三角形来作出点P． 作法：作法：如图， ①以点O为圆心、适当长为半径画弧， 分别交OA，OB于点D，E； ②分别以点D和点E为圆心，以适当长为半径，在∠AOB内部画弧，两弧相交于点C； ③作射线OC． 则射线OC即为所求． 思考：你能说明上述作法的道理吗？ 如图，连结CD，CE． 由作法可知，OD=OE，CD=CE，OC=OC，所以△COD≌△COE(SSS)． 所以∠AOC=∠BOC(全等三角形的对应角相等) 即OC平分∠AOB． 师生活动：教师先示范尺规作角平分线的步骤，让学生模仿操作，随后组织学生分组讨论作法的道理，再引导学生分析其依据（SSS全等）；再教师补充讲解全等证明过程． 设计意图：通过“模仿操作+推理验证”，既培养学生动手能力，又深化对全等三角形的应用，理解作图的数学原理． · 应用新知 例1 某地区要在区域S内(即内部)建一个超市M，如图所示，按照要求，超市M到两个新建的居民小区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？(要求：尺规作图，保留作图痕迹) 分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，超市建在的的平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知超市应建在线段AB的垂直平分线上，所以作出两线的交点即可． 解：①作的角平分线OP； ②连接AB，作线段AB的垂直平分线EF； ③直线OP与EF交于点M． 所以点M就是所要求作的建立超市的位置． 总结：此类题只需作角平分线和线段垂直平分线，它们的交点即为所求． 例2. 如图，，PB，PC分别平分，，AD过点P，且与AB垂直. 求证：． 分析： 由，，可得，则PA，PD的长分别是点P到AB，CD的距离.根据角平分线的性质定理可知，它们与点P到BC的距离相等．因此，可先作出点P到BC的垂线段． 证明：如图，作于点E，因为(已知) 所以(两直线平行，同旁内角互补) 由(已知)，知(垂直的定义) 所以， 即(垂直的定义) 因为PB平分(已知)，， 所以(角平分线上的点到角两边的距离相等） 同理，，所以． 总结：遇角平分线与垂直条件，可利用 “角平分线上的点到角两边距离相等”，通过作辅助线构造相等线段，结合平行线、垂直等知识，实现线段等量代换，证明线段相等． 师生活动：教师先引导学生分析题目中的已知条件与所求，梳理解题思路；学生独立完成解题，教师巡视指导，选取典型答案进行展示与点评，总结解题方法． 设计意图：通过不同类型的例题，让学生将角平分线性质与实际问题、全等三角形、平行线等知识结合，提升知识综合运用能力，同时通过解题总结，帮助学生形成解题思路，突破难点． 例3. 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC. 分析：要证AD平分∠BAC，已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明△BDE和△CDF全等来完成． 证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°. 在△BDE和△CDF中， ∵ ∠BDE=∠CDF ∠DEB＝∠DFC BE=CF ∴△BDE△CDF(AAS)， ∴DE＝DF. 又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴AD平分∠BAC. 师生活动：先引导学生分析题目，明确要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），需要证明点D到AB和AC的距离相等，也就是DE = DF.接着提示学生，要证明DE = DF，可以通过证明△BDE和△CDF全等来实现，在学生证明过程中，巡视指导，对有困难的学生进行点拨. 师小结：判定角平分线的两步： (1)找出角的两边的垂线段； (2)证明两条垂线段相等． 设计意图：通过该例题，巩固角平分线的判定定理，让学生熟练掌握“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”这一判定方法的应用.培养学生的逻辑推理能力，从求证目标出发，逆向分析需要的条件，再结合已知条件正向推导，锻炼学生的逆向思维和综合分析能力. · 课堂练习 1.已知：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，求证：DE=DC. 证明：∵∠C = 90°， ∴DC⊥AC于点C， ∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于点E，DC⊥AC于点C， ∴DE= DC . 2.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：点D在∠A的平分线上. 证明：∵D为边BC的中点，∴DB= DC ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB=∠DFC ∵∠B=∠C，∴△DBE△DCF，∴DE= DF. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴点D在∠A的平分线上. 3.证明：三角形的两条角平分线的交点到各边的距离相等． 已知：在中，角平分线、交于点，过作、、．求证：． 证明：因为AD平分，且 ，， 所以(角平分线上的点到两边的距离相等) 同理，， 所以，即交点到各边距离相等． 4.已知：如图，AB平分，．求证：． 证明：因为AB平分， 所以 在和中， 　， 所以．所以． 5.如图，在中，AD平分交于点D，，垂足为E，，DE=2，．求AC的长． 解：过点D作，垂足为F． 因为AD平分， 所以 ，所以． 6.如图，在中，，BE平分，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求证：． 证明：因为， 所以． 因为，BE平分， 所以． 因为垂直平分， 所以（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） 因为，所以． 师生活动：学生限时训练、独立完成，教师巡回，及时把握学生对知识的掌握情况. 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 总结归纳 这节课你学到了哪些知识？说说你的体会. 设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系. 学科网（北京）股份有限公司 $