精品解析：湖南省名校联考联合体2025-2026学年高三上学期1月联考数学试题

名校联考联合体2026届高三年级1月联考 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数为，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 平面向量，，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 4. 函数，若，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 椭圆：的左、右顶点为，，椭圆C的右焦点为F，点P是椭圆C上异于，的一动点，过F作直线的垂线，垂足为M，若椭圆C的离心率为，三角形的面积最大值为6，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 函数满足：当时，且，，若函数（且）共有6个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 等差数列的前n项和为，，，则（ ） A. B. 公差 C. D. 的最大值为或 10. 抛物线：的焦点为F，准线为.若点在抛物线上，过F点的直线交抛物线于，两点，则（ ） A. B. C. 圆与准线交于M，N两点，则三角形的面积为8 D. 以为直径的圆与轴只有一个公共点 11. 如图，在正三棱柱中，，，E，F分别在侧面.和侧面内运动（含边界），点在平面上的射影H在内（含边界），直线与平面所成的角为30°.则（ ） A. 正三棱柱的体积为 B. 正三棱柱的外接球的体积为 C. H点到棱的距离为 D. 若直线与平面所成的角为，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在点处的切线斜率为4，则______. 13. 从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有_____个. 14. 数列满足，数列满足，.将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列：，设的前n项和为，则_____（请用数字作答）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，. （1）证明：； （2）若，求内角A的大小. 16. 如图，在四棱锥中，为等腰三角形，底面，，，，，，M为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面和平面所成夹角的正弦值. 17. 函数. （1）若，求的极小值； （2）当时，证明：. 18. 某人工智能研发公司为了开拓新产品市场，从最新研发的经典A型和卓越型两款机器人中（卓越型是A型的优化版），随机各抽取30台进行越野驾驶性能对比测试，测试在同等环境中进行，评定结果分为优秀和良好两种.得到了如下数据：经典A型优秀为7台，卓越型优秀为20台. （1）完成下面2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析两款机器人的测试结果是否与越野驾驶性能优化有关. 款类 测试结果 总计 优秀 良好 型 20 30 A型 7 30 总计 （2）该公司为了进一步测试卓越型机器人的汉语智能性能，组织机器人队与人类队（母语为汉语）进行诗词抢答赛，每局比赛只有胜和负两种情况（无平局），每局人类战胜机器人的概率为胜者记2分，负者记1分.每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响. （i）求三局比赛中，人类队累计得分X的分布列和数学期望； （ii）若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义. 参考公式： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19. 双曲线：的一条渐近线为：，点在双曲线C上. （1）求双曲线C的方程； （2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，该公共点为切线的切点.设双曲线C在切点N处的切线为，求切线与双曲线的两渐近线所围成的三角形的面积； （3）设点B关于的对称点为R，点B关于原点的对称点为，双曲线上的动点M与，B不重合，且动直线与直线相交于点P，动直线与直线相交于点.求证：存在实数，使得，并求出实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 名校联考联合体2026届高三年级1月联考 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的： 1.全集0={-3，-2，-1,0以，4=0时，则S4=() A.☑ B.{-2} c{-3y D{-3,-2} 【答案】D 【解析】 【分析】由补集的定义即可求解 【详解】由题意，0={3，-2，-山，0，又4={-1,0以，所以A={3,2} 故选：D. 2.复数2的共轭复数为2，若2=1-21，则2=() 第1页/共27页 6学科网命组卷网 1-2i B.1+2i a 2-i 2+i A. D 【答案】B 【解析】 【分析】利用2=a+bi(a,beR)的共钷复数为2=a-bi(a,b∈R)求解 【详解1由2=1-21，故2=1+21 故选：B. 3.平面向量a=(6-,6=(x),且a-6=(-2）,则x=() A.-1 B.2 c v5 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量减法的坐标运算可得， 【详解】因为=(3，-)，6=(x,1）,所以a-6=(6-x-1-=0,-2),所以3-x=1,解得x=2. 故选：B. 4函数了(x)=e,若f(+2)小f(3),则x的取值范围为() A.（-2,2) B（-2,-) c(-1,1) D.(1,2) 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数单调性可得×+2<3，运第求解即可 【详解】因为)C在定义域R上单调递增， 若f(r+2<f(3),则x2+2<3,解得-1<x<1, 所以x的取值范围为(，) 故选：C 第2页/共27页 学科网命组卷网 5.正四棱锥P-ABCD的侧棱长为2，侧棱PA与底面ABCD所成角为45°，则该四棱锥的体积为( 2v2 4v2 A.3 B.2W2 C.3 D.42 【答案】C 【解析】 【分析】正方形ABCD的对角线相交于点O,连接PO,易得PO⊥平面ABCD,∠PAO为PA与底面 ABCD 所成角，根据侧棱长，求得正四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求解. 【详解】如图所示： 正四棱锥P-ABCD中，正方形ABCD的对角线相交于点O,连接PO, 则PO⊥平面ABCD,则∠PAO为PA与底面ABCD所成角，且∠PAO=45°， 所以P0=P4sin45°=V5,且4C=20A=20P=22,所以AB=2, 所以该四棱锥的体积头”=了1B,8COP-42 3 3 故选：C &E数)-awor君}o>0n网关于i =3对称，则@的最小值为() 第3页/共27页 6学科网 组卷网 3 A.2 B.1 C.2 D.2 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦函数对称轴的性质，建立关于0的方程，进而求解0的最小值. 【1两黄)-ma如君@>0附天于E数-对 所子0名加，eZ,海0=就+ 2,kEZ, 因为0>0，所以当k=0时，0取最小值，为2， 故选：A x2,y2 7,椭圆C:+=1的左、右顶点为4,4，椭圆C的右焦点为R,点P是椭圆C上异于4,4的 一动点，过F作直线4P的垂线，垂足为M,若椭圆C的离心率为2，三角形44，M的面积最大值为 6,则椭圆C的方程为() x2 x2.y2 x2.y2 A. =1 2√2V6 =1 B.43 =1 C.86 D.1612 【答案】C 【解析】 【分析】由A,M⊥MF得到点M在以AF为直径的圆上， 2 a2,解得a和c的值，利用b=V√a2-c2求出b,从而得到椭圆C的方程 【详解】因为4M1M,所以点M在以4 为直径的圆上， 第4页/共27页 可学科网命组卷网 a+c 所以A4,边上的高为半径2时，△A4,M的面积最大， )2.ao)aate 22 aata） 又因为e=-)即c=)a,所以，2=6. a 2 2 解得a=2V2,所以c=V2,得b=Va-c2-V6 x2 y2 =1 故椭圆C的方程为86 故选：C A -auey:气ew-e 8.函数 1-f(-x,xe[-1,0)且fx+1)=f0-x) f(x+2)=f(x-2),若函数8()=f(x)-log.(x+1月(a>0且a≠1)共有6个零点，则实数a的 取值范围是( ) A.(0,14] B.[o,4 e.(V0.V)U (o,u把 1410 【答案】C 【解析】 第5页/共27页 6学科网命组卷网 【分折】求出（四，由(x+)=f1-得到）=f(xeR)的图像关于直线x-1对称，由 fx+2)=x-2)求得x+4)=凶)，从而得到（四是以4为周期的周期函数求出y=f)的单调 性和值域，函数8(：)的零点个数就是函数y=()图像与函数y=og。(x+川图像的交点个数作出函 数y=f(x)与y=log(x+川的图像，通过观察图像，分别按照当a>1和0<a<1时，且当x>0时， 得到a的不等式组，解出a的取值范围即为所求 【详解】设x∈[l,0),-x∈(0，]， "f(x)=3(2-,x∈[0，.“f(-x)=3(2-l) e院uo :f(x+)=f0-),函数y=(x∈R)的图像关于直线x=1对称， ·fx+2)=fx-2).·fx+4)=f[x+2)+2]=f[x+2)-2]=f(x) 函数()是以4为周期的周期函数 :f()=3(2-)在xe[0,1上是单调递增函数且f(,e[0,3], f()=-3(2-)在x-l,0)上是单调递增函数且()-3,0) f(0)=0,在xelo)上，f()<f(o)=0, 六函数y=(x)在区间1上单调递链，且值歧为-3,3]， ~y=g.(c+川在区间1,0)上单调递减，在区间(0，+切)上单调递增， 第6页/共27页 学科网命组卷网 且当x→-1时y=log(x+1→+o 当x=0时y=log。1=0 ∴函数8（刊的零点个数就是函数y=f()图像与函数y=og(x+叭， (a>0,a≠1)图像的交点个数 作出函数y=f()与y=o8.(x+1叭的图像如下： y-log(x+1)川 4 8/ 12/ 02 6 10713x =f(x) X-- :函数8()=f()-log.(x+川，(a>0,a≠1)共有6个零点， log.(9+1)<3 「a2>10 :当a>1'x>0时，llg.(13+1)>3,得a<14:0<a<4: -log.(9+1)<3 ∫a3>10 6<a<o0 :当0<a<1'x>0时，1-log(13+)>3:得a3<14:14 101 实数，的取值范围是(0,4) 196100 14,10 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.等差数列{a,}的前n项和为。，=2,4+4，=4。+10，则（) 第7页/共27页 6学科网列组卷网 A.4=10 B.公差d=-2 C41=-8 D.S的最大值为S或8 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可判断A,结合定义可判断B,由等差数列的通项公式可判断C,结合等差 数列的通项公式列出不等式，分析得到a,}各项的符号可判断D 【详解】设等差数列{a,}的公差为d, 对于A,因为4+a,=a6+a=a,+10 所以4=10 ,故A正确： 所以d=4-4=-2 ,故B正确： 对于C,41=4+(1-)d=12+10×(-2)=-8,故C1正确： an=14-2n≥0 对于D,a,=12+(n-1)x(-2)=14-2n:则1an1=14-2(n+1）s0:解得6≤n≤7 可知数列a,}的前7项非负，所以S的最大值为S或S,故D错误 故选：ABC 10.抛物线C:广=2严的焦点为口，准线为！若点P(1,2)在抛物线C上，过P点的直线！交抛物线C 于A,B两点，则() A.P=2 B.PF=2 C圆t+少=5与准线'交于M,N两点，则三角形FMN的面积为8 D.以FA为直径的圆与y轴只有一个公共点 【答案】ABD 第8页/共27页 6学科网命组卷网 【解析】 【分折】对A,将点PL,2)代入抛物线方程求得P=2,得解，对B,由抛物线定义求解，对C,求出点 M,N的坐标，进而利用三角形面积求解；对D,设4(4,4知)，由抛物线定义求得FA,求线段FA的 中点到y轴的距离，进而判断. 【详解】对于A,由点P代，2)在抛物线C上，得4=2p,解得P=2,放A正确： 对于B,PF=1+=2 ,故B正确： 对于C,因为直线：x=-1交圆r+y=5于点M(l,2),N(-1,-2) 又F(1,O),则三角形FMN的面积为2×4x2=4,故C错误： 对于D,设4(4a,4a）,根据抛物线定义可知FA=x4+1=4d+1 4d2+1=2d2+2 1 又以FA为直径的圆的半径为2 2,而线段F4的中点到y轴的距离为2a+ 2 因此以FA为直径的圆与y轴相切，故D正确 故选：ABD M 1.如图，在正三棱柱ABC-4BG中，AB=1,M4=2,B,P分别在侧面， AAB AACC ”和侧面 内运动《含边界)，点A在平面AEF上的射影五在△ABF内《含边界)，直线AA与平面AEF所成的 第9页/共27页 6学科网命组卷网 角为30°.则() √5 A.正三棱柱ABC-AB,C的体积为2 8v3 B.正三棱柱ABC-AB,G的外接球的体积为27π C.H点到棱 A的距离为V5 D若直线BH与平面ABC所成的角为0，则tanB的最大值为32+V3) 【答案】AD 【解析】 【分析】根据棱柱的体积公式计算正三棱柱1BC-4B,G的体积，判断A,由柱体外接球的性质求出正 三棱柱 4BC-4B,G的外接球的半径，从而得到该外接球的体积，判断B:求出H点到棱MA的距离， 判断C:作出直线BH与平面ABC所成的角为O,并表示出tanB,从而得到其最大值，判断D. 【详解】对于A:因为在正三棱柱4BC-4B,G中，AB=1,MM=2,所以正三楼 ABC-AB,C的 4×1Px2 44B×4=5x 体积为上 2,故A正确： 对于B:设正三棱柱 ABC-AB,G的外接球的球心为O, 第10页/共27页 6学科网列组卷网 15 由正弦定理，可得正三角形aABC的外接圆半径为2sin60°=J3=3, 25 则正三棱柱的外接球的半径为 3,故其体积为V=4元 R=32v3 3 27 兀，故B错误； 对于C,D:因为点H为4在平面ABF上的射影，所以4HL平面ABF,连接AH, B B B 图1 图2 图3 则AH LAH,故H在以A4为直径的球面上 又1A与平面AEF所成的角为30，所以∠H4=30° 过H作H01A4于点O,如图1所示， 5 A=1,HA=3,H0三)，A0二)，所以H点到棱44的距离为)，故 所以H在如图2所示的圆锥A0的底面圆周上， 又H在△AEF内（含边界），故H在正三棱 ABC-AB,G及其内部， 其轨迹是以0为圆心，0，H为半径的圆中圆心角为60的圆弧. √5 且H在底面ABC上的射影H'的轨迹（以A为圆心，2为半径的一段圆弧）如图3所示，连接BH', 知直线B与平面4BC所成的角4=∠B,且an0==O4 BH'BH'2BH'' 第11页/共27页 命学科网命组卷网 故当BH'最小时，tanB最大，A是圆弧圆心， 则当打在0上时，阴最水最小为1--2一5 22 ).故D正确 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.函数f()=3x+血x在点P(x,%)处的切线斜率为4，则= 【答案】1 【解析】 【分析】求导，令导数等于4求解可得. 【详解】易知f"(x)=3+ x, 根据题意 f'(x)=3+1=4 ,解得x。=1。 故答案为：1 13.从0,1,2，，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有_个 【答案】167 【解析】 【分析】以百位数为3和小于3两种情况分析即可求解 【详解】当百位数小于3时，共有C·A号=14个： 当百位数为3十位数小于2时，此时共有CA=16个： 当百位数为3，十位数为2时，共有 ,=7 个. 综上所述，共有144+16+7=167个. 故答案为：167 第12页/供27页 6学科网列组卷网 14数列{a,}清足4.=2m-1,数列，}满足么=3，b=2h,+1将a,}中的项拉从小到大的顺序插 入亿.}中，且在任意的5,61之间插入2k-1项，从而构成一个新数列c}:么，4,6,4,4,4,6… 设}的前n项和为T,则T0=一（请用数字作答）. 【答案】12182 【解析】 【分析】根据新数列C,}的结构特点，分组求和即可 【详解】对于数列，}，由b1=2b+1可得1+1=2(6，+)，又么+1=4≠0， b+1=2 所以bn+1，所以数列{bn+}是首项为4，公比为2的等比数列， 放6+1=4x2=2,86,=2-1 又an=2n-1 新数列c}结构为：么后插1项，b后插3项，，b后插2k-l项，到b, m+1+3+…+2m-3=m+m-+2m-3》=m+m-y=m-m+1 总项数 2 当m=10时，到0共102-10+1=91项， 和为4+h++6。=2-1+2-1++2-1-2-22-10=20-4-104082 1-2 81(a+a_811+2×81-D=812 插入的a到ag1的和2 2 第92到10项为0后插的9项，即a0到a0,其和为90-81 第13页/供27页 命学科网组卷网 故7w=4082+812+(902-812）=12182 故答案为：12182 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15已知ABC的内角4，&C对地分为a&c,ABC前丽为SS-(8-e小m4 (1)证明：b=2c: (2)若a-V7 ,求内角A的大小。 【答案】(1)在△ABC中， 且0°<A<180°，则sinA>0, 则bc=b2-2c2,即(b-2c(b+c)=0 又因为b+c>0,则b-2c=0,即b=2c (2)A=120° 【解析】 bc=b2-2c2 【分析】(1)根据题意结合面积公式可得 ,运算求解即可； 1 os4=- (2)根据题意结合余弦定理可得 2,即可得角A的大小 【小问1详解】 略 【小问2详解】 第14页/供27页 命学科网组卷网 若a=v7c,则a=7c2,且b=2c, 由余定理可as4-6+6d_4+c27心- 2bc 4c2 2, 且0°<A<180°，所以A=120° 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD为等腰三角形，PD⊥底面ABCD,AB∥CD,AD⊥DC, AB=2,CD=4.PC=25,M为楼PC的中点 D- (1)证明：BM∥平面PAD: (2)求平面PDM和平面DMB所成夹角的正弦值， 【答案】(1)证明： 取PD的中点N,连接AN,MN,如图所示： 在△PCD中，因为M,N分别是棱PC,PD的中点，所以MN为△PCD的中位线， 所以MN∥DC,且 Mw=1DCnB=2CDAB∥DC 2 ,易知 所以MN∥AB,且MN=AB,所以四边形ABMN为平行四边形， 第15页/供27页 6学科网 命组卷网 所以AN∥BM,又ANC平面PAD,BM+平面PAD,所以BMII平面PAD V30 (2)6 【解析】 【分析】(I)取线段PD中点N,连接AN,MN,易证四边形ABMN是平行四边形，再由线面平行 判定证结论： (2)构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值，从而求得正弦值： 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 PD⊥CDCD=4PC=2N 由已知 ,所以PD2+CD2=PC2 即PD'+16=20,得PD=2,因为PDL底面1BCD,所以PDLAD,由于△PMD为等腰三角形， 所以AD=PD=2, 以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标 D-xyz 所以D(0,00）,A(2,00）.B(2,20).C(0,40）.P(0,0,2) 因为M为棱PC的中点，所以M(0,2)】 所以DA=(2,00）,DB=(22,0）.DM=(02,1) i.DB=0「2x+2y=0, 设平面 DMB 的法向量为方=(x,y,z):则万-DM=02y+z=0, 第16页/共27页 6学科网6组卷网 令2=2，则y=,x=1,即平面DMB的一个法向量为=(，-1,2）， 又PD⊥平面ABCD,DAC平面ABCD,所以PD⊥DA,由AD⊥DC, 且PD∩DC=D,PD、DC在平面PCD上，所以DA⊥平面PCD,即DA⊥平面PDM, 所以DA=(2,00)为平面PDM的一个法向量， 所以cos方，DA= DA 1×2+(-1)×0+2×0 6 DAVP2+(-1y+22xV2+02+02 6 6 V30 所以平面PDM和平面DMWB所成夹角的正弦值为 6 6 17.函数f()=a(x+)-lnx (4)若a=e,求f(的极小值： (2)当a=-l时，证明：e+f()≥0 【答案】(1)e+2: (2) 当a=-1时，f()=-(x+)-lhx=-(x+lhx+1) h(x)=e+f()=e-(x+血x+,定义域为(0，+切）， 则(e+e-1士(e+e-】 其中x+1>0, b8=e-在0oL年W.n得-e-3e-30,g0e-1>0, 第17页/供27页 6学科网6组卷网 ne-1=0 使得 当0<x<x时， e-士0，小0，M)在a）E网宝减 当x>时，。-0，h)>0,A)在6，回)上单调适指 所以h()的最小值为（云）=e-名-血元-1 eo-上三0e而=1 ,可得 e6, 所以=七一x©I-x)=0g的绿小值为0 综上， h(=e-x-lhx-1≥0，即e+f()≥0得证 【解析】 【分析】(1)代入a=e,求导判断函数单调性，根据单调性求解函数的极小值 (2)要证e+f()≥0，即证沁-x-lnx-1≥0，令h()=e-x-l血-1，求导判断单调性， 求出()的最小值，得证 【小问1详解】 西我刻定为0树，当ae.闪=e士 由/创>0，用>。a回g+ 上单调递增； 市了问<0，为0<x,阳f回在区同（0上单阿隆波 第18页/供27页 6学科网命组卷网 【小问2详解】 略 18某人工智能研发公司为了开拓新产品市场，从最新研发的经典A型和卓越4型两款机器人中（卓越 A 型是A型的优化版)，随机各抽取30台进行越野驾驶性能对比测试，测试在同等环境中进行，评定结 果分为优秀和良好两种.得到了如下数据：经典4型优秀为7台，卓越4型优秀为20台 (1)完成下面2×2列联表，并根据小概率值0.001的独立性检验，分析两款机器人的测试结果是否与越 野驾驶性能优化有关 测试结 款 果 总 类 优 良 计 秀 好 A 20 30 型 A 个 30 型 总 计 (2)该公司为了进一步测试卓越A型机器人的汉语智能性能，组织机器人队与人类队（母语为汉语）进 1 行诗词抢答赛，每局比赛只有胜和负两种情况（无平局），每局人类战胜机器人的概率为3胜者记2分， 第19页/共27页 6学科网 组卷网 负者记1分每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响 ()求三局比赛中，人类队累计得分X的分布列和数学期望： (ii)若采用“比赛赛 (2n-l)局， 胜方至少获得n局胜利的赛制，人类队取胜的概率 A(n), 若采用 “比赛赛满(2n+局，胜方至少获得（n+)局胜利的赛制，人类队取胜的概率为1(+)，比较1(m) 与A(+l的大小，并说明其统计意义 n(ad-be)2 参考公式： x= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.0 0.0 0.0 0.1 5 01 2.7 3.8 6.6 10. 06 41 35 828 【答案】(1) 2×2列联表如下： 测试结果 款类 总计 优秀 良好 A 20 10 30 型 A型 7 23 30 总计 27 33 60 认为测试结果与越野驾驶性能有关联 (2)(i)X的分布列为： 3 4 5 6 第20页/供27页 命学科网命组卷网 8 4 2 1 27 9 9 27 (ii)答案见解析 【解析】 【分折】（1)依题态列出2*2列联表，计算父进行判断。 (2)()X的所有可能取值为3,4,5,6，分别求其对应概率得到分布列；(ii)设“赛满2n+1局人类 队获胜"为事件C,有事件A:第一阶段赛满2m-)局人类队胜，事件4：第一阶段赛满(2n-局人类 队负，由P(C)=P(4C)+P(4,C)求解 【小问1详解】 依题意，列出2×2列联表如下： 测试结果 款类 总计 优秀 良好 A 20 10 30 型 A型 7 23 30 总计 27 33 60 零假设为 。,测试结果与越野驾驶性能优化无关根据表中数据可得： 60×(20×23-10×7)23380 30×30×27×33 297 ≈11.380>10.828=x.01 根据小概率值=0.001 的独立性检验，我们推 H0不成立， 即认为测试结果与越野驾驶性能有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【小问2详解】 第21页/供27页 可学科网命组卷网 ()X的所有可能取值为3,4,5,6， Px=列-.x-4-c Px=)=c×g-Px-6)-g=7 X的分布列为 X 3 4 5 6 8 4 2 1 27 9 27 8 4 2 1 E(X)=3×+4×。+5×+6× =4 数学期望 27 9 9 27 ()设“赛满2n+1局人类队获胜为事件C,要使事件C发生，有两种情况：第一阶段赛满(2n-)局人 类队胜，记为事件4，和第一-阶段赛满(2n-)局人类队负，记为事件4， .C=4C+4C P(C)=P(AC)+P(4C) ①若第阶段人类队胜，则人类队在前2n-)局至少胜”局，分为人类队至少雅+少局和人类队恰好 胜n局， (a)若人类队至少胜(+川)局，无论后面两局结果如何，最终人类队获胜， (b)若人类队拾好胜n局，且后面两局中人类队均负的概率为C?mp(1-Pp)(1-p}, 1 :P(4C)=Am)-Cnp0-p)'(1-p}(其中D=3). ②若第-阶段赛满(2n-)后人类队负，即前2n-1局人类胜局数≤n-1,要使总赛满2n+1局后人类获 胜，需满足：前2n-1局胜n-1局，且后2局全胜， 第22页/供27页 6学科网列组卷网 前2n-1局能-15的质幸为C以p-p小(p=》】 后2局全胜的概率为p2, 因此P(4,C)=Cp(-p”·p2=Cwp(1-p)” P(C)=P(4C)+P(4C)=4(n)-C5P"(1-p)"+Cp(1-p)" =A(n)-Cap(1-p)[(I-p)-p] 代xp化简得P9)=4)-C（目（号 所以A(n+)=P(C)<A(n) 统计意义：对于单局胜率小于2的挑战者，增加比赛总场次会降低其最终获胜的概率. x2 y2 19双肤线C:。存=1a>0b>0)的条渐近线为：y=x,点8(5,4利在双南线c上 (1)求双曲线C的方程； (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线 的切线，该公共点为切线的切点.设双曲线C在切点N处的切线为，求切线与双曲线的两渐近线所围成 的三角形的面积； (3)设点B关于的对称点为R,点B关于原点的对称点为B,双曲线上的动点M与B',B不重合，且 动直线MB与直线OR相交于点P,动直线MB与直线OR相交于点P'求证：存在实数九，使得 OR=OPOP\,并求出实数元的值 x_=1 【答案】(1)99 第23页/供27页 命学科网命组卷网 (2)9 (3)证明： 5 设M(m,m),依题意可得B'(-5,-4),R(4,5),所以直线OR的方程为'=4， ①若m=5,则直线M的方程为=5，直线M的方程为'=4 时)，4 所以x=16=x。, 因为P,R,P',O四点共线，所以OPOP叫=|OR 所以存在实数元=l,使得lOR=OP-OP叫， ②若m=-5,则直线MB的方程为X=-5,直线MB的方程为'=4 时s传r(s).以xH=16. 因为P,R,P',O四点共线，所以OPOP=OR 所以存在实数元=L,使得OR=2OP-OP m-5hio =nt4 国若m≠5且m≠-5，kB=n-4k m+5, 直线MB的方程为 y4=n4 m-5r-5) y-4=n-4 m-5r-5, 联立方程组 解得.4(5n-4m), y=x, Xp= 4 (4n-5m+9 为y+4=n+4 同理可得直线MB的方程为’+4m+5x+3) 第24页/共27页 可学科网命组卷网 y+4=n+4 m+56x+5) 联立方程组 5 4(4m-3n. y= 解得x,= 41 4n-5m)-4 M(m,n) 因为 在双曲线上，所以㎡-=9 xx2=(4m-5m2 16m2-40mn+25n2 16m2-40mn+25n2 所以162-81-4n-5m9m2-97-16m2+40nmn-25m=-16m+40nm-25i7=-1, 所以小x=16=k。, 因为PR,P,O四点共线，所以OP,OP叫ORP, 所以存在实数元=1，使得ORP=2OP-OP叫 B 【解析】 【分析】(1)由渐近线方程及点双曲线上点坐标列方程组求解双曲线方程： (2)设切点N坐标为(x%), 分切线斜率存在与不存在讨论求解切线与渐近线的交点坐标求解： （3)设M(m,川），按照m的取值讨论证明卫，R,P',0四点共线即可 【小问1详解】 C,元存=1(a>0,b>0)的一条海近线为y=x,点5,4 第25页/供27页 6学科网 组卷网 b=I 0 所以2516 ,解得 a2 b2 a2=b2=9 x2 y2 所以双曲线C的方程为99=】 【小问2详解】 设点N坐标为，），当点N处的切线斜率不存在时，根据对称性，取切线方程为x=3,与渐近线 y=士r的交点为43,3列，B(6,-3),此时5a0-2×6x3=9 当切线斜率存在时，设切线方程为)一%=k(x-名)】 [y-yo=k(x-xo) 与双曲线方程联立 x2-y2=9 消去y,可得x-[k(x-x)+%]了=9， 整理得1-k2）+(2k2x-2)小x-kx+2x。--9=0 所以1-k2≠0且△=(22x-2)广-41-k2)(-k2x号+2ox-8-9）=0, k=龙6 解得，代入y-=k(x-),得oy-=xx-x, 所以切线方程为x一%y=9 又双曲线C的渐近线方程为y=±x, 9 9 因为x-⅓y=9与y=x联立得1=一为，与y=-x联立得+人， 第26页/供27页 6学科网 命组卷网 。 81」_81=9 x-好9 综上可知，所求面积为9. 【小问3详解】 证明略，2=1. 第27页/共27页