精品解析：四川省遂宁市射洪市2025-2026学年高一上学期12月期末拔尖创新人才素质监测数学试题

2025级高一上学期期末拔尖创新人才素质监测试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将弧度化为角度为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若 且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 4. 将函数图象向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，设，，，则（ ） A. ＜＜ B. ＜＜ C. ＜＜ D. ＜＜ 6. 基本再生数与世代间隔T是流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的3倍需要的时间约为（ ）(参考数据：) A. 2天 B. 3天 C. 4天 D. 5天 7. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的奇函数满足，且时，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选择（18分）（在每小题给出得四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 和有相同的最大值 B. 和有相同的零点 C. 和有相同的最小正周期 D. 和的图象有相同的对称轴 10. 对于函数，说法正确的有（ ） A. 对，都有 B. 函数有两个零点，且互为倒数 C. ，使得 D. 对，，都有 11. 已知函数，若有四个不同的实数解，且满足，则下列命题正确的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 三、填空题（共三个小题，每题5分，共15分，请把答案填在答题卡内横线上）. 12. 不等式的解集为______． 13. 若为偶函数，则________． 14. 声音是由于物体振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数．我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音，一般地，我们听到的声音的函数可以表示为．记，，则的值域为______． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）已知，求实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若在上的最大值为0，求的值． 17. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 18. 已知定义在的函数满足：对任意，，且当时，． （1）求证：在单调递增； （2）已知，求证：函数为奇函数； （3）若不等式在恒成立，求的取值范围． 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数.它们与正，余弦函数有许多类似的性质. （1）已知，求； （2）类比正弦函数，余弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数（或双曲余弦函数）的一个正确的结论（即求或）并证明； （3）已知，对任意的和任意的，都有恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一上学期期末拔尖创新人才素质监测试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将弧度化为角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧度制转化为角度制的方法来求得正确答案. 【详解】. 故选：C 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】直接举特例判断即可. 【详解】当时，，但，充分性不满足 又当时，，但，必要性不满足， 故“”是“”的既不充分也不必要条件 故选：D. 3. 若 且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用“1”的代换的方法，结合基本不等式即可求的最小值. 【详解】由题可得； 当且仅当，即时等号成立，的最小值为8. 故选：C. 4. 将函数图象向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合三角函数伸缩变换与平移变换的性质往回推导即可得. 【详解】由题意可得，将函数横坐标变为到原来的倍，纵坐标不变， 可得，再将其向右平移个单位长度， 即，即. 故选：B. 5. 已知函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，设，，，则（ ） A. ＜＜ B. ＜＜ C. ＜＜ D. ＜＜ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得函数在R上为减函数，比较出的大小，结合函数的单调性分析可得答案. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减； 所以在上单调递减； 所以函数在R上单调递减. 因为，， 所以 ； 所以＜＜. 故选：A. 6. 基本再生数与世代间隔T是流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的3倍需要的时间约为（ ）(参考数据：) A. 2天 B. 3天 C. 4天 D. 5天 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知数据先求出，可得，则由解出即可. 【详解】，，即，解得， ，则， 解得，则， 故累计感染病例数增加至的3倍需要的时间约为5天. 故选：D. 7. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，结合图象利用赋值法、排除法即可得结果. 【详解】因为，， 且定义域关于原点对称，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A和C； 当时，，所以， 排除选项D，只有选项B符合题意. 故选：B. 8. 已知定义在上的奇函数满足，且时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出函数的周期为，可得出，结合题中函数的解析式计算可得结果. 【详解】由题知，，则，则函数为周期函数，且其周期为， 因为， ， 因为，则，所以， 所以． 故选：B. 二、多选择（18分）（在每小题给出得四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 和有相同的最大值 B. 和有相同的零点 C. 和有相同的最小正周期 D. 和的图象有相同的对称轴 【答案】AC 【解析】 【分析】先化简函数，再根据三角函数最大值、零点、最小正周期和对称轴计算判断各个选项. 【详解】函数 ，函数 对于A，因为，所以和有相同的最大值为，A正确； 对于B，令，即，解得， 令，即，所以，解得， 可知和有不同的零点，B错误； 对于C，因为，，故两函数有相同的最小正周期，C正确； 对于D，因为，所以对称轴为，即， 因为，所以对称轴为， 即，和的图象有不同的对称轴，D错误. 故选：AC. 10. 对于函数，说法正确的有（ ） A. 对，都有 B. 函数有两个零点，且互为倒数 C. ，使得 D. 对，，都有 【答案】BD 【解析】 【分析】由对数运算性质判断A错，B对，结合对数图像判断C错，D对 【详解】，，由对数运算法则知，选项A错误； 选项B中，，即或，互为倒数，故选项B正确； 由的图像特征知，当时，，则，同理可证当时，，当时，，故选项C错误； 如图，由于是上凸函数，故应为点对应纵坐标，应为点对应纵坐标，故，故选项D正确 故选:BD 【点睛】本题考查对数的基本运算和对数函数的特征，属于基础题 11. 已知函数，若有四个不同的实数解，且满足，则下列命题正确的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项：将方程的解转化为函数与图象交点的横坐标，然后结合图象即可得到的范围；BCD选项：由题意可得，整理得，利用二次函数的对称性得到，然后利用对勾函数的单调性求范围即可. 【详解】作函数的图象如下， 有四个解，即与的图象有4个交点，， 可得，可知选项A正确； 由图象可得，则，即， 且， 令，根据“对勾”函数单调性可得在上单调递减， 故，可知选项B正确； ， 令，根据“对勾”函数单调性可得， 又，可知选项C错误； 令，根据“对勾”函数单调性可得在上单调递减， 在上单调递增，故，可知选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是画出函数的图象，二是对数的运算，三是数形结合思想的运用. 三、填空题（共三个小题，每题5分，共15分，请把答案填在答题卡内横线上）. 12. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，化分式为整式结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】由可得，即， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 13. 若为偶函数，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 14. 声音是由于物体振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数．我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音，一般地，我们听到的声音的函数可以表示为．记，，则的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到，结合换元法，借助二次函数即可求解； 【详解】由题意可得： 令，平方可得：，代入上式得 ， 结合二次函数易得： 即的值域为 故答案为： 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）已知，求实数的取值范围. 【答案】（1），或； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据求出集合，当时求出集合，即可求； （2）由有，分或两种情况求解即可. 【小问1详解】 因为，或， 当时，， 所以，或； 【小问2详解】 因为，所以，当时，，解得； 当时，或 解得，或， 综上，实数的取值范围为或. 16. 已知函数． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若在上的最大值为0，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法结合同增异减可求参数的取值范围； （2）利用换元法结合二次函数的性质可求参数的值. 【小问1详解】 令，则该函数为增函数， 因为在上单调递增，所以函数在上单调递增， 故，即. 【小问2详解】 令，则函数的最大值为0， ①当即时，，解得； ②当即时，，解得，舍去； 综上， 17. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数以及对数复合函数的单调性即可求解， （2）利用二次函数的性质求解的最值，即可根据对任意的恒成立，分离参数，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 若在上单调递增，则需满足，解得 【小问2详解】 ， 由于，，故， 由于对于任意，存在，使得不等式成立，故，因此对任意的恒成立， 因此对任意的恒成立， 故对任意的恒成立， 由于，当且仅当时取到等号， 故 18. 已知定义在的函数满足：对任意，，且当时，． （1）求证：在单调递增； （2）已知，求证：函数为奇函数； （3）若不等式在恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）任取，令得， 所以，因为，则， 所以，即在单调递增； （2）令得；令得． 由且单调递增可知， 所以，要使有意义，则， 故定义域关于原点对称．又 所以为定义在上的奇函数． （3）． 【解析】 【分析】（1）令结合函数单调性定义即可求证； （2）由，求得，再结合奇函数的定义即可求证； （3）将问题转换成在成立，也即，进而可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，， 且在成立， 其中恒成立，从而只需， 令得，则， 所以，由（1）知单增， 所以只需在成立， 即，令， 即在恒成立 由于，所以． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是将问题转换成，在恒成立即可. 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数.它们与正，余弦函数有许多类似的性质. （1）已知，求； （2）类比正弦函数，余弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数（或双曲余弦函数）的一个正确的结论（即求或）并证明； （3）已知，对任意的和任意的，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 类比正弦函数、余弦函数的二倍角公式， 得双曲正弦函数（或双曲余弦函数； 证明如下：； ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据和的计算公式，结合指数运算法则求解即可. （2）类比正弦函数、余弦函数的二倍角公式，写出双曲正弦函数（或双曲余弦函数，证明即可． （3）设，则，时，，进而求的取值范围，化为，利用不等式的性质转化求解，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以， 所以，即，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，设，则， 当时，，所以， 所以， 可化为， 由题意，只需，对任意恒成立即可， 即或，所以或恒成立； ，故在上的最小值是， 当且仅当即时取得最小值； 因为，所以由对勾函数性质知在上单调递减， 所以在上的最大值是7，当取得最大值； 所以的取值范围是． 【点睛】方法点睛：函数新定义问题，解题方法是抓住新定义，把新定义转化为已知函数的表达式，函数不等式恒成立问题，首先需要通过函数的单调性与奇偶性化简不等式，对于较复杂的不等式，需要用换元法等进行化简转化，如本题转化为一元二次不等式恒成立，其次一元二次不等式恒成立，常常需要分类讨论求相应二次函数的最值后求得参数范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $