17.1　等腰三角形第2课时 课件2025-2026学年冀教版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的判定，涵盖等腰三角形“等角对等边”、等边三角形判定定理及已知底边和底边上的高作等腰三角形的尺规作图。课堂导入通过“等腰三角形两底角相等，反过来有两个角相等的三角形是否为等腰三角形”的逆向问题，连接性质与判定的逻辑关系，搭建学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，通过折叠操作验证“等角对等边”、尺规作图实践等活动，培养学生几何直观与推理能力。例题与分层训练结合强化应用，小结结构化梳理知识。既发展数学思维（推理意识），又提升数学语言表达能力，帮助学生构建知识体系，教师可依托资料高效实施教学。

第2课时　等腰三角形的判定 第十七章　17.1　等腰三角形 初中数学冀教版（2024）八年级上册 1.探索并证明等腰三角形的判定定理和等边三角形的判定定理.(重点) 2.运用等腰、等边三角形的判定定理进行证明和计算.(难点) 3.会利用尺规作图完成：已知底边及底边上的高作等腰三角形. 学习目标 课堂引入 我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？ 4 一、等腰三角形的判定 问题1　已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C. (1)请你作出∠BAC的平分线AD； 提示　如图所示，AD是∠BAC的平分线. 问题1　已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C. (2)将△ABC沿AD所在直线折叠，△ABC被直线AD分成的两部分能够重合吗？ 提示　重合. 问题1　已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C. (3)由上面的操作，你是否发现了边AB和边AC之间的数量关系？请说明理由. 提示　发现AB=AC.理由如下： ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2， 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(AAS). ∴AB=AC. 知识梳理 等腰三角形的判定定理： 有 相等的三角形是等腰三角形. 在等腰三角形中，两个相等的角所对的边相等.(简称“ ”) 几何语言： 如图，在△ABC中， ∵∠B=∠C，∴AC=AB， 即△ABC为等腰三角形. 两个角 等角对等边 (课本P166习题A组第1题)已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC. 求证：△ABD是等腰三角形. 例1 证明　∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD， ∵AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AD=AB， ∴△ABD是等腰三角形. (1)如图，∠B=∠C，AE∥CD，AE交BC于点E.求证：△ABE是等腰三角形. 跟踪训练1 证明　∵AE∥CD，∴∠AEB=∠C， 又∵∠B=∠C，∴∠AEB=∠B， ∴AB=AE，∴△ABE是等腰三角形. (2)如图，点E，F在BD上，AB=CD，BF=DE，∠B=∠D=90°. ①求证：△ABE≌△CDF； 证明　∵BF=DE， ∴BF+EF=DE+EF，即BE=DF， ∵AB=CD，∠B=∠D=90°， ∴△ABE≌△CDF(SAS). (2)如图，点E，F在BD上，AB=CD，BF=DE，∠B=∠D=90°. ②若AE与CF的交点为点O，求证：△OEF是等腰三角形. 证明　由①得△ABE≌△CDF， ∴∠AEB=∠CFD，∴OF=OE， ∴△OEF是等腰三角形. 二、等边三角形的判定 13 问题2　三个内角都相等的三角形是等边三角形吗？ 问题3　有一个角是60°的等腰三角形一定是等边三角形吗？ 知识梳理 等边三角形的判定定理： 三个角都 的三角形(或有一个角是60°的 )是等边三角形. 相等 等腰三角形 (课本P166习题A组第2题)已知：如图，E为△ABC的边BA延长线上的一点，AD∥BC，∠EAD=∠CAD=60°. 求证：△ABC是等边三角形. 例2 证明　∵AD∥BC， ∴∠B=∠EAD=60°，∠C=∠CAD=60°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°，∴∠BAC=∠B=∠C=60°， ∴△ABC是等边三角形. (1)已知：如图，在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，∠ABD=30°，求证：△ABC为等边三角形. 跟踪训练2 证明　∵AB=BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵BD⊥AC于点D， ∴∠ABC=2∠ABD=60°， ∴△ABC为等边三角形. (2)(课本P165练习第2题)已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形. 证明　∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C， ∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴∠A=∠ADE=∠AED， ∴△ADE是等边三角形. 19 三、尺规作图：作等腰三角形 (课本P165例2)已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形. 如图，已知线段a和h. 求作：等腰三角形ABC，使BC=a，高AD=h. 例3 解　先作出线段BC=a，再作出BC的垂直平分线，在这条垂直平分线上取点A，使点A到BC的距离为h，连接相关点即得.作法：如图. (1)作线段BC=a. (2)作BC的垂直平分线MD，垂足为D. (3)在DM上截取DA=h. (4)连接AB，AC. △ABC即为所求. (1)观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是 跟踪训练3 √ 解析　A选项，根据一个角等于已知角的作法可知∠C=∠B，△ABC是等腰三角形，该选项不符合题意； B选项，根据垂直平分线的作法可知AB=AC，△ABC是等腰三角形，该选项不符合题意； C选项，如图，根据过直线外一点作平行线的作法 可知AC∥BD，∠ACB=∠CBD， 根据角平分线的作法可知∠ABC=∠CBD， ∴∠ABC=∠ACB，△ABC是等腰三角形，该选项不符合题意； D选项，不能判断△ABC是等腰三角形，该选项符合题意. (2)【命题提出】 在学习等腰三角形时，我们知道，等腰三角形的一边的长度和一个角的大小确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了.对等腰三角形继续研究，提出以下两个命题. 命题1：等腰三角形底边及底边上的高的长度确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了. 命题2：等腰三角形一腰及腰上的高的长度确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了. 【问题解决】 ①已知命题1为真命题.求作等腰三角形，其中底边的长为a，底边上的高的长为b，如图1；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解　如图，△ABC即为所求. (2)【命题提出】 在学习等腰三角形时，我们知道，等腰三角形的一边的长度和一个角的大小确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了.对等腰三角形继续研究，提出以下两个命题. 命题1：等腰三角形底边及底边上的高的长度确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了. 命题2：等腰三角形一腰及腰上的高的长度确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了. 【问题解决】 解　命题2是假命题. ②嘉嘉根据所学过的三角形的高在各自三角形的位置关系，画出了如图3、图4所示满足条件的两个三角形，(其中腰的长为m，腰上高的长为n，如图2)从而说明命题2是　　　　命题；(填“真”或“假”)  (2)【命题提出】 在学习等腰三角形时，我们知道，等腰三角形的一边的长度和一个角的大小确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了.对等腰三角形继续研究，提出以下两个命题. 命题1：等腰三角形底边及底边上的高的长度确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了. 命题2：等腰三角形一腰及腰上的高的长度确定了，这个等腰三角形的形状、大小就确定了. 【问题解决】 ③琪琪和嘉嘉作法一样，不同的是把符合条件的两个三角形画在了同一个图形中，并且他还发现所作图形中线段BC和BC'之间还存在位置关系：　　　　　　，请帮琪琪写出证明过程.  解　BC⊥BC'，证明如下：由题意可知AC=AB=AC'， 则∠ACB=∠ABC，∠ABC'=∠AC'B， ∵∠ACB+∠ABC+∠ABC'+∠AC'B=180°，∴∠ABC+∠ABC'=90°， 则BC⊥BC'. 1.等腰三角形的判定定理 2.等边三角形的判定定理 3.尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形. 课堂小结 1.下面是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能够得到两个等腰三角形纸片的是 √ 课堂练习 解析　A选项，如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意； B选项，如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意； 课堂练习 C选项，如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意； D选项，不可以裁成两个等腰三角形，符合题意. 课堂练习 2.如图，在3×3的网格中，以AB为一边，点P在格点处，使△ABP为等腰三角形的点P有 A.2个 B.5个 C.3个 D.1个 √ 课堂练习 解析　如图，当AB为底边时，以AB为底边的等腰三角形有3个； 如图，当AB为腰时，以AB为腰的等腰三角形有2个， 综上所述，使△ABP为等腰三角形的点P有3+2=5(个). 课堂练习 3.如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，折叠该纸片，使点A，点B重合，折痕交AC边于点D，连接BD，则图中等腰三角形的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0 √ 课堂练习 解析　∵∠A=36°，∠C=72°， ∴∠ABC=180°-36°-72°=72°，∴∠C=∠ABC=72°， ∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形； ∵折叠该纸片，使点A，点B重合，折痕交AC边于点D， ∴BD=AD，△ABD是等腰三角形； ∴∠ABD=∠A=36°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°， ∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=72°， ∴∠BDC=∠C，∴BC=BD， ∴△BDC是等腰三角形，∴图中等腰三角形的个数是3. 课堂练习 4.已知：如图，∠B=∠C，BD=CE，AB=DC， (1)求证：△ADE为等腰三角形. 证明　∵BD=CE，∠B=∠C，AB=DC， ∴△ABD≌△DCE(SAS)， ∴DA=DE， 即△ADE为等腰三角形. 课堂练习 4.已知：如图，∠B=∠C，BD=CE，AB=DC， (2)若∠B=60°，判断△ADE的形状并说明理由. 解　△ADE为等边三角形，理由如下： ∵△ABD≌△DCE，∴∠BAD=∠CDE， ∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠CDE， ∴∠ADE=∠B=60°， 由(1)知DA=DE，∴△ADE为等边三角形. 课堂练习 谢谢 $