17.2　直角三角形 课件 2025-2026学年 冀教版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦直角三角形的性质（两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半、30°角对直角边等于斜边一半）与判定（两角互余为直角三角形），通过回顾等腰三角形引出直角三角形，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生自然过渡到新知探究。 其亮点在于结合生活实例（如位置距离问题）和分层训练，以数学眼光观察现实情境，用数学思维推理证明（如通过角度关系判定直角三角形），用数学语言表达结论（如中线性质的应用）。采用例题解析与课堂练习结合的教学方法，课堂小结系统梳理知识，帮助学生构建逻辑体系，提升应用能力，也为教师提供清晰的教学路径。

17.2　直角三角形 第十七章　特殊三角形 初中数学冀教版（2024）八年级上册 1.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余.(重点) 2.掌握两个角互余的三角形是直角三角形.(难点) 3.探索并掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(重点) 学习目标 课堂引入 我们前边学习了等腰三角形，除了等腰三角形外，我们还学过直角三角形，直角三角形是又一类特殊的三角形，那么它具有什么性质呢？ 4 一、直角三角形的性质定理1和判定定理 知识梳理 1.直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角 . 2.直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是 . 互余 直角三角形 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线.若∠B=50°，求∠CAD的度数. 例1 解　∵AB=AC，∠B=50°， ∴∠C=∠B=50°， ∵AD是角平分线， ∴AD是△ABC中BC边上的高， ∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°， ∴∠CAD=90°-∠C=90°-50°=40°. (1)在下列条件中，①∠A+∠B=∠C；②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3； ③∠A=90°-∠B，能确定△ABC是直角三角形的条件有 A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 跟踪训练1 √ 解析　①∵∠A+∠B=∠C， ∴∠A+∠B+∠C=2∠C=180°， ∴∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形，故①正确； ②∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3， ∴最大角∠C=180°×=90°，故②正确； ③∵∠A=90°-∠B， ∴∠A+∠B=90°，∴∠C=180°-90°=90°，故③正确， 综上所述，能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③，共3个. (2)将直角三角板ABC(∠C=90°)按如图的方式摆放在一条直线l上，若∠2=40°，则∠1等于 A.40° B.50° C.60° D.90° √ 解析　如图， ∵∠2=40°，∴∠3=∠2=40°， ∵∠C=90°，∴∠3+∠4=90°， ∴∠4=90°-40°=50°， ∴∠1=∠4=50°. (3)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°，求： ①∠BAE的度数； 解　在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°， ∴∠BAC=180°-70°-30°=80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠BAC=40°. (3)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°，求： ②∠DAE度数. 解　∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°， ∵∠B=70°， ∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°. 12 二、直角三角形的性质定理2 知识梳理 直角三角形的性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 . 一半 如图所示，小红、小丽、小明家的位置依次为Rt△ABC的三个顶点A，B，C，小亮家正好位于小红和小丽家的正中间位置为D点，其中∠ACB=90°，已知小丽家到小红家的距离为3 km，求小明家到小亮家的距离. 例2 解　如图，连接CD， 根据题意得AB=3 km， ∵D点为AB中点，∠ACB=90°， ∴CD=AB=1.5(km)， 即小明家到小亮家的距离为1.5 km. 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求出相关线段的长度，可以证明两条线段相等. 反思感悟 (1)如图，小逸同学利用刻度直尺(单位：cm)测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC=90°，则AD的长为 A.3 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm 跟踪训练2 √ 解析　根据题意得BC=8-2=6(cm)， ∵D为BC的中点，∠BAC=90°， ∴AD=BC=×6=3(cm). (2)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边上的中点，若∠B=32°，则∠ADC=　　　　°.  解析　∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边上的中点， ∴CD=AB=BD， ∴∠DCB=∠B=32°， ∴∠ADC=∠DCB+∠B=64°. 64 18 三、含30°角的直角三角形的性质 知识梳理 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于 的一半. 斜边 如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，∠B=30°，AD=2 cm，求AC的长. 例3 解　∵在Rt△ABC中，CD是斜边上的高， ∴∠CDA=∠CDB=∠ACB=90°， ∴∠ACD=90°-∠DCB=∠B， ∵∠B=30°，∴∠ACD=30°， ∴AC=2AD=4(cm). 利用含30°角的直角三角形的性质可以求出相关线段的长度，可以证明两条线段相等. 反思感悟 (1)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P是BC上一点，且∠BAP=90°，PC=4 cm，则PB的长为 A.1 cm B.2 cm C.4 cm D.8 cm 跟踪训练3 √ 解析　∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∵∠BAP=90°，∴PB=2AP，∠PAC=30°， ∴PA=PC=4 cm，∴PB=8 cm. (2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，且DA=DB，若CD=3，求BC的长度. 解　如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD， ∵AD=BD，∴∠B=∠BAD， ∴∠B=∠BAD=∠CAD， ∵∠C=90°，∴∠B+∠BAD+∠CAD=90°， ∴3∠B=90°，∴∠B=∠BAD=∠CAD=30°， ∴BD=AD=2CD=6，∴BC=BD+CD=9. 直角三角形 课堂小结 1.如图，梯子AB斜靠在墙面上，点P是梯子AB的中点，梯子滑动时，点B沿BC滑向墙角C点，点A水平远离墙角C点，P点和C点的距离 A.始终不变 B.不断变小 C.不断变大 D.先变小后变大 √ 课堂练习 解析　∵BC⊥AC，且点P为AB的中点， ∴CP为Rt△ABC斜边上的中线， ∴CP=AB， ∵梯子的长度不变， ∴P点和C点的距离始终不变. 课堂练习 2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠CED=∠A.则△CDE为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上均有可能 √ 课堂练习 解析　∵在Rt△ABC中，∠B=90°， ∴∠A+∠C=90°， ∵∠CED=∠A， ∴∠CED+∠C=90°， ∴∠CDE=180°-(∠CED+∠C)=90°， ∴△CDE是直角三角形. 课堂练习 3.如图，△ABD和△BDC均为直角三角形，且AD=3，∠ADB=∠C=60°，点P从点B向点C运动.在运动过程中，线段DP长的最小值为　　　.  解析　∵△ABD和△BDC均为直角三角形，∴∠A=∠BDC=90°， ∵∠ADB=∠C=60°，∴∠ABD=∠DBC=30°， ∵AD=3，∴BD=2AD=6， 当DP⊥BC时，DP的值最小， 此时DP=DB=3. 3 课堂练习 4.如图，BE，CF都是△ABC的高，在BE上截取BD=AC，在射线CF上截取CG=AB，连接AG，AD. (1)求证：△BAD≌△CGA； 证明　∵BE，CF都是△ABC的高， ∴∠AEB=∠AFC=90°， ∵∠BAE=∠CAF，∴∠ABD=∠ACG， 又∵AB=CG，BD=AC， ∴△BAD≌△CGA(SAS). 课堂练习 4.如图，BE，CF都是△ABC的高，在BE上截取BD=AC，在射线CF上截取CG=AB，连接AG，AD. (2)若AD与CG交于点H，求证：△AGH为直角三角形. 证明　∵△BAD≌△CGA，∴∠BAD=∠G， ∵∠AFC=90°，∴∠AFG=90°， ∴∠G+∠GAF=90°， ∴∠BAD+∠GAF=90°=∠GAH， ∴△AGH为直角三角形. 课堂练习 谢谢 $