精品解析：辽宁省沈阳市新民市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试卷

新民市 2025—2026学年度上学期期末学生学业水平测试试卷 九年级数学 （本试卷共 23 小题 满分 120 分 考试时长 120 分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 一个不透明的口袋中装有个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值可知摸到红球的概率为，由此根据概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 等边三角形都是相似三角形 B. 矩形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 边长相等的菱形都相似 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似多边形的各边对应成比例、各角对应相等是解题的关键． 根据各边对应成比例、各角对应相等的多边形是相似多边形逐项判断即可解答． 【详解】解：A、等边三角形的三边对应成比例，等边三角形都是相似三角形，故符合题意； B、矩形的长和宽不一定对应成比例，矩形不一定都相似，故不符合题意； C、多边形各边对应成比例，但多边形的各角不一定对应相等，各边对应成比例的多边形不一定是相似多边形，故不符合题意； D、菱形的各角不一定对应相等，边长相等的菱形不一定都相似，故不符合题意． 故选：． 3. 在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射如图所示的球．当球向下移动时，这个球在地面上的影子大小的变化情况是（ ） A. 保持不变 B. 越来越大 C. 越来越小 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】可联系到中心投影的特点，从而得出答案． 【详解】解：当点光源在物体上方，向下照射物体时，点光源离物体越近，影子越大，点光源离物体越远，影子越小． 故选C． 【点睛】此题主要考查了中心投影的性质，中心投影的性质：等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 4. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．根据得，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于2，就在函数图象上． 【详解】解：， A、，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，本选项不合题意； D、，本选项不合题意． 故选：B． 5. 如图，矩形的对角线相交于点，，若，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，由矩形的性质可得，通过证明四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形CODE的周长， 故选：B． 6. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则线段EF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，根据勾股定理求出，再利用面积计算即可． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， ， ， ， ． 故选C． 7. 如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，轴对称图形，熟记概率公式和能识别轴对称图形是解题的关键．分别将7个空白处涂黑，判断出所得图案是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行计算． 【详解】解：如图①②③任意一处涂黑时，图案为轴对称图形， 共有7个空白处，将①②③处任意一处涂黑，图案为轴对称图形，共3处， 构成轴对称图形的概率是， 故选：B 8. 方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 无实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式．对于一元二次方程，当时，有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根，由此可解． 【详解】解：方程 的判别式 ，其中 , , ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 9. 已知函数和，它们在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据确定一次函数一定经过第一、第三象限，与y轴的交点，根据交点的坐标，确定的分布，本题考查了一次函数与反比例函数的图象分布，熟练掌握分布特点是解题的关键． 【详解】解：A选项 中一次函数的系数小于0，与中的系数矛盾，故不符合题意； B选项中一次函数经过第一、第三象限，与y轴的交点，故；故反比例函数图象分布在第二、第四象限，符合题意； C选项中一次函数经过第一、第三象限，与y轴的交点，故；故反比例函数图象分布在第二、第四象限，现分布一三象限，矛盾，不符合题意； D选项中一次函数经过第一、第三象限，与y轴的交点，故；故反比例函数图象分布在第一、第三象限，现分布二四象限，矛盾，不符合题意； 故选B． 10. 如图，在正方形中，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识进行求解是解题的关键． 根据正方形的性质可得，进而运用勾股定理得到，再证明得到，然后说明，最后根据直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴． 故选D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x值的增大而增大．那么m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．可得到m＋1＜0，解不等式即可． 【详解】解：∵在所在象限内，y的值随x的增大而增大， ∴m＋1＜0， 解得：m＜−1， 故答案为：m＜−1． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是熟练掌握反比例函数的性质． 12. 已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2，则这个菱形的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理可求出较短的对角线的长，再根据菱形的面积公式即可求出该菱形的面积． 【详解】依照题意画出图形，如图所示． Rt△AOB中，AB=2，OB=， ∴OA==1， ∴AC=2OA=2， ∴S菱形ABCD=AC•BD=×2×2=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出较短的对角线的长是解题的关键． 13. 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是_____米． 【答案】8 【解析】 【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴， 由反射知， ∴△ABP∽△CDP， 由相似三角形对应边的比相等可得，即， 解得CD=8m， 故答案为：8． 14. 如图，点A(3，n)在双曲线y=上，过点A作 AC⊥x轴，垂足为C．线段OA的垂直平分线交OC于点B，则△ABC周长的值是 ． 【答案】4． 【解析】 【分析】先求出点A的坐标，根据点的坐标的定义得到OC=3，AC=1，再根据线段垂直平分线的性质可知AB=OB，由此推出△ABC的周长=OC+AC． 【详解】由点A(3，n)在双曲线y=上得，n=1．∴A(3，1)． ∵线段OA的垂直平分线交OC于点B，∴OB=AB． 则在△ABC中， AC=1，AB＋BC=OB＋BC=OC=3， ∴△ABC周长的值是4． 15. 如图，在矩形中，，，点为边上的一个动点，将沿折叠得到，连接，，当为直角三角形时，则的长为_____． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解是解题的关键．分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， 当为直角三角形时，分两种情况： ①当时，连接交于点， ∵由折叠可得垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ②当时，此时点在边上， ∵由折叠可得， 在中，由勾股定理，得， ∴； 综上：或； 故答案为：4或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） 或 （2） 或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据因式分解法解题即可； （2）根据公式法解题即可． 【小问1详解】 解： ∴或； 【小问2详解】 解： ， ∴， 即或． 17. 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的“倒方程”是 ； （2）若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】（1） （2） （3）2025 【解析】 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：根据新定义，方程的倒方程是：； 【小问2详解】 解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； 【小问3详解】 解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 18. 某体育用品商店购进一批足球队球衣，每件的进价为元，出于营销考虑，要求每件球衣的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现，球衣每周的销售量y（单位：件）与每件球衣的售价（单位：元）之间满足的函数关系如图所示． （1）求关于的函数表达式及的取值范围； （2）当球衣的销售单价定为多少元时，每周销售球衣所获利润为元？ 【答案】（1） （2）当球衣的销售单价定为元时，每周销售球衣所获利润为元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 设关于函数表达式为． 将点，代入，得 解得 关于的函数表达式为． 【小问2详解】 解：根据题意，得． 解得，． ， ． 答：当球衣的销售单价定为元时，每周销售球衣所获利润为元． 19. 如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． （1）求点B的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，等腰三角形的性质，反比例函数与几何图形， 对于（1），过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得，即可得出答案； 对于（2），先求出反比例函数的关系式，再求出点C的坐标，然后根据得出答案． 【小问1详解】 如图所示，过点B作轴，交x轴于点D， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴点； 【小问2详解】 将点代入， 得， ∴． 当时，， ∴点， ∴． ∵， ∴． 20. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，的垂直平分线分别交，，于点，，，且为的中点，交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，推出，再证明四边形是平行四边形，由，可证明四边形是矩形； （2）勾股定理求出的长，证明，得到，进而求出的长，再根据平行四边形的性质，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：如图，， ，， 为中点， ， ， ， 垂直平分于点， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）知：，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在平行四边形中，对角线，相交于点， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 21. 某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目）．小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的总人数为 ，请将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中“排球”对应的扇形圆心角的度数为 ．若该学校共有学生名，请估计参加“游泳”的有多少人？ （3）通过初选，有名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐名同学到市里参加新一轮比赛．请用画树状图法或列表法求出到市里参加比赛的两人恰好为一男一女的概率． 【答案】（1），条形统计图见解析 （2），参加“游泳”的有人 （3） 【解析】 【分析】（1）用参加足球的学生人数除以其所占的百分比可得本次抽样调查的总人数，根据总人数减去其他项目的人数得出参加排球的人数，进而补全条形统计图； （2）用乘以本次抽样调查中参加排球的学生所占的百分比，即可求出扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数，根据用样本估计总体，用乘以扇形统计图中“游泳”对应的百分比，即可得出参加“游泳”的人数； （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及到市里参加比赛的两人恰为一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的总人数为（人）， 故答案为：； 参加“排球”课的有（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为， 故答案为：， 参加“游泳”的有（人）； 小问3详解】 解：将两名男生分别记，，两名女生分别记为，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中到市上里参加比赛的两人恰为一男一女的结果有种， 到市里参加比赛的两人恰为一男一女的概率为． 【点睛】本题考查用列表法与树状图法求概率，条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 22. 问题情境：在等腰直角中，，，直线上任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）存在；理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）过点作交于点，同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作，交的延长线于点， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）存在， 理由如下：如图，过点作交于点， 由旋转得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，当在的延长线上（点在点的右侧）时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ， ； 当在的延长线上（点在点的左侧）时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ，， ， ； 综上：或． 23. 在矩形中，，，当时，我们把这个矩形称为“等和积矩形”，根据此定义，解答下列问题： （1）如图1，若矩形是“等和积矩形”，且，则 ； （2）分别以矩形的边，所在的直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，点在第一象限，点与点O重合，若“等和积矩形”的面积为8，则点的坐标为 ； （3）从函数的角度研究“等和积矩形”，已知一个“等和积矩形”的邻边长分别为，． ①直接写出与之间的函数表达式； ②请直接在图2中画出①中函数的图象，研究①中的函数表达式，请说明该函数的图象可以通过反比例函数的图象经过怎样的平移得到？并观察图象，写出该函数的一条性质； ③若将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，则这个新矩形还是不是“等和积矩形”？请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）①；②图见解析，通过反比例函数图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位平移得到；性质：当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；③将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，那么这个新矩形不一定是“等和积矩形”，理由见解析 【解析】 【分析】（1）首先由得到，然后代入，整理得到，即可求解； （2）根据，，求出a、b值，即可求解； （3）①根据得； ②列表，然后描点画出函数图象，然后得到平移方式，观察函数图象得到函数性质； ③由，，则当时，，当时，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴ 整理得， 解得：，（舍去）， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，得， ∴ ∴， ∴ 解得：，， ∴或， ∴或， ∵点D在第一象限， ∴点D的坐标或； 【小问3详解】 解：①∵ ∴； ②列表如下： x 2 3 4 3 2 如图所示， ∴该函数的图象可以通过反比例函数图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位平移得到； 性质：从函数图象看，当时，y随x的增大而减小； ③将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，那么这个新矩形不一定是“等和积矩形”， 理由：∵， ∴， 当时，， 当时，， ∴将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，那么这个新矩形不一定是“等和积矩形”． 【点睛】本题考查新定义，图象的平移，矩形的性质，点的坐标，反比例函数的性质，作函数图象等，有一定的综合性，难度适中，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新民市 2025—2026学年度上学期期末学生学业水平测试试卷 九年级数学 （本试卷共 23 小题 满分 120 分 考试时长 120 分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 一个不透明的口袋中装有个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 等边三角形都是相似三角形 B. 矩形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 边长相等的菱形都相似 3. 在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射如图所示的球．当球向下移动时，这个球在地面上的影子大小的变化情况是（ ） A. 保持不变 B. 越来越大 C. 越来越小 D. 不能确定 4. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形的对角线相交于点，，若，则四边形的周长为（ ） A 4 B. 8 C. 6 D. 10 6. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则线段EF的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 方程根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 无实数根 D. 有两个相等的实数根 9. 已知函数和，它们在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x值的增大而增大．那么m的取值范围是___________． 12. 已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2，则这个菱形的面积是_____． 13. 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是_____米． 14. 如图，点A(3，n)在双曲线y=上，过点A作 AC⊥x轴，垂足为C．线段OA的垂直平分线交OC于点B，则△ABC周长的值是 ． 15. 如图，在矩形中，，，点为边上的一个动点，将沿折叠得到，连接，，当为直角三角形时，则的长为_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2） 17. 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的“倒方程”是 ； （2）若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 18. 某体育用品商店购进一批足球队球衣，每件的进价为元，出于营销考虑，要求每件球衣的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现，球衣每周的销售量y（单位：件）与每件球衣的售价（单位：元）之间满足的函数关系如图所示． （1）求关于的函数表达式及的取值范围； （2）当球衣销售单价定为多少元时，每周销售球衣所获利润为元？ 19. 如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． （1）求点B的坐标； （2）求的面积． 20. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，的垂直平分线分别交，，于点，，，且为的中点，交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21. 某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目）．小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的总人数为 ，请将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中“排球”对应的扇形圆心角的度数为 ．若该学校共有学生名，请估计参加“游泳”的有多少人？ （3）通过初选，有名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐名同学到市里参加新一轮比赛．请用画树状图法或列表法求出到市里参加比赛的两人恰好为一男一女的概率． 22. 问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 23. 在矩形中，，，当时，我们把这个矩形称为“等和积矩形”，根据此定义，解答下列问题： （1）如图1，若矩形是“等和积矩形”，且，则 ； （2）分别以矩形边，所在的直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，点在第一象限，点与点O重合，若“等和积矩形”的面积为8，则点的坐标为 ； （3）从函数的角度研究“等和积矩形”，已知一个“等和积矩形”的邻边长分别为，． ①直接写出与之间函数表达式； ②请直接在图2中画出①中函数的图象，研究①中的函数表达式，请说明该函数的图象可以通过反比例函数的图象经过怎样的平移得到？并观察图象，写出该函数的一条性质； ③若将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，则这个新矩形还是不是“等和积矩形”？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $