17.2 直角三角形 课件 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形的性质（两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半、30°角对直角边是斜边一半）与判定（两角互余的三角形是直角三角形），通过回顾等腰三角形引出直角三角形，以学生活动（探究、操作、证明、解决问题）为支架，帮助学生逐步构建知识体系。 其亮点在于结合动手操作（折叠直角三角形）和严谨推理（全等证明、垂直平分线性质），培养几何直观与推理能力，体现数学眼光和思维。规范的符号语言呈现，学生活动促进主动探究，教师可借助结构化流程提升教学效率。

冀教（2024）版数学8年级上册 第十七章 特殊三角形 17.2 直角三角形 1.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余. 2.掌握两个角互余的三角形是直角三角形. 3.探索并掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. # 17.2 直角三角形（初中八年级数学） ## 一、导入新课（5分钟） 1. **情境引入**：展示生活中的直角三角形实例，如墙角形成的角、直角三角尺、梯子靠墙搭建的图形等，提问：“这些图形对应的三角形有什么共同特征？”引导学生发现“有一个角是直角”这一特点。 2. **概念回顾**：明确直角三角形的定义——有一个角是90°的三角形叫做直角三角形，介绍符号表示“Rt△”，并标注直角边（组成直角的两条边）和斜边（直角所对的边，是直角三角形中最长的边）。 3. **问题过渡**：“直角三角形作为特殊的三角形，除了有一个角是直角，它的角和边还有哪些特殊性质？又该如何判定一个三角形是直角三角形呢？今天我们就来深入学习直角三角形的相关知识。” ## 二、探究新知（22分钟） ### （一）直角三角形的核心性质 1. **性质1：两个锐角互余** - **推理证明**：已知在Rt△ABC中，∠C=90°。根据三角形内角和为180°，可得∠A+∠B+∠C=180°，代入∠C=90°，可推出∠A+∠B=90°，由此证明直角三角形的两个锐角互余。 - **实例巩固**：给出Rt△ABC中∠A=40°，让学生快速算出∠B=90° - 40°=50°，强化对该性质的理解。 2. **性质2：斜边上的中线等于斜边的一半** - **动手验证**：让学生用刻度尺测量课前准备的直角三角形纸片的斜边长度，再测量斜边上中线的长度，观察两者的数量关系，初步猜想性质。 - **逻辑证明**：已知Rt△ABC中∠C=90°，CD是斜边AB的中线。延长CD至E，使DE=CD，连接AE、BE。因为AD=BD，DE=CD，所以四边形ACBE是平行四边形；又因为∠C=90°，平行四边形ACBE是矩形，故AB=CE，而CD=1/2CE，因此CD=1/2AB，证明猜想成立。 3. **性质3：30°角所对的直角边等于斜边的一半** - **推导过程**：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°。取斜边AB的中点D，连接CD。由性质2可知CD=AD=BD。因为∠A=30°，∠C=90°，所以∠B=60°，△BCD是等边三角形，BC=BD，又BD=1/2AB，故BC=1/2AB。 - **强调**：该性质仅适用于含30°角的直角三角形，且是30°角对的直角边与斜边的关系。 ### （二）直角三角形的判定方法 1. **判定1：定义判定**：直接根据定义，若一个三角形有一个角是90°（或两条边互相垂直），则这个三角形是直角三角形。例如，△ABC中∠A=90°，则△ABC是Rt△ABC。 2. **判定2：两角互余判定**：这是性质1的逆定理。在△ABC中，若∠A+∠B=90°，根据三角形内角和为180°，可得∠C=180° - 90°=90°，因此△ABC是直角三角形。 3. **判定3：勾股定理的逆定理**：若一个三角形的三边长\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，则这个三角形是直角三角形，且边长为\(c\)的边所对的角是直角。比如三边长为3、4、5的三角形，因为\(3^2 + 4^2 = 5^2\)，所以它是直角三角形。 ## 三、例题讲解（10分钟） 1. **例题1（性质应用）** - 题目：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠BCD=18°，E是斜边AB中点，求∠DCE的度数。 - 解答：因为∠ACB=90°，∠BCD=18°，所以∠ACD=72°。又CD⊥AB，∠A+∠ACD=90°，则∠A=18°。E是AB中点，CE=AE，∠ACE=∠A=18°。故∠DCE=∠ACD - ∠ACE=72° - 18°=54°。 2. **例题2（判定应用）** - 题目：已知△ABC的三边长分别为5、12、13，判断△ABC是否为直角三角形。 - 解答：计算\(5^2 + 12^2 =25 + 144 = 169\)，而\(13^2 = 169\)，满足\(5^2 + 12^2 = 13^2\)。根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形。 3. **例题3（综合应用）** - 题目：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm，CD是斜边AB的中线，求CD的长。 - 解答：由性质3可知，BC=1/2AB，BC=5cm，所以AB=10cm。又CD是斜边AB的中线，根据性质2，CD=1/2AB=5cm。 ## 四、课堂练习（8分钟） 1. 基础题：Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，则∠A=______（30°）；斜边AB=12cm，斜边上的中线长为______（6cm）。 2. 中档题：已知△ABC中，∠A=50°，∠B=40°，求证△ABC是直角三角形（提示：利用两角互余判定）。 3. 拓展题：Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，∠B=30°，求两条直角边AC和BC的长度（AC=5cm，BC=5√3cm）。 学生独立完成后，教师针对性讲解易错点，如混淆30°角所对的直角边，忽略勾股定理逆定理中边长的对应关系等。 ## 五、课堂小结（2分钟） 1. 梳理本节课核心内容：直角三角形的三个性质和三种判定方法，着重区分性质与判定的不同作用（性质是已知直角三角形推导边角关系，判定是由条件判断是否为直角三角形）。 2. 强调关键要点：斜边上中线的性质、30°角相关性质的适用条件，勾股定理逆定理的应用场景。 3. 布置预习：思考直角三角形和等腰三角形的结合图形（等腰直角三角形）有哪些特殊性质，为后续拓展学习做准备。 学习目标 我们前边学习了等腰三角形，除了等腰三角形外，我们还学过直角三角形，直角三角形是又一类特殊的三角形，那么它具有什么性质呢？ 情景导入 学生活动一 【一起探究】 你对直角三角形有哪些认识呢？ 如何判定一个三角形是直角三角形呢？ 探究新知 已知： 在Rt△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A+∠B＝90°. 证明： ∵ 在Rt△ABC中， ∠A+∠B+∠C＝180°，且∠C＝90°， ∴ ∠A+∠B＝180°－∠C ＝180°－90°＝90°. 探究新知 直角三角形的性质定理1： 直角三角形的两个锐角互余. 符号语言：在△ABC中，∠C＝90°, ∴ ∠A+∠B＝90°. 探究新知 直角三角形的判定定理的逆命题显然也是真命题，于是有： 如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形. 探究新知 已知：在△ABC中，∠A+∠B＝90°. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°, ∵ ∠A+∠B＝90°, ∴ ∠C＝180°－（∠A+∠B）＝180°－90°＝90°, ∴ △ABC是直角三角形. 探究新知 直角三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形. 符号语言： ∵在△ABC中，∠A+∠B＝90°, ∴ △ABC是直角三角形. 探究新知 在一张半透明的纸上画出Rt△ABC，∠C＝90°，如图（1）；将∠B折叠，使点B与点C重合，折痕为EF，沿BE画出虚线CE，如图（2）；将纸展开，如图（3）. 完成下列问题： （1） （2） （3） 学生活动二 【动手操作】 探究新知 (1)∠ECF与∠B有怎样的关系？线段EC与线段EB有怎样的关系？ 结论：∠ECF＝∠B，EC＝EB. （1） （2） （3） 探究新知 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的中线. 求证：CD＝ AB. 学生活动三 【证明猜想】 探究新知 证明：如图，过点D作DE∥BC，交AC于点E； 作DF∥AC，交BC于点F. 在△AED 和△DFB 中， ∴ △AED≌△DFB (ASA). ∴ AE＝DF，ED＝FB.(全等三角形的对应边相等） 探究新知 同理可证，△CDE≌△DCF. 从而，ED＝FC，EC＝FD. ∴ AE＝EC，CF＝FB.(等量代换） 又∵ DE⊥AC，DF⊥BC， ∴ DE为AC的垂直平分线，DF为BC的垂直平分线. ∴AD＝CD＝BD(线段垂直平分线的性质定理). ∴ CD＝ AB. 探究新知 直角三角形性质定理2： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 探究新知 证明： 在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半. 学生活动四 【解决问题】 探究新知 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°. 求证：BC＝ AB. 法1： 证明：作斜边上的中线CD，则CD＝AD＝BD＝ AB. ∵ ∠A＝30°,∴ ∠B＝60°. ∴ △CDB是等边三角形，∴ BC＝BD＝ AB. 探究新知 法2：延长BC到D,使CD＝ BC, 连接AD. 在△ABC和△ADC中, AC＝ AC, ∠ ACB ＝ ∠ ACD ＝90°, BC＝ DC, ∴ △ABC≌△ADC(SAS), ∴ AB＝AD. ∵ ∠BAC＝30°,∴ ∠B＝90°-30°＝60°, ∴ △ABD是等边三角形, ∴ AB＝BD,∴ BC＝AB. 探究新知 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高， 如果∠A=50°，则∠DCB=（　　） A．50° B．45° C．40° D．25° 巩固练习 2．在Rt△ABC，∠C＝90°∠A＝30°，若AB＝4cm ,则BC＝　　　　． 巩固练习 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB =（ ） A.40° B.30° C.20° D.10° 巩固练习 4．若直角三角形斜边上的高和中线分别为10cm、12cm，则它的面积是 cm2. 巩固练习 5. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=25°，则∠BDC等于（　　） A．44° B．60° C．67° D．70° 巩固练习 （第1题） 1. 如图，中， ，若 ，则 的度数为 ( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 24 （第2题） 2. 如图，在中，是斜边 上的高， ， ，则 ( ) A. B. C. D. B 返回 考试考法 3. 下列条件中不能判定 为直角三角形的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 26 （第4题） 4. ［2025沧州期末］一技术人员用 刻度尺（单位： ）测量某三角形 部件的尺寸.如图所示，已知 ，点为边 的中点， 点，对应的刻度为1，7，则 ( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 27 5.如图，在中， , , 于点，则 的度数为____. （第5题） 返回 考试考法 28 6. 《周礼·考工记》 中记载有：“……半矩谓之宣 ,一宣有半谓之欘 ”.意思是：“……直角 问题：图①为中国古代一种强弩图，图②为这种强弩图的部 分组件的示意图，若矩，欘，则 _____度. 22.5 的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作欘……”即：1宣 矩， 1欘宣（其中，1矩 ）. 返回 考试考法 29 直角三角形的性质与判定： 直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半. 课堂小结 直角三角形的判定定理： 如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形. 直角三角形的性质与判定： 课堂小结 谢谢观看！ $