精品解析：辽宁省锦州市2025--2026学年上学期八年级1月期末数学试卷

锦州市2025-2026 学年度八年级（上）期末质量检测 数学试卷 考试时间90分钟 试卷满分100分 ※考生注意： 请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 某鞋店在一段时间内销售了某品牌女鞋40双，各种尺码鞋的销售量如下表： 鞋的尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 2 3 7 13 9 4 2 如果每双女鞋的利润相同，那么店主再购进一批该品牌女鞋时最关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 上四分位数 C. 众数 D. 方差 3. 下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题是（ ） A. B. C. D. 4. 辽宁省部分城市在地图上的位置如图所示，若锦州的位置坐标为，抚顺的位置坐标为，则大连的位置坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 估计值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 6. 如图是张老师设置的手势密码图，手指沿滑动即可解锁．若上下、左右两个相邻密码点间的距离均为1，则按此手势解锁一次的路径长为（ ） A. 6 B. C. D. 8 7. 一次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 图象经过第一、二、三象限 B. 图象经过原点 C. D. 的值随值的增大而增大 8. 某人驾车从甲地驶往乙地，他以的速度行驶一段时间后休息，又继续行驶到达乙地，他在整个行驶过程中距乙地的路程与时间之间的函数关系如图所示．则休息后他驾车行驶的速度是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学家程大位在其数学著作《算法统宗》有题如下：“甲乙间说牧放，二人暗里参详．甲云得乙九个羊，多你一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．二边闲坐恼心肠，画地算了半晌．”其大意是：甲乙牧人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少羊．甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍”．乙说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就相等．”两人都在用心计算对方的羊数，在地上列算式计算了半天才知道对方羊数．若设甲有羊x只，乙有羊y只，则依题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴的正半轴上，点的坐标为．第四象限内的点在正比例函数的图象上，且，将的图象向上平移得到的图象．若点落在长方形的内部（不含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 的立方根是___________． 12. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为______． 13. 直线与相交于点，则方程组的解为______． 14. “抖空竹”，这一极具民族特色传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，为平行线外一点，连接．若，则的度数为_______． 15. 如图1，在中，，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间的函数关系如图2所示，则的值为________． 三、解答题（本题共8道题，共65分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程组： （1） （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，． （1）作出关于轴对称的，点，，的对应点分别为点，，； （2）写出的顶点的坐标； （3）若点在轴上，且满足最大，画出点的位置，并写出点的坐标． 19. 2025年12月4日是我国第12个国家宪法日．为深入开展以宪法为核心的青少年法治教育，增强青少年学生的宪法意识，某中学开展了主题为“与法同行、健康成长”法制知识竞赛．成绩分别为四个等级，其相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从七、八年级各抽取40名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据统计图表提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 方差 七年级 8.5 1.41 八年级 8.7 1.11 （1）求的值； （2）请根据平均数与方差对七、八年级的成绩进行评价； （3）若该校七年级有240人参加本次知识竞赛，估计该校七年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为等级的学生共有多少人？ 20. 如图，中，点，，分别在边，，上，连接，．在上取一点，连接．若，求证：． 21. 十一黄金周期间，几个同学随家长一同到某景区游玩，售票处张贴的票价公示栏如下表． ××景区票价公示栏 门票类型 收费标准 备注 成人票 50元/张 - 学生票 按成人票价5折优惠 - 团体票 按成人票价6折优惠 购买15张及以上门票可享受团体票价 小聪同学说：“我们一共12个人，购买成人票和学生票共需500元．” 小明同学说：“等一下，我们购买团体票应该更便宜．” 根据相关信息，解答下列问题： （1）他们一共去了几个家长，几个学生？（要求用二元一次方程组解决问题） （2）购买团体票能优惠多少元？ 22. 为了加强劳动教育，落实五育并举，某中学在校园内建成了如图所示的一块三角形的劳动实践基地，并邀请数学兴趣小组的同学们将其全部种植甲、乙两种蔬菜．同学们经过测量与调查，得到如下信息： 信息1：； 信息2：甲种蔬菜的种植成本为每平方米30元； 信息3：乙种蔬菜的种植成本（单位：元）与种植面积（单位：平方米）的关系如下表所示，其中； /平方米 10 20 30 40 50 /元 420 660 900 1140 1380 根据以上信息，请帮助该小组的同学们完成下列任务： （1）求该校劳动实践基地的面积； （2）求乙种蔬菜的种植成本与种植面积之间的函数关系式； （3）设甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，才能使最小？并求出的最小值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线经过点，交轴正半轴于点，且． （1）求直线的函数表达式； （2）是射线上的动点． ①连接，若的面积与的面积相等，求点的坐标； ②过点作轴的垂线，交轴于点，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦州市2025-2026 学年度八年级（上）期末质量检测 数学试卷 考试时间90分钟 试卷满分100分 ※考生注意： 请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为整数之比． 本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义及其常见表现形式是解题的关键． 【详解】解：选项A：1是有理数． 选项B：属于有理数，不是无理数． 选项C：，属于有理数，不是无理数． 选项D：是无理数． 综上，只有选项D是无理数． 故选：D． 2. 某鞋店在一段时间内销售了某品牌女鞋40双，各种尺码的鞋的销售量如下表： 鞋尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 2 3 7 13 9 4 2 如果每双女鞋的利润相同，那么店主再购进一批该品牌女鞋时最关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 上四分位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计量的实际意义，众数能帮助商家识别热门商品，优化进货策略． 店主最关注的是最畅销的尺码，以便决定进货重点，众数是在一组数据中出现次数最多的数，能直接反映最受欢迎的尺码． 【详解】解：∵ 众数是一组数据中出现次数最多的数， ∴ 它能表示最畅销的鞋码． ∵ 每双鞋利润相同， ∴ 店主应关注销售量最大的尺码，即众数．从销售数据看，尺码销售13双，次数最多，为众数． ∴ 店主最应关注众数． 故答案为：C． 3. 下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据有理数的乘方、有理数的大小比较法则解答即可． 要证明命题“若，则”为假，需找反例，即满足 但不满足 值． 由 得，即 或． 当 时，不成立，故反例为的值． 【详解】解：∵ 当时，，但，不满足． ∴ 命题“若，则 ”为假命题． 其他选项：B 中，，不满足前提； C 中，，不满足前提； D 中，且，满足结论，故不能作为反例． 故选：A． 4. 辽宁省部分城市在地图上的位置如图所示，若锦州的位置坐标为，抚顺的位置坐标为，则大连的位置坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系的应用，根据已知条件找到坐标原点是解题的关键． 根据锦州和抚顺的位置坐标确定坐标原点，进而得到大连的位置坐标即可． 【详解】解：抚顺的位置坐标为，锦州的位置坐标为，表示原点在锦州右侧1个单位，则坐标系的轴为锦州所在的水平方向的直线，轴为锦州右侧1个单位所在的垂直方向的直线，如图所示： 则大连的位置坐标为， 故选：B． 5. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】由16＜21＜25，以及算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：∵16＜21＜25， ∴4＜＜5， 故选B． 【点睛】本题主要考查估计无理数的范围，掌握算术平方根的定义，是解题的关键． 6. 如图是张老师设置的手势密码图，手指沿滑动即可解锁．若上下、左右两个相邻密码点间的距离均为1，则按此手势解锁一次的路径长为（ ） A. 6 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，由题意可得，，利用勾股定理求出和，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 由题意知，，， ， ， 即按此手势解锁一次的路径长为， 故选：C． 7. 一次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 图象经过第一、二、三象限 B. 图象经过原点 C. D. 的值随值的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图象及解析式逐项判断选项即可，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，直线经过第一、三、四象限，随的增大而增大，，故错误，正确； ∵， ∴当时，，直线不经过原点， 故错误； 故选：． 8. 某人驾车从甲地驶往乙地，他以的速度行驶一段时间后休息，又继续行驶到达乙地，他在整个行驶过程中距乙地的路程与时间之间的函数关系如图所示．则休息后他驾车行驶的速度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，根据图象求出休息以后的总路程和总时间，利用速度等于路程除以时间进行求解即可． 【详解】解：由图可知，休息后的总路程为：， 休息后到达乙地所用时间为：， ∴休息以后该车行驶的速度是． 故选：A． 9. 我国古代数学家程大位在其数学著作《算法统宗》有题如下：“甲乙间说牧放，二人暗里参详．甲云得乙九个羊，多你一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．二边闲坐恼心肠，画地算了半晌．”其大意是：甲乙牧人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少羊．甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍”．乙说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就相等．”两人都在用心计算对方的羊数，在地上列算式计算了半天才知道对方羊数．若设甲有羊x只，乙有羊y只，则依题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“我若得你9只羊，我的羊多你一倍”．乙说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就相等．”列出方程组即可． 【详解】解：若设甲有羊x只，乙有羊y只，则依题意可列方程组为 ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是准确把握题目中的等量关系，列出方程组． 10. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴的正半轴上，点的坐标为．第四象限内的点在正比例函数的图象上，且，将的图象向上平移得到的图象．若点落在长方形的内部（不含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理，一次函数的图象和性质，函数图象平移的性质，解题的关键是掌握以上性质．过点作于点，交于点，设，则，利用勾股定理列出方程求解，最后根据平移的性质即可得出结果． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵四边形为长方形， ∴，，， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得，（负值已舍）， ∴， ∴根据平移的性质得，， 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 的立方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标轴上的点的坐标特点，根据y轴上的点的横坐标为0求出x的值，即可得到点P的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 13. 直线与相交于点，则方程组的解为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数的关系，熟练掌握方程组的解为两直线的交点坐标是解题的关键． 根据方程组的解即为两直线交点的坐标，求出交点坐标即可． 【详解】解：点在直线上， 则将代入得，解得， 因此交点坐标为， 即方程组的解为， 故答案为． 14. “抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，为平行线外一点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和． 根据平行线的性质得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 15. 如图1，在中，，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间的函数关系如图2所示，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理和从函数图象获取信息．从函数图象得到，当时，，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，，当时，， 此时． 故答案为： 三、解答题（本题共8道题，共65分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和正确化简二次根式． （1）先化简二次根式，再进行加减计算； （2）分别计算完全平方公式和二次根式的除法，再进行加减计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入法和加减法是关键． （1）利用代入法解方程组即可； （2）利用加减法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 将①代入②，得， 将代入①，得． 所以原方程组的解是． 小问2详解】 解： ，得，③ ，得 将代入①，得 所以原方程组的解是． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，． （1）作出关于轴对称的，点，，的对应点分别为点，，； （2）写出的顶点的坐标； （3）若点在轴上，且满足最大，画出点的位置，并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握利用轴对称作轴对称图形． （1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再连接即可得； （2）根据的位置，直接写出坐标即可； （3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P即可． 【小问1详解】 解：如答图所示 【小问2详解】 解：顶点的坐标为． 【小问3详解】 解：点的位置如答图所示 点的坐标为． 19. 2025年12月4日是我国第12个国家宪法日．为深入开展以宪法为核心的青少年法治教育，增强青少年学生的宪法意识，某中学开展了主题为“与法同行、健康成长”法制知识竞赛．成绩分别为四个等级，其相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从七、八年级各抽取40名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据统计图表提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 方差 七年级 8.5 1.41 八年级 8.7 1.11 （1）求的值； （2）请根据平均数与方差对七、八年级的成绩进行评价； （3）若该校七年级有240人参加本次知识竞赛，估计该校七年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为等级的学生共有多少人？ 【答案】（1）， （2）七、八年级的平均分相同，八年级的成绩比七年级的成绩更稳定 （3）120人 【解析】 【分析】本题考查了平均数与中位数、箱线图和扇形统计图、利用方差作决策、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据加权平均数的计算公式即可得的值，根据箱线图即可得的值； （2）根据平均数和方差的意义进行分析即可得； （3）利用该校七年级参加本次知识竞赛的学生总人数乘以成绩为等级的学生人数所占的百分比即可得． 【小问1详解】 解：， 由箱线图可知，八年级抽取40名学生的竞赛成绩的中位数． 【小问2详解】 解：七、八年级的成绩的平均分都是分， 所以两个年级的平均分相同． 七、八年级的成绩的方差分别为和，且， 所以八年级的成绩比七年级的成绩更稳定． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为等级的学生共有120人． 20. 如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，．在上取一点，连接．若，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明，再证明，根据平行线的性质证明即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：（已知）， （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． 21. 十一黄金周期间，几个同学随家长一同到某景区游玩，售票处张贴的票价公示栏如下表． ××景区票价公示栏 门票类型 收费标准 备注 成人票 50元/张 - 学生票 按成人票价5折优惠 - 团体票 按成人票价6折优惠 购买15张及以上门票可享受团体票价 小聪同学说：“我们一共12个人，购买成人票和学生票共需500元．” 小明同学说：“等一下，我们购买团体票应该更便宜．” 根据相关信息，解答下列问题： （1）他们一共去了几个家长，几个学生？（要求用二元一次方程组解决问题） （2）购买团体票能优惠多少元？ 【答案】（1）8个家长，4个学生 （2）优惠50元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，有理数四则混合运算的实际应用，正确理解题意建立方程组求出家长和学生人数是解题的关键． （1）设他们一共去了个家长，个学生，根据一共有12人，购买成人票和学生票共需500元建立方程组求解即可； （2）用500减去购买15张团体票的费用即可得到答案． 【小问1详解】 解：设他们一共去了个家长，个学生， 根据题意，得； 解得． 答：他们一共去了8个家长，4个学生． 【小问2详解】 解：（元）， 答：购买团体票能优惠50元． 22. 为了加强劳动教育，落实五育并举，某中学在校园内建成了如图所示的一块三角形的劳动实践基地，并邀请数学兴趣小组的同学们将其全部种植甲、乙两种蔬菜．同学们经过测量与调查，得到如下信息： 信息1：； 信息2：甲种蔬菜的种植成本为每平方米30元； 信息3：乙种蔬菜的种植成本（单位：元）与种植面积（单位：平方米）的关系如下表所示，其中； /平方米 10 20 30 40 50 /元 420 660 900 1140 1380 根据以上信息，请帮助该小组的同学们完成下列任务： （1）求该校劳动实践基地的面积； （2）求乙种蔬菜的种植成本与种植面积之间的函数关系式； （3）设甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，才能使最小？并求出的最小值． 【答案】（1） （2） （3）当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，才能使最小，的最小值为1680元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据三角形的面积公式计算即可得； （2）先根据表格可得与之间满足一次函数关系，再利用待定系数法求解即可得； （3）设乙种蔬菜的种植面积为，则甲种蔬菜的种植面积为，先结合（2）的结论，建立与之间的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴的面积为， 答：该校劳动实践基地的面积为． 【小问2详解】 解：由表格可知，自变量每增加10，函数值就增加240，函数值的变化是均匀的， ∴与之间满足一次函数关系， 设， 将点，代入得：，解得， ∴． 【小问3详解】 解：设乙种蔬菜的种植面积为，则甲种蔬菜的种植面积为， 由题意得：， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为， 此时， 答：当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，才能使最小，的最小值为1680元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线经过点，交轴正半轴于点，且． （1）求直线的函数表达式； （2）是射线上的动点． ①连接，若的面积与的面积相等，求点的坐标； ②过点作轴的垂线，交轴于点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，根据三角形的面积求点的坐标，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据一次函数的解析式求出相关点的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①根据函数解析式求出相关点的坐标，设点坐标为，利用作差法表示出三角形的面积关系，列出方程求解即可； ②过作，交于点，过点作轴，分别过点，，作于点于点．作点关于的对称点，连接，作射线交轴于点，分两种情况进行讨论，利用全等三角形和轴对称的性质求出相关点的坐标，利用待定系数求出直线函数解析式，然后求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：直线与轴，轴分别交于点， 令，则， ． ， 点的坐标为． 设直线的函数表达式为，将和代入可得， 则 解得 直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①如图1，直线与轴，轴分别交于点， 令，则， 解得， ． ． ． ， ． 过点作轴于点， 设点坐标为， ． ， ． 解得． 点坐标为； ②如图2，过作，交于点，过点作轴，分别过点，，作于点于点．作点关于的对称点，连接，作射线交轴于点． （Ⅰ）当点在轴上方时， ， ． ． ， ，即． ， 是等腰直角三角形． ． ， 又， ． ． 点的坐标为． 假设直线的表达式为，将和代入得， 解得 直线的表达式为． 令，则， 解得． 点坐标为． （Ⅱ）当点在轴下方时， 是点关于的对称点， ． ． 点坐标为． 假设直线的表达式为，将和代入得， 解得 直线的表达式为． 令，则， 解得． 点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $