精品解析：湖南省名校联考联合体2025-2026学年高三上学期1月联考数学试题

名校联考联合体2026届高三年级1月联考 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由补集的定义即可求解. 【详解】由题意，，又，所以. 故选：D. 2. 复数 的共轭复数为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用的共轭复数为求解. 【详解】由，故. 故选：B. 3. 平面向量，，且，则 （ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量减法的坐标运算可得. 【详解】因为，，所以，所以，解得. 故选：B. 4. 函数，若，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数单调性可得，运算求解即可. 【详解】因为在定义域上单调递增， 若，则，解得， 所以x的取值范围为. 故选：C. 5. 正四棱锥 的侧棱长为2，侧棱 与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正方形的对角线相交于点O，连接，易得平面，为 与底面所成角，根据侧棱长，求得正四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求解. 【详解】如图所示： 正四棱锥 中，正方形的对角线相交于点O，连接， 则平面，则为 与底面所成角，且， 所以，且，所以 ， 所以该四棱锥的体积为. 故选：C. 6. 函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦函数对称轴的性质，建立关于的方程，进而求解的最小值. 【详解】函数的图象关于直线对称， 所以， ，得， ， 因为，所以当 时，取最小值，为， 故选：A. 7. 椭圆：的左、右顶点为，，椭圆C的右焦点为F，点P是椭圆C上异于，的一动点，过F作直线 的垂线，垂足为M，若椭圆C的离心率为，三角形的面积最大值为6，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得到点在以为直径的圆上，，结合，解得和的值，利用求出，从而得到椭圆C的方程. 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上， 所以边上的高为半径时，的面积最大， 即， 又因为，即，所以， 解得，所以，得， 故椭圆C的方程为 . 故选：C. 8. 函数满足：当时，且，，若函数（且）共有6个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，由得到的图像关于直线对称，由求得，从而得到是以4为周期的周期函数.求出的单调性和值域，函数的零点个数就是函数图像与函数图像的交点个数.作出函数与的图像，通过观察图像，分别按照当和时，且当时，得到的不等式组，解出的取值范围即为所求. 【详解】设，， ，， ，， ，函数的图像关于直线对称， ，， 函数是以4为周期的周期函数. 在上是单调递增函数且， 在上是单调递增函数且， ，在上，， 函数在区间上单调递增，且值域为， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时， 当 时. 函数的零点个数就是函数图像与函数， （，）图像的交点个数. 作出函数与的图像如下： 函数，（，）共有6个零点， 当，时，，得，， 当，时，，得，， 实数的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 等差数列的前n项和为，，，则（ ） A. B. 公差 C. D. 的最大值为或 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可判断A，结合定义可判断B，由等差数列的通项公式可判断C，结合等差数列的通项公式列出不等式，分析得到各项的符号可判断D. 【详解】设等差数列的公差为 ， 对于A，因为，所以，故A正确； 所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，则，解得， 可知数列的前7项非负，所以的最大值为或，故D错误. 故选：ABC. 10. 抛物线：的焦点为F，准线为.若点在抛物线上，过F点的直线交抛物线于，两点，则（ ） A. B. C. 圆与准线交于M，N两点，则三角形的面积为8 D. 以为直径的圆与轴只有一个公共点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，将点代入抛物线方程求得 ，得解；对B，由抛物线定义求解；对C，求出点的坐标，进而利用三角形面积求解；对D，设，由抛物线定义求得，求线段的中点到轴的距离，进而判断. 【详解】对于A，由点在抛物线C上，得，解得 ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为直线： 交圆于点，， 又，则三角形的面积为，故C错误； 对于D，设，根据抛物线定义可知， 又以为直径的圆的半径为，而线段的中点到轴的距离为， 因此以为直径的圆与轴相切，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在正三棱柱中， ， ，E，F分别在侧面.和侧面内运动（含边界），点在平面上的射影H在内（含边界），直线与平面所成的角为30°.则（ ） A. 正三棱柱的体积为 B. 正三棱柱的外接球的体积为 C. H点到棱的距离为 D. 若直线与平面所成的角为 ，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据棱柱的体积公式计算正三棱柱的体积，判断A；由柱体外接球的性质求出正三棱柱的外接球的半径，从而得到该外接球的体积，判断B；求出点到棱的距离，判断C；作出直线与平面所成的角为 ，并表示出，从而得到其最大值，判断D. 【详解】对于A：因为在正三棱柱中， ， ，所以正三棱柱的体积为，故A正确； 对于B：设正三棱柱的外接球的球心为， 由正弦定理，可得正三角形的外接圆半径为, 则正三棱柱的外接球的半径为，故其体积为，故B错误； 对于C，D：因为点H为在平面上的射影，所以平面，连接， 则，故在以为直径的球面上. 又与平面所成的角为30°，所以， 过作于点，如图1所示， 则，，，，所以H点到棱的距离为，故C错误； 所以H在如图2所示的圆锥的底面圆周上， 又H在内（含边界），故H在正三棱柱及其内部， 其轨迹是以为圆心，为半径的圆中圆心角为60°的圆弧， 且H在底面上的射影的轨迹（以A为圆心，为半径的一段圆弧）如图3所示，连接， 易知直线与平面所成的角，且， 故当最小时，最大，A是圆弧圆心， 则当在上时，最小，最小值为， 所以.故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在点处的切线斜率为4，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】求导，令导数等于4求解可得. 【详解】易知，根据题意有，解得 . 故答案为：1 13. 从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有_____个. 【答案】167 【解析】 【分析】以百位数为3和小于3两种情况分析即可求解. 【详解】当百位数小于3时，共有个； 当百位数为3，十位数小于2时，此时共有个； 当百位数为3，十位数为2时，共有个. 综上所述，共有个. 故答案为：167 14. 数列满足，数列满足 ，.将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列：，设的前n项和为，则_____（请用数字作答）. 【答案】12182 【解析】 【分析】根据新数列的结构特点，分组求和即可. 【详解】对于数列，由可得，又， 所以，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列， 故，得. 又， 新数列结构为：后插1项，后插3项，…，后插项，到， 总项数为. 当时，到共项， 和为， 插入的到的和， 第92到100项为后插的9项，即到，其和为， 故. 故答案为：12182 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S， . （1）证明： ； （2）若 ，求内角A的大小. 【答案】（1）在中， ， 因为 ，即 ， 且 ，则 ， 则，即 ， 又因为 ，则 ，即 . （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合面积公式可得，运算求解即可； （2）根据题意结合余弦定理可得，即可得角A的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若 ，则，且 ， 由余弦定理可得， 且 ，所以 . 16. 如图，在四棱锥 中，为等腰三角形， 底面，， ， ，，，M为棱的中点. （1）证明：平面 ； （2）求平面 和平面所成夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取线段 中点N，连接 ，，易证四边形 是平行四边形，再由线面平行判定证结论； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值，从而求得正弦值. 【小问1详解】 取 的中点N，连接 ，，如图所示： 在 中，因为M，N分别是棱， 的中点，所以为 的中位线， 所以，且，易知， ， 所以，且 ，所以四边形 为平行四边形， 所以，又 平面 ，平面 ，所以平面 . 【小问2详解】 由已知 ，，，所以， 即，得 ，因为 底面，所以，由于为等腰三角形，所以， 以为坐标原点，， ，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系 ， 所以，，，，， 因为为棱的中点，所以， 所以，，， 设平面的法向量为，则 令，则 ，，即平面的一个法向量为， 又 平面，平面，所以，由 ， 且， 、 在平面 上，所以平面 ，即平面 ， 所以为平面 的一个法向量， 所以， 所以平面 和平面所成夹角的正弦值为. 17. 函数. （1）若 ，求的极小值； （2）当时，证明：. 【答案】（1）； （2） 当时，， 令 ，定义域为， 则，其中， 由在上单调递增，且，， 则存在，使得， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以的最小值为， 由，可得，， 所以，即的最小值为0， 综上，，即得证. 【解析】 【分析】（1）代入，求导判断函数单调性，根据单调性求解函数的极小值 （2）要证，即证，令，求导判断单调性，求出的最小值，得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，当 时，， 由，得，即在上单调递增； 由，得，即在区间上单调递减， 所以的极小值为. 【小问2详解】 略 18. 某人工智能研发公司为了开拓新产品市场，从最新研发的经典A型和卓越型两款机器人中（卓越型是A型的优化版），随机各抽取30台进行越野驾驶性能对比测试，测试在同等环境中进行，评定结果分为优秀和良好两种.得到了如下数据：经典A型优秀为7台，卓越型优秀为20台. （1）完成下面2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析两款机器人的测试结果是否与越野驾驶性能优化有关. 款类 测试结果 总计 优秀 良好 型 20 30 A型 7 30 总计 （2）该公司为了进一步测试卓越型机器人的汉语智能性能，组织机器人队与人类队（母语为汉语）进行诗词抢答赛，每局比赛只有胜和负两种情况（无平局），每局人类战胜机器人的概率为胜者记2分，负者记1分.每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响. （i）求三局比赛中，人类队累计得分X的分布列和数学期望； （ii）若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义. 参考公式： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，认为测试结果与越野驾驶性能有关联 （2）（i）分布列见解析，4；（ii）答案见解析 【解析】 【分析】（1）依题意列出2×2列联表，计算进行判断； （2）（i）X的所有可能取值为3，4，5，6，分别求其对应概率得到分布列；（ii）设“赛满 局人类队获胜”为事件C，有事件：第一阶段赛满局人类队胜，事件：第一阶段赛满局人类队负，由求解. 【小问1详解】 依题意，列出2×2列联表如下： 款类 测试结果 总计 优秀 良好 型 20 10 30 A型 7 23 30 总计 27 33 60 零假设为：测试结果与越野驾驶性能优化无关.根据表中数据可得： ， 根据小概率值 的独立性检验，我们推断不成立， 即认为测试结果与越野驾驶性能有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【小问2详解】 （i）X的所有可能取值为3，4，5，6， ，， ，. ∴X的分布列为 3 4 5 6 ∴数学期望. （ii）设“赛满 局人类队获胜”为事件C，要使事件C发生，有两种情况：第一阶段赛满局人类队胜，记为事件，和第一阶段赛满局人类队负，记为事件， ∴，， ①若第一阶段人类队胜，则人类队在前局至少胜局，分为人类队至少胜局和人类队恰好胜局， （a）若人类队至少胜局，无论后面两局结果如何，最终人类队获胜； （b）若人类队恰好胜局，且后面两局中人类队均负的概率为， ∴（其中）. ②若第一阶段赛满局人类队负，即前 局人类胜局数，要使总赛满 局后人类获胜，需满足：前 局胜局，且后局全胜， 前 局胜局的概率为，后局全胜的概率为， 因此 所以 代入，化简得， 所以 统计意义：对于单局胜率小于的挑战者，增加比赛总场次会降低其最终获胜的概率. 19. 双曲线：的一条渐近线为： ，点在双曲线C上. （1）求双曲线C的方程； （2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，该公共点为切线的切点.设双曲线C在切点N处的切线为，求切线与双曲线的两渐近线所围成的三角形的面积； （3）设点B关于的对称点为R，点B关于原点的对称点为，双曲线上的动点M与，B不重合，且动直线与直线 相交于点P，动直线与直线 相交于点.求证：存在实数 ，使得，并求出实数 的值. 【答案】（1） （2）9 （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由渐近线方程及点双曲线上点坐标列方程组求解双曲线方程； （2）设切点坐标为，分切线斜率存在与不存在讨论求解切线与渐近线的交点坐标求解； （3）设，按照的取值讨论证明P，R，，四点共线即可. 【小问1详解】 因为双曲线：的一条渐近线为 ，点在C上. 所以解得； 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 设点坐标为，当点N处的切线斜率不存在时，根据对称性，取切线方程为，与渐近线 的交点为，，此时； 当切线斜率存在时，设切线方程为， 与双曲线方程联立 消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 又双曲线的渐近线方程为 ， 因为与 联立得，与联立得， 故. 综上可知，所求面积为9. 【小问3详解】 设，依题意可得，，所以直线 的方程为， ①若，则直线的方程为，直线的方程为 ， 此时点，，所以， 因为P，R，，四点共线，所以， 所以存在实数，使得； ②若，则直线的方程为 ，直线的方程为， 此时点，，所以， 因为P，R，，四点共线，所以， 所以存在实数，使得. ③若且， 直线的方程为， 联立方程组解得， 同理可得直线的方程为． 联立方程组解得． 因为在双曲线上，所以， 所以， 所以， 因为四点共线，所以， 所以存在实数，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校联考联合体2026届高三年级1月联考 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数 的共轭复数为，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 平面向量，，且，则 （ ） A. B. 2 C. D. 3 4. 函数，若，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 正四棱锥 的侧棱长为2，侧棱 与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 椭圆：的左、右顶点为，，椭圆C的右焦点为F，点P是椭圆C上异于，的一动点，过F作直线 的垂线，垂足为M，若椭圆C的离心率为，三角形的面积最大值为6，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 函数满足：当时，且，，若函数（且）共有6个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 等差数列的前n项和为，，，则（ ） A. B. 公差 C. D. 的最大值为或 10. 抛物线：的焦点为F，准线为.若点在抛物线上，过F点的直线交抛物线于，两点，则（ ） A. B. C. 圆与准线交于M，N两点，则三角形的面积为8 D. 以为直径的圆与轴只有一个公共点 11. 如图，在正三棱柱中， ， ，E，F分别在侧面.和侧面内运动（含边界），点在平面上的射影H在内（含边界），直线与平面所成的角为30°.则（ ） A. 正三棱柱的体积为 B. 正三棱柱的外接球的体积为 C. H点到棱的距离为 D. 若直线与平面所成的角为，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在点处的切线斜率为4，则______. 13. 从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有_____个. 14. 数列满足，数列满足 ，.将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列：，设的前n项和为，则_____（请用数字作答）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S， . （1）证明： ； （2）若 ，求内角A的大小. 16. 如图，在四棱锥 中，为等腰三角形， 底面，， ， ，，，M为棱 的中点. （1）证明：平面 ； （2）求平面 和平面所成夹角的正弦值. 17. 函数. （1）若 ，求的极小值； （2）当时，证明：. 18. 某人工智能研发公司为了开拓新产品市场，从最新研发的经典A型和卓越型两款机器人中（卓越型是A型的优化版），随机各抽取30台进行越野驾驶性能对比测试，测试在同等环境中进行，评定结果分为优秀和良好两种.得到了如下数据：经典A型优秀为7台，卓越型优秀为20台. （1）完成下面2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析两款机器人的测试结果是否与越野驾驶性能优化有关. 款类 测试结果 总计 优秀 良好 型 20 30 A型 7 30 总计 （2）该公司为了进一步测试卓越型机器人的汉语智能性能，组织机器人队与人类队（母语为汉语）进行诗词抢答赛，每局比赛只有胜和负两种情况（无平局），每局人类战胜机器人的概率为胜者记2分，负者记1分.每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响. （i）求三局比赛中，人类队累计得分X的分布列和数学期望； （ii）若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义. 参考公式： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19. 双曲线：的一条渐近线为： ，点在双曲线C上. （1）求双曲线C的方程； （2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，该公共点为切线的切点.设双曲线C在切点N处的切线为，求切线与双曲线的两渐近线所围成的三角形的面积； （3）设点B关于的对称点为R，点B关于原点的对称点为，双曲线上的动点M与，B不重合，且动直线与直线 相交于点P，动直线与直线 相交于点.求证：存在实数 ，使得，并求出实数 的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $